On gaps between sums of four fourth powers
我们证明了，几乎所有的$N$有一个和的四个四次幂的间隔$(N-N^γ,N]$，所有的$γ>4059/16384=0.24774..$。
2019-10-11 math.NT
Sieving intervals and Siegel zeros
假设存在（无限多个）西格尔零，我们表明，（罗瑟）Jurkat-Richert界限的线性筛不能得到改善，并类似地看Iwaniec的下界Jacobsthal的问题，以及轻微的改进Brun-Titchmarsh定理。我们还推导出一个改进的（虽然有条件）的下限之间的最长差距下界，并返工Cramér的启发式在这种情况下，表明我们将预期的差距周围的$x$显着大于$(\log x)^2$。
2020-10-02 math.NT
On the Intervals of a Third between Farey Fractions
近年来，Farey点之间的间距分布引起了人们的关注。发现法里序列的连续元件之间的间隙$γ_{j+1}-γ_j$产生作为$Q\to\infty$的限制性测量。数值计算表明，对于任何$d\ge 2$，间隙$γ_{j+d}-γ_j$也产生一个限制措施，其支持是由显着的拓扑特征区分。本文证明了$d=2$空间分布的存在性，并完整地刻画了测度的相应支撑.
2005-11-14 math.NT
Small Gaps Between Primes I
我们使用短除数和来近似素数元组和素数在短间隔的时刻。通过将这些结果与经典矩问题相联系，我们能够证明连续素数的正比例在素数之间的平均间距的四分之一以内。
2005-04-16 math.NT
On the gaps between non-zero Fourier coefficients of eigenforms with CM
假设$E$是导体$N$与$\mathbb{Q}(i)$的复数乘法（CM）在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且$f_E$是$S^{\mathrm{new}}_2(Γ_0(N))$中对应的尖点Hecke本征形。则对于所有$X \gg 0$和某些$c > 0$，$f_E$的第$n$个傅立叶系数在短间隔$(X, X + cX^{\frac{1}{4}})$中是非零的。作为结果，我们产生无穷多个尖点CM本征形$f$水平$N>1$和重量$k > 2$，其中$i_f(n) \ll n^{\frac{1}{4}}$持有，对所有$n \gg 0$。
2016-08-15 math.NT
On the gaps between non-zero Fourier coefficients of cusp forms of higher weight
我们证明了如果一个模尖点特征形$f$的重量$2k$是$2$ -adically接近椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它有一个循环的有理$4$ -issues，那么$f$的$n$ -th傅里叶系数是非零的短间隔$(X, X + cX^{\frac{1}{4}})$的所有$X \gg 0$和某些$c > 0$。我们使用这个事实来产生非CM尖点特征形$f$的水平$N>1$和权重$k > 2$，使得$i_f(n) \ll n^{\frac{1}{4}}$为所有$n \gg 0$。
2016-12-26 math.NT
Additive functions in short intervals, gaps and a conjecture of Erdős
与治疗的局部行为的添加剂功能的目的，我们开发类似物的Matomäki-Radziwill定理，使我们能够近似的平均值的一般添加剂功能在一个典型的短间隔的长期平均。作为这种治疗的一部分，我们使用的Matomäki-Radziwill定理的一个变种的除数界乘性函数最近证明的作者。我们考虑这些方法的两组应用程序。我们的第一个应用表明，对于加性函数$g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$，平均间隙$|g(n)-g(n-1)|$的大小的任何非平凡节省意味着$g$必须具有小的一阶矩，即，平均而言，$g(n)$与其平均值的差异很小。对于间隙的二阶矩，我们也得到了这样一个结果的一个变体。这补充了艾略特和希尔德布兰德的结果。作为第二个应用程序，我们取得了部分进展的一个老问题的Erdens有关的特点$\log n$作为唯一的“几乎处处“增加添加剂功能（常数因子）。证明了如果一个加性函数几乎处处非减，则它几乎处处可由一个常数乘以一个对数很好地逼近。我们还表明，如果$g$是一个完全加性的功能，使密度的一组例外$\frac{1}{X}|\{n \leq X : g(n) < g(n-1)\}|$像$O((\log X)^{-2-ε})$衰减，使$g$不是非常大，往往在素数（在精确的意义上），然后$g$是等同于常数乘以对数。
