Prescribing singularities of weak solutions of a nonlinear elliptic system in the plane
Bogdan Petraszczuk
本文证明平面上Frehse非线性椭圆系统存在具有任意指定奇点集的有界弱解。
受 Frehse [1] 1973 年工作的启发，我们证明了他平面上的椭圆系统 $Δu = F(u, \ abla u)$ 存在有界弱解 $u$，且具有任意规定的奇点集。
Inspired by Frehse's [1] 1973 work, we show that his elliptic system $Δu = F(u, \nabla u)$ in the plane has bounded weak solutions $u$ with arbitrarily prescribed singular sets.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Prescribing negative curvature with cusps and conical singularities on compact surface
本研究针对紧曲面，证明了一类仅在有限个带指定角度的尖点或锥形奇点处例外、曲率由负函数指定的共形度量的存在性与唯一性。
Prescribing curvatures on surfaces with conical singularities and corners
本文研究了带锥奇点和角点的带边界紧致曲面上的高斯曲率与测地曲率预定问题，通过将新变分公式推广至奇异情形求得解，是该奇异曲面预定曲率问题的首个结果。
Solvability and regularity for an elliptic system prescribing the curl, divergence, and partial trace of a vector field on Sobolev-class domains
给出了一类Hodge型椭圆方程组的可解性和正则性的完备证明，其中向量场的散度和旋度在开的有界Sobolev类区域中给定，且向量场的法向分量或切向分量在边界上给定.证明是基于Sobolev类域上具有Sobolev类系数的向量椭圆型方程的正则性理论。
Prescribing Gaussian curvature on surfaces with conical singularities and geodesic boundary
研究了超临界区域中具有圆锥奇点和测地线边界的曲面上具有预定高斯曲率的共形度量。利用变分的论点，我们得到一个一般存在的结果，至少有两个边界组件的表面。这似乎是该设置的第一个结果。此外，我们允许具有正阶和负阶的圆锥形奇点，即锥角比$2π$更小和更大。
Prescribing positive curvature with conical singularities on $\mathbb S^2$
本文研究了$\mathbb S^2$上具有锥奇点的共形度量的正曲率规定问题，通过证明收敛定理并分析 bubble trees 和面积恒等式，给出了 prescribing data 在开区域内不存在的判据。
Prescribing $Q$-curvature on even-dimensional manifolds with conical singularities
该研究针对带锥形奇点的$2m$维闭流形的指定$Q$-曲率问题，通过爆破分析与极小极大变分论证，得到超临界情形下的存在性与多重性结果，是$m>1$时非球面超临界锥形流形的首个相关存在性结论。
Overdetermined problems for fully nonlinear elliptic equations
我们证明了在有界区域$Ω$中的一个完全非线性椭圆方程解的存在性，该区域具有一个超定边界条件，该超定边界条件规定Dirichlet和Neumann常数数据迫使该区域$Ω$是一个球。这是Serrin 1971年经典结果的推广。
Prescribing a fourth order conformal invariant on the standard sphere - Part I: a perturbation result
本文研究了一类具有临界Sobolev指数的四阶椭圆型方程，它与标准球面上四阶共形不变量的规定有关.本文利用拓扑方法证明了当给定函数接近常数且与之相关的有限维映射具有非零次时，至少存在一个解。
The critical semilinear elliptic equation with isolated boundary singularities
建立了临界半线性方程$-Δu=u^{\frac{n+2}{n-2}}$的孤立边界奇异非负解的定量渐近行为，其中$n\ge 3$是维数.
An elliptic problem with two singularities
研究了一类由退化强制算子和奇异右端定义的椭圆型方程的狄利克雷问题.我们将证明右侧对解有一些正则化效应，即使它是奇异的。
Singularities of Nonlinear Elliptic Systems
本文利用Morrey空间（加上Zorko空间）及其位势/容量和Hausdorff容度/维数，估计了偶数阶Meyers-Elcrat型非线性椭圆方程组和一类诱导调和映射的二次泛函的奇异集.
