Mean Values for a Class of Arithmetic Functions in Short Intervals
Jie Wu, Qiang Wu
本文建立了一类算术函数在短区间内的一个较一般的渐近公式，并给出了关于平方满数和可表示为两个平方和的整数的因子分布的两个应用.
In this paper, we shall establish a rather general asymptotic formula in short intervals for a classe of arithmetic functions and announce two applications about the distribution of divisors of square-full numbers and integers representable as sums of two squares.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On The Symmetry Of Arithmetical Functions In Almost All Short Intervals, V
研究了具有非负指数和的算术函数在短区间上的对称性。
Arithmetic progressions of primes in short intervals
格林和陶证明了素数包含任意长的等差数列。我们表明，本质上相同的证明导致以下结果：在一个短的时间间隔的素数包含许多等差数列的任何给定的长度。
Short interval results for a class of arithmetic functions
利用Hooley的$Δ$ -函数的估计和著名的Dirichlet双曲线原理的短区间形式，我们得到了一类短线段上的算术函数的渐近公式.还列举了许多例子。
We show estimates for the distribution of $k$-free numbers in short intervals and arithmetic progressions. We argue that, at least in certain ranges, these estimates agree with a conjecture by H. L. Montgomery.
The Selberg-Delange method and mean value of arithmetic functions over short intervals
该研究运用Selberg-Delange方法与Hooley-Huxley围道，推导得出更短区间内算术函数的均值结论，推进了数论中短区间算术函数均值问题的研究。
Explicit Short Intervals for Primes in Arithmetic Progressions on GRH
在广义黎曼假设的假设下，我们证明了等差数列中素数的Cramér定理的显式版本。
A classical problem in number theory is showing that the mean value of an arithmetic function is asymptotic to its mean value over a short interval or over an arithmetic progression, with the interval as short as possible or the modulus as large as possible. We study this problem in the function field setting, and prove for a wide class of arithmetic functions (namely factorization functions), that such an asymptotic result holds, allowing the size of the short interval to be as small as a square-root of the size of the full interval, and analogously for arithmetic progressions. For instance, …
Square-full polynomials in short intervals and in arithmetic progressions
本文研究了平方满多项式的指示函数和在等差数列和短区间上的方差。我们的工作是在环$F_{q}[T]$的多项式在一个有限域$F_{q}$的$q$元素，在限制$q\rightarrow\infty$。我们使用最近的一个等分布结果，由于N。Katz用酉群上的三重矩阵积分来表示这些方差，并对它们进行评价。
On the symmetry of arithmetical functions in almost all short intervals,IV
我们研究算术（实）函数，其中f是“本质有界的”。特别是，我们获得非平凡的界限，通过f“相关性”，为“Selberg积分”和“对称积分”的f在几乎所有的短间隔$[x-h,x+h]$，$N\le x\le 2N$，超出了“经典”的水平，到一个非常高的水平的分布（$h$不太小）。这一次，我们超越了大筛不等式。准确地说，我们的方法适用于Kloosterman和的Weil界。
Goldbach's problem with primes in arithmetic progressions and in short intervals
本文讨论了几个类似于Bézieri-Vinogradov定理的中值定理。它们涉及在等差数列和短时间间隔内素数的二元和三元加法问题。其中一些平均值的非平凡估计。作为应用，我们证明了对于大奇数n \not \equiv 1（6），Goldbach三元问题n=p_1+p_2+p_3是可解的，其中素数p_1，p_2在短区间p_PDMATHABMO [X_i，X_i+Y]，且X_{i} ^{θ_i}=Y，i= 1，2，且θ_1，θ_2 \geq 0.933使得（p_1+2）（p_2+2）至多有9个素因子.
