On zeros of polynomials associated with Heun class equations
Ochanomizu University（御茶水女子大学）
本文研究Heun类方程局部解系数中附加参数多项式的零点，通过数值计算获得相关谱数据。
2025-10-24 math-ph math.CA math.MP
The Heun operator of Hahn type
定义了均匀网格上的Heun-Hahn算子。该运营商示出的映射多项式的程度$n$多项式的程度$n+1$，是三对角的基地，无论是Pochhammer或哈恩多项式和双线性的哈恩代数的运营商。这个代数的扩展，包括Heun-Hahn算子作为生成器进行了描述。均匀网格上的双正交有理函数被证明与这个框架有关。
2018-07-17 math-ph math.CA math.MP
On spectral polynomials of the Heun equation. II
众所周知的Heun方程具有以下形式：Q（z）S“（z）+P（z）S”（z）+V（z）S（z）=0其中Q（z）是三次复多项式，P（z）和V（z）分别是至多2次和1次的多项式。Heun方程的经典问题之一是对给定的正整数N，求出所有可能的线性多项式V（z），使得后一个方程有N次多项式解S（z）。下面我们证明了第二作者的一个猜想，声称当N->oo时，对于给定的N，这样的V（z）的根的并集趋向于连接Q（z）的三个根的某个紧致，并且由某个自然阿贝尔积分是实值的条件给出。
2009-04-03 math-ph math.CA math.MP
Series solutions of Heun-type equation in terms of orthogonal polynomials
引入一个九参数Heun型微分方程，得到了它的三类解，它们是用雅可比多项式表示的平方可积〔的〕函数的级数。级数的展开系数满足三项递推关系，可采用连续和/或离散谱的正交多项式求解。其中一些是众所周知的多项式，而另一些则是已知多项式的新版本或修改版本。
2018-06-12 math-ph math.CA math.MP
On spectral polynomials of the Heun equation
经典Heun方程的形式为{Q（z）d^2/dz^2 +P（z）d/dz +V（z）}S（z）=0，其中Q（z）为三次多项式，P（z）至多为二次多项式，V（z）分别为线性多项式。在19世纪下半叶，E.Heine和T.STieltjes开始研究所有V（z）的集合，使得上面的方程有给定次数n的多项式解S（z）。本文的主要目的是研究当n->oo时V（z）*s的后一个集合的根的并.我们制定了一个有趣的猜想K.Takemura描述的极限集，并给出了大量的额外信息。
2008-12-12 math-ph math.CA math.MP
Orthogonal Polynomials, Asymptotics and Heun Equations
Painlevé方程源于对矩矩阵生成的Hankel行列式的研究，矩矩阵的权重表示为"经典”权重乘以适当的"变形因子”的乘积，通常取决于"时间变量“$t$。从梯形算子中可以得到系数为有理函数的正交多项式的二阶线性常微分方程。Painlevé和相关的功能出现作为这些合理的功能的残留物。我们将感兴趣的情况下，当$n$，汉克尔矩阵的阶数和多项式$P_n(x)$的次数正交于变形的权重，变大。证明了当$n$较大时，$P_n(x)$满足的二阶线性微分方程是Heun方程的特例.在某种意义上，由变形权生成的一元正交多项式是各种Heun方程的解. Heun方程在数学物理中具有重要意义，在特殊情况下，Heun方程退化为超几何和汇合型超几何方程。在本文中，我们看看三种类型的权重：Jacobi型，这是支持$(0,1]$的Laguerre型和变形的$(a,b)$ $χ_{(a,b)}$和阶跃函数$θ(x)$的指示函数的权重。
2019-05-13 math-ph math.CA math.MP
Associated Stieltjes-Carlitz polynomials and a generalization of Heun's differential equation.
生成函数的Stieltjes-Carlitz多项式是一个解决方案Heun的微分方程和使用这种关系Carlitz是第一个得到确切的封闭形式的一些Heun职能。同样，相关的Stieltjes-Carlitz多项式导致一个新的微分方程，我们称之为相关Heun。由于与正交多项式的联系，我们能够推导出两个积分关系连接相关Heun函数与不同的参数，并展示了一组相关Heun函数，推广Carlitz的。作者利用其中的一部分结果导出了Stieltjes-Carlitz多项式的正交性测度的斯蒂尔切斯变换，在此给出了这一结果的一个新的推导.