On the prescribing $σ_2$ curvature equation on $\mathbb S^4$
处方$σ_k$曲率方程是处方高斯或数量曲率方程的完全非线性推广。给定一个正函数$K$，在四维球面上指定。我们得到了渐近轮廓分析潜在的爆破解决方案的$σ_2$曲率方程与给定的$K$，并排除了爆破解决方案的可能性时，$K$满足非退化条件。我们还证明了一个家庭的$σ_2$曲率方程变形$K$到一个正常数下相同的非退化条件下的$K$的解决方案的一致先验估计，并证明了一个解决方案的存在性，使用度参数，这种变形涉及完全非线性椭圆算子下一个额外的，自然度条件下的有限维映射与$K$。
Boundary singularities for weak solutions of semilinear elliptic problems
构造了一类半线性椭圆型方程的正弱解，该方程在给定的光滑有界N维区域的边界上在适当的迹意义下为零，但在边界的给定孤立点处为奇.类似的结构进行的解决方案是奇异的任何给定的嵌入子流形的边界。
Isolated singularities for elliptic equations with Hardy operator and source nonlinearity
本文研究一类含Hardy-Leray位势\begin{equation}\label{0} -Δu+\fracμ{|x|^2} u=u^p\quad {\rm in}\quad Ω\setminus\{0\},\qquad u=0\quad{\rm on}\quad \partialΩ. \end{equation}的半线性椭圆型方程的孤立奇异解，对孤立奇点进行了分类，得到了（\ref{0}）正解的存在性和稳定性.我们的结果是基于对非齐次Hardy问题在一种新的分布意义下的研究。
Regularity versus singularities for elliptic problems in two dimensions
在二维情形下，非线性椭圆方程组$\rm{div} a(x,u,Du)=0$的每一个弱解都具有Hölder连续的一阶导数，条件是标准的连续性、椭圆性和增长性假设在增长指数为$p \geq 2$时成立.我们给出一个例子，表明这一结果不能推广到次二次的情况下，即弱解不一定是连续的，如果$1< p <2$。此外，我们还讨论了变分积分的相关结果。
A symmetry result for cooperative elliptic systems with singularities
我们得到了具有合作结构的椭圆型方程组解的对称性结果。问题所在的域可能有“洞”或“小空位”（用容量来衡量），解决方案可能会沿着这些洞或空位发散。证明的方法依赖于移动平面技术，这需要在这里适当地调整，以照顾域中的空缺和椭圆系统的分析结构所产生的复杂性。
Removable singularities in the boundary for quasilinear elliptic equations
该研究聚焦拟线性椭圆方程的边界奇异集可去性问题，提出利用解的无穷远渐近行为与沿奇异集方向的Sobolev范数条件两种途径开展分析。
Removable singularities for degenerate elliptic Pucci operators
本文引入了一些完全非线性的二阶算子，定义为黑塞矩阵特征值的加权部分和，这些算子在几何背景下产生，目的是将最大值原理和可去奇点结果推广到高度退化椭圆性的情形.nn
Isolated singularities of solutions of certain quasi-linear elliptic inequalities
该研究针对特定拟线性椭圆不等式解的孤立奇点问题，对满足条件的解的孤立奇点渐近行为完成了完整分类，为相关方程解的奇点分析提供了基础结果。
Local analysis of solutions of fractional semi-linear elliptic equations with isolated singularities
本文研究了具有孤立奇点的分数阶半线性方程$(-Δ)^σu=u^{\frac{n+2σ}{n-2σ}}$非负局部解的局部性态，其中$σ\in (0,1)$。我们证明了所有的解是渐近径向对称的。当$σ=1$，这些已证明在\cite{CGS}由Caffarelli，Gidas和Spruck。
On Isolated Singularities of Fractional Semi-Linear Elliptic Equations
本文研究了具有孤立奇点的分数阶半线性方程$(-Δ)^σu = u^p$非负解的局部性态，其中$\sg \in (0, 1)$和$\frac{n}{n-2\sg} < p < \frac{n+2\sg}{n-2\sg}$。我们首先利用爆破方法和Liouville型定理得到一个上界。然后，我们建立了一个单调性公式和可去奇点的一个充分条件，给出了孤立奇点的一个分类。当采用$\sg=1$时，这个分类结果已被Gidas和Spruck证明（Comm. Pure Appl.Math.34：525-598，1981）。
Boundary Singularities on a Wedge-like Domain of a Semilinear Elliptic Equation
设$n\geq2$和$ Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$为Lipschitz楔形结构域.构造了问题$$Δu + u^p = 0 \quad\hbox{in}\, Ω,$$的正弱解，当$p$等于或略大于某个依赖于$Ω.$的指数$p_0>1$时，该解在$\partialΩ,$上在适当的迹意义下消失，但在$Ω$的指定“边”处奇异.