Let $q\ge 3$ be a non-exceptional modulus $q\ge3$, and let $a$ be a positive integer coprime with $q$. For any $ε>0$, there exists $α>0$ (computable), such that for all $x\ge α(\log q)^2$, the interval $\left[ e^x,e^{x+ε}\right]$ contains a prime $p$ in the arithmetic progression $a \bmod q$. This gives the bound for the least prime in this arithmetic progression: $P(a,q) \le e^{α(\log q)^2}$. For instance for all $q\ge 10^{30}$, $P(a,q) \le e^{4.401(\log q)^2}$. Finally, we apply this result to establish that every integer larger than $e^{71\,000}$ is a sum of seven cubes.
The function field Sathé-Selberg formula in arithmetic progressions and `short intervals'
我们使用一个函数域模拟的方法Selberg导出一个渐近公式的数量（平方免费）首一多项式在$\mathbb{F}_q[X]$的程度$n$与精确$k$不可约的因素，在极限为$n$趋于无穷大。然后，我们适应这种方法来计算这样的多项式在等差数列和短的时间间隔，并通过利用韦伊的“黎曼假设”的曲线超过$\mathbb{F}_q$，获得更好的范围为这些公式比目前已知的类似物在数域设置。最后，我们简要讨论了$q$趋于无穷大的制度。
Short Interval Variance and Averaged Correlations of Arithmetic Functions
本文研究一般算术函数的移位和平均，用标准Hardy-Littlewood圆法对GL(2)傅里叶系数应用平方根抵消，证明涉及GL(2)与GL(3)傅里叶系数的移位卷积尖锐截断版本的非平凡上界。
Arithmetic functions in short intervals and the symmetric group
在函数域的设置下，考虑了随机短区间上算术函数和的方差。基于$\mathbb{F}_q[T]$的随机元素到素数的因式分解与随机排列到圈的因式分解之间的相似性，我们给出了仅依赖于因式分解结构的算术函数在大$q$极限下的这些方差的一个简单而一般的公式.由此，我们得到新的估计，迅速恢复一些已经知道的，并在整数的设置中做出新的解释。特别是，我们作出的组合观察，这种类型的任何功能可以被分解成一个总和的功能$u$和$v$，根据短间隔的大小，与$u$作出的贡献可以忽略不计的方差，和$v$渐近贡献对角项。这种方差估计与L-函数族零点的随机矩阵统计量的出现密切相关，并揭示了这种现象的算术意义。
On the variance of sums of arithmetic functions over primes in short intervals and pair correlation for L-functions in the Selberg class
本文建立了素数上Selberg类$L$ -函数零点的对相关性与短区间上一类相关算术函数和的方差的等价关系。这将Goldston & Montgomery [7]和Montgomery & Soundararajan [11]关于黎曼ζ函数的结果推广到Selberg类中的其他$L$ -函数。我们的方法是基于统计的零点，因为模拟的Hardy-Littlewood猜想的自相关的算术函数，我们认为是不提供一般。我们的主要发现之一是，这些算术函数在素数上的和的方差在短间隔内具有不同的形式，当相关的$L$函数的次数为2或更高时，其在次数为1时成立（例如，黎曼ζ函数）。具体而言，当度为2或更高时，存在两种制度，其中方差采取性质上不同的形式，而在度为1的情况下，存在单一制度。
Variance of square-full integers in short intervals and arithmetic progressions
本文在拟黎曼假设下给出短区间内全平方整数方差的预期阶上界，并证明等差数列中方差的渐近公式，对二次剩余与非剩余各半平均，其阶对大素数q更小。
Group automorphisms with prescribed growth of periodic points, and small primes in arithmetic progressions in intervals
我们研究了紧群自同构的周期点的数目的增长率是可能的问题。我们的论点涉及修改林尼克定理，涉及小素数的等差数列的谎言，在时间间隔。
Squarefree polynomials and Mobius values in short intervals and arithmetic progressions
我们计算的平均值和方差的默比乌斯函数和指示函数的平方自由，在短时间间隔和等差数列，在环的多项式在一个有限域的$q$元素，在限制$q\to \infty$。我们这样做的问题有关的总和，某些矩阵积分的酉群，使用最近的等分布的结果，由于N。Katz，然后通过计算这些积分。在许多情况下，我们的结果反映了已知的或为相应的问题，涉及在整数上的总和，这有很长的历史。在某些情况下，存在微妙和令人惊讶的差异。我们的结果的范围是显着大于那些建立相应的问题，在数域设置。