2021-08-27 math.NT
On Maximal Prime Gaps
本文研究了素数间隙的问题，证明了素数与其后继素数之间的间隙不超过2log²p_n，并由此推导出对于足够大的数，存在特定类型的区间内必然存在素数。
2026-07-24 math.NT
Gaps in the fractional parts of square roots
第一个$N$自然数的小数部分以渐近均匀的密度填充单位区间。然而，有理点周围的间隙以渐近较低的速率$N^{-1/2}$收缩，并且它们的宽度随“爆米花”函数缩放。这种奇怪的联系是从几何学上推导出来的，并与欧几里得果园中的阴影模式有关。还研究了高阶根的广义情形及其收敛速度。
2020-12-27 math.NT
Sign changes in short intervals of coefficients of spinor zeta function of a Siegel cusp form of genus 2
本文建立亏格为2的Siegel尖点形式的旋量zeta函数的Voronoi公式。我们从这个公式中推出了关于其正（或负）数的定量结果。负的）系数。
2013-07-10 math.NT
Combined Sieve Algorithm for Prime Gaps
提出了一种新的组合筛算法，其代价与一系列区间上的枚举因子数成正比。当同时处理多个（[10^4，10^7]）区间时，该算法比传统的筛子实现了显著的加速。这种加速来自于时空的权衡和对模方程的新解法。在真实世界的测试中，这个新算法的运行速度通常快10，000倍。这种更快的筛分与更高的筛分极限相结合，可以消除更多的复合物，并将寻找大的主要空隙的速度加快30- 70%。在这个新算法的开发和测试过程中，发现了两个前10名的记录优素差距。
2020-11-30 cs.MS math.NT
Surviving Eratosthenes sieve I: quadratic density and Legendre's conjecture
本文研究了埃拉托色尼筛法中二次密度的概念，探讨了素数间隙在不同阶段的生存情况及Legendre猜想的预测能力。
2026-03-26 math.CO math.NT
A note on Fourier coefficients of Hecke eigenforms in short intervals
本文通过显式化 Chebotarev 密度定理并加强 Rouse–Thorner 的结果，研究短区间内非 CM Hecke 特征形式 Fourier 系数的大素因子下界。
2024-05-07 math.NT
A log-free zero-density estimate and small gaps in coefficients of $L$-functions
设$L(s, π\timesπ^\prime)$是附在自守表示$π$和$π^\prime$上的Rankin-Selberg $L$ -函数.令$\tildeπ$和$\tildeπ^\prime$表示与$π$和$π^\prime$相关联的逆成分表示。在$L(s, π\times\tildeπ)$和$L(s, π^\prime\times\tildeπ^\prime)$的对数导数的系数有一定上界的假设下，我们证明了$L(s, π\timesπ^\prime)$的一个无对数零密度估计，推广了Fogels在Dirichlet $L$ -函数中的一个结果.然后，我们采用这种无对数估计的自同构表示$π$的傅立叶系数的分布研究。作为应用，我们检查了权重为$k$、级别为$N$和字符为$χ$的模块化新形式$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} b_f(n) e^{2πi n z}$的傅立叶系数$b_f(p)$的非缺失性。更精确地为$f(z)$和一个素数$p$，设置$j_f(p):=\max_{x;~x> p} J_{f} (p, x)$，其中$J_{f} (p, x):=\#\{{\rm prime}~q;~a_π(q)=0~{\rm for~all~}p<q\leq x\}.$我们证明，$j_f(p)\ll_{f, θ} p^θ$为一些$0<θ<1$。
