Linear complexity of generalized cyclotomic sequences of period $2p^{m}$
Yi Ouyang, Xianhong Xie
基于广义分圆理论，构造了两个周期为$2p^{m}$的广义分圆二元序列，并计算了它们的线性复杂度，证明了当$m\geq 2$ .
In this paper, we construct two generalized cyclotomic binary sequences of period $2p^{m}$ based on the generalized cyclotomy and compute their linear complexity, showing that they are of high linear complexity when $m\geq 2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Linear Complexity of Ding-Helleseth Generalized Cyclotomic Binary Sequences of Any Order
本文给出了任意阶二元Ding-Helleseth广义割圆序列的线性复杂度。
Autocorrelation and Linear Complexity of Quaternary Sequences of Period 2p Based on Cyclotomic Classes of Order Four
我们研究了周期为2p的新的四元分圆序列的线性复杂度和自相关性质。序列是通过四阶分圆类构造的。
Reduced-Complexity Reed--Solomon Decoders Based on Cyclotomic FFTs
在本文中，我们降低了计算复杂性的部分和对偶部分分圆FFT（CFFT），这是离散傅立叶变换的频谱和时间分量的约束，基于他们的属性，以及一个共同的子表达式消除算法。我们的部分CFFT实现较小的计算复杂性比以前提出的部分CFFT。利用我们的CFFT变换和时域里德-所罗门解码器，我们实现了显着的复杂性降低。
The 4-Adic Complexity of A Class of Quaternary Cyclotomic Sequences with Period 2p
在密码学中，希望周期为$N$的$\mathbb{Z}_m$上的序列具有较大的$m$ -adic复杂度.与二元情况相比，已知四元序列的4-adic复杂度的计算还没有得到很好的发展。本文确定了[6]中定义的周期为2的四元分圆序列$p$的4-adic复杂度。我们使用的主要方法是二次高斯和$G_{p}$值在$\mathbb{Z}_{4^N-1}$，它可以被看作是一个版本的经典二次高斯和。我们的结果表明，这类四元分圆序列的4-adic复杂度在$5\nmid p-2$时达到最大值，否则接近最大值。
Linear complexity over ${\mathbb{F}_{q}}$ and 2-adic complexity of a class of binary generalized cyclotomic sequences with low-value autocorrelation
利用广义分圆类构造了一类具有周期$2p$的二元序列，并利用高斯周期和群环理论确定了它们的线性复杂度、${\mathbb{F}_{q}}$上的极小多项式和2-adic复杂度.结果表明，当序列的线性复杂度为$p\equiv \pm 1(\bmod~8)$时，序列的线性复杂度达到最大值;当序列的线性复杂度为扩域上的$p\equiv \pm 3(\bmod~8)$时，序列的线性复杂度为{ $p$ +1}。此外，这些序列的2-adic复杂度是最大的。根据Berlekamp-Massey（B-M）算法和有理近似算法（RAA），这些序列在线性复杂度和2-adic复杂度方面具有很好的密码学性质。
Linear complexity of generalized cyclotomic sequences of order 4 over F_l
周期为pq的广义分圆序列具有几个理想的随机性质，如果适当地选择两个素数p和q。特别是，丁推导出精确的公式的自相关性和线性复杂性，这些序列的顺序2。本文研究了四阶广义序列。在一定的条件下，得到了有限域F_1上四阶序列的线性复杂度。结果表明，在许多情况下，他们有很高的线性复杂度。
Further results on the 2-adic complexity of a class of balanced generalized cyclotomic sequences
本文研究了周期为$pq$的平衡Whiteman广义割圆序列的2-adic复杂度。通过计算其中一个序列所构造的循环矩阵的行列式，得到了相应序列的2-adic复杂度的一个下界，进一步扩展了我们以前的工作（Zhao C，Sun Y and Yan T.一类平衡广义分圆序列的2-adic复杂度研究。Journal of Cryptologic Research，6（4）：455-462，2019）。结果表明，这类序列的2-adic复杂度足以抵抗带有进位移位寄存器（FCSR）的反馈有理近似算法（RAA）的攻击，即，它实际上是由$pq-p-q-1$下界的，$pq-p-q-1$远大于序列周期的一半。特别地，如果选择合适的参数，2-adic复杂度是最大的。
A lower bound on the 2-adic complexity of Ding-Helleseth generalized cyclotomic sequences of period $p^n$
设$p$是奇素数，$n$是正整数，$g$是$p^n$的原根.设$D_i^{(p^n)}=\{g^{2s+i}|s=0,1,2,\cdots,\frac{(p-1)p^{n-1}}{2}\}$，$i=0,1$是具有$Z_{p^n}^{\ast}=D_0\cup D_1$的广义分圆类.本文证明了对于$n\geq2$，基于$D_0$和$D_1$的高斯周期都等于0.作为应用，我们确定了一类周期为$p^n$的Ding-Helleseth广义分圆序列的2-adic复杂度的下界。结果表明，该序列的2-adic复杂度至少为$p^n-p^{n-1}-1$，大于$\frac{N+1}{2}$，其中$N=p^n$为序列的周期.
