Quadratic algebras and integrable chains
使用Krichever-Phong的通用公式，我们表明，一个乘法表示线性化Sklyanin二次括号的多极Lax函数的谱参数。谱参数可以是有理数的，也可以是椭圆的。作为副产品，我们得到了一个Sklyanin代数在椭圆情况下的扩展。Krichever-Phong的公式提供了一个层次的辛结构，我们表明，存在一个非平凡的立方括号Sklyanin的情况下。
2009-10-26 math-ph math.MP
Veronese subsequent analytic solutions of the $\mathbb{C}P^{2s}$ sigma model equations described via Krawtchouk polynomials
本文的目的是建立二维Euclidean $\mathbb{C}P^{2s}$西格玛模型的Veronese后继解析解与正交Krawtchouk多项式之间的新关系。我们表明，这种解决方案的$\mathbb{C}P^{2s}$模型，定义在黎曼球面上，并具有有限的行动，可以明确参数化这些多项式。我们将得到的结果与$\mathbb{C}P^{2s}$西格玛模型，定义使用广义维尔斯特拉斯公式浸泡表面的分析。我们表明，这些表面是沉浸在$\mathfrak{su}(2s+1)$李代数领域，并表示其他几个几何特征的Krawtchouk多项式。最后，详细探讨了$\mathfrak{su}(2)$自旋-s表象和$\mathbb{C}P^{2s}$模型之间的一种新的联系。它表明，对于任何给定的全纯向量函数在$\mathbb{C}^{2s+1}$书面作为Veronese序列，它是可能的，以获得后续的解决方案的$\mathbb{C}P^{2s}$模型通过代数递归关系，原来是简单的比文献中已知的解析关系。
2019-09-22 math-ph math.MP
Skew Howe duality and q-Krawtchouk polynomial ensemble
考虑外代数$\bigwedge\left(\mathbb{C}^{n}\otimes \left(\mathbb{C}^{k}\right)^{*}\right)$作为$GL_{n}\times GL_{k}$模的不可约分支的分解。不可约的$GL_{n}\times GL_{k}$表示由杨氏图对$(λ,\barλ')$参数化，其中$\barλ'$是$n\times k$矩形内$λ$的互补共轭图。我们将图的概率设置为相应不可约分量的特征标的归一化特化。对于主特化，我们得到的概率等于不可约分量的$q$ -维数与外代数的$q$ -维数之比。我们证明，这种概率分布可以描述的q-Krawtchouk多项式合奏。当$n,k$趋于无穷大和$q$趋于1时，我们导出了极限的形状，并证明了极限波动的中心极限定理.
2022-08-22 math-ph math.MP math.PR
Sklyanin algebras and a cubic root of 1
本文考虑具有3个生成元的Sklyanin代数$S$，它是域$\K$上的具有$3$生成元$x,y,z$的二次代数，由$3$关系$pxy+qyx+rzz=0$，$pyz+qzy+rxx=0$和$pzx+qxz+ryy=0$给出，其中$p,q,r\in\K$ .这类代数受到了广泛的关注。特别是，使用工具从代数几何阿廷，泰特和范登伯格\cite{ATV2}表明，如果至少有两个参数$p$，$q$和$r$是非零和至少有两个三个数字$p^3$，$q^3$和$r^3$是不同的，那么$S$是阿廷-Schelter规则。更具体地说，$S$是Koszul，并且具有与3不定式中的交换多项式代数相同的希尔伯特级数。它已成为普遍接受的是，这是不可能实现相同的目标，纯粹的代数和组合手段，如Gröbner基础技术。作者以前已经消除了这种信念。然而，我们以前的证明并不比基于代数几何的证明复杂。它在$S$上的一个合适的单侧模中使用了Gröbner基的构造，并且有相当多的情况要考虑。在本文中，我们展示了一个线性替代后，它成为可能，以确定领导单项式的减少Gröbner基础的理想的关系$S$本身（而不通过一个模块）。我们还发现明确（在参数方面）Sklyanin代数是同构的。新技术的唯一缺点是，如果地面场的特性等于3，它就失败了。
2021-08-13 math-ph math.AG math.GR
$\mathbb{C}P^{2S}$ sigma models described through hypergeometric orthogonal polynomials
本文的主要目的是建立二维欧氏$\mathbb{C}P^{2S}$西格玛模型的Hermitian秩-1投影解与称为Krawtchouk多项式的特殊超几何正交多项式之间的新联系。我们表明，任何这样的投影仪解决方案的$\mathbb{C}P^{2S}$模型，定义在黎曼球面上，并有一个有限的行动，可以明确参数化这些多项式。我们将这些结果与$\mathbb{C}P^{2S}$模型定义的广义维尔斯特拉斯公式浸泡的表面分析。我们表明，这些表面同胚的领域的$\mathfrak{su}(2s+1)$代数，并表示其他几个几何特征的Krawtchouk多项式。最后，$\mathfrak{su}(2)$自旋-s表示和$\mathbb{C}P^{2S}$模型之间的联系进行了详细探讨。
2019-08-19 math-ph math.MP nlin.SI
Orthogonal polynomials and the deformed Jordan plane
考虑具有两个生成元$\mathcal{X}$，$\mathcal{Z}$的酉结合代数$\mathcal{A}$服从定义关系$[\mathcal{Z},\mathcal{X}]=\mathcal{Z}^2+Δ$ .我们构造了$\mathcal{A}$的不可约三对角表示。根据参数$Δ$的值，这些表示与para-Krawtchouk、连续Hahn、Hahn或雅可比多项式的雅可比矩阵相关联。