Primes in arithmetic progressions and short intervals without $L$-functions
本研究提出一种可检测乘法结构集合中素数的筛法，给出了Linnik最小素数问题和短区间素数存在性的无$L$-函数新证明，为相关数论问题提供了新的研究工具。
Arithmetic diophantine approximation for continued fractions-like maps on the interval
我们建立了算术性质，并提供了必要的边界的双序列的逼近系数与自然扩张的地图，导致连分数的扩张。这些地图被实现为小数部分的M $\operatorname{\ddot{o}}$比乌斯变换进行端点的单位区间为零和无穷大，扩展经典的定期和向后连分数的扩展。
On the variance of squarefree integers in short intervals and arithmetic progressions
本文渐近计算了短区间和等差数列中无平方因子整数数量的方差，并在假设 Lindelöf 假设及其推广下改进了适用范围，同时证明在完整范围内获得精确界等价于 Riemann 假设。
Variance of primes in short residue classes for function fields
本文研究函数域中等差数列与短区间交集中素数方差的混合问题，通过额外应用对合变换生成对偶等差数列，并探讨了放宽模多项式限制的条件。
We classify all post-critically finite unicritical polynomials defined over the maximal totally real algebraic extension of ${\mathbb Q}$. Two auxiliary results used in the proof of this result may be of some independent interest. The first is a recursion formula for the $n$-diameter of an interval, which uses properties of Jacobi polynomials. The second is a numerical criterion which allows one to the give a bound on the degree of any algebraic integer having all of its complex embeddings in a real interval of length less than $4$.
Refinements for primes in short arithmetic progressions
本文在假设零空域和平均零密度估计的基础上，改进了所有和几乎所有短算术等差数列中的素数定理误差项，特别是在Generalized Density Hypothesis假设下，对素数在特定区间内的分布进行了更精确的描述。
Keating and Rudnick studied the variance of the polynomial von Mangoldt function $Λ\colon \mathbb{F}_q[t] \rightarrow \mathbb{C}$ in arithmetic progressions and short intervals using two equidistribution results by Katz. Hall, Keating and Roditty-Gershon then generalised the result for arithmetic progressions for a von Mangoldt function $Λ_ρ$ attached to a Galois representation $ρ\colon \mathrm{Gal} ( \overline{\mathbb{F}_q(t)}/\mathbb{F}_q(t) ) \rightarrow \mathrm{GL}_m(\overline{\mathbb{Q}}_\ell)$. We employ a recent equidistribution result by Sawin in order to generalise the corresponding r…
An explicit result for short sums of positive arithmetic functions
本文针对满足一般增长条件的非负算术函数短和给出了完全显式的界，并由此得到短区间内 Erdős-Hooley Δ-函数的两个显式估计。
Short Note: Every Large Set of Integers Contains a Three Term Arithmetic Progression
我表明，一个平凡的修改标准证明罗斯定理的三倍在等差数列将导致以下定理：如果A是一个“大集合”，即它的元素是单调递增的整数和倒数的总和，其元素发散，然后序列包含一个等差数列的长度为3。
Higher moments of arithmetic functions in short intervals: a geometric perspective
我们研究了有限域$\mathbb{F}_q$上多项式的短间隔中某些算术函数的分布的几何关系，包括冯曼戈尔特函数和默比乌斯函数。使用Grothendieck-Lefschetz迹公式，我们重新解释这些分布的每一个时刻作为一个高度奇异的完整的交叉品种的点计数问题。我们计算部分$\ell$ -进上同调的这些品种，对应于一个渐近的限制为$q \to \infty$的固定程度$n$的每个时刻。本文的结果可以看作是一个几何解释的渐近结果，可以证明使用解析数论在函数域。