About the Linear Complexity of Ding-Hellesth Generalized Cyclotomic Binary Sequences of Any Period
给出了设计具有任意周期和高线性复杂度的广义割圆Ding-Helleseth序列的充分条件。并讨论了一般情况下Ding-Helleseth序列线性复杂度的计算方法。
Determination of the Autocorrelation Distribution and 2-Adic Complexity of Generalized Cyclotomic Binary Sequences of Order 2 with Period pq
周期为$n=pq$的广义分圆二元序列$S=S(a, b, c)$具有良好的自相关特性，其中$(a, b, c)\in \{0, 1\}^3$和$p, q$是不同的奇素数.对于某些情况，序列$S$具有理想或最佳自相关。本文利用群环语言和群环$R=\mathbb{Z}[Γ]$中二次高斯和的一种形式，统一地确定了所有$(a, b, c)\in \{0, 1\}^3$序列$S=S(a, b, c)$的自相关分布和2-adic复杂度，其中$Γ$是$n$阶循环群.
Computational Complexity of Cyclotomic Fast Fourier Transforms over Characteristic-2 Fields
分圆快速傅里叶变换是有限域上离散傅里叶变换的有效实现，在密码学和差错控制编码中有着广泛的应用。他们是非常感兴趣的，因为他们的低乘法和整体复杂性。然而，他们的优点是通过检查在文献中，并没有渐近的计算复杂性分析CFFT。它们的高加性复杂度也在硬件实现中引起困难。在本文中，我们推导出的CFFT的乘法和加法复杂性的界限，分别。我们的研究结果证实，CFFTs具有最小的乘法复杂度在所有已知的算法，而其添加剂的复杂性，使他们渐近次优。然而，CFFT仍然是有价值的，因为它们对于大多数实际长度具有最小的总体复杂性。我们的加法复杂性分析还导致了一个结构化的加法网络，它不仅具有低的复杂性，但也适合于硬件实现。
Autocorrelation values and Linear complexity of generalized cyclotomic sequence of order four, and construction of cyclic codes
设$n_1$和$n_2$是两个不同的素数，其中有$\mathrm{gcd}(n_1-1,n_2-1)=4$。本文计算了$4$阶广义分圆序列的自相关值。我们的结果表明，该序列可以有很好的自相关特性。确定了$\mathrm{GF}(q)$上广义分圆序列的线性复杂度和极小多项式，其中$q=p^m$和$p$是奇素数.我们的结果表明，该序列具有较大的线性复杂度。因此，该序列在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。我们利用这个序列的顺序$4$构造几类循环码在$\mathrm{GF}(q)$长度为$n_1n_2$。我们还得到了这些循环码的最小距离的下界。
Prime Factor Cyclotomic Fourier Transforms with Reduced Complexity over Finite Fields
有限域上的离散傅里叶变换在纠错编码中有着广泛的应用。因此，降低DFT的计算复杂性具有重要意义，尤其是对于长DFT，因为越来越长的差错控制码被选择用于数字通信和存储系统。由于DFT涉及有限域上的乘法和加法，并且乘法比加法复杂得多，最近提出的分圆快速傅里叶变换（CFFT）由于其低乘法复杂度而很有前途。不幸的是，它们具有非常高的加法复杂性。诸如公共子表达式消除（CSE）之类的技术可以用于降低CFFT的加性复杂度，但是它们对于长DFT的有效性受到它们的复杂度的限制。在本文中，我们提出了素因子分圆傅立叶变换（PFCFTs），它使用CFFT作为子DFT通过素因子算法。当DFT的长度是素数时，我们的PFCFTs减少到CFFTs。当长度具有互质因子时，由于子DFT具有短得多的长度，这允许我们使用CSE来显著降低其加性复杂度。与以前提出的快速傅立叶变换相比，我们的PFCFTs实现了降低的整体复杂性时，DFT的长度至少为255，并改善显着增加的长度增长。这种方法还使我们能够提出具有非常长长度的高效DFT（例如，4095点），这是文献中第一个具有这种长度的高效DFT。最后，我们的PFCFTs也有利于硬件实现，由于其规则的结构。