2021-04-28 math-ph math.MP math.RA
Multivariate Kawtchouk polynomials as Birth and Death polynomials
本研究将多元Krawtchouk多项式显式构造为最近邻生灭多项式，推导其对应的生灭过程参数、平稳分布及差分方程，明确其超几何函数类型，并建立双变量Rahman多项式的对偶关系。
2023-10-08 math-ph math.CA math.MP
Para families of orthogonal polynomials
Université de Montréal（蒙特利尔大学）；Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montréal（蒙特利尔大学数学研究中心）；CNRS（法国国家科学研究中心）；University of Miami（迈阿密大学）；Department of Physics, University of Miami（迈阿密大学物理系）；Laboratoire d’Annecy de Physique Théorique（阿讷西理论物理实验室）
该论文研究了para族正交多项式（源于自旋链设计），证明其对应代数表示可约，分解为两个不可约模，并用经典多项式表达，统一解释了其性质与构造。
2026-10-26 math-ph math.MP math.RT
Bispectrality of the Complementary Bannai-Ito Polynomials
得到了一类以互补Bannai-Ito多项式为特征函数的单参数算子族。CBI多项式是Bannai-Ito多项式的核伙伴，并且还对应于Askey-Wilson多项式的$q\rightarrow-1$极限。CBI多项式的本征值方程包含二阶Dunkl移位算子和反射，并具有二次谱。给出了与CBI多项式相关的代数，并将其看作是具有对合的Askey-Wilson代数的变形。本文还讨论了CBI多项式与最近发现的对偶Hahn多项式和para-Krawtchouk多项式之间的关系，以及它们与对称Hahn多项式之间的关系。
2013-03-02 math-ph math.CA math.MP
The Dunkl oscillator in the plane II : representations of the symmetry algebra
第一部分研究了平面Dunkl振子模型的超可积性、波函数和重叠系数。这里的有限维表示的对称代数的系统，称为Schwinger-Dunkl代数sd（2），进行调查。代数sd（2）有六个生成元，包括两个对合和一个中心元，可以看作是李代数u（2）的变形。其中两个对称生成元J_3和J_2分别与笛卡尔坐标和极坐标中的变量分离有关。利用抛物声波产生/湮灭算子，构造了sd（2）表示的两种基：笛卡尔基和圆基.在笛卡尔基中，算子J_3是对角的，而算子J_2以三对角的方式作用。在循环基中，算子J_2是块上三角形，所有块都是2x2，算子J_3以三对角方式作用。两个基之间的展开系数由Krawtchouk多项式给出。在一般情况下，J_2在循环基中的特征向量由Heun多项式生成，其分量用para-Krawtchouk多项式表示。在完全迷向的情况下，J_2的特征向量由小-1 Jacobi多项式或普通Jacobi多项式生成。然后考虑算子J_2是对角的基。在此基础上，Schwinger-Dunkl代数的定义关系意味着J_3以块三对角方式作用，所有块都是2x2。给出了该基中J_3的矩阵元。
2013-02-25 math-ph math.MP
Yang-Baxter equation, parameter permutations, and the elliptic beta integral
本文构造了秩为1的Yang-Baxter方程（YBE）的无穷维解，该方程表示为一个作用在两个复变函数空间中的具有椭圆超几何核的积分算子.这个R-算子交织了与Sklyanin代数相关的两个标准L-算子的乘积，Sklyanin代数是sl（2）-代数的椭圆变形。它由三个基本算子$\mathrm{S}_1, \mathrm{S}_2$和生成四个参数$\mathfrak{S}_4$的置换群的$\mathrm{S}_3$构建而成。关键Coxeter关系（包括星三角关系）的有效性是基于椭圆β积分计算公式和与椭圆傅立叶变换相关的贝利引理。借助于椭圆模双元唯一地确定了算子$\mathrm{S}_j$。
2013-05-31 hep-th math-ph math.MP
Free-Fermion entanglement and orthogonal polynomials
我们提出了一个简单的三对角矩阵$T$的建设，可与跳跃矩阵的纠缠哈密顿量${\cal H}$的开放有限的自由费米子链与家庭的离散正交多项式。它是基于代数Heun算子的概念附加到双谱问题，纠缠研究和时间和频带限制的理论之间的平行。作为例子，我们考虑费米子链相关的Chebychev，Krawtchouk和对偶哈恩多项式。对于前一种情况，这对应于一个齐次链，我们的建设的结果与最近的结果相吻合的Rewler和Peschel;后一种情况下产生特定的非齐次链的交换运营商。由于$T$是三对角的和非简并的，所以它可以容易地在数值上对角化，这又可以用于计算${\cal H}$的谱，从而计算纠缠熵。
2019-08-14 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
The $q-$Onsager algebra and multivariable $q-$special functions
本文构造了生成q-Onsager代数同态像的两组相互对易q-差分算子，发现其公共本征函数为Pochhammer函数的纠缠乘积，并揭示了对偶基之间的重叠系数由q-Racah及对偶q-Krawtchouk多项式描述。
2024-02-21 math-ph math.MP math.QA