1993-07-08 math.CA
A Riemann-Hilbert Approach to the Heun Equation
我们描述的第六Painlevé方程和一般Heun方程的线性系之间的密切联系，制定黎曼-希尔伯特问题的Heun函数和显示如何，在可约单值的情况下，黎曼-希尔伯特形式主义可以用来构造显式多项式的Heun方程的解决方案。
2018-09-07 math-ph math.CA math.MP
On reducing the Heun equation to the hypergeometric equation
列举了Heun方程通过自变量的多项式变换化为超几何方程的各种方法，并对它们进行了分类。Heun到超几何的约化类似于经典的超几何恒等式，但约化存在的条件涉及超几何方程所不具备的Heun方程的特征，即它的交比和辅助参数。减少包括二次和三次变换，这可能是执行只有当奇点的Heun方程形成一个谐波或等谐波四倍，分别;和几个更高的程度的转换。这一结果修正和推广了前一篇文章中只发现了二次变换的一个定理。[See K. Kuiken，“Heun's equation and the hypergeometric equation”，SIAM Journal on Mathematical Analysis 10：3（1979），655-657.
2004-08-23 math-ph math.CA math.MP
Integral transformation of Heun's equation and some applications
已知产生第六个Painlevé方程的Fuchsian微分方程通过欧拉积分变换对应于具有不同参数的Fuchsian微分方程，并且Heun方程也通过欧拉积分变换对应于具有不同参数的Heun方程。在本文中，我们详细研究的对应关系。调查后的对应monodromy，它表明，多项式型的解决方案的存在对应于一个奇点的apparency（非分支）。对于Heun方程的椭圆表示，对应于monodromy意味着等谱对称。我们将对称性应用到有限能隙势中，用一些尚未被研究过的参数来表示Heun方程的单值性。
2014-12-29 math-ph math.CA math.MP
Orthogonal polynomials: from Heun equations to Painlevé equations
本文研究了四种权函数对应的正交多项式，给出了其满足的二阶线性微分方程及Heun方程，利用等单值形变方法将其转化为Painlevé方程，并讨论了Hankel行列式的渐近行为。
2024-12-19 math.CA
Generalized hypergeometric solutions of the Heun equation
本文利用广义超几何函数给出了一般Heun方程的无穷多个解。每一个解都假定对所涉及的参数施加两个限制：其中一个奇点的特征指数必须是非零整数，并且辅助参数必须满足多项式方程。
2020-03-25 math.CA
Generalized-hypergeometric solutions of the biconfluent Heun equation
研究了双汇流Heun方程的幂级数解和级数解的Hermite函数形式.在许多情况下，双汇流方程的解决方案是作为一个不可约的线性组合的四个广义超几何函数，在一般情况下不减少到多项式，被确定。
2019-07-30 math.CA
Van Vleck spectra of high-order Heun operators:\ finite-band universality and exterior asymptotics
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）
研究Fuchs指标为1的经典Heun算子的高阶类似物，通过线性Van Vleck多项式形成谱多项式，得到有限带行列式表示和普遍性定理，结合相关定理加强外部收敛结论，证明确定性准则等。
2026-07-07 math-ph math.CA math.MP
Special Solutions of $q$-Heun Equation by $q$-Integral Transformations
Ochanomizu University（御茶水女子大学）
通过考虑多项式型解的 $q$-积分变换，得到了 $q$-Heun 方程表示为 $q$-超几何函数有限求和的特殊解。
2026-05-29 math.CA
Elliptic solitons and Heun's equation
找到了Heun方程的一类新的代数几何解，其附加参数属于一条超椭圆曲线。这些解决方案从辅助参数的依赖性以及它们的关系Heun的多项式进行了研究。给出了曲线的代数亏格及其分支点的计算方法。Monodromy组被认为是。列举了许多例子。
2001-10-19 math.CA math.SP
A series solution of the general Heun equation in terms of incomplete Beta functions
我们证明了当无穷远奇点的特征指数为零时，一般Heun方程的解可以用不完全β函数展开.通过级数的终止，得到了两组无穷参数的封闭解。这些有限和的解决方案是书面的初等函数，一般是准多项式。展开式的系数服从三项递推关系，在某些特殊情况下可能变为两项。我们讨论的情况下，当递归关系涉及到两个非连续的条款，并表明，系数的扩展，然后明确计算和一般的解决方案的Heun方程的构造作为一个组合的几个超几何函数与准多项式前因子。
