短区间内的几乎k次幂

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设k≥3为固定整数，x为足够大的实数，0<c₀<θ≤1为固定实数且c₀>0。本文证明存在常数1/2≤δₖ(θ)<1，使得区间[x, x+x^{δₖ(θ)+ε}]包含形如n₁n₂…nₖ的整数，满足|nⱼ−n^{1/k}|≪n^{θ/k}（j=1,2,…,k）。特别地，δ₃(1)=δ₄(1)=1/2，改进了Chan的先前结果。

英文摘要

Let $k\geq 3$ be a fixed integer and $x$ be a large real number. Let $0<c_0<θ\leq 1$ be a fixed real number for some $c_0>0.$ In this paper we show that there exists a constant $1/2\leq δ_k(θ)<1$ such that the interval $[x, x + x^{δ_k(θ) +\varepsilon} ]$ contains an integer of the form $n_1n_2 \cdots n_k$ such that $|n_j-n^{1/k}|\ll n^{θ/k} \ (j=1,2, \cdots, k)$. Especially we have $δ_3(1) = δ_4(1) = 1/2,$ which improves previous results of Chan.

发表机构

• China University of Mining and Technology（中国矿业大学）

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