Integral transformation of Heun's equation and some applications
已知产生第六个Painlevé方程的Fuchsian微分方程通过欧拉积分变换对应于具有不同参数的Fuchsian微分方程，并且Heun方程也通过欧拉积分变换对应于具有不同参数的Heun方程。在本文中，我们详细研究的对应关系。调查后的对应monodromy，它表明，多项式型的解决方案的存在对应于一个奇点的apparency（非分支）。对于Heun方程的椭圆表示，对应于monodromy意味着等谱对称。我们将对称性应用到有限能隙势中，用一些尚未被研究过的参数来表示Heun方程的单值性。
2014-12-29 math-ph math.CA math.MP
Associated Stieltjes-Carlitz polynomials and a generalization of Heun's differential equation.
生成函数的Stieltjes-Carlitz多项式是一个解决方案Heun的微分方程和使用这种关系Carlitz是第一个得到确切的封闭形式的一些Heun职能。同样，相关的Stieltjes-Carlitz多项式导致一个新的微分方程，我们称之为相关Heun。由于与正交多项式的联系，我们能够推导出两个积分关系连接相关Heun函数与不同的参数，并展示了一组相关Heun函数，推广Carlitz的。作者利用其中的一部分结果导出了Stieltjes-Carlitz多项式的正交性测度的斯蒂尔切斯变换，在此给出了这一结果的一个新的推导.
1993-07-08 math.CA
Middle Convolution and Heun's Equation
Heun方程自然出现的特殊情况下Fuchsian系统的微分方程秩二与四个奇点通过引入空间的初始条件的第六Painlevé方程。Fuchsian系统的中卷积与Heun方程的积分变换有关。
2009-04-03 math-ph math.CA math.MP
Heun equation and Painlevé equation
通过考虑一类Fuchsian微分方程的单值性，将第六类Painlevé方程的双参数解与Heun方程的有限间隙解联系起来.在附录中，我们给出了椭圆模函数的微分公式，并直接得到了第六类Painlevé方程的椭圆形式。
2005-03-15 math-ph math.CA math.MP
On zeros of polynomials associated with Heun class equations
本文研究Heun类方程局部解系数中附加参数多项式的零点，通过数值计算获得相关谱数据。
2025-10-24 math-ph math.CA math.MP
Distributional Solution and Spectral Shift Function of Heun Differential Equation
该研究将Heun算子纳入SL(2,C)李代数的泛包络代数框架，并利用群上Fourier变换求其精确可解算子的Green函数与谱移位函数。
2024-12-07 math.CA
Orthogonal Polynomials, Asymptotics and Heun Equations
Painlevé方程源于对矩矩阵生成的Hankel行列式的研究，矩矩阵的权重表示为"经典”权重乘以适当的"变形因子”的乘积，通常取决于"时间变量“$t$。从梯形算子中可以得到系数为有理函数的正交多项式的二阶线性常微分方程。Painlevé和相关的功能出现作为这些合理的功能的残留物。我们将感兴趣的情况下，当$n$，汉克尔矩阵的阶数和多项式$P_n(x)$的次数正交于变形的权重，变大。证明了当$n$较大时，$P_n(x)$满足的二阶线性微分方程是Heun方程的特例.在某种意义上，由变形权生成的一元正交多项式是各种Heun方程的解. Heun方程在数学物理中具有重要意义，在特殊情况下，Heun方程退化为超几何和汇合型超几何方程。在本文中，我们看看三种类型的权重：Jacobi型，这是支持$(0,1]$的Laguerre型和变形的$(a,b)$ $χ_{(a,b)}$和阶跃函数$θ(x)$的指示函数的权重。
2019-05-13 math-ph math.CA math.MP
From Heun Class Equations to Painlevé Equations
本文的第一部分讨论了复域上的二阶线性微分方程，特别是Heun类方程，即Heun方程及其融合情形。本文的第二部分主要讨论Painlevé I-VI方程。我们的哲学是以统一的方式处理这些方程族。这种哲学对于Heun类方程尤其有效。我们讨论了它的分类为5超型，细分为10种类型（不计算平凡的情况下）。我们还介绍了统一的方式变形Heun类方程，其中包含一个额外的非对数奇异性。我们证明了变形Heun类方程和所有Painlevé方程之间有直接的关系。特别地，Painlevé方程也可以被划分为5个超类型，并被细分为10个类型。这种关系并不容易以完全统一的方式描述，因为“时间变量”的选择可能取决于类型。我们描述了几个可能的“时间变量”的统一处理。