Reduced-Complexity Decoder of Long Reed-Solomon Codes Based on Composite Cyclotomic Fourier Transforms
长RS码由于其改善的误码性能而被广泛应用于数字通信和存储系统中，但其译码器的高计算复杂性是其在实际应用中的主要障碍。由于离散傅立叶变换（DFT）可以在多个点处对多项式求值，因此有效的DFT算法在降低长RS码的基于校正子的解码器的计算复杂性方面是有希望的。在本文中，我们首先提出了部分复合分圆傅立叶变换（CCFT），然后设计基于校验子的解码器长RS码在大的有限域上的部分CCFT的基础上。基于部分CCFTs的新译码器对于长RS码实现了计算复杂性的显著节省。由于部分CCFT具有模块化和规则的结构，新的解码器适合于硬件实现。为了进一步验证和展示部分CCFT的优点，我们在硬件中实现了GF $(2^{12})$上的$(2720, 2550)$缩短RS码的伴随式计算块。与以前基于Horner规则的结果相比，我们的硬件实现不仅具有更少的门数，而且还实现了更高的吞吐量。
Cyclic codes from the first class two-prime Whiteman's generalized cyclotomic sequence with order 6
二阶和四阶的二元Whiteman割圆序列具有许多良好的随机性。本文计算了$d=6$阶第一类二素Whiteman广义分圆序列（WGCS-I）的自相关值和线性复杂度。结果表明，当$(n_1-1)(n_2-1)/36$为偶数或奇数时，该序列的自相关值为四值或五值，其中$n_1$和$n_2$是两个不同的奇素数，且它们的线性复杂度相当好.利用6阶双素WGCS-I构造了$\mathrm{GF}(q)$上几类长度为$n_1n_2$的循环码.我们还得到了这些循环码的最小距离的下界。
Linear Complexity of Geometric Sequences Defined by Cyclotomic Classes and Balanced Binary Sequences Constructed by the Geometric Sequences
在密码学中，需要伪随机数发生器来产生具有良好统计特性和不可预测性的伪随机数。m序列是有限域上具有最大周期的线性反馈移位寄存器序列。m序列具有很好的统计特性，但为了密码学的目的，必须对m序列进行非线性化。几何序列是通过将非线性前馈函数应用于m序列而给出的序列。Nogami，Tada和Uehara提出了一种由Legendre符号给出非线性前馈函数的几何序列，并给出了该序列的周期、周期自相关和线性复杂度。此外，Nogami等人提出了序列的推广，并显示了周期和周期自相关。本文首先研究了几何序列的线性复杂度。在描述几何序列线性复杂度的Chan--Games公式不成立的情况下，考虑补数序列、Hasse导数和分圆类，给出了新的公式.在一定条件下，由Sidel'nikov序列的线性复杂度的结果，可以保证几何序列具有较大的线性复杂度。几何序列在一定条件下具有长周期和大的线性复杂度，但不具有平衡性。为了构造具有平衡性质的序列，我们提出了几何序列及其补序列的交错序列。此外，我们还证明了该序列的周期自相关性和线性复杂度。所提出的序列具有平衡性，当几何序列的线性复杂度较大时，所提出的序列具有较大的线性复杂度。
A lower bound on the 2-adic complexity of modified Jacobi sequence
设$p,q$是满足$\mathrm{gcd}(p-1,q-1)=d$的不同素数，$D_i$，$i=0,1,\cdots,d-1$是具有$Z_{pq}^{\ast}=\cup_{i=0}^{d-1}D_i$的Whiteman广义分圆类.本文给出了基于广义分圆集$D_0^{\ast}=\sum_{i=0}^{\frac{d}{2}-1}D_{2i}$和$D_1^{\ast}=\sum_{i=0}^{\frac{d}{2}-1}D_{2i+1}$的高斯周期值。作为应用，我们确定了修正Jacobi序列的2-adic复杂度的一个下界。结果表明，修正Jacobi序列的2-adic复杂度至少为周期为$N=pq$的$pq-p-q-1$.这表明修正Jacobi序列的2-adic复杂度足以抵抗带有进位移位寄存器的反馈有理近似算法的攻击。
