On The Symmetry Of Arithmetical Functions In Almost All Short Intervals, V
Giovanni Coppola
研究了具有非负指数和的算术函数在短区间上的对称性。
We study the symmetry in short intervals of arithmetic functions with non-negative exponential sums.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the symmetry of arithmetical functions in almost all short intervals,IV
我们研究算术（实）函数，其中f是“本质有界的”。特别是，我们获得非平凡的界限，通过f“相关性”，为“Selberg积分”和“对称积分”的f在几乎所有的短间隔$[x-h,x+h]$，$N\le x\le 2N$，超出了“经典”的水平，到一个非常高的水平的分布（$h$不太小）。这一次，我们超越了大筛不等式。准确地说，我们的方法适用于Kloosterman和的Weil界。
On $\mathcal{B}^4$-almost periodicity for a class of arithmetical functions
本文针对Chandrasekharan和Narasimhan提出的一类算术函数的归一化误差项，通过推导截断Voronoi型公式，证明其属于Besicovitch空间B⁴，强化了此前的几乎周期性结论，还得出误差项存在极限概率分布并给出四阶平均矩显式公式。
Arithmetical independence of certain uniform sets of algebraic integers
本研究针对四组次数≤3的代数整数集合，证明其具备几乎一致性与算术独立性特征，并明确了这些集合生成的代数数域对二次、三次域的覆盖程度。
A characterization of Krull monoids for which sets of lengths are (almost) arithmetical progressions
设H是具有有限类群G的Krull幺半群，且每类都含有一个素除子.则H中的长度集有一个明确定义的结构，它只依赖于类群G。从添加剂组合学的方法，我们建立了一个特征，这些类组G保证所有集的长度是（几乎）算术级数。
Arithmetic diophantine approximation for continued fractions-like maps on the interval
我们建立了算术性质，并提供了必要的边界的双序列的逼近系数与自然扩张的地图，导致连分数的扩张。这些地图被实现为小数部分的M $\operatorname{\ddot{o}}$比乌斯变换进行端点的单位区间为零和无穷大，扩展经典的定期和向后连分数的扩展。
An arithmetical approach to the convergence problem of series of dilated functions and its connection with the Riemann Zeta function
给定周期函数$f$，研究了级数$\sum_{k} c_k f(kx)$的几乎处处收敛性和依范数收敛性。令$f(x)= \sum_{m=1}^\infty a_m \sin {2πm x}$，其中$\sum_{m=1}^\infty a_{m }^2d(m) <\infty$和$d(m)=\sum_{d|m} 1$，令$f_n(x) = f(nx)$。我们通过使用一个新的分解平方和，任何$K\subset \N$有限，$ \|\sum_{k\in K} c_k f_k \|_2^2 \le ( \sum_{m=1}^\infty a_{m }^2 d(m) ) \sum_{k\in K } c_{k}^2d(k^2)$。如果$f^s (x)= \sum_{j=1}^\infty \frac{\sin 2πjx}{j^s}$，$s>1/2$，仅用初等Dirichlet卷积演算，我们证明了对于$0< \e\le 2s-1$，$ζ(2s)^{-1} \|\sum_{k\in K} c_k f^s_k \|_2^2 \le \frac{1+\e}{\e } (\sum_{k \in K} |c_k|^2 \s_{ 1+\e-2s}(k) )$，其中$\s_h(n)=\sum_{d|n}d^h$.由此，我们推出，如果$f\in {\rm BV}(\T)$，$\langle f,1\rangle…
