On some new hook-content identities
Michal Sedlák, Alessandro Bisio
在A. Vershik，我们引入两个新的组合恒等式。我们将展示如何使用这些身份来证明一个新的挂钩内容的身份。推导这个恒等式的主要动机是量子信息处理领域中的一个特殊的最优化问题。
Based on the work of A. Vershik, we introduce two new combinatorial identities. We show how these identities can be used to prove a new hook-content identity. The main motivation for deriving this identity was a particular optimization problem in the field of quantum information processing.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bijections for hook pair identities
简短，双射证明的身份多套的“钩对”（臂腿对）的细胞的某些图。这些钩对恒等式最初是由Regev发现的。
Generalizations of Han's Hook Length Identities
韩最近发现了二叉树的新的钩长恒等式。本文将韩氏恒等式推广到二项式树族。此外，我们提出了一个双射证明的家庭的有序树的身份。
Colored partitions and the hooklength formula: partition statistic identities
我们给出了多个钩长的联合分布之间的关系，频率和部分尺寸的分区，扩展在这方面的先前工作。这些结果是通过研究Han/Nekrasov-Okounkov钩长公式和（k，j）-着色划分的截断而发现的，是k-着色划分和超划分的统一.我们建立了观察到的关系，在常数和线性项的所有n，并为j=2，在其二次项，与相关的钩/频率的身份。这种类型的进一步结果似乎是可能的。
Identities for the number of standard Young tableaux in some $(k,\ell)$ hooks
闭公式是已知的$S(k,0;n)$，数量标准的杨tableaux的大小$n$和最多$k$部分，其中$1\le k\le 5$。在这里，我们研究的模拟问题，$S(k,\ell;n)$，标准的年轻tableaux的大小$n$的数量包含在$(k,\ell)$钩。我们推导了$k+\ell\le 4$情形的一些公式。
Hook Weighted Increasing Trees, Cayley Trees and Abel-Hurwitz Identities
最近Féray，Goulden和Lascoux通过推广标号树的Prüfer码给出了无序增树的一个新的Hook求和公式的证明，并提出了寻找加权增树和Cayley树之间的双射的问题。我们给这样一个双射，提供了一个答案所提出的问题Féray，Goulden和Lascoux以及显示组合连接到理论的树量定义的凯尔曼斯。此外，还给出了钩求和公式的两个简单证明.作为一个应用程序，我们描述了如何钩求和公式给出了一个组合证明的推广阿贝尔和赫维茨定理，最初证明了斯特列尔。
Inequalities for the number of $t$-hooks in two partition classes arising from sum-product identities
本文研究了由求和-乘积恒等式产生的两个划分类中t-hooks数量的不等式，通过生成函数和渐进行式证明了t=1,2时的不等式。
Hook-content formula using excited Young diagrams
我们构造了一个钩含量公式和它的$q$ -模拟使用兴奋的杨图类似成濑的钩长度公式歪斜的形状。此外，我们证明了我们的钩含量公式有一个简单的因式分解，并给出了与它的$q$ -模拟有关的一些结构和问题。
New hook-content formulas for strict partitions
我们介绍了差分算子的功能定义在严格的分区和证明了多项式性质的总和涉及钩长度和内容的统计。作为应用，导出了几个新的严格划分的钩容公式。
A corollary of Stanley's Hook Content Formula
我们使用分区的钩子长度来定义两个矩形tableaux。我们证明这些tableaux有相等的多个条目，首先由初等组合参数，然后使用斯坦利的钩内容公式和对称多项式。
Some Combinatorial Properties of Hook Lengths, Contents, and Parts of Partitions
本文证明了韩国牛的一个猜想的推广，这个猜想最初是由Nekrasov和Okounkov的一个恒等式启发的。主要结果表明，n的分划p上的某些和，涉及p的钩长平方的对称函数，是n的多项式函数。对于n的内容和移位部分的对称函数，也得到了类似的结果。
Polynomiality of some hook-content summations for doubled distinct and self-conjugate partitions
2009年，第一作者在$\widetilde A$型仿射根系的框架下，利用Macdonald恒等式证明了关于整数分拆的钩长的Nekrasov-Okounkov公式，并证明了在$n$中，所有大小为$n$的分拆的集合上的某些和总是多项式.这个猜想被斯坦利推广和证明。最近，Pétréolle给出了$\widetilde C$和$\widetilde C\,\check{}$的两个Nekrasov-Okounkov型公式，其中包含了双重不同的自共轭分拆.受前人工作的启发，我们建立了双异分划和自共轭分划的一些钩内容和的多项式性。
Another involution principle-free bijective proof of Stanley's hook-content formula