2021-06-07 math-ph math.CA math.MP
Novel representation of the general Heun's functions
本文介绍并研究了一般Heun方程的一类新的解。我们的方法是基于Heun的微分方程的对称形式所产生的发展的费利克斯克莱因对称形式的Fuchsian方程与任意数量的$N\geq 4$的定期奇点。我们导出了这些方程的对称群，它是Mobius群的适当推广。本文还介绍和研究了一般Heun微分方程（N=4）的对称形式的新的级数解，它同时且平等地对待所有奇点。希望这种新的形式将简化解决现有的开放问题的理论中的一般Heun的功能，并可用于发展新的有效的计算方法。
2014-09-16 astro-ph.HE gr-qc math-ph
Series solutions of Heun-type equation in terms of orthogonal polynomials
引入一个九参数Heun型微分方程，得到了它的三类解，它们是用雅可比多项式表示的平方可积〔的〕函数的级数。级数的展开系数满足三项递推关系，可采用连续和/或离散谱的正交多项式求解。其中一些是众所周知的多项式，而另一些则是已知多项式的新版本或修改版本。
2018-06-12 math-ph math.CA math.MP
Integral transformation and Darboux transformation
本文综述Heun微分方程的Darboux-Crum变换。通过将Heun微分方程的一个积分变换改写成椭圆函数的形式，我们发现该整表示是Darboux-Crum变换的推广。我们还考虑了关于变换的单值守恒性。
2009-11-11 math-ph math.CA math.MP
The Two-Point Connection Problem for a Sub-Class of the Heun Equation
本文讨论Heun型微分方程的两点联络问题.我们采用围道积分方法来获得连接矩阵的Heun方程包含3个自由参数的一个子类。的连接系数的显式表达式被发现。
2013-10-17 math.CA
Accessory Parameter of Confluent Heun Equations, Voros Periods and classical irregular conformal blocks
The University of Tokyo（东京大学）；Kanazawa University（金泽大学）
本文通过Voros周期推导连通Heun方程的附加参数形式级数展开，并将其与Bonelli等人的经典共形块进行比较，探讨Zamolodchikov型猜想，扩展了Mironov等人的工作，给出了选择谱曲线循环以获得共形块的详细方法。
2026-05-07 math-ph math.CA math.MP
Degenerations of $q$-Heun equation
本文通过若干q-Painlevé方程相关的线性q-差分方程，系统构造了q-Heun方程的合流、双合流与二重合流退化形式，并研究了它们到相应微分方程的极限过程。
2025-05-11 math.CA
Normalization Integrals of Orthogonal Heun Functions
本文提出一种基于微分方程极限过程的方法，利用局部幂级数解及其导数显式计算正交Heun函数的归一化积分，为构建标准正交基提供高效替代方案。
1997-07-14 cs.NA funct-an math-ph
Elementary Integral Series for Heun Functions. With an Application to Black-Hole Perturbation Theory
Heun微分方程是最一般的具有四个正则奇点的二阶Fuchsian方程。显式积分级数表示的Heun函数只涉及初等被积函数迄今为止是未知的，并指出作为一个重要的公开问题，在最近的审查。我们提供显式积分表示的Heun类的所有方程的解决方案：一般，合流，双合流，双合流和triconfluent，与积分只涉及有理函数和指数被积。所有系列都有具体的使用示例。这些结果源于技术的路径和，我们用它来评估的路径有序指数的变量矩阵选择专门产生Heun功能。我们证明了效用的积分系列的Teukolsky径向方程的解决方案的第一个代表性的度量扰动旋转黑洞，是收敛的地方从黑洞地平线到空间无穷大。
2020-10-08 gr-qc math-ph math.CA
Degenerations of Ruijsenaars-van Diejen operator and q-Painleve equations
已知Painleve VI是通过一些线性微分方程的保持连接变形得到的，Heun方程是通过线性微分方程的特殊化得到的。我们研究了Ruijsenaars-van Diejen差分算子的退化，并给出了Painleve-Heun对应的差分类似物.