Cross-shaped and Degenerate Singularities in an Unstable Elliptic Free Boundary Problem
本文研究了不稳定自由边界问题$$Δu = -χ_{\{u>0\}} .$$解的奇异性和退化性。首先，我们构造了一个解，它不属于$C^{1,1}$类，其自由边界由四个相交于{ \em十字}形奇点的弧组成。这个解是完全不稳定的/从上面和下面排斥的，这使得它很难通过通常的方法得到，甚至数值也是不平凡的。我们还证明了退化解的存在性。这回答了R. Monneau-G.S.外斯
Boundary singularities of solutions to elliptic viscous Hamilton-Jacobi equations
本文研究了有界区域$\Gw$在$\BBR^N$中满足（E2）$ u=\gm$在$\prt\Gw$上的带测度的边值问题，证明了如果$g\in L^1(1,\infty;t^{-(2N+1)/N}dt)$是非减的，则（E1）-（E2）可以用任何正的有界测度求解.当$g(r)\geq r^q$ with $q>1$时，我们证明了满足（E1）的任意正函数都有一个边界迹，它是外正则Borel测度，不一定有界.当$g(r)=r^q$与$1
Isolated Boundary Singularities of Semilinear Elliptic Equations
给定一个光滑域$Ω\subset\RR^N$使得$0 \in \partialΩ$和给定$\partialΩ$上的一个非负光滑函数$ζ$，研究了$-Δu=u^q$在$Ω$使得$u = ζ$在$\partialΩ\setminus\{0\}$上的正解在0附近的行为.我们证明了如果$\frac{N+1}{N-1} < q < \frac{N+2}{N-2}$，那么$u(x)\leq C \abs{x}^{-\frac{2}{q-1}}$和我们计算的极限$\abs{x}^{\frac{2}{q-1}} u(x)$ $x \to 0$。我们还调查了案例$q= \frac{N+1}{N-1}$。证明依赖于球域上相关方程解的存在唯一性。
Conformally invariant fully nonlinear elliptic equations and isolated singularities
我们研究具有孤立奇点的共形不变方程的解。
Singular parabolic equations of second order on manifolds with singularities
本文的主要目的是建立流形上椭圆算子奇异性的$L_p$ -理论。本文讨论的特定类别的微分算子可以在流形的奇异端附近表现出退化或奇异行为。这一理论对于研究非紧流形甚至不完备流形上的椭圆型和抛物型方程，无论有无边界，都有重要意义。
Boundary singularities of semilinear elliptic equations with Leray-Hardy potential
研究了（E1）-PDMATHABMMu + PDMATHABMnPDMATHABMO ^{-2} u + g（u）= $ν$在$Ω$中，u = $λ$在$\partial$ $Ω$上的解的存在唯一性，其中PDMATHABMnPDMATHABMTRN+是有界光滑区域，0 $\in$ $\partial$ $Ω$，$μ$ $\ge$-N2 4是常数，g是一个满足一定积分增长条件的连续非减函数，$Ω$和$\partial$ $Ω$上的$ν$和$λ$分别是两个Radon测度.我们表明，情况有很大的不同，根据措施是集中在0或不。当g是幂时，我们引入了一个容量框架，它为问题（E1）的可解性提供了充分必要条件.