Primes in short arithmetic progressions
给出了素数支撑函数的一个大筛型不等式。作为应用，我们证明了Elliott的一个猜想，并给出了素数上短特征标和的界。证明使用大筛和塞尔伯格筛的组合。
Higher uniformity of arithmetic functions in short intervals I. All intervals
本文证明 μ、Λ、d_k 在短区间中相对其逼近量具有任意阶 Gowers 小性，并用于素数线性方程与多重遍历平均。
A variant of the Bombieri-Vinogradov theorem in short intervals with applications
我们将经典的Bennieri-Vinogradov定理推广到一个短的区间，非阿贝尔设置。这导致了素数定理的变体，其中素数位于等差数列中，这些算术级数被数域的伽罗瓦扩展$L/K$中的分裂条件“扭曲”。利用这一结果结合最近的工作梅纳德，我们证明了合理的素数在短时间内与一个给定的分裂条件的伽罗瓦扩展$L/\mathbb{Q}$表现出密集的集群在短时间内的间隔。我们探讨了几个算术应用相关的问题塞尔关于非零傅里叶系数的尖点模形式化的形式，包括寻找密集集群的基本判别式$ d $在短时间内的中心值的$d$ -二次扭曲的模块化$L$ -功能是非零的。
On the second moment for primes in an arithmetic progression
在广义黎曼假设下，得到了在短区间内单个等差数列中素数的二阶矩的渐近解的一个常数因子内的下界.先前的结果在给定模量的所有进展上进行平均。该方法使用一个短的约数和近似的冯Mangoldt函数，连同一些新的结果，这种约数和近似的二进制相关的等差数列。
On the regularity of primes in arithmetic progressions
本文证明了对于正整数$k$，在某些区间上的素数在模$k$的约化剩余类中不能"均匀“分布.在此，我们证明了Recaman猜想的一个推广，并将我们的结果建立在更一般的情况下，特别是数域中的素理想。
Arithmetic progressions of primes in short intervals beyond the 17/30 barrier
本文证明当θ>17/30时，短区间[x,x+x^θ]中一致地存在大量k项素数算术级数，通过结合Guth-Maynard零密度估计导出的均匀短区间素数定理与Green-Tao转移原理，突破了17/30障碍。
Strichartz estimates for quasi-periodic functions on long time intervals: An arithmetic approach
该研究针对带准周期初值的一维薛定谔方程，结合代数频率比的特性，利用Roth型丢番图不等式等工具改进了长时Strichartz估计并证明了端点L⁴估计。
The variance of the number of prime polynomials in short intervals and in residue classes
我们解决了一个函数域版本的两个apturtures关于方差的素数在短时间间隔（戈德斯通和蒙哥马利）和等差数列（胡利）。我们工作中的一个重要组成部分是最近N的等分布结果。卡茨
Given a family $\mathcal{F}=\{A_1,\dots,A_s\}$ of subsets of $\mathbb{Z}_n$, define $Δ\mathcal{F}$ to be the multiset of all (cyclic) distances dist$(x,y)$, where $\{x,y\} \subset A_i$, $x \neq y$, for some $i=1,\dots,s$. Taking inspiration from a Euclidean distance problem of Erdős, we say that $\mathcal{F}$ is Erdős-deep if the multiplicities of distances that occur in $Δ\mathcal{F}$ are precisely $1,2,\dots,k-1$ for some integer $k$. In the case $s=1$, it is known that a modular arithmetic progression in $\mathbb{Z}_n$ achieves this property (under mild conditions); conversely, APs are the …
Sums of two squares in short intervals
我们发现，有短的时间间隔$[x,x+y]$包含$\gg y^{1/10}$数表示为两个平方和，这是远远超过平均时，$y=o( (\log{x})^{5/9})$。对于短等差数列中的两个平方和，我们也得到了类似的结果。
Primes in short arithmetic progressions
设$x,h$和$Q$为三个参数。我们证明了，对于大多数模$q\le Q$和大多数正实数$y\le x$，每个约化算术级数$a\mod q$有近似的期望数量的素数$p$从区间$(y,y+h]$，提供$h>x^{1/6+ε}$和$Q$满足适当的界限方面的$h$和$x$。证明了对大多数模$q\le Q$和大多数正实数$y\le x$，每个约化等差数列$a\mod q$中至少存在一个素数$p\in(y,y+h]$，条件是$1\le Q^2\le h/x^{1/15+ε}$ .