Almost primes in almost all very short intervals
我们证明了只要$h\to \infty$与$X \to \infty$，几乎所有的区间$(x-h\log X, x]$与$x \in (X/2, X]$都包含至多两个素数的乘积.在证明中，我们使用Richert的加权筛，最终的算术信息来自Deshouillers和Iwaniec对Kloosterman和平均值的结果。
Almost Primes in Almost All Short Intervals
设$E_k$是正整数的集合，它恰好有$k$素因子。我们发现，几乎所有的区间$[x,x+\log^{1+\varepsilon} x]$包含$E_3$号码，几乎所有的区间$[x,x+\log^{3.51} x]$包含$E_2$号码。这意味着只有$o(X)$整数$1\leq x\leq X$，对于这些整数，所提到的区间不包含这样的数。$E_3$数的结果最优，直到指数中的$\varepsilon$。关于$E_2$数的定理改进了Harman的一个结果，用指数$7+\varepsilon$代替了$3.51$ .我们还将考虑一般的$E_k$数，并在长度接近$\log x$的区间上找到它们作为$k\to \infty$。
Bounded length intervals containing two primes and an almost-prime II
Zhang证明了有无限多个有界长度的区间包含两个素数。看来，目前的技术不能证明，有无限多个区间的有界长度包含三个素数，即使强大的假设，如埃利奥特-Halbernut猜想假设。我们证明了存在无穷多个长度至多为$10^8$的区间，其中包含两个素数和一个至多有31个素因子的数。
Almost primes in almost all short intervals II
该数论研究改进了短区间殆素数分布结果，将几乎所有含双素数乘积的短区间长度指数从3.51降至2.1，核心是借助Heath-Brown稀疏Dirichlet多项式均值定理证明新II型估计。
Primes in almost all short intervals
本文改进了Jia的结果，证明在几乎所有长度为$n^{1/21.5+\varepsilon}$的短区间内必含素数，通过Watt均值界、筛法分解和精确积分估计实现。
Density questions on arithmetic equivalence
两个数域具有相等戴德金ζ函数当且仅当对几乎所有素数$p$，素数$p$的算术类型在两个数域中相同.在这里，几乎所有的手段与可能的例外的一组狄利克雷密度为零。本文的一个结果表明，密度为零的条件可以改进为一个特定的正密度，这只取决于场的程度。更具体地说，对于每一个正的$n$，我们展示了一个正常数$c_{n}$，使得任何二次$n$数域$K$和$L$是算术等价的当且仅当使得$K$和$L$中的$p$的算术类型不相同的素数$p$的集合最多具有Dirichlet密度$c_n$。事实上，我们表明，$\displaystyle c_n=\frac{1}{4n^2}$的作品，并给出了一个启发式的证据，指出这个值可能会提高到$\displaystyle \frac{2}{n^2}$的事实。我们还证明了要检验两个数域是否算术等价，只需检验它们的zeta函数的1000个系数之间是否相等，并给出了这类数域的一个上界。
Bounded length intervals containing two primes and an almost-prime
Goldston、Pintz和Yıldırım证明了，如果素数对于某个$θ>1/2$有“分布水平”$θ$，那么存在一个常数$C(θ)$，使得有无穷多个整数$n$，其中$[n,n+C(θ)]$区间包含两个素数。在同样的假设下，我们证明了对于任意整数$k\ge 1$，存在常数$D(θ,k)$和$r(θ,k)$，使得有无穷多个整数$n$，其中区间$[n,n+D(θ,k)]$包含两个素数和$k$几乎素数，且所有几乎素数至多有$r(θ,k)$素因子.如果$θ$可以取为与$1-ε$一样大，并且假设具有2个、3个或4个素因子的数也具有分布水平$1-ε$，则我们证明存在无限多个整数$n$，使得区间$[n,n+90]$包含2个素数和一个最多具有4个素因子的数。
Almost cubes and fourth powers in short intervals