On the 2-Adic Complexity of the Ding-Helleseth-Martinsen Binary Sequences
本文利用有限域$\mathbb{F}_q$上的四阶分圆数、“高斯周期”和“二次高斯和”确定了Ding-Helleseth-Martinsen（DHM）二元序列的2-adic复杂度，其中$\mathbb{F}_q$是素数，$N=2q$是DHM序列的周期.
Autocorrelation of a class of quaternary sequences of period $2p^m$
本文利用 $\mathbb{Z}_{2p^m}$ 的广义分圆类构造了一类周期为 $2p^m$ 的新四元序列，基于阶为 $2$ 的分圆数确定了其自相关精确值，并证明该序列自相关最多有 $4$ 个值，为序列密码提供了良好随机性。
About the k-Error Linear Complexity over $\mathbb{F}_p$ of sequences of length 2$p$ with optimal three-level autocorrelation
本文研究了长度为$2p$的二进制序列在最优三层自相关下在$\mathbb{F}_p$上的$k$-错误线性复杂度。这些平衡序列是由四阶分圆类使用丁等人提出的方法构造的。
A kind of quaternary sequences of period $2p^mq^n$ and their linear complexity
高线性复杂度序列在密码学中有着广泛的应用。利用广义分圆类构造了一类新的周期为$2p^mq^n$的$\mathbb{F}_4$上的四元序列.结果表明，这些序列的线性复杂度达到最大。
On period polynomials of degree $2^m$ and weight distributions of certain irreducible cyclic codes
明确地确定了特征为$p\equiv 3$或$5\pmod{8}$的有限域的$2^m$、$m\ge 4$阶约化分圆周期的值.这些评价适用于获得相应的减少周期多项式的显式分解。作为另一个应用，本文描述了某些不可约循环码的权重分布。
The 4-Adic Complexity of Interleaved Quaternary Sequences of Even Length with Optimal Autocorrelation
Su等人提出了几类新的具有最佳自相关的偶数长度的四元序列，它们与\cite{S1}中的孪生素数序列偶、GMW序列偶或四阶二元割圆序列交织。本文利用相关函数和有限域$\mathbb{F}_n$上的四阶“高斯周期”及“二次高斯和”，并利用它们的值在$\mathbb{Z}^{*}_{4^{2n}-1}$中，确定了这类具有周期$2n$的四元序列的4-adic复杂度.我们的结果表明，他们是安全的，足以抵御有理近似算法的攻击。
The structure and enumeration of periodic binary sequences with high nonlinear complexity
本文研究了具有高非线性复杂度的周期二进制序列的结构与计数方法，推导出其数量的精确计数公式。
Further Investigations on Nonlinear Complexity of Periodic Binary Sequences
本文研究循环移位对有限长二元序列非线性复杂度的影响，揭示其与周期序列复杂度的明确关系，并提出两种算法生成具有任意指定非线性复杂度的所有周期二元序列。
On the 2-adic complexity of a class of binary sequences of period $4p$ with optimal autocorrelation magnitude