另一个双射证明斯坦利的钩内容公式的生成函数的半标准tableaux一个给定的形状给出，不涉及对合原则的Garsia和米尔恩。这是一个合并的结果修改jeudetaquin的想法从作者以前的双射证明（“Stanley的hook-content公式的一个无对合原理的双射证明”，离散数学。理论。计算机科学，出现）和Novelli-Pak-Stoyanovskii双射（离散数学理论计算机科学1（1997），53-67），用于给定形状的标准杨氏表的钩公式。这个新算法也可以作为一个算法，用于随机生成一个给定的形状与有界条目的tableaux。对该算法进行适当变形，给出了在给定框内随机生成平面划分的算法。
Hook length and symplectic content in partitions
$GL(n,\mathbb{C})$、$Sp(2n)$或$SO(n)$的不可约表示的维数由相应分区的相应钩长度和内容公式给出。第一作者受到Nekrasov-Okounkov公式的启发，对涉及钩长和辛/正交内容的类似表达式进行了组合解释。我们证明了这些代数的特殊情况。在这个过程中，我们表明，分区的$n$与所有辛内容非零是equinumerous分区的$n$到不同的甚至部分。我们也提出贝克型同伴这个身份。在这种情况下，我们给奇偶性的分区成不同的部分奇数（分别，甚至）的秩。研究了划分的二元表示中的钩长和与反演和之间的关系。此外，我们引入了一个新的分区统计，分区的$x$射线列表，并探讨其与不同的分区，以及分区最大限度地包含在一个给定的楼梯分区连接。
The Nekrasov-Okounkov hook length formula: refinement, elementary proof, extension and applications
本文致力于推导欧拉乘积的幂的展开公式的划分钩长，发现Nekrasov和Okounkov在他们的研究的Seiberg-Witten理论。基于t-核的一个新性质给出了一个改进，并利用Macdonald恒等式给出了一个初等证明.我们还得到了一个扩展，通过增加两个参数，这似乎是一个离散的麦克唐纳身份之间的插值和生成函数的t-核心。几个应用程序派生，包括“标记钩公式”。
Proofs of two conjectures of Berkovich and Dhar on hook lengths
本文证明了 Berkovich 和 Dhar 关于有界划分中钩长系数的两个猜想的更强形式，通过组合和解析方法建立奇数划分与不同划分中钩对数量的不等式。
Sum of squares of hook lengths and contents
针对整数分划杨图的钩长平方和与容平方和关系，给出双射证明解决Stanley提出的问题，得到杨图矩形数量公式，并提及钩长和容其他次幂和的结果。
An Elementary Proof of the Hook Content Formula
本文用归纳法证明了Hook含量公式（HCF）和Hook长度公式（HLF）。而不是直接与杨tableaux工作，我们引入了一个矢量符号（这些矢量的序列表示（“单票”）投票序列的情况下，SYT和“多票”投票序列-其中选民可以选择任何数量的候选人-在SSYT的情况下），以帮助归纳论证。接下来，我们建立一个身份，使我们能够证明一个公式，计算多票投票序列。我们证明，在非简并的情况下（当这个公式计数SSYT），它与HCF一致。为了做到后者，我们借用了威尔逊和范林特在他们的HLF证明中概述的技术的一部分。然后，我们建立一个恒等式，它实际上是上述方程的一个特例，并证明HLF可以从它推导出来（威尔逊和范林特直接证明了这个恒等式，并用它以类似的方式证明了HLF）。然后，我们注意到外观的一个表达式类似的Weyl尺寸公式，并得出结论与组合的结果。
A multiset hook length formula and some applications
利用组合运算建立了整数分拆的多集钩长公式。作为特例，我们重新推导了三个钩长公式，其中两个是Nekrasov-Okounkov得到的，第三个是Iqbal，Nazir，Raza和Saleem利用拓扑顶点的循环对称得到的.本文还证明了一个多集钩含量公式。
Difference operators for partitions under the Littlewood decomposition
引入划分函数的$t$ -差分算子的概念，证明了关于对称函数Plancherel平均多项式性的Stanley定理的一个推广.我们的扩展使用了广义的概念Plancherel措施，根据步行的步骤给出的除了$t$ -挂钩的杨格。众所周知，$t$的倍数的钩长度可以由Littlewood分解来表征。我们的研究提供了一些进一步的信息，其他同余类模$t$的内容和钩长。
Hook-Lengths, Symplectic/Orthogonal Contents and Amdeberhan's Conjectures
本文针对 Amdeberhan 于2012年提出的钩长及辛/正交内容生成函数无穷乘积公式猜想，在已有特例证明基础上给出一般情形的证明。
Hook-content formulae for symplectic and orthogonal tableaux
通过考虑舒尔函数的专门化$s_λ(1,q,q^2,...,q^{n-1})$，斯坦利能够根据$λ$图中方框的两个属性来描述形状为$λ$的半标准杨图的数量的公式。利用辛和正交舒尔函数的专门化，我们推导出相应的公式，首先由El Samra和国王，为半标准辛和正交$λ$ -tableaux的数量。
A Nekrasov-Okounkov type formula for type C
2008年，Han利用$\widetilde{A}$型的Macdonald恒等式，重新发现了Nekrasov和Okounkov关于Dedekind $η$函数的幂的一个展开式。本文利用$\widetilde{C}$型的Macdonald恒等式和一个新的双射，得到了$η$的幂关于分块钩长的新的组合展开式.作为应用，我们导出了一个辛Hook公式和$\widetilde{C}$、$\widetilde{B}$和$\widetilde{BC}$型Macdonald恒等式之间的关系.