2017-05-08 math-ph math.CA math.MP
Impossibility of convergence of a confluent Heun function on the boundary of the disc of convergence
合流Heun方程是Heun微分方程的4种合流形式之一，其中Heun方程是具有4个正则奇点的二阶Fuchsian方程。合流Heun函数适用于旋转/非旋转黑洞理论、厚膜字规范理论、Stark效应下氢分子离子的Schr $\ddot{\mbox{o}}$ dinger方程等许多领域.合流Heun函数由三项递推关系的幂级数组成，并证明了函数在收敛盘的边界上是发散的.
2020-02-07 math.CA
The power series expansion of Mathieu function and its integral formalism
Mathieu常微分方程具有两个正则奇点和一个非正则奇点，属于Fuchsian型。而Fuchsian型Heun方程则具有四个正则奇点。Heun方程有四种汇合形式：（1）汇合Heun（两个正则奇点和一个非正则奇点），（2）双汇合Heun（两个非正则奇点），（3）双汇合Heun（一个正则奇点和一个非正则奇点），（4）三汇合Heun方程（一个非正则奇点）.从Confluent Heun方程出发，通过改变所有系数，导出了代数形式的Mathieu方程。本文将三项递推公式[arXiv：1303.0806]应用于Mathieu方程的幂级数展开式及其包含A_n的所有高阶项的无穷级数积分形式。从计算中得到的一个有趣的观察是，一个修正的贝塞尔函数在每一个子积分形式中递归：第一个子积分形式包含A_n的零项，第二个子积分形式包含A_n的一项，第三个子积分形式包含A_n的两项，等等。第五节是Mathieu函数的另外两个例子。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章10篇中的第5篇。请参阅第6节中的所有论文系列。上一篇系列论文涉及Heun函数的渐近行为及其积分形式[arXiv：1303.0876]。该系列的下一篇论文描述了代数形式和积分形式的Lame方程的封闭形式的幂级数展开[arXiv：1303.0873]。
2014-11-05 math-ph math.CA math.MP
Josephson Effect and Isomonodromic Deformations
考虑了与Josephson效应有关的双汇流Heun方程的一些性质。特别地，我们证明了参数平面上的锁相区域的邻接点可以通过Painleve 3方程的贝塞尔解的极点来描述。
2021-09-14 math.CA math.DS
P-symbols, Heun Identities, and 3F2 Identities
探讨了Riemann P-符号在推导包含参数化特殊函数H1的恒等式中的有用性。H1是Heun方程的解析局部解，Heun方程是黎曼球面上具有四个正则奇点的正则二阶微分方程。所讨论的恒等式包括来自Moebius自同构和F-同伦的恒等式，以及二次和双二次变换的恒等式。研究了H1与3F 2型广义超几何函数相同的情形，导出了3F 2（a 1，a 2，e+1; b 1，e;x）的Pfaff变换和欧拉变换.它们推广了Bailey和Slater的几个3F 2恒等式。
2007-12-30 math.CA
Hilbert-Schmidt Operators vs. Integrable Systems of Elliptic Calogero-Moser Type III. The Heun Case
Heun方程可以重写为$-d^2/dx^2+V(g;x)$形式的常微分算子的本征值方程，其中势是依赖于耦合向量$g\in{\mathbb R}^4$的椭圆函数。或者，这个算子来自于$BC_N$椭圆非相对论Calogero-Moser系统的$BC_1$特化（也称为$BC_N$）。Inozemtsev系统）。在对椭圆周期和$g$的适当限制下，我们将Hilbert空间${\mathcal H}=L^2([0,ω_1],dx)$上的自伴算子$H(g)$与该算子相关联，其中$2ω_1$是$V(g;x)$的实周期。对于这种关联和进一步分析$H(g)$，${\mathcal H}$上的特定Hilbert-Schmidt算子${\mathcal I}(g)$起着关键作用。特别地，利用$H(g)$和${\mathcal I}(g)$的密切关系，我们得到了一个显著的谱不变性：对于线性依赖于$g$的耦合向量$c\in{\mathbb R}^4$，$H(g(c))$的谱在任意排列$σ(c)$，$σ\in S_4$下是不变的。
2009-04-21 math-ph math.CA math.MP