2014-04-06 math.NT
Large gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta-function
结合的软化，我们表现出其他的选择系数，改善结果之间的大差距的黎曼ζ函数的零点。准确地说，假设广义黎曼假设（GRH），我们表明，存在无穷多个连续的间隙大于大于3.033倍的平均间距。
2010-06-14 math.NT
Gaussian Behavior and Geometric Gaps in Decompositions from Recurrences with Zero Coefficients
Institute of Mathematics and Statistics, Rio de Janeiro State University（里约热内卢州立大学数学与统计研究所）
研究零系数递推关系下分解的唯一性丧失，但统计行为如高斯分布和几何间隙仍保持，且非唯一性指数增长。
2026-04-16 math.NT
Large gaps between consecutive prime numbers containing perfect $k$-th powers of prime numbers
设$k\geq 2$是一个固定的自然数。证明了存在无穷多对连续素数$p_n$，$p_{n+1}$满足$$ p_{n+1}-p_n\geq c\:\frac{\log p_n\: \log_2 p_n\: \log_4 p_n}{\log_3 p_n}\:,$$且$c$为固定正常数，其中区间$(p_n, p_{n+1})$包含素数的$k$次幂.
2016-03-09 math.NT
On the Geometry of the Multiplicatively Closed Sets generated by at most Two Elements with arbitrarily Large Gaps, a constructive method
我们在定理$2.2$中证明了自然数集合$\mathbb{N}$中至多两个元素所生成的乘闭子集具有任意大的间隙，通过显式地构造具有已知素因子分解的端点的大整数区间，这些端点不包含除属于乘闭集的端点之外的乘闭集的任何元素。还示出了示例$4.6$。利用极大单生成乘法闭集与空间$\mathbb{PF}^{\infty}_{\mathbb{Q}\geq 0}$上的点之间的几何对应，我们在定理$7.8,7.12$中给出了一个关于双生成乘法闭集何时产生双乘法闭线的判别准则（参见定理$7.5$）.本文利用$7.8$定理和$7.17$定理部分回答了一个类似的问题$5.1$，即当乘生成的乘闭集包含在双乘闭集中时，乘生成的乘闭集的间隙问题.在附录部分$8$中，我们讨论了另一个构造性证明（参见定理$8.6$）对于任意大的间隙间隔，其中的素因子分解是不知道的右端点不同的建设性证明的主要结果的文章的情况下，乘法闭集$\{p_1^ip_2^j\mid i,j\in \mathbb{N}\cup\{0\}\}$与$\{p_1<p_2,Log_{p_1}(p_2)\}$不合理的素因子分解是已知的两端，通过无理数$\frac {1}{Log_{p_1}(p_2)}$的稳定化序列来确定间隙间隔的点。
2017-11-01 math.NT
Real exponential sums over primes and prime gaps
IFSP（圣保罗州联邦理工学院）；IME - USP（圣保罗大学数学与计算学院）
研究证明在短区间内存在素数，解决了长期存在的问题，并验证了关于素数分布的旧猜想。
2026-05-07 math.NT
Short-Interval Averages of Sums of Fourier Coefficients of Cusp Forms