本文采用第二矩方法，研究了短区间内包含近似立方数与四次方数（即三个或四个近似相等因子乘积）的整数，并得出对所有短区间成立的结论。
On the symmetry of the Liouville function in almost all short intervals
证明了Liouville函数$λ(n):=(-1)^{Ω(n)}$的一种“几乎全对称”结果，给出了其“对称积分”的非平凡界，即$I_λ(N,h)$：得到$I_λ(N,h)\ll NhL^3+Nh^{21/20}$，其中有$L:=\log N$ .我们也给出了类似的结果，其他相关的算术函数，如默比乌斯函数$μ(n)$（$=λ(n)$上无平方$n$）。
Multiplicative Congruences with Variables from Short Intervals
最近，关于变元在短区间上的$$ (x_1+s)...(x_ν+s)\equiv (y_1+s)...(y_ν+s)\not\equiv0 \pmod p $$模素数$p$型同余的解的个数得到了几个界.这里，对于几乎所有的$p$和所有的$s$，以及对于固定的$p$和几乎所有的$s$，我们得到更强的边界。我们也使用类似的想法来表明，对于几乎所有的素数，总是可以找到一个元素的一个大的顺序在任何相当短的时间间隔。
On Hecke eigenvalues of cusp forms in almost all short intervals
令$ψ$是一个函数，使$ψ(x) \rightarrow \infty$作为$x \rightarrow \infty.$令$λ_{f}(n)$是$n$ -th Hecke特征值的一个固定的全纯尖点形式$f$为$SL(2,\mathbb{Z}).$我们表明，对于任何实值函数$h(x)$，使$(\log X)^{2-2α} \ll h(X) =o(X),$ $$\sum_{n=x}^{x+h(X)} |λ_{f}(n)| \ll_{f} h(X)ψ(X)(\log X)^{α-1}$$的所有，但$O_{f}( Xψ(X)^{-2})$许多整数$x\in [X,2X-h(X)],$，其中$α$是平均值的$|λ_{f}(p)|$素数。我们将这一点推广到$|λ_{f}(n)|^{2^{k}}$和$k \in \mathbb{Z^{+}}.$
Finding Almost Squares III
类型2的几乎平方是整数$n$，可以用两种不同的方式分解为$n = a_1 b_1 = a_2 b_2$，即$a_1$、$a_2$、$b_1$、$b_2 \approx \sqrt{n}$。本文改进了以往关于含2型殆平方的短区间的结果。这导致在$x$周围寻找包含可被具有$0 < c < 1$的$[x^c, 2 x^c]$中的某个整数整除的整数的短间隔的查询。
Almost $k$-th powers in short intervals
该数学研究针对短区间内的几乎k次幂问题，证明存在特定常数δₖ(θ)使区间含满足误差条件的k个整数乘积，且δ₃(1)、δ₄(1)取1/2，改进了Chan的结论。
Improved bounds for multiplicative functions in almost all short intervals
研究改进乘法函数短平均值的Matomäki-Radziwiłł方法，对特定函数证明最优衰减界，关键是精确处理筛法误差，还给出其他函数的改进界及局限性，应用于平均Chowla猜想获改进界。
Théorème d'Erdős-Kac dans presque tous les petits intervalles
我们证明了只要$h$趋于无穷大且有$x$，Erdens-Kac定理在几乎所有的区间$\left[x,x+h\right]$都成立.我们还表明，对于所有$k$附近的$\log\log x$，几乎所有的区间$\left[x,x+\exp\left(\left(\log\log x\right)^{1/2+\varepsilon}\right)\right]$包含的整数$n$，使$ω(n)=k$的预期数量。这些结果是一个后果的方法介绍了Matomäki和Radziwiwienkirk估计总和的乘性函数在短的时间间隔。
The Liouville function in short intervals [after Matomaki and Radziwill]
这是一个副本我的布尔巴基研讨会的工作Matomaki和Radziwill表明，刘维函数展品取消在几乎所有的短间隔尽快的长度的间隔趋于无穷大。
