arXiv 1808.034612018-08math.AP

复球面上的Sharp Sobolev不等式

Sharp Sobolev inequalities on the complex sphere

Yazhou Han, Shutao Zhang

发表信息：: Mathematical Inequalities & Applications, 23(1): 149-159, 2020
DOI：: 10.7153/mia-2020-23-12

摘要：

本文在单位复球面上建立了一类尖锐的Sobolev不等式：1）情形$0<d<Q=2n+2$：对任何$f\in C^\infty$和$2\leq q \leq \frac{2Q}{Q-d}$，\begin{equation*} \|f\|_q^2\leq \frac{8(q-2)}{d(Q-d)} \frac{Γ^2((Q-d)/4+1)} {Γ^2((Q+d)/4)}\left( \int_{\mathbb{S}^{2n+1}} f\mathcal{A}_df dξ -\frac{Γ^2((Q+d)/4)} {Γ^2((Q-d)/4)} \int_{\mathbb{S}^{2n+1}} |f|^2 dξ\right) +\int_{\mathbb{S}^{2n+1}} |f|^2 dξ; \end{equation*} 2）情形$d=Q$：对任何$f\in C^\infty \cap\mathbb{R}\mathcal{P}$和$2\leq q< +\infty$，\begin{equation*} \|f\|_q^2\leq \frac{q-2}{(n+1)!} \int_{\mathbb{S}^{2n+1}} f \mathcal{A}'_Q f dξ+\int_{\mathbb{S}^{2n+1}} |f|^2 dξ, \end{equation*}其中$\mathcal{A}_d(0<d<Q)$是交织算子，$\mathcal{A}'_Q$是在\cite{BFM2013}中引入的条件交织算子，$dξ$是$\mathbb{S}^{2n+1}$的正规化曲面测度.

英文摘要：

This paper is devoted to establish a class of sharp Sobolev inequalities on the unit complex sphere as follows: 1) Case $0<d<Q=2n+2$: for any $f\in C^\infty$ and $2\leq q \leq \frac{2Q}{Q-d}$, \begin{equation*} \|f\|_q^2\leq \frac{8(q-2)}{d(Q-d)} \frac{Γ^2((Q-d)/4+1)} {Γ^2((Q+d)/4)}\left( \int_{\mathbb{S}^{2n+1}} f\mathcal{A}_df dξ -\frac{Γ^2((Q+d)/4)} {Γ^2((Q-d)/4)} \int_{\mathbb{S}^{2n+1}} |f|^2 dξ\right) +\int_{\mathbb{S}^{2n+1}} |f|^2 dξ; \end{equation*} 2) Case $d=Q$: for any $f\in C^\infty \cap\mathbb{R}\mathcal{P}$ and $2\leq q< +\infty$, \begin{equation*} \|f\|_q^2\leq \frac{q-2}{(n+1)!} \int_{\mathbb{S}^{2n+1}} f \mathcal{A}'_Q f dξ+\int_{\mathbb{S}^{2n+1}} |f|^2 dξ, \end{equation*} where $\mathcal{A}_d(0<d<Q)$ are the intertwining operator, $\mathcal{A}'_Q$ is the conditional intertwinor introduced in \cite{BFM2013}, and $dξ$ is the normalized surface measure of $\mathbb{S}^{2n+1}$.

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摘要：

英文摘要：

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