On a necessary condition for removing singularities of solutions of nonlinear elliptic inequalities
研究非线性椭圆不等式解在原点处奇点可去的必要条件，通过积分条件给出可去性的判定。
On the structure of isolated singularities for semilinear elliptic equations
本文针对半线性椭圆方程，在特定q范围完成非负解孤立奇点的分类并刻画奇异解渐近行为，改进了前人仅针对径向对称正解的结果，还推导了两类临界情形下解的渐近行为。
Asymptotic Parametrices of Elliptic Edge Operators
本文研究了奇异流形上的算子，这里是锥型或棱型的，并发展了一种新的表示椭圆型方程在奇点附近解的渐近性的一般方法。其思想是用平坦的剩余项来构造所谓的渐近参数。我们的结构是由粒子物理模型的动机与奇异的潜力，有助于嵌入的奇点在$\R^N$的高阶，根据粒子的数量。
Nonlinear elliptic equations with high order singularities
研究具有高阶奇异结构的非变分退化椭圆型方程。没有施加边界数据，并且沿着{ \it先验}未知内部区域发生奇异性。我们证明了正解有一个不依赖于其下确界值的普适连续模。我们进一步得到尖锐的，定量的非负极限解的正则性估计。
Removable Singularities of $m$-Hessian Equations
在本文中，我们给出了一个新的，限制较少的奇异集，$E$，光滑解的m-Hessian方程（以及更一般的完全非线性椭圆方程）在$Ω\setminus E$，$Ω\subset \mathbb R^n$。证明中除了得到了方程解的存在性和正则性结果外，仅利用了经典的椭圆理论，即经典的最大值原理和一个Hopf引理。
On removable singularities for solutions of Neumann problem for elliptic equations involving variable exponent
研究了变指数椭圆型方程Neumann问题边界奇异集的可移性。考虑奇异集是紧的情况，给出了变指数索伯列夫空间中方程奇异性可去的充分条件.
Isolated Singularities for Semilinear Elliptic Systems with Power-Law Nonlinearity
我们研究了具有$1<α\leq\frac{n+2}{n-2}$的系统$-Δ\mathbf{u}=| \mathbf{u}|^{α-1} \mathbf{u}$，其中$ \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_m)$，$m\geq 1$是一个$C^2$非负函数，它在$\mathbb{R}^n$，$n\geq 3$的一个域中产生一个孤立奇点.由于$ \mathbf{u}$的分量的多重性，我们观察到一个新的Pohozaev不变量以外的通常的标量情况下，也是一类新的奇异解提供的新的不变量是非平凡的。结合标量方程的经典理论，我们对整个空间以及穿孔空间上的解进行了分类，并分析了局部解在孤立奇点周围的精确渐近行为.在技术层面上，我们采用了移动球和平衡能量型单调泛函的方法。
Boundary singularities of positive solutions of some nonlinear elliptic equations
研究了一类非线性椭圆型方程的正解在边界点a附近的行为。我们的结果是基于半单位球面上某些非线性椭圆型方程解的先验估计和解的存在性、不存在性和唯一性结果。
Elliptic $G$-operators on manifolds with isolated singularities
本文研究了流形上的椭圆算子的奇异性，当流形被赋以离散群$G$的作用时。通常在椭圆理论中，一个算子的Fredholm性质由它的主象征的性质决定。我们表明，在我们的情况下，主象征是一对，由符号的主要层（内部符号）和符号的圆锥点（余法线符号）。得到了椭圆元的Fredholm性质。
The Critical Semilinear Elliptic Equation with Isolated Boundary Singularities II
本文研究半空间中带孤立边界奇点的临界半线性椭圆型方程，解决两个开放问题，建立正对数周期解全局分支，构造集中族并证局部唯一性，其行为与经典内部奇点理论形成鲜明对比。
Removable singularities for sub-solutions of elliptic equations involving weighted variable exponent Sobolev spaces
研究了含权函数和变指数的椭圆型方程奇异集的可去性。考虑奇异集满足上Minkowski容度或净测度的推广条件的情形，给出了加权变指数索伯列夫空间中方程奇异性可移的充分条件.