The 192 Solutions of the Heun Equation
给出了Heun方程的192个局部解的机器生成列表。它们类似于库默尔的高斯超几何方程的24个解，因为这两个方程分别是黎曼球面上具有四个和三个奇点的正则Fuchsian微分方程。通过将具有n个奇点的方程的自同构群确定为Coxeter群D_n，使制表变得容易。192个表达式中的每一个都由D_4的元素标记。其中24个是局部Heun函数H1的等价表达式，并证明了H1的24阶变换群同构于对称群S_4.同构将每个变换编码为抽象四元素集的置换，而不是与奇点集相同。
2006-03-14 math.CA
$q$-Middle Convolution and $q$-Painlevé Equation
一个$q$ -变形的中间卷积是由Sakai和Yamaguchi提出的。我们将其应用到与$q$ -Painlevé VI方程相关的线性$q$ -差分方程。然后我们得到积分变换。利用$q$ -Painlevé VI方程的仿射外尔群对称性研究了$q$ -中间卷积.我们推导了$q$ -Heun方程的一个积分变换。
2022-07-20 math-ph math.CA math.MP
Orthogonal polynomials: from Heun equations to Painlevé equations
本文研究了四种权函数对应的正交多项式，给出了其满足的二阶线性微分方程及Heun方程，利用等单值形变方法将其转化为Painlevé方程，并讨论了Hankel行列式的渐近行为。
2024-12-19 math.CA
A comparison of a few numerical schemes for the integration of stochastic differential equations in the Stratonovich interpretation
选取了三种表达式不太复杂的格式，用于Stratonovich解释下随机微分方程组的数值积分：Heun，Milstein和无导数Milstein积分法.通过比较$2^n$和$2^{n-1}$时间步长积分后的最终点，研究了每种方法的强（路径方向）收敛性。我们还比较了时间，计算机进行集成与每一个方案。把这两件事放在一起，我们得出结论，至少对于我们的系统，Heun方法是迄今为止性能最好的一个。
2011-02-22 math.CA physics.comp-ph
Liouvillian solutions for second order linear differential equations with Laurent polynomial coefficient
本文研究了具有Laurent多项式系数的一般二阶无迹微分方程的Liouville解的完全参数化问题。这一系列的方程，固定的订单在$0$和$\infty$的洛朗多项式，被视为一个仿射代数品种。证明了族中Picard-Vessiot可积微分方程的集合是代数子簇的可积并。我们显式地计算了它的组成部分的代数方程。我们给出了一些著名的子族的双重合流和双合流Heun方程，和理论的代数可解的潜在的薛定谔方程的应用。作为辅助工具，我们改进了二阶线性微分方程存在多项式解的一个判别准则。
2021-09-25 math-ph math.CA math.MP
Fuchsian equation, Hermite-Krichever Ansatz and Painlevé equation
将Heun方程的几个结果推广到一类Fuchsian微分方程.也就是说，我们得到了解的整表示，并在其上发展了Hermite-Krichever Answer。特别地，我们研究了线性微分方程通过单值保持变形产生Painlevé方程，得到了第六类Painlevé方程的解，其中包含Hitchin解.讨论了它与有限能隙势的关系。
2005-01-25 math-ph math.CA math.MP
Series solutions of linear ODEs by Newton-Raphson method on quotient $D$-modules
我们开发了一种$D-$模块方法，通过对不同的微分算子进行长除法来求解几类重要的微分方程的各种解。这种长除法的剩余映射的零处理的类似Hensel引理最近建立的赋值论。特别地，这解释了Heun方程的某些经典已知的特殊函数级数解与通常的Frobenius级数解的共同起源。此外，这些剩余映射也产生本征值问题，导致某些广义超几何算子的非平凡分解。
2021-11-17 math-ph math.CA math.MP
On the deformation of linear Hamiltonian systems