令$f$是一个权$k$全纯尖点形式的水平一，并让$S_f(n)$表示的第一个$n$傅里叶系数之和$f$。类比狄利克雷除数问题，证明了$S_f(X) \ll X^{\frac{k-1}{2} + \frac{1}{4} + ε}$ .理解和绑定$S_f(X)$一直是一个非常活跃的研究领域。目前单个$S_f(X)$的最佳界限是来自Wu的$S_f(X) \ll X^{\frac{k-1}{2} + \frac{1}{3}} (\log X)^{-0.1185}$。Ehrasekharan和Narasimhan证明了关于$S_f(X)$的经典猜想在长度为$X$的区间上平均成立。Jutila改进了这一结果，表明$S_f(X)$的经典猜想在长度为$X^{\frac{3}{4} + ε}$的短区间上平均成立。基于我们最近工作的结果和关于$\sum \lvert S_f(n) \rvert^2 n^{-(s + k - 1)}$的分析信息，我们进一步改进了这些结果，以表明$S_f(X)$的经典猜想在长度为$X^{\frac{2}{3}}(\log X)^{\frac{1}{6}}$的短间隔上平均成立。
2016-11-10 math.NT
Geometric Progression-Free Sequences with Small Gaps
许多作者，包括McNew，Nathanson和O 'Bryant，最近研究了正整数的等比数列自由序列的最大渐近密度。本文证明了具有小间隙的等比数列自由序列的存在性，部分回答了Beiglböck等人提出的一个问题.利用概率方法证明了不含任何$6$项几何级数的序列$T$的存在性，使得对于任何$x\geq1$和$\varepsilon>0$，区间$[x,x+C_{\varepsilon}\exp((C+\varepsilon)\log x/\log\log x)]$包含$T$的一个元素，其中$C=\frac{5}{6}\log2$和$C_{\varepsilon}>0$是取决于$\varepsilon$的常数。作为一个中间结果，我们证明了一个界限的形式$f(n)=\exp(-d_{k}(n))$在很短的时间间隔，其中$d_{k}(n)$是一些积极的$k$ -次幂除$n$的功能和，使用类似的方法，Filaseta和Trifonov用来证明$k$ -次幂之间的差距的界限免费整数。
2015-01-16 math.CO math.NT
Ordinarization Transform of a Numerical Semigroup and Semigroups with a Large Number of Intervals
一个数值半群被称为普通的，如果它的所有间隙都在一行中。事实上，它包含零和从给定的正一开始的所有整数。我们可以在非普通半群上定义一个简单的运算，我们在这里称之为正规化变换，通过去除它的最小非零非间隙（重数）并添加它的最大间隙（Frobenius数）。这给出了另一个数值半群，通过多次重复这个变换，我们最终得到一个普通半群。在所有变换中，亏格，即间隙的数量保持不变。这个过程允许为每个给定的亏格构造一棵树，它包含该亏格的所有半群，并且根在该亏格的唯一普通半群上。我们在这里研究这些树的正则性和在每个深度的半群的数量。证明了在一定深度下，半群的个数随亏格的增加而增加，并证明了在所有给定深度下都是如此。这可能给以前的一个猜想，即一个给定亏格的半群的数目随着亏格的增加而增加。最后，我们给出了在一个给定的深度在正规化树和半群与一个给定的（大）数量的间隙间隔的半群之间的识别，我们给出了这些半群的一个明确的特征。
2012-03-17 math.NT
Large prime gaps and probabilistic models
本文提出一种由筛法存活整数构成的新素数概率模型，通过严格分析得到区间最大素数间隙的启发式上下界，并揭示了Hardy-Littlewood猜想有效性与集合内最大间隙下界的严格联系。
2025-08-12 math.NT math.PR
Multiplicative functions in short intervals II
我们确定了几乎所有的短区间内的乘性函数在素数的正比例处消失的行为。此外，我们量化“几乎所有”与统一的节能上限，也就是说，我们保存的权力，适当规范化的长度的间隔，无论多长或短的间隔。这样的节能界限是新的，即使在莫比乌斯函数的特殊情况下。这些一般性的结果是由几个应用程序的动机。首先，我们加强工作的胡利两个平方和建立一个渐近的整数的数量是两个平方和在几乎所有的短时间间隔。以前只知道数量级。其次，我们将这个结果推广到任意数域$K$的一般范数形式（两个平方和是$\mathbb{Q}(i)$的范数形式）。第三，胡利确定了$(s_{n + 1} - s_{n})^γ$与$γ\in (1, 5/3)$之和的数量级，其中$s_{1} < s_2 < \ldots$表示可表示为两个平方和的整数。我们用可表示为任意数域$K$的范数形式的整数序列$γ\in (1, 3/2)$和$s_n$建立了类似的结果。这是第一个这样的结果，一个数域的程度大于2。假设所有Hecke $L$ -函数都满足Riemann假设，我们还证明了$γ\in (1,2)$是可容许的.第四，改进了Heath-Brown关于$x^{\varepsilon}$ -smooth数之间的间隔的结果.更一般地，我们得到的结果之间的差距乘法序列。最后，我们的结果在其他情况下也很有用，例如在我们即将进行的关于傅立叶均匀性的工作中（与Terence T…