在\cite{W. Su}中，通过对Ding-Helleseth-Lam序列进行交织，构造了一类具有最佳自相关幅度的周期二进制序列$4p$.后来，范证明了这类序列的线性复杂度是相当好的\cite{C. Fan}。最近，Sun等人确定了这种序列\cite{Y. Sun3}的2-adic复杂度的上界和下界。我们确定这类序列的2-adic复杂度的确切值。结果表明，这类二元序列的2-adic复杂度接近最大值。
Maximum-order complexity and $2$-adic complexity
本文首次研究非周期情形下二元序列的第N个2-adic复杂度，建立其与第N个最大阶复杂度的下界关系，并刻画周期序列的最大阶复杂度及最大复杂度性质。
Linear Complexity of Binary Interleaved Sequences of Period 4n
具有良好自相关特性的二元周期序列在通信领域有着广泛的应用。在过去的几十年中，已经构造了许多系列的这样的二元序列。在密码学的应用中，要求这类二进制序列具有较大的线性复杂度。Tang和Ding \cite{X. Tang}提出了一种构造具有最佳自相关性的周期为4的二元序列系列$n$的方法。这种序列由两个具有周期$n\equiv 3\pmod 4$和理想自相关的任意二进制序列交织。本文给出了这类交错序列线性复杂度的一般公式。特别地，我们证明了周期为4的$n$序列的线性复杂度不大于$2n+2$ .通过对已知的几类具有理想自相关的二元序列（$m$序列、Legendre序列、孪生素数序列和Hall序列）的交织，给出了具有最大线性复杂度值$2n+2$的这类序列的许多序列，从而回答了N. Li和X.唐\cite{N. Li}。最后，在结论部分，我们表明，它可以很容易地看到，所有这样的交织序列的2-adic复杂度达到最大值$\log_{2}(2^{4n}-1)$。
On the stability of periodic binary sequences with zone restriction
传统的序列全局稳定性测度由于搜索空间大而难以确定。本文提出了一种带区域限制的$k$ -错误线性复杂度来度量序列的局部稳定性。因此，我们可以有效地确定这些序列的全局稳定性，通过研究的局部稳定性。对于几类序列，我们证明了$k$ -错误线性复杂度与$k$ -错误线性复杂度在一个区域内是相同的，而当$k$ -错误线性复杂度较大时，区域的长度远小于整个周期.这些序列分别具有周期$2^n$、或$2^v r$（$r$是奇素数，$2$是本原模$r$）、或$2^v p_1^{s_1} \cdots p_n^{s_n}$（$p_i$是奇素数，$2$是本原模$p_i$和$p_i^2$，其中$1\leq i \leq n$）。特别地，我们完全确定了任意$2^n$ -周期二进制序列的$1$ -错误线性复杂度的谱。
The 4-error linear complexity distribution for $2^n$-periodic binary sequences
利用组合数学中的筛法，研究了基于Games-Chan算法的$2^n$ -周期二元序列的$k$ -错误线性复杂度分布。对于$k=4,5$，给出了线性复杂度小于$2^n$的$2^n$ -周期平衡二元序列的$k$ -错误线性复杂度的完全计数函数.作为结果的结果，$2^n$ -周期二元序列（具有线性复杂度$2^n$或小于$2^n$）的4-错误线性复杂度的完全计数函数是明显的。一般地，用类似的方法可以得到关于$2^n$ -周期二元序列的$k$ -错误线性复杂度的完全计数函数。
Analysis and Computation of Multidimensional Linear Complexity of Periodic Arrays
线性复杂度是与信息安全相关的应用程序中使用的数组的重要参数。在这项工作中，我们调查建设的二维和三维阵列，并提出了新的结果的多维线性复杂性的周期阵列使用的定义和方法提出的\cite{ArCaGoMoOrRuTi,GoHoMoRu,MoHoRu}。结果包括一个泛化的线性复杂性的界限，与多序列的复杂性措施的比较，并计算数组的复杂性与周期是不是相对的素数的"展开方法"不工作。精确公式的猜想和一些阵列结构的复杂性的渐近行为制定。我们还提出了用于构建多维数组和计算其多维线性复杂度的开源软件。