对于线性Hamilton $2n\times 2n$系统$J y'(x) = (λW(x)+H(x))y(x)$，我们研究了特征值$λ$如何依赖于系数矩阵$H$的元素的问题.这个问题转化为$H$的变形方程和特征值$λ$的偏微分方程。我们将我们的结果应用到各种例子中，包括广义的合流Heun方程和Ehrasekhar-Page角方程。我们主要关注的是$2\times 2$的情况下，为了减少$H$中的自由度尽可能多，我们将首先将这样的系统转换成一个互补的三角形形式，这是一个规范形式的自由参数的数量最少。此外，我们讨论了关系到monodromy保持变形和矩阵拉克斯对。
2021-02-08 math.CA nlin.SI
Painlevé IV, bi-confluent Heun equations and the Hankel determinant generated by a discontinuous semi-classical Laguerre weight
School of Mathematics and Statistics, Qilu University of Technology (Shandong Academy of Sciences)（齐鲁工业大学（山东省科学院）数学与统计学院）；College of Humanities and Education, Jiangmen Polytechnic（江门职业技术学院人文教育学院）
研究不连续半经典Laguerre权函数，推导出与Painlevé IV方程相关的递推系数，并揭示正交多项式满足双退化Heun方程。
2026-01-23 math.CA
The sixth Painleve transcendent and uniformization of algebraic curves
我们展示了Painleve列表的第六个方程和显式一致化代数曲线的无限族之间的显着联系。Fuchsian方程、群变换的同余、相应黎曼曲面上的函数和微分的微分学、阿贝尔积分、解析联系（Chazy方程的推广）以及这些曲线的均匀化的其他属性都可以得到。作为该理论的副产品，我们建立了Picard-Hitchin曲线、超椭圆曲线、穿孔环面、Heun方程和著名的微分方程之间的关系，而Aesthetic用该微分方程证明了Riemann zeta（3）的不合理性。
2015-12-04 math-ph math.CA math.CV
Geometric Brownian motion with affine drift and its time-integral
几何布朗运动及其时间积分的联合分布在Yor（1992）的一篇开创性论文中使用Lamperti变换导出，导致了修改的贝塞尔函数的显式解。在本文中，我们使用与Heun微分方程相关的简单拉普拉斯变换方法来重新审视这个经典结果。我们扩展的方法几何布朗运动与仿射漂移，并表明该过程的联合分布和它的时间积分可以确定的双合流Heun方程。进一步，由解的渐近性导出了过程及其时间积分的联合拉普拉斯变换。此外，我们还将双汇流Heun方程的渐近性结果应用于亚式期权的定价.数值结果表明了该方法的准确性和有效性。
2020-12-17 math.CA math.PR q-fin.CP
Isomonodromic deformation of the linear differential system in the Birkhoff standard form
考虑Birkhoff标准式下的线性亚纯系统。讨论了Bolibruch提出的等单道形变的构造。这种结构由于在无穷远处存在共振不规则奇异性而具有一些特殊的性质。
2014-12-09 math.CA
Determinant structure for tau-function of holonomic deformation of linear differential equations
在我们以前的工作中，已经阐明了线性微分方程的Hermite两个逼近问题与Schlesinger变换之间的关系。本文利用Hermite的两个逼近问题研究了与线性微分方程完整变形有关的τ-函数。因此，我们提出了一个行列式公式的比例的τ-功能（τ-商）。
2018-06-19 math.CA nlin.SI
Deformations of differential equations
本研究针对线性微分方程的微扰问题，采用戴森型展开推导显式级数解，分析形变解的单值性与上同调上闭链的关联，还得到超几何方程无穷小形变下的一阶本征值修正及问题的自然界。
2025-09-03 math.AG math.CA
Differential Galois Theory and Isomonodromic Deformations