Anisotropic singularities to semilienar elliptic equations in a measure framework
本文研究椭圆型方程$$ -Δu+g(u)=2k\frac{\partial δ_0}{\partial x_N }+jδ_0\quad {\rm in}\quad\ \ B_1(0),\qquad u=0\quad {\rm on}\quad\ \ \partial B_1(0), $$的很弱解，其中$k>0$，$j\ge0$，$B_1(0)$表示$\mathbb{R}^N$中以原点为中心的单位球，$N\geq2$，$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是奇的、非减的$C^1$函数，$δ_0$是集中在原点的狄拉克质量，$\frac{\partialδ_0}{\partial x_N}$定义在分布意义上，即$$ \langle\frac{\partial δ_0}{\partial x_N},ζ\rangle=\frac{\partialζ(0)}{\partial x_N} , \qquad \forall ζ\in C^1_0(B_1(0)). $$。在积分次临界假设下弱解$u_{k,j}$的存在性$$\int_1^{\infty}g(s)s^{-1-\frac{N+1}{N-1}}ds<+\infty.$$进一步证明了$u_{k,j}$在原点具有各向异性奇异性，并将$\{u_{k,0}\}_k$的奇性$u_{k,0}$和极限看作是$k\to\infty$ .我们…
Solutions of nonhomogeneous equations involving Hardy potentials with singularities on the boundary
本文给出了一类含Hardy势的椭圆型方程的解的一个新的分布恒等式，其中奇点位于区域边界。然后利用它得到了非齐次问题的边界孤立奇异解。
Elliptic Weingarten surfaces: singularities, rotational examples and the halfspace theorem
通过相空间分析，证明了满足任意椭圆型Weingarten方程$W(κ_1,κ_2)=0$的旋转曲面在$\mathbb{R}^3$中有17种可能的定性行为，并研究了这些例子的奇异性.作为这一分类的整体应用，我们证明了一般有穷级椭圆型Weingarten方程的一个锐半空间定理，以及至多具有两个奇点的尖椭圆型Weingarten球面的一个分类.在$W$不是椭圆的情况下，我们对丘成桐关于旋转椭球唯一性的问题给出了否定的回答.
$W^{1,p}$ priori estimates for solutions of linear elliptic PDEs on subanalytic domains
本文研究了次解析域上 $2$ 阶线性椭圆型 PDE 的解，通过给出边界奇点切锥的显式条件，证明了 $W^{1,p}$ 先验估计，其中 $p>2$ 仅依赖于奇点几何而不依赖于解 $u$。
Singular solutions of fully nonlinear elliptic equations and applications
研究了完全非线性正齐次椭圆型方程在Lipschitz区域的边界点附近的解的性质，在该点处解可能是奇异的.我们证明了这些方程在$\mathbb{R}^n$的每个锥上都有两个正解，并且在适当的意义下解是唯一的.我们介绍了一种新的方法来分析某些Lipschitz边界点附近的解决方案的行为，这使我们能够分类孤立的边界奇点的解决方案，从上面或下面有界。在某些Lipschitz域上，我们还得到了一个尖锐的Phragmén-Lindelöf结果和一个正奇点原理.