On the $k$-error linear complexity for $2^n$-periodic binary sequences via Cube Theory
序列的线性复杂度和k错线性复杂度是衡量密钥流强度的重要指标，因此设计具有高线性复杂度和$k$错线性复杂度的序列是密码学研究的热点。本文提出了稳定$k$ -错误线性复杂度的概念，以研究具有稳定和大$k$ -错误线性复杂度的序列。为了研究周期为$2^n$的二元序列的k错线性复杂度，提出了一种新的工具立方理论。利用立方体理论，可以很容易地构造出具有最大稳定$k$ -错误线性复杂度的序列。为此，我们首先证明了周期为$2^n$的二元序列可以分解为若干个互不相交的立方体，并进一步给出了分解的一般方法。其次，证明了在所有$2^n$ -周期二元序列上，最大$k$ -错误线性复杂度为$2^n-(2^l-1)$，其中$2^{l-1}\le k<2^{l}$。第三，给出了$2^n$ -周期二元序列$s$的$k$ -错误线性复杂度的$t$ th（$t>1$）下降的一个特征，这是Kurosawa等人最近关于k-错误线性复杂度第一次下降的工作的继续.最后，导出了具有相同线性复杂度的$m$ -立方体的计数公式，它等价于$k$ -误差向量的计数公式。研究了可分解为多个立方体的$2^n$ -周期二元序列的计数公式，推广了Etzion等人的一个重要结果.
Structure Analysis on the $k$-error Linear Complexity for $2^n$-periodic Binary Sequences
为了刻画$2^n$ -周期二元序列的要害差错线性复杂度谱，首先提出了一种基于立方理论的分解。基于提出的$k$ -错误立方体分解，利用著名的容斥原理，我们得到了$i=2,3$的k-错误线性复杂度的$i$次下降点（临界点）的完整刻画.其次，利用筛法和Games-Chan算法，刻画了$2^n$ -周期二元序列的$k$ -错误线性复杂度的第二下降点（临界点）分布。作为结果，我们得到了$2^n$ -周期二元序列作为$k=3,4$的第二下降点的$k$ -错误线性复杂度的完全计数函数。这是第一次对第二个和第三个下降点进行完整的描述。实际上，该构造方法具有构造具有给定线性复杂度和$k$ -错误线性复杂度（或CELCS）的$2^n$ -周期二元序列的潜力，是一个值得进一步研究的具有挑战性的问题.
A linear complexity analysis of quadratic residues and primitive roots spacings
研究了以模p为素数的二次剩余间距的奇偶性序列和以模p为本原根间距的奇偶性序列为周期的0-1无限序列的线性复杂性.在任何一种情况下，在MAPLE计算机代数软件上运行的Berlekamp-Massey算法都显示出非常好的线性复杂度。
Linear Complexity of A Family of Binary $pq^2$-periodic Sequences From Euler Quotients
本文首先基于模$pq$的欧拉行列式引入了一类二元$pq^2$ -周期序列，其中$p$和$q$是两个不同的奇素数，$p$整除$q-1$ .在满足$2^{q-1} \not\equiv 1 \mod{q^2}.$的条件下，给出了该序列的最小多项式和线性复杂度。结果表明，该序列具有很高的线性复杂度。
Reducing the Computation of Linear Complexities of Periodic Sequences over $GF(p^m)$
$GF(p^m)$上周期序列的线性复杂度在密码学和通信中起着重要的作用[12]。本文证明了将$GF(p^m)$上周期$un$序列的线性复杂度和最小联络多项式的计算简化为$u$周期$n$序列的线性复杂度和最小联络多项式的计算的一个结果。结果保持不变需要条件$u|p^m-1$和$\gcd(n,p^m-1)=1$。给出了这种约化在确定$GF(p^m)$上序列的线性复杂度和最小联络多项式的快速算法中的一些应用。
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