Local divisor correlations in almost all short intervals
本文研究了多重除数函数在短区间内的局部相关性问题，证明了在特定区间长度条件下，其和式的渐近公式对几乎所有参数均成立。
More precise pair correlation of zeros and primes in short intervals
Goldston和Montgomery [3]在黎曼假设下证明了短区间内素数的强对相关猜想与两个二阶矩是等价的。在本文中，我们得到了上述每一个的第二个主要的条款，并表明他们几乎是相互等价的。
Higher uniformity of arithmetic functions in short intervals II. Almost all intervals
本文研究了算术函数在短区间中的均匀性，通过发展传染引理和放大近似函数方程，证明了Gowers范数渐近小，并建立了Hardy-Littlewood猜想和除数相关猜想的短平均。
Finding Almost Squares II
在这篇文章中，我们研究了包含另一种类型的“几乎平方”，一个整数$n$，它可以在两个不同的方式分解$n = a_1 b_1 = a_2 b_2$与$a_1, a_2, b_1, b_2$接近$\sqrt{n}$。
Goldbach's Problem in short intervals for numbers with a missing digit
本文在狄利克雷L函数无零点区域假设下，证明了短区间内几乎所有缺失一位数字的偶数都是哥德巴赫数。
Finding Almost Squares
我们研究包含"几乎平方“的短间隔，一个整数$n$，可以分解为$n = ab$与$a$，$b$接近$\sqrt{n}$。这涉及到$n^2 α\pmod 1$的分布问题和两个平方和之间的差距问题。
Congruences with intervals and subgroups modulo a prime
我们得到了关于几乎所有模素数$p$的剩余都用一个小整数和$({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^*$的小乘法子群的一个元素的乘积表示的新结果。这些结果是基于J.Cilleruelo和M. Z. Garaev（2014年），
Multiplicative functions in short intervals II
我们确定了几乎所有的短区间内的乘性函数在素数的正比例处消失的行为。此外，我们量化“几乎所有”与统一的节能上限，也就是说，我们保存的权力，适当规范化的长度的间隔，无论多长或短的间隔。这样的节能界限是新的，即使在莫比乌斯函数的特殊情况下。这些一般性的结果是由几个应用程序的动机。首先，我们加强工作的胡利两个平方和建立一个渐近的整数的数量是两个平方和在几乎所有的短时间间隔。以前只知道数量级。其次，我们将这个结果推广到任意数域$K$的一般范数形式（两个平方和是$\mathbb{Q}(i)$的范数形式）。第三，胡利确定了$(s_{n + 1} - s_{n})^γ$与$γ\in (1, 5/3)$之和的数量级，其中$s_{1} < s_2 < \ldots$表示可表示为两个平方和的整数。我们用可表示为任意数域$K$的范数形式的整数序列$γ\in (1, 3/2)$和$s_n$建立了类似的结果。这是第一个这样的结果，一个数域的程度大于2。假设所有Hecke $L$ -函数都满足Riemann假设，我们还证明了$γ\in (1,2)$是可容许的.第四，改进了Heath-Brown关于$x^{\varepsilon}$ -smooth数之间的间隔的结果.更一般地，我们得到的结果之间的差距乘法序列。最后，我们的结果在其他情况下也很有用，例如在我们即将进行的关于傅立叶均匀性的工作中（与Terence T…
On a function introduced by Erdös and Nicolas
该研究证明Erdös与Nicolas提出的算术函数$F(n)$是Kassel和Reutenauer提出的多项式$P_n(q)$的最大系数，推导了$P_n(q)$系数大于1的等价条件，并改进了相关已有结果。
A note on the Liouville function in short intervals
本文给出了一个简短而完备的证明，证明了对任何$δ> 0$，$\sum_{x \leq n \leq x+x^δ} λ(n) = o(x^δ)$对几乎所有的$x \in [X, 2X]$ .我们还勾画了这样的结果一般实值乘性函数的证明。这两个结果都是我们最近更复杂和冗长的预印本中结果的特殊情况。