Elliptic Equations with Critical Growth and a Large Set of Boundary Singularities
在$\rn$的一个区域$Ω$中求解变分确定的$-\sum_i\partial_{ii} u(x) =\frac{|u|^{p-2}u(x)}{{\rm dist} (x,{\mathcal A} )^s}$形式的恒星动力学方程，其中${\mathcal A} $是$\rn$的一个真线性子空间.存在性问题与Badiale-Tarantello [1]的下列最新不等式中最佳常数的可达性问题有关：$$0<μ_{s,¶}(Ω)=\inf{\int_Ω|\nabla u|^2 dx; u\in \huno \hbox{and}\int_Ω\frac{|u(x)|^{\crit(s)}}{|π(x)|^s} dx=1}$$其中$0<s<2$，$\crit(s)=\frac{2(n-s)}{n-2}$和其中$π$是线性空间$¶$上的正交投影，其中$\hbox{dim}_{\rr}¶\geq 2$ .我们调查这个问题，以及它如何依赖于相对位置的子空间$\Porth$，正交的$¶$，相对于域$Ω$以及曲率的边界$\partialΩ$在其交点与$\Porth $。
Subsonic flows with a contact discontinuity in a two-dimensional finitely long curved nozzle
研究二维有限长轻微弯曲喷管中带接触间断的亚音速流，借助 Lagrange 变换、加权 Hölder 空间估计与隐函数定理证明其存在唯一性。
Asymptotic behavior of positive solutions of some nonlinear elliptic equations on cylinders
建立了半圆柱上一类非线性椭圆型方程正解的定量渐近性态。这统一了对Yamabe方程、Hardy-Hénon方程等半线性椭圆型方程的孤立奇点的研究。
Classification of isolated singularities of nonnegative solutions to fractional semi-linear elliptic equations and the existence results
本文对分数阶椭圆型方程\begin{equation}\label{eq 0.1} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle (-Δ)^αu=u^p\quad &{\rm in}\quad Ω\setminus\{0\},\\[2mm] \phantom{ (-Δ)^α} \displaystyle u=0\quad &{\rm in}\quad \mathbb{R}^N\setminusΩ, \end{array} \end{equation}非负解的奇性进行了分类，其中$p>1$，$Ω$是$\mathbb{R}^N$中的有界$C^2$域，包含原点，$N\ge2$和定义在主值意义下的分数阶Laplacian $(-Δ)^α$.我们得到了（\ref{eq 0.1}）的任何经典解$u$对于某些$k\ge0$都是\begin{equation}\label{eq 0.2} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle (-Δ)^αu=u^p+kδ_0\quad &{\rm in}\quad Ω,\\[2mm] \phantom{ (-Δ)^α} \displaystyle u=0\quad &{\rm in}\quad \mathbb{R}^N\setminusΩ\end{a…
Asymptotic behavior at isolated singularities for solutions of nonlocal semilinear elliptic systems of inequalities
研究了系统$0\le -Δu \le (\frac{1}{|x|^α}* v)^λ$ $0\le -Δv \le (\frac{1}{|x|^β}* u)^σ$在$B_2(0)\setminus\{0\} \subset R^n$，$n\ge 3$中的$C^2$正解$u(x)$和$v(x)$在原点附近的行为，其中$λ,σ\ge 0$和$α,β\in (0,n)$ .我们的方法用于研究这些解决方案的一个副产品将是结果的起源附近的$L^1(B_1(0))$解决方案$f$和$g$的系统$0 \le f(x) \le C(|x|^{2-α} + \int_{|y|<1}\frac{ g(y) dy}{|x-y|^{α-2}} )^λ$ $0 \le g(x) \le C(|x|^{2-β} + \int_{|y|<1}\frac{ f(y) dy}{|x-y|^{β-2}} )^σ$的$0<|x|<1$，其中$λ,σ\ge 0$和$α, β\in (2,n+2)$。
Least energy sign-changing solution of fractional $p$-Laplacian problems involving singularities