A new proof of an Eğecioğlu--Remmel inverse Kostka matrix problem via a Garsia--Milne involution involving Sym and NSym
本文通过引入隧道钩覆盖和反向双射，给出了Eğecioğlu--Remmel逆Kostka矩阵问题的全新证明，不同于Loehr和Mendes的结果。
Difference operators for partitions and some applications
受Nekrasov-Okounkov钩长公式的启发，第一作者证明了对于任何$k\in \mathbb{N}$，具有$n$大小的划分的钩长的$2k$次幂和的Plancherel平均总是$n$的多项式.这个猜想被Stanley推广并证明（Ramanujan J.，23（1- 3）：91- 105，2010）。本文受Stanley和Olshanski关于Young格的微分偏序集的工作的启发，研究了定义在划分函数上的两类差分算子$D$和$D^-$的性质.尽管$D$的高阶计算极其复杂，但我们证明了几个著名的分区函数族被差分算子$D$的幂所消灭。作为一个应用，我们的结果推广了经典的划分结果，包括标记钩公式，Stanley定理，Okada-Panova钩长公式，Fujiii-Kanno-Moriyama-Okada容度公式.我们坚持冈田常数$K_r$直接从单个分区$λ$的计算中产生，而不需要对大小为~ $n$的所有分区求和。
Refinements of Beck-type partition identities
富兰克林的恒等式推广了欧拉恒等式，并指出，具有$j$不同部分的$n$可被$r$整除的分区数等于具有$j$重复部分的$n$的分区数。在这篇文章中，我们给出了当$j=1$ .我们证明了富兰克林的身份时，$j=1$，$r=2$分区与固定周长，即，固定最大的钩子。我们还推导出一个贝克型恒等式的分区与固定的周长：部分的数量在所有分区成奇数部分周长$M$超过部分的数量在所有分区成不同部分周长$M$等于分区的周长$M$的偶数部分的集合是一个单例。我们提供分析和组合证明我们的结果。
Jack polynomials and some identities for partitions
我们证明了一个恒等式涉及新的组合系数的分区。给出的证明是使用生成函数。作为应用，我们得到了与杰克多项式有关的两个移位对称函数的显式表达式。这些量是“α含量”随机变量关于某些转移概率分布的矩。
Superization and (q,t)-specialization in combinatorial Hopf algebras
我们扩展了一个经典的对称函数，超化过程，到几个组合霍普夫代数，并获得类似的钩内容公式的（q，t）-专业化的各种基地。利用树状结构产生特别是（q，t）-类似物的Bjorner-Wachs q-钩长度公式的二叉树，和类似的公式的平面树。
Combinatorics of non-ambiguous trees
本文研究了非二义树的组合性质。我们定义的这些对象可以被看作是在具有某些约束的网格上绘制的二叉树，或者是以前由Aval，Boussicault和Nadeau定义的树状tableaux的子集。枚举的非二义树满足一些额外的限制，使我们能够给优雅的组合证明身份由于Carlitz，和Escherborg和Steingrímsson。我们还提供了一个钩子公式来计算给定底层树的非二义树的数量。最后，我们使用非二义树来描述一个非常自然的双射之间的多角和二叉树。
Quantum Information Processing and Composite Quantum Fields
在量子信息处理领域中发现了一些涉及Young图的钩子内容的美丽恒等式，并给出了一个组合证明。我们在这里给出一个表示理论证明这些身份和一些推广。我们的证明是基于属于一类置换中心化代数的元素的迹恒等式。这些代数已经被发现是量子场论中复合规范不变算子的组合学的基础，并在AdS/CFT对应中得到应用。基于这些代数，我们讨论了量子信息处理任务与复合量子场的组合学之间的一些类比，并认为这可以成为量子信息与量子场论之间富有成效的接口，对AdS/CFT具有启示意义。
Some combinatorial interpretations of the Macdonald identities for affine root systems and Nekrasov--Okounkov type formulas
通过整数向量与双无限词表示的整数分拆之间的关联，给出仿射根系Macdonald恒等式的组合解释，并推导出各类型的q-Nekrasov--Okounkov公式。
Fixed perimeter analogues of some partition results
本文受 Euler 奇偶分拆恒等式及 Straub 固定周长结果启发，研究若干经典分拆结论在固定最大 hook（周长）条件下的类比形式。
Theorems, Problems and Conjectures
这些笔记的目的是提供一些（也许是新的）相关工作的附录，一个问题列表和寻求（最好是）组合证明的方法。主要项目是欧拉多项式和杨氏图的钩/内容，主要是后者。我们也有关于Frobenius定理和多核分区的项目;最近，一些关于（我们称之为）着色过分区的问题。公式类似物或在作品的精神由韩，Nekrasov-Okounkov和斯坦利分布在整个。最后提出结论性意见，希望能对有兴趣的研究者有所指导。新添加的问题是关于色多项式的
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