2020-07-08 math.NT
The bisequence of approximation coefficients for Gauss-like and Renyi-like maps on the interval
我们将建立几个算术和几何性质的双序列的逼近系数（BAC）与两个单参数家庭的分段连续的莫比乌斯变换介绍了哈斯和莫尔纳。Gauss映射和Renyi映射作为特例实现，它们导致区间上无理数的正则和向后连分数展开。这些结果是丢番图逼近定理的自然推广。
2011-12-04 math.DS math.NT
On the non-vanishing of modular $L$-values and fourier coefficients of cusp forms
证明了具有二次扭曲的模L-值的一个非零结果，其中二次判别式在一个短区间内。利用这一事实和Waldspurger定理，我们改进了Balog-Ono[The Chebotarev density theorem in short intervals and some questions of Serre，Journal of数论. 91（2）：356-371（2001）]关于半整数权重特征形的傅里叶系数的非零性。
2022-05-02 math.NT
Sign Changes of Coefficients and Sums of Coefficients of L-Functions
我们扩展公理化检测和量化符号变化的Meher和Murty的序列的复数。当序列由$L$ -函数的系数组成时，我们进一步推广了这个结果。作为直接应用，我们证明了GL（2）全纯尖点形式、GL（2）Maass形式和GL（3）Maass形式的系数序列在区间上有符号变化.本文在前人工作的基础上，证明了GL（2）全纯尖点形式和Maass形式的系数部分和序列在区间上有符号变化.
2016-07-19 math.NT
Simultaneous non-vanishing and sign changes of Fourier coefficients of modular forms
本文给出了两个模形式的傅里叶系数同时非零和同时变号的一些结果。更确切地说，给定两个模形式$f$和$g$的傅里叶系数$a_n$和$b_n$分别，我们考虑以下问题：存在无穷多个素数$p$，使$a_p b_p\neq 0$ ;同时非零的短时间间隔和等差数列;同时在短时间间隔的符号变化。
2018-04-26 math.NT
Binomial coefficients with divisors avoiding an interval
University of Manchester（曼彻斯特大学）；Brigham Young University（杨百翰大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西蒙·斯托伊洛数学研究所）
本文研究了一个关于二项系数是否必须有小于等于n且接近n的除数的五十周年猜想，证明当k足够大时成立，并在广义黎曼假设下证明了当k远小于n时存在反例，从而解决了Erdős和Graham的猜想。
2026-10-01 math.NT
A small improvement in the small gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta-function
Feng和Wu在Montgomery和Odlyzko的方法中引入了一个新的通用系数序列，用于在假设黎曼假设的情况下，显示$ζ(s)$的连续零点之间的间隙的不规则性。他们使用了一个特殊的情况下，他们的序列，以改善早期的结果的差距。本文考虑Feng和Wu的一般序列的一个等价形式，并引入了一个不太一般的序列$\{a_n\}$，我们明确地写出了它的Montgomery-Odlyzko表达式.作为应用，我们给出了Feng和Wu的结果的如下改进：黎曼ζ函数的无穷次连续非平凡零点至多相差平均间距的$0{.}515396$倍.