本文利用Nehari流形方法、约束变分方法和Brouwer度理论研究了涉及奇异性的非局部椭圆偏微分方程最小能量变号解的存在性。
Laplacian Growth, Elliptic Growth, and Singularities of the Schwarz Potential
Schwarz函数在理解和生成平面上拉普拉斯增长（或“Hele- Shaw”）问题的精确解的新例子中发挥了优雅的作用。在这方面的指导原则是这样一个事实，即在施瓦茨函数的“油域”中的“非物理”奇点是静止的，而“物理”奇点服从简单的动力学。我们给出了一个初等的证明，同样适用于任意维数的施瓦茨潜力，介绍了D。Khavinson和H. S. Shapiro [17]（1989）.通过定义一个广义Schwarz势，给出了所谓的“椭圆增长”问题的推广。构造了新的精确解，并求解了描述给定流的驱动奇点的反问题。我们演示，通过例子，如何\mathbb{C}^n -技术可以用来定位的奇异集的施瓦茨潜力。我们的方法之一是通过构造“全局化族”来推广已有的局部扩张定理。我们对与我们的研究有关的位势论作了三个解释。
Boundary singularities of solutions of semilinear elliptic equations in the half-space with a Hardy potential
本文研究了半空间中具有Hardy势的非线性方程$\{x_1>0\}$，特别是\[-Δu -\fracμ{x_1^2}u+u^p=0\quad\text{in}\quad \mathbb R^n_+,\]，其中$p>1$和$-\infty<μ<1/4$ .正解的容许边界表现要么是$O(x_1^{-2/(p-1)})$作为$x_1\to 0$，要么由线性问题$-Δh -\fracμ{x_1^2}h=0$的解决定。在第一部分中，我们全面详细地研究了线性方程组在整个$μ$范围内的可分离解。在第二部分中，我们利用上下解构造了非线性问题的可分离解，这些解在原点附近的行为类似于$O(x_1^{-2/(p-1)})$，而在远离原点的地方，它们的渐近行为与线性问题的可分离解完全相同。在最后一部分中，我们构造的解决方案，表现得像$O(x_1^{-2/(p-1)})$在某些规定的部分的边界，而在边界的其余部分的解决方案衰减或blowup在一个较慢的速度所确定的线性部分的方程。
Boundary singularities of solutions of semilinear elliptic equations with critical Hardy potentials
本文研究了（E）$-\Gd u-\myfrac{\xk }{d^2(x)}u+g(u)=0$的边界行为，其中$0<\xk <\frac{1}{4}$和$g$是$\BBR^N$的有界凸域上的连续非减函数.本文首先构造了与线性算子$\CL_{\xk }=-\Gd-\frac{\xk }{d^2(x)}$相联系的Martin核，并给出了对于边界数据，任意Radon测度$\gm$都可解方程（E）的一般条件。当$g(u)=|u|^{q-1}u$，我们表明存在一个临界指数$q_c=q_c(N,\xk )>1$：当$0<q<q_c$任何措施是有资格解决（E）与$\gm$的边界数据;如果$q\geq q_c$，一个充分必要条件表示的绝对连续性的$\gm$关于一些Besov能力。可去紧边界集也具有相同的容度。最终，任何正解（F）$-\Gd u-\frac{\xk }{d^2(x)}u+|u|^{q-1}u=0$与$q>1$允许一个边界迹，这是一个正的外正则Borel测度。当$1<q<q_c$时，我们证明了对于任何正的外正则Borel测度，我们可以将（$F$）的正解与这个边界迹联系起来.
Existence and multiplicity results on a class of quasilinear elliptic problems with cylindrical singularities involving multiple critical exponents
本文研究一类具有柱奇点和多重临界非线性项的拟线性椭圆型方程至少两个正解的存在性，其形式为\begin{align*} -\operatorname{div}\left[\frac{|\nabla u|^{p-2}}{|y|^{ap}}\nabla u\right] -μ\,\frac{u^{p-1}}{|y|^{p(a+1)}} = h\,\frac{u^{p^*(a,b)-1}}{|y|^{bp^*(a,b)}} +λg\,\frac{u^{q-1}}{|y|^{cp^*(a,c)}}, \qquad (x,y) \in \mathbb{R}^{N-k}\times\mathbb{R}^k. \end{align*}。我们考虑$N \geqslant 3$，$λ>0$，$p < k \leqslant N$，$1<p<N$，$0 \leqslant μ<\barμ \equiv \left\{[k-p(a+1)]/p\right\}^p$，$0 \leqslant a < (k-p)/p$，$a \leqslant b < a+1$，$a \leqslant c < a+1$，$1\leqslant q <p$，$p^*(a,b)=Np/[N-p(a+1-b)]$，和$p^*(a,c) \equiv Np/[N-p(a+1-c)]$ ;特别地，如果是$μ= 0$，我们可以包括$(…