Sums of primes and squares of primes in short intervals
令$\mathbf H_2$表示偶数集合$n \not\equiv 1 \pmod 3$。我们证明了当$H \ge X^{0.33}$，几乎所有的整数$n \in \mathbf H_2$，$X < n \le X + H$都可以表示为一个素数与一个素数的平方之和.我们也证明了一个类似的结果，三个平方和的素数。
Goldbach Numbers in Short Intervals -- A Nonnegative Model Approach
我们减小了几乎所有偶数都是两个素数之和的最短区间的长度。这是通过应用圆方法的一个版本来实现的，该方法使用两个次要变量以及其中一个的非负模型。与Harman以前的最强结果相比，我们不需要任何向量筛型不等式，因此既不需要额外的优变量，也不需要弱变量的强密度要求。
Variance of Squarefull Numbers in Short Intervals
本文通过研究短区间内平方满数数量的方差，证明了对任意 $0 < θ < 1/2$，几乎所有短区间 $(x, x + x^{1/2 + θ}]$ 中平方满数的数量约为 $\ rac{ζ(3/2)}{2 ζ(3)} x^θ$。
Smooth Numbers in Short Intervals
令\( X \geq y \geq 2 \)，令\( u = \frac{\log X}{\log y} \)。我们说一个数是\textit{$y$-smooth}，如果它的所有素因子都小于或等于\( y \)。本文研究了$y$ -光滑数在短区间上的分布.特别是，对于\( y \geq \exp\left( (\log X)^{2/3 + ε} \right) \)，我们表明，间隔\( [x, x+h] \)包含一个$y$ -光滑的数字几乎所有的\( x \in [X, 2X] \)，提供\( h \geq \exp\left( (1 + ε) \left( \frac{11}{8} u \log u + 4 \log \log X \right) \right) \)，和\( X \)是足够大的依赖于\( ε\)。这个结果改进了Matomäki的一个早期结果。此外，我们提供了相应的“所有区间”类型结果。
Additive functions in short intervals, gaps and a conjecture of Erdős
与治疗的局部行为的添加剂功能的目的，我们开发类似物的Matomäki-Radziwill定理，使我们能够近似的平均值的一般添加剂功能在一个典型的短间隔的长期平均。作为这种治疗的一部分，我们使用的Matomäki-Radziwill定理的一个变种的除数界乘性函数最近证明的作者。我们考虑这些方法的两组应用程序。我们的第一个应用表明，对于加性函数$g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$，平均间隙$|g(n)-g(n-1)|$的大小的任何非平凡节省意味着$g$必须具有小的一阶矩，即，平均而言，$g(n)$与其平均值的差异很小。对于间隙的二阶矩，我们也得到了这样一个结果的一个变体。这补充了艾略特和希尔德布兰德的结果。作为第二个应用程序，我们取得了部分进展的一个老问题的Erdens有关的特点$\log n$作为唯一的“几乎处处“增加添加剂功能（常数因子）。证明了如果一个加性函数几乎处处非减，则它几乎处处可由一个常数乘以一个对数很好地逼近。我们还表明，如果$g$是一个完全加性的功能，使密度的一组例外$\frac{1}{X}|\{n \leq X : g(n) < g(n-1)\}|$像$O((\log X)^{-2-ε})$衰减，使$g$不是非常大，往往在素数（在精确的意义上），然后$g$是等同于常数乘以对数。
Multiplicative functions in short intervals