2015-10-17 math.CA
Complete polynomials using 3-term and reversible 3-term recurrence formulas (3TRF and R3TRF)
在第一个系列“特殊函数和三项递推公式（3TRF）"中，我展示了如何获得Heun，Grand Confluent Hypergeoemtric（GCH），Mathieu和Lame方程的幂级数解，用于无穷级数和1型多项式。证明一个无穷级数和一个1型多项式的三项递推关系的方法称为三项递推公式（3TRF）。解析地构造了上述4个方程的积分形式和母函数。在第二个系列“特殊函数和可逆三项递推公式（R3TRF）"中，我展示了如何获得无穷级数和2型多项式的5个方程（Heun，GCH，Mathieu，Lame和Confluent Heun（CH）方程）的（1）幂级数解，（2）积分解和（3）母函数。证明一个无穷级数和一个2型多项式的三项递推关系的方法称为可逆三项递推公式（R3TRF）。在本系列中，我将展示如何获得类型3的多项式的数学公式，称为“完全多项式”。完全多项式有两种不同的类型：（1）第一类完全多项式和（2）第二类完全多项式。前者适用于B_n项只有一个特征值，A_n项也只有一个特征值的情况。当B_n项有两个特征值，A_n项有一个特征值时，后者也适用。利用3TRF和R3TRF，将Heun方程、GCH方程、Lame方程、CH方程和双合流Heun方程中的三项递推关系推广为两类完全多项式的幂级数展开式。
2019-10-08 math.CA
A formula for the local Heun solution
本文通过正交多项式理论，给出了Heun方程局部解的幂级数系数表达式，并推导了系数的渐进行为估计。
2026-02-16 math.CA math.CV
A note on the generalized-hypergeometric solutions of general and single-confluent Heun equations
本文综述了一般Heun方程和单汇合Heun方程的幂级数解、普通超几何函数和汇合型超几何函数的级数解。讨论了幂级数展开式化为有限和的条件以及幂级数展开式的系数服从两项递推关系的情形。在许多情况下，一般或单合流Heun方程的解决方案是通过一个单一的广义超几何函数的书面指示。证明了该广义超几何函数的参数是某个多项式方程的根，并给出了该方程的显式阶数。
2021-03-02 math.CA
Real-root property of the spectral polynomial of the Treibich-Verdier potential and related problems
研究了Treibich-Verdier势的谱多项式。这类谱多项式是经典Lame多项式的推广，在Heun方程的有限能隙理论和常微分方程理论中都起着重要的作用。本文证明了在一定的假设下，这类谱多项式的所有根都是实的且不同的。证明使用Sturm序列的经典概念和isomonodromic理论。我们还证明了一个类似的结果与广义拉梅方程的多项式。显然，我们的新方法是基于单值数据的观点。
2016-10-07 math-ph math.CA math.MP
Some Results on Lame-Heun Spectral Geometry
Adeyemi Federal University of Education（阿德耶米联邦教育大学）
本文通过Heun实现统一发展Lame方程的谱与复解析理论，构造全局单值表示并利用拓扑工具揭示其几何与拓扑联系。
2026-09-22 math.CA
Liouvillian solutions for second order linear differential equations with Laurent polynomial coefficient
本文研究了具有Laurent多项式系数的一般二阶无迹微分方程的Liouville解的完全参数化问题。这一系列的方程，固定的订单在$0$和$\infty$的洛朗多项式，被视为一个仿射代数品种。证明了族中Picard-Vessiot可积微分方程的集合是代数子簇的可积并。我们显式地计算了它的组成部分的代数方程。我们给出了一些著名的子族的双重合流和双合流Heun方程，和理论的代数可解的潜在的薛定谔方程的应用。作为辅助工具，我们改进了二阶线性微分方程存在多项式解的一个判别准则。
2021-09-25 math-ph math.CA math.MP
On complex oscillation theory, quasi-exact solvability and Fredholm Integral Equations
双汇流Heun方程（BHE）是一般Heun方程的汇流情形，它比黎曼球面$\hat{\mathbb{C}}$上的Gauss超几何方程多一个正则奇点.受Nevanlinna理论（复振荡理论）方法的启发，我们建立了与Lamé方程和Heun方程以及Mathieu方程和汇合Heun方程并行的\textit{periodic} BHE（PBHE）理论。我们建立了PBHE的本征解的显式构造条件及其单、双正交性，以及相应的本征解必须满足的一阶Fredholm型积分方程.我们还建立了一个贝塞尔多项式模拟在BHE的水平，这是基于观察贝塞尔方程和BHE有一个正规的奇点在原点和一个不规则的奇点在无穷远的黎曼球$\hat{\mathbb{C}}$，和前一个方程有正交多项式解决方案的复杂的重量。最后，我们将所得结果与Turbiner，Bender和Dunne等人所考虑的一个方程相联系，该方程是由一阶算子生成的拟精确可解的Schrodinger方程，使得二阶算子在$SL_2(\mathbb{C})$的李代数中具有有限维不变子空间