Formation and Behavior of Dirac Singularities in the Parabolic-Elliptic Keller-Segel System in Dimensions $n\geq 3$
研究抛物-椭圆凯勒-塞格尔系统中非负径向对称解的形成与行为，揭示狄拉克奇点的形成机制及渐进行为。
Subsonic solutions for steady Euler-Poisson system in two dimensional nozzles
本文证明了有限长二维喷管中定常全Euler-Poisson方程组在入口处不动点处非绝缘边界上施加电势差，并给定喷管出口压力时亚音速流动的存在性和稳定性。亚音速流动的Euler-Poisson方程组是一个双曲-椭圆耦合的非线性系统。其中一个重要的组成部分是Helmholtz分解的速度场和流函数制定一起结合。利用Helmholtz分解，将Euler-Poisson方程组转化为一个二阶非线性椭圆方程组，该方程组由三个方程和熵的输运方程以及伪Bernoulli不变量组成.本文利用文献[2]中的估计，求解了Lipschitz区域上的椭圆型方程组的非线性边值问题。输运方程通过由流函数公式推导的流图求解。此外，流图的精确估计给出了解的唯一性。
A classification of isolated singularities of elliptic Monge-Ampère equations in dimension two
设$\mathcal{M}_1$表示椭圆型实解析Monge-Ampère方程${\rm det} (D^2 z)=φ(x,y,z,Dz)>0$的解空间$z(x,y)$，该方程的图在原点具有不可移除的孤立奇点.证明了$\mathcal{M}_1$与$\mathcal{M}_2\times Z_2$一一对应，其中$\mathcal{M}_2$是$R^2$中正则实解析严格凸Jordan曲线类的一个合适子集.我们还描述了$C^k$ -光滑情况下Monge-Ampère方程解的渐进行为，以及更一般方程${\rm det} (D^2 z +\mathcal{A}(x,y,z,Dz))=φ(x,y,z,Dz)>0$解析解的孤立奇点的一般存在性定理。
Elliptic operators on manifolds with singularities and K-homology
众所周知，光滑紧致流形上的椭圆算子是用K-同调分类的。我们证明了一个类似的分类也是有效的流形最简单的奇点：孤立锥点和纤维边界。这些结果的证明的主要成分是：一个模拟的Atiyah-Singer差的建设在非交换的情况下和一个模拟的庞加莱同构的K-理论为我们的奇异流形。作为应用，我们给出了具有奇异性的流形上Fredholm问题的阻碍的拓扑项公式和伪微分算子代数的K-群公式。
Quasilinear elliptic problems with cylindrical singularities and multiple critical nonlinearities: existence, regularity, nonexistence
本文研究一类具圆柱奇点和多重临界非线性项的拟线性椭圆型方程解的存在性，其形式可写成\begin{align*} -\operatorname{div}\left[\frac{|\nabla u|^{p-2}}{|y|^{ap}}\nabla u\right] -μ\,\frac{u^{p-1}}{|y|^{p(a+1)}} = \frac{u^{p^*(a,b)-1}}{|y|^{bp^*(a,b)}} + \frac{u^{p^*(a,c)-1}}{|y|^{cp^*(a,c)}}, \qquad (x,y) \in \mathbb{R}^{N-k}\times\mathbb{R}^k. \end{align*}。利用山路定理证明了正弱解$u \in \mathcal{D}_a^{1,p}(\mathbb{R}^N\backslash\{|y|=0\})$的存在性。我们还证明了一个正则性结果，即利用Moser的迭代方法证明了整环$Ω\subset \mathbb{R}^{N-k}\times\mathbb{R}^{k}\backslash \{ |y|=0 \}$的$u \in L_{\operatorname{loc}}^{\infty}(Ω)$不一定有界。最后，我们表明，如果$ u \in \mathcal{D}_a^{1,p}(\mathbb{R}^N\backslash\…
Removing singularities for fully nonlinear PDEs
本文针对具有经典密度和雅可比不等式的完全非线性椭圆偏微分方程粘性解，结合Savin小扰动定理与雅可比不等式，提出快速加倍证明以移除半直线及满足单侧条件的奇异性，覆盖蒙日-安培等方程。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。