2015-05-20 math.NT
A central limit theorem for coefficients of $L$-functions in short intervals
本研究在广义林德勒夫猜想等假设下，证明一般$L$-函数系数和在适当短区间内服从正态分布，创新于GLH下的次数分析，推广了薄环面格点计数的已有结果。
2024-12-14 math.NT math.PR
Ramanujan Primes: Bounds, Runs, Twins, and Gaps
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得如果$x \ge R_n$，则区间$(x/2,x]$至少包含$n$素数。通过证明$R_n/p_{3n}$的最大值是$R_5/p_{15} = 41/47$，我们改进了Laishram的定理，即$R_n < p_{3n}$.本文对$n\le9$给出了Ramanujan素数在所有素数$p<10^n$中最长游程的统计量。我们证明，如果一个上孪生素数是拉马努金，那么也是较低的;一个表给出了一些孪生素数低于$10^n$的三种类型。最后，我们将Ramanujan素数的运行与素数间隙联系起来。在此过程中，我们陈述了几个假设和未决问题。附录解释了Noe计算$R_1,R_2,...,R_n$的快速算法。
2011-08-01 math.NT
Arbitrarily long gaps between the values of positive-definite cubic and biquadratic diagonal forms
对于$s=3,4$，证明了任意长的连续整数序列的存在性，其中没有一个序列是$s$的非负$s$次幂的和.更一般地说，我们研究了正整数系数的$s$变量的度$s$的对角形式的值$\leq N$之间的间隙的存在。我们发现：（1）当$s=3$时，大小为$O\left(\frac{\sqrt {\log N}}{(\log \log N)^2}\right)$的间隙;（2）如果$s=4$和形式（直到变量的置换）不等于$a (c_1x_1)^4+b (c_2 x_2)^4+4 a (c_3x_3)^4+4b(c_4x_4)^4$，则大小为$O\left(\frac{\log\log\log N}{\log\log\log\log N}\right)$的间隙。
2019-10-11 math.NT
Fourier coefficients of automorphic $L$-functions over primes in ray classes
证明了数域上某些自守$L$ -函数和Rankin-Selberg $L$-函数的傅里叶系数的Siegel-Walfisz型定理（在长区间和短区间上）.
2021-03-29 math.NT
On Sumsets and Spectral Gaps
众所周知，如果S是整数mod p的子集，并且如果第二大的傅里叶系数相对于最大的系数是"小"的，则和集S + S比S大得多。我们在本文中表明，如果在最大和第二大傅里叶系数之间没有如此大的"谱隙"，而是在第k大和第（k +1）大之间，同样的事情也成立，即|S + s|明显大于|S|。我们只在k <（log p）/（log 4）的情况下这样做。对于重复和集S + S +.+，我们也得到了类似的结果。S，结果是包含的项越多，可以使用的索引k就越大。
2007-11-28 math.CO math.NT
A generalization of the 3d distance theorem
设$P$为正有理数。如果以下情况成立，则调用函数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$使其具有$\textit{finite gaps property mod}$ $P$：对于任何正无理$α$和正整数$M$，当$f(mα)$的值$1\leq m\leq M$以mod $P$插入区间$[0,P)$并以递增顺序排列时，连续项之间的不同间隙的数量由仅取决于$f$的常数$k_{f}$限定。本文证明了Chung和Graham的三维距离定理的一个推广。因此，我们证明了一个具有有理斜率且只有1/4不可微点的分段线性映射具有mod $P$的有限间隙性质。我们还证明了如果$f$是到最近整数函数的距离，则它具有mod $1$与$k_f\leq6$的有限间隙性质.
2020-02-04 math.NT
Coexact $1$-form spectral gaps of hyperbolic rational homology spheres
Columbia University（哥伦比亚大学）；Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文提出了一种构造超几何有理同调球族的方法，展示了具有特定谱间隙的算术示例，并确定了谱间隙的极限点区间。
2026-03-02 math.DG math.GT math.NT
Gaps theorems for linear forms with cubic coefficients
本文证明三次数域中线性形式小数部分间隙个数随参数无界，并给出复嵌入情形下带对数下界的显式构造。
2026-10-07 math.DS math.NT