我们提出了一个几何设置的微分伽罗瓦论的$G$不变的连接参数。作为微分代数群和李代数丛的一些经典结果的应用，我们看到具有简单结构群$G$的含参数联络的伽罗瓦群是由它的等单点变形决定的.这使我们能够计算具有一般Fuchsian特殊线性系和Gauss超几何方程参数的伽罗瓦群。
2019-08-05 math.CA math.DG
Critical graph of a polynomial quadratic differential related to a Schrödinger equation with quartic potential
本文研究了一类具有四次振子和某些边界条件的Shrodinger方程的WKB技巧所得到的波函数在平面内的弱渐近性。第一步，我们对问题进行变换，得到WKB波函数的多项式部分所满足的Heun方程，特别地，我们研究了Schrodinger方程的重标解的根计数测度的Cauchy变换的性质，得到形式为$\mathcal{C}^{2}\left( z\right) +r\left( z\right) \mathcal{C}\left( z\right) +s\left( z\right) =0$的二次代数方程，其中$r,s$也是多项式。第二步讨论了该代数方程解的存在性（作为带号测度的Cauchy变换），这个问题仍然是描述一个相关的四次多项式二次微分方程$-p\left( z\right) dz^{2}$的临界图。特别是，我们讨论的存在性（和他们的数量）有限的临界轨迹，这个二次微分。
2017-12-17 math.CA
Deformations of Fuchsian Systems of Linear Differential Equations and the Schlesinger System
我们考虑由极点轨迹参数化的Fuchsian系统的全纯变形。众所周知，在剩余矩阵是非共振的情况下，当且仅当剩余矩阵满足关于参数的Schlesinger系统时，这样的变形是等单曲线的。没有非共振条件，这个结果失败：存在非Schlesinger isomodromic变形。本文介绍了Fuchsian系统的IsoprinNR形变类。每一个IsoprinNR变形也是一个isomonodromic。在一般情况下，类的isomonodromic变形比类的isoprinNR变形丰富得多，但在非共振的情况下，这些类重合。我们证明了一个变形是isoprinUNR如果且仅当剩余矩阵满足Schlesinger系统。这个定理在一般情况下成立，不需要对变形的剩余矩阵的谱作任何假设。一个明确的例子说明isomonodromic变形，这既不是isoprinNR也不是亚纯的参数，也给出了。
2005-06-16 math.AP math.CA
On Polynomial Solutions of Linear Differential Equations with Applications
对许多物理现象的分析可以归结为对多项式系数的微分方程的解的研究。本文建立了线性微分方程\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n} α_{k} \, r^{k} \, y''(r) + \sum_{k=0}^{n-1} β_{k} \, r^{k} \, y'(r) - \sum_{k=0}^{n-2} τ_{k} \, r^{k} \, y(r) = 0 \, , \end{equation*}对任意$n\geq 2$存在多项式解的充要条件。通过实例证明了对于$n \ge 3$，所给出的必要条件不足以保证多项式解的存在性.使用Scheffé的标准，我们表明，从这个微分方程有$n$ -一般方程可解的两项递归公式。给出了广义超几何函数形式的一般方程的封闭解。对于任意$n$微分方程，给出了三个初等定理和一个算法，以显式构造多项式解。该算法用于建立$n=4$情况下的多项式解。为了证明这种方法的简单性和适用性，它被用来研究Heun和Dirac方程的解决方案。
2020-03-18 math.CA
Resurgent Deformations for an Ordinary Differential Equation of Order 2
本文考虑复域上的微分方程$\displaystyle \frac{d^2}{d x^2} Φ(x) = \frac{P_m(x,\a)}{x^2}Φ(x)$，其中$P_m$是一个系数为$\a=(a_1, ..., a_m)$的一元$m$首一多项式函数.我们调查的渐近，复苏，在无穷远的解决方案的属性，特别是侧重于$\a$的斯托克斯-Sibuya乘数的解析依赖。考虑到原点处的非平凡单值性，我们导出了Stokes-Sibuya乘子的一组函数方程。我们展示了如何使用这些函数关系来计算一类多项式$P_m$的斯托克斯乘子。特别是，我们得到的条件时，$m=3$的isomonodromic变形。
2005-02-07 math.CA math.CV