2016-10-31 math.CA
Painlevé IV, bi-confluent Heun equations and the Hankel determinant generated by a discontinuous semi-classical Laguerre weight
School of Mathematics and Statistics, Qilu University of Technology (Shandong Academy of Sciences)（齐鲁工业大学（山东省科学院）数学与统计学院）；College of Humanities and Education, Jiangmen Polytechnic（江门职业技术学院人文教育学院）
研究不连续半经典Laguerre权函数，推导出与Painlevé IV方程相关的递推系数，并揭示正交多项式满足双退化Heun方程。
2026-01-23 math.CA
Classification of $K$-type formulas for the Heisenberg ultrahyperbolic operator $\square_s$ for $\widetilde{SL}(3,\mathbb{R})$ and tridiagonal determinants for local Heun functions
本文分类了 $\widetilde{SL}(3,\mathbb{R})$ 海森堡超双曲方程的 $K$-型公式，推广了先前结果，并证明相关三角行列式序列满足回文性质，最后从表示论角度给出 Sylvester 公式的新证明。
2021-01-18 math.CA math.CO math.RT
Root asymptotics of spectral polynomials for the Lame operator
研究经典Lamé方程的多项式解的代数形式，或等价地，其Weierstrass形式的双周期解有着悠久的历史。这样的解决方案出现在整数值的频谱参数和他们各自的特征值作为端部的带在相应的薛定谔方程的边值问题的有限间隙的潜力由Weierstrass $\wp$ -功能的实线。在本文中，我们建立了几个自然的（和等价的）公式的超几何和椭圆型积分的密度适当缩放的渐近分布的这些特征值时，整数值的谱参数趋于无穷大。我们还表明，这个密度满足Heun微分方程的四个奇点。
2008-02-02 math.CA math.SP
Critical graph of a polynomial quadratic differential related to a Schrödinger equation with quartic potential
本文研究了一类具有四次振子和某些边界条件的Shrodinger方程的WKB技巧所得到的波函数在平面内的弱渐近性。第一步，我们对问题进行变换，得到WKB波函数的多项式部分所满足的Heun方程，特别地，我们研究了Schrodinger方程的重标解的根计数测度的Cauchy变换的性质，得到形式为$\mathcal{C}^{2}\left( z\right) +r\left( z\right) \mathcal{C}\left( z\right) +s\left( z\right) =0$的二次代数方程，其中$r,s$也是多项式。第二步讨论了该代数方程解的存在性（作为带号测度的Cauchy变换），这个问题仍然是描述一个相关的四次多项式二次微分方程$-p\left( z\right) dz^{2}$的临界图。特别是，我们讨论的存在性（和他们的数量）有限的临界轨迹，这个二次微分。
2017-12-17 math.CA
On Polynomial Solutions of Linear Differential Equations with Applications
对许多物理现象的分析可以归结为对多项式系数的微分方程的解的研究。本文建立了线性微分方程\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n} α_{k} \, r^{k} \, y''(r) + \sum_{k=0}^{n-1} β_{k} \, r^{k} \, y'(r) - \sum_{k=0}^{n-2} τ_{k} \, r^{k} \, y(r) = 0 \, , \end{equation*}对任意$n\geq 2$存在多项式解的充要条件。通过实例证明了对于$n \ge 3$，所给出的必要条件不足以保证多项式解的存在性.使用Scheffé的标准，我们表明，从这个微分方程有$n$ -一般方程可解的两项递归公式。给出了广义超几何函数形式的一般方程的封闭解。对于任意$n$微分方程，给出了三个初等定理和一个算法，以显式构造多项式解。该算法用于建立$n=4$情况下的多项式解。为了证明这种方法的简单性和适用性，它被用来研究Heun和Dirac方程的解决方案。
2020-03-18 math.CA