我们介绍了一个一般的结果有关“短平均”的乘法函数的“长平均”，这是很好理解的。这一结果有几个后果。首先，对于莫比乌斯函数，我们证明了在几乎所有的$[x, x + ψ(x)]$与$ψ(x) \rightarrow \infty$任意慢的形式的区间中，$μ(n)$的和都有消去。这超出了以前已知的有条件的密度假设或更强的黎曼假设。第二，我们解决了长期存在的猜想$x^ε$ -光滑数的存在性在区间的形式$[x, x + c(\varepsilon) \sqrt{x}]$，恢复无条件的条件（黎曼假设）的Soundararajan的结果。第三，我们证明了对于某些$δ> 0$，具有$λ(n)$ Liouville函数的$λ(n)λ(n+1)$的均值在绝对值上非平凡地有$1 - δ$的界.这解决了一个古老的民间传说猜想，并构成了对Chowla猜想的进展。第四，我们证明了一个（一般）实值乘法函数$f$具有正比例的符号变化，当且仅当$f$是负的至少一个整数和非零的正比例的整数。这改进了许多以前的作品，并且在莫比乌斯函数的情况下已经是新的。我们还得到了关于几乎所有区间上光滑数的一些结果，以及乘性函数在所有平方根长度区间上的符号变化。
On the Correlations, Selberg Integral and Symmetry of Sieve Functions in Short Intervals
我们研究了算术（实）函数f=g*1，其中g“本质有界”且支撑在[1，Q]的整数上。特别地，我们通过f的“相关性”得到了几乎所有短区间[x-h，x+h]（N<x<2N）中f的“Selberg积分”和“对称积分”的非平凡界，这些短区间超过了“经典”水平，直到分布水平，比如lambda=log Q/log N < 2/3（对于足够大的h）。这一次我们不像文[C-S]那样应用大筛不等式。准确地说，我们的方法是完全基本的。
Beatty solutions of almost Golomb functional equations
本文研究了几乎戈尔布方程的第二单调解，证明了当r不是偶数完全平方时，存在由斜率为1/√r的非齐贝蒂序列构成的解，并通过局部分析和等分布理论确定了特定r值的区间。
The critical-window profile for $d_k$ in short intervals
本文针对短区间中$k$重除数函数，建立几乎处处转移定理，明确其临界尺度$D_k(X)$，推导转移窗口内外的平均渐近行为，为相关数论问题提供了关键的分布结果。
Siegel zeros, twin primes, Goldbach's conjecture, and primes in short intervals
我们研究的分布素数下不太可能的假设，西格尔零存在。特别是，我们证明了\[ \sum_{n \leq X} Λ(n) Λ(\pm n+h) \]的渐近公式，它保持一致的$h = O(X)$。这样一个渐近公式以前只对固定的$h$得到过，在这种情况下，我们的结果定量地改进了Heath-Brown（1983）和Tao and Teräväinen（2021）的结果。由于我们的主要定理也适用于大的$h$，我们可以得出新的结果之间的联系西格尔零和哥德巴赫猜想和西格尔零和素数之间的几乎所有非常短的时间间隔。
Affine interval exchange maps with a wandering interval
对于亏格g ≥ 2的区间交换映射T_0，我们构造了与T_0半共轭的具有游荡区间的仿射区间交换映射T.
The Riemann zeta function in short intervals [after Najnudel, and Arguin, Belius, Bourgade, Radziwiłł, and Soundararajan]
这是我的Bourbaki研讨会从2019年3月30日起的文本，关于黎曼ζ函数在临界线上长度为1的“几乎所有”区间中的最大尺寸。它调查的猜想Fyodorov-Hiary-基廷的行为，这一典型的最大值，以及最近的进展对猜想Najnudel和由Arguin-Belius-Bourgeon-Radziwiwiiien-Soundarajan。也有一些关于zeta值分布和大值的一般背景讨论。
Sampling Almost Periodic and related Functions
我们考虑某些有限集的圆值函数定义的区间上的实数和估计多大的间隔必须为这些功能的值是均匀分布的近似方法。这是用来建立一些一般性的条件下，随机建设介绍了卡茨纳尔逊的整数产量集是密集的玻尔群。我们以这种方式获得非常稀疏的实数集（和整数）上的两个不同的殆周期函数不能同意，是什么使他们适合被用于这些功能的采样定理。这些集合可以稀疏到具有零渐近密度或成为t-集合，即，在一个有界集中与它们的任何平移相交的集合。这些结果中的许多不仅证明了殆周期函数，但也为更一般的复杂指数函数，包括啁啾产生的函数类。
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