Primes and prime ideals in short intervals
在相应的黎曼假设下，证明了等差数列中素数和素理想的Cramér短区间定理的类似定理.两种结果在下伏结构的数据中是一致的。我们的方法主要是基于素数和素理想的计数函数的惯性性质。
Two dimensional arithmetic progressions avoiding squares
研究了二维算术进展中避免非零平方数的结构，证明其元素数量上限，并讨论了相关下界及与素数二次非剩余下界的关系。
Small gaps in coefficients of L-functions and B-free numbers in small intervals
我们讨论了有关的问题，不存在的差距系列定义模形式和其他算术函数的各种类型，并改善结果塞尔，Bessel和小野，和阿尔坎，使用新的结果指数和分布的$B$免费号码。
On short products of primes in arithmetic progressions
我们给出了几个族的合理小整数$k, \ell \ge 1$和实正$α, β\le 1$，使得产品$p_1\ldots p_k s$，其中$p_1, \ldots, p_k \le m^α$是素数和$s \le m^β$是一个产品的最多$\ell$素数，代表所有约化剩余类模$m$。这是P.Erdos，A. M. Odlyzko和A. Sarkozy（1987），它对应于$k = \ell =1$（即两个素数的乘积）。特别地，我们改进了A. Walker（2016）.
Powered numbers in short intervals II
本文在短区间内研究幂数，结合筛法、多项式恒等式和集合密度理论，推导出基于abc猜想的更优结果。
On the Correlations, Selberg Integral and Symmetry of Sieve Functions in Short Intervals, III
算术函数$f$称为范围$Q$的筛函数，如果它是恒定$1$函数与$g$的卷积积，使得对于$q\leq Q$为$g(q)\ll_{\varepsilon} q^{\varepsilon}$、$\forall\varepsilon>0$，对于$q>Q$为$g(q)=0$。本文利用Duke，Friedlander和Iwaniec关于Kloosterman分数的双线性形式的一个著名定理，建立了关于$f$的自相关的一个新结果.特别是，对于这样的相关性，我们获得非平凡的渐近formulae，实际上是无法达到的标准方法的分布$f$的算术级数。此外，我们应用我们的渐近公式，得到所谓的Selberg积分和对称积分的$f$，这是基本的工具，研究的分布$f$在短时间间隔的新的界限。
Prime polynomials in short intervals and in arithmetic progressions
本文建立了素数上两个经典代数的函数域形式。第一个定理说，在区间（x，x+x^n]中素数的个数约为x^n/log x，第二个定理说，当d^（1+delta）<x时，与a模d全等的素数p<x的个数约为pi（x）/phi（d）。更准确地说，我们证明：设1 \leq m<k是整数，q是素数幂，f是系数在q元有限域中的k次首一多项式.则存在常数c（k），使得具有deg h \leq m的素多项式g=f+h的数目N满足|N-q^（m+1）/k| \leq c（k）q^（m+1/2）。这里，如果\gcd（q，k（k-1））>1，则我们假设m \geq 2，如果q是偶数，则m \geq 3，并且deg f' \leq 1。我们表明，这种估计失败的情况下被忽略。设π_q（k）是q元有限域\FF_q中系数为k次的一元素多项式的个数.对于互素多项式f，D \in \FF_q [t]，我们证明了与f模D全等的k次一元素多项式g的个数N'满足|N'-π_q（k）/π_q（D）|\leq c（k）π_q（k）q^{-1/2}/f（D），只要1 \leq °D \leq k-3（或\leq k-4，如果p=2且（f/D）'为常数）。我们也将这些结果推广到其他分解类型。
Prime polynomial values of linear functions in short intervals
本文建立了数论中一个猜想的函数域模拟，它是几个著名猜想的组合，包括Hardy-Littlewood素数元组猜想，关于等差数列和短区间内素数个数的猜想，以及Goldbach猜想.在大有限域的极限中，证明了$n$线性函数的同时素数个数的一个渐近公式。
Smooth numbers in short intervals
假设黎曼假设，我们证明了在一定的短区间内光滑数的存在性。
Numbers with at most $2$ prime factors in short arithmetic progressions
