The $\mathfrak{su}(2)$ Krawtchouk oscillator model under the ${\cal C}{\cal P}$ deformed symmetry
本文定义了一个新的代数，它可以形式上看作是一个${\cal C}{\cal P}$变形的$\mathfrak{su}(2)$李代数.然后，我们提出了一个一维量子振子模型，其中奇偶态的波函数用Krawtchouk多项式表示，并固定了$p=1/2$、$K_{2n}(k;1/2,2j)$和$K_{2n}(k-1;1/2,2j-2)$。模型的动力学对称性是新引入的$\mathfrak{su}(2)_{{\cal C}{\cal P}}$代数。该模型本身产生了一个有限的和离散谱的所有物理算子（如位置和动量）。在一组有限的振荡器模型中，它是唯一的，在这个意义上说，任何特定的限制减少到一个已知的振荡器模型不存在。
2015-02-02 math-ph math.DS math.MP
The multivariate Charlier polynomials as matrix elements of the Euclidean group representation on oscillator states
一个家庭的多元正交多项式推广的标准（单变量）Charlier多项式出现在矩阵元素的酉表示的欧几里德群E（d）的振荡器状态。这些多项式在d个离散变量的d泊松分布的乘积上是正交的。重点放在d=2的情况下和组理论的设置是用来获得的多项式的主要属性：正交性和递归关系，差分方程，提高/降低关系，生成函数，超几何和积分表示和明确的表达标准的Charlier和Krawtchouk多项式。该方法被认为是直接扩展到任意数量的变量。利用SO（3）到E（2）的收缩证明了二元Charlier多项式对应于二元Krawtchouk多项式的一个极限。
2014-04-04 math-ph math.MP
$q$-Rotations and Krawtchouk polynomials
在涉及两个独立的$q$ -振子的$\mathcal{U}_{q}(sl_{2})$的Schwinger实现的框架下，给出了单变量量子$q$ -Krawtchouk多项式的代数解释.多项式出现作为酉“$q$ -旋转”运营商表示为$q$ -指数的$\mathcal{U}_{q}(sl_{2})$发电机的矩阵元素。利用代数设定，导出了多项式的性质（正交关系、母函数、结构关系、递推关系、差分方程）。通过对偶关系将结果推广到另一类多项式，即仿射$q$ -Krawtchouk多项式.
2014-11-26 math-ph math.MP math.QA
Spin lattices, state transfer and bivariate Krawtchouk polynomials
本文考察三角形区域上的二维自旋晶格，利用二元 Krawtchouk 多项式刻画可精确求解的单激发动力学，从而揭示其量子态转移性质。
2014-10-17 math-ph math.MP quant-ph
Matrix elements of $SO(3)$ in $sl_3$ representations as bispectral multivariate functions
本文计算了 $sl_3$ 任意有限维不可约表示中 $SO(3)$ 的矩阵元，将其表示为 Krawtchouk 和 Racah 多项式乘积的双重求和，并通过三维旋转分解与 $sl_2$ 嵌入证明了其递推与代数性质。
2023-10-19 math-ph math.MP math.RT
The multivariate Meixner polynomials as matrix elements of $SO(d,1)$ representations on oscillator states
多元梅克斯纳多项式的出现作为矩阵元素的酉表示的$SO(d,1)$组振荡器状态。这些多项式依赖于$d$离散变量，并且相对于负多项式分布正交。重点放在双变量的情况下，SO（2，1）连接是用来推导的多项式的主要性质：正交关系，升降关系，生成函数，递归关系和差分方程，以及明确的标准（单变量）Krawtchouk和Meixner多项式的表达式。解释了这些结果如何直接推广到$d$变量。
2014-07-02 math-ph math.MP
A superintegrable discrete harmonic oscillator based on bivariate Charlier polynomials
提出了二维各向同性谐振子的一个简单离散模型。它是超可积的，su（2）是它的对称代数。它是借助于二元Charlier多项式的代数性质构造的。这增加了其他离散超可积模型的振荡器的基础上Krawtchouk和Meixner正交多项式在几个变量。
2015-12-10 math-ph math.MP
A superintegrable finite oscillator in two dimensions with SU(2) symmetry
介绍了二维量子各向同性振子的超可积有限模型。它定义在一个均匀的三角形格子上。模型的运动常数形成SU（2）对称代数。发现动力学差分本征值方程可以用产生算符和湮灭算符表示。哈密顿量的波函数用两个已知的二元Krawtchouk多项式族来表示; Rahman多项式族和Tratnik多项式族。这些多项式形成SU（2）不可约表示的基。进一步证明了这些族的本征值方程对通过SU（2）自同构相互关联。本文还介绍了一个各向异性振子的有限模型，它的波函数用相同的拉赫曼多项式表示。在连续极限下，当网格点数趋于无穷大时，得到了标准的二维谐振子。分析提供了二元Krawtchouk多项式的$N\rightarrow \infty$极限作为一元Hermite多项式的乘积。