本文证明了当$X\to\infty$且$\frac{L}{\phi(q)\log X}\to\infty$时，几乎所有$(a, x)$在短区间$[x, x+L]$内均存在至多两个素数之积与$a\mod{q}$同余。
We show that as soon as $h\to \infty$ with $X \to \infty$, almost all intervals $(x-h\log X, x]$ with $x \in (X/2, X]$ contain a product of at most two primes. In the proof we use Richert's weighted sieve, with the arithmetic information eventually coming from results of Deshouillers and Iwaniec on averages of Kloosterman sums.
On Weyl sums over primes in short intervals
主要结果扩展到短区间内的素数和，即作者早期对素数“长”外尔和的估计。
On the distribution of r-tuples of squarefree numbers in short intervals
我们考虑了在一个短区间内无平方数的r-元组的个数。我们证明了它不可能比期望值大得多，并且在区间不很短的情况下，我们还建立了一个渐近公式。
Valuations, arithmetic progressions, and prime numbers
本文利用赋值论给出了素数无穷大的两个证明，并利用等差数列的Roth定理和Euler-Legendre定理给出了素数倒数和发散的一个新的证明.
On the asymptotic formulae for some multiplicative functions in short intervals
本文证明了与除数函数相连的某些乘性函数在求和的短区间上的均值。
Arithmetic functions at consecutive shifted primes
对于每个函数$f \in \{ϕ, σ, ω, τ\}$和每个自然数$k$，我们证明了不等式$f(p_n-1) < f(p_{n+1}-1) < \dots < f(p_{n+k}-1)$有无穷多个解，对于$f(p_n-1) > f(p_{n+1}-1) > \dots > f(p_{n+k}-1)$也是如此.我们还回答了Sierpienski关于连续素数的数位和的一些问题。这些论点基本上利用梅纳德和陶的方法产生许多素数的区间有界长度。
The Liouville function in short intervals [after Matomaki and Radziwill]
这是一个副本我的布尔巴基研讨会的工作Matomaki和Radziwill表明，刘维函数展品取消在几乎所有的短间隔尽快的长度的间隔趋于无穷大。
Assuming the Riemann hypothesis, we prove the latest explicit version of the prime number theorem for short intervals. Using this result, and assuming the generalised Riemann hypothesis for Dirichlet $L$-functions is true, we then establish explicit formulae for $ψ(x,χ)$, $θ(x,χ)$, and an explicit version of the prime number theorem for primes in arithmetic progressions that hold for general moduli $q\geq 3$. Finally, we restrict our attention to $q\leq 10\,000$ and use an exact computation to refine these results.
We furnish an explicit bound for the prime number theorem in short intervals on the assumption of the Riemann hypothesis.
Upper and lower bounds for the function S(t) on the short intervals
在RH下证明了黎曼ζ函数的辐角在很短的区间上存在很大的正值和负值。
On the mean values of some multiplicative functions on the short interval
本文研究了与除数函数相联系的几类乘性函数在短求和区间上的均值。证明了这些平均值的渐近性。
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