2012-08-20 math-ph math.CA math.MP
The Dunkl oscillator in the plane II : representations of the symmetry algebra
第一部分研究了平面Dunkl振子模型的超可积性、波函数和重叠系数。这里的有限维表示的对称代数的系统，称为Schwinger-Dunkl代数sd（2），进行调查。代数sd（2）有六个生成元，包括两个对合和一个中心元，可以看作是李代数u（2）的变形。其中两个对称生成元J_3和J_2分别与笛卡尔坐标和极坐标中的变量分离有关。利用抛物声波产生/湮灭算子，构造了sd（2）表示的两种基：笛卡尔基和圆基.在笛卡尔基中，算子J_3是对角的，而算子J_2以三对角的方式作用。在循环基中，算子J_2是块上三角形，所有块都是2x2，算子J_3以三对角方式作用。两个基之间的展开系数由Krawtchouk多项式给出。在一般情况下，J_2在循环基中的特征向量由Heun多项式生成，其分量用para-Krawtchouk多项式表示。在完全迷向的情况下，J_2的特征向量由小-1 Jacobi多项式或普通Jacobi多项式生成。然后考虑算子J_2是对角的基。在此基础上，Schwinger-Dunkl代数的定义关系意味着J_3以块三对角方式作用，所有块都是2x2。给出了该基中J_3的矩阵元。
2013-02-25 math-ph math.MP
Generalized squeezed-coherent states of the finite one-dimensional oscillator and matrix multi-orthogonality
得到了有限u（2）振子的一组广义压缩相干态。这些状态被给出为模式本征态的线性组合，其振幅由su（2）生成元中指数的矩阵元素确定。这些矩阵元素是在有限振子本征态的（N+1）维基中给出的，并且可以看出涉及离散变量k中的3 × 3矩阵多正交多项式Q_n（k），它们以Krawtchouk多项式和矢量正交多项式作为它们的构造块。代数设置允许这些多项式的特征和计算的平均值的压缩相干态。当N趋于无穷大且离散振子接近标准谐振子时，多项式趋于2 × 2矩阵正交多项式，压缩相干态趋于标准谐振子态。
2012-05-08 math-ph math.MP
Multivariate Kawtchouk polynomials as Birth and Death polynomials
本研究将多元Krawtchouk多项式显式构造为最近邻生灭多项式，推导其对应的生灭过程参数、平稳分布及差分方程，明确其超几何函数类型，并建立双变量Rahman多项式的对偶关系。
2023-10-08 math-ph math.CA math.MP
Analytically solvable Hamiltonians for quantum systems with a nearest neighbour interaction
我们考虑由n个谐振子组成的线性链通过形式为$-q_r q_{r+1}$（$q_r$指的是第$r$振子的位置）的最近邻相互作用耦合而成的量子系统。原则上，这样的系统总是数值可解的，并涉及相互作用矩阵的特征值。在本文中，我们研究这样的系统是解析可解的，即当相互作用矩阵的特征值和特征向量有解析封闭表达式。这是当相互作用矩阵与离散正交多项式系统的雅可比矩阵重合时的情况。我们的研究可能的系统导致三个新的解析可解的哈密顿量：与Krawtchouk相互作用，哈恩相互作用或q-Krawtchouk相互作用。对于每一种情况，我们给出了哈密顿量的谱（解析形式），并讨论了谱的一些典型性质。
2009-02-13 hep-th math-ph math.MP
The multivariate Hahn polynomials and the singular oscillator
Karlin和McGregor的d变量Hahn多项式出现在（d+1）维奇异振子模型中，作为与笛卡尔和超球坐标中的变量分离相关的基之间的重叠系数。这些多项式在d个离散变量依赖于d+1个实参数，并且关于多维超几何分布是正交的。重点放在d=2的情况下，与三维奇异振子的联系被用来导出多项式的主要性质：前/后移算子，正交关系，生成函数，递归关系，双谱（差分方程）和显式的单变量Hahn多项式.这些结果的扩展到任意数量的变量的文件的末尾。
2015-01-06 math-ph math.CA math.MP
The Wigner distribution function for the $\mathfrak{su}(2)$ finite oscillator and Dyck paths
最近，一个新的定义的维格纳分布函数的一维有限量子系统，其中的位置和动量算子有一个有限的（无多重性）的频谱，被开发。该分布函数定义在离散相空间（有限正方形网格）上，因此可以称为维格纳矩阵。在目前的文件中，我们计算这个维格纳矩阵（或者更确切地说，前维格纳矩阵，这是一个简单的矩阵乘法的维格纳矩阵）的情况下，$\mathfrak{su}(2)$有限振荡器。矩阵元素的第一个表达式涉及Krawtchouk多项式的平方和，并遵循标准技术。我们还设法提出了第二种解决方案，其中矩阵元素是Dyck多项式的评估。这些Dyck多项式是根据众所周知的Dyck路径定义的。前维格纳矩阵元素的这种组合表达式变得特别简单。
2016-12-22 math-ph math.MP quant-ph
Multivariate Meixner polynomials as Birth and Death polynomials
本研究基于Plamen Iliev框架将多元Meixner多项式显式构造为生灭多项式，给出对应生灭过程的率、平稳分布、差分方程及超几何函数表示，其构造与多元Krawtchouk多项式高度相似。
2023-10-08 math-ph math.CA math.MP
