Prime and polynomial distances in colourings of the plane
本文扩展了奇距离图无界色数定理，证明平面任意有限着色必含单色点对，其距离为给定整系数多项式的值或素数。
2024-05-22 math.CO math.MG math.NT
Obstructions to some injective oriented colourings
有向图$G$到有定向图$H$的同态的局部内射性的几种可能的定义中的每一种都会导致内射定向着色问题。对于每一种情况下，这样的问题是在多项式时间可解的，我们确定了一组$\mathcal{F}$的定向图，使定向图$G$具有内射定向着色与给定数量的颜色，当且仅当没有$F \in \mathcal{F}$，其中有一个局部单同态的$F$到$G$。
2022-07-25 math.CO
On graphs which have locally complete 2-edge-colourings and their relationship to proper circular-arc graphs
该研究聚焦具有局部完全2边着色的图，证明其可多项式时间识别，给出类似Gallai余可比图刻画的禁用子结构特征，并刻画了对应类别的正常区间图与正常圆弧图。
2024-10-07 math.CO
On the complexity of k-rainbow cycle colouring problems
如果循环的所有边都有不同的颜色，则边着色循环为$rainbow$。对于$k\geq 1$，令$\mathcal{F}_{k}$表示所有具有任何$k$顶点位于一个圈上的性质的图的族。对于$G\in \mathcal{F}_{k}$，$G$的$k$ - $rainbow$ $cycle$ $colouring$是边着色，使得$G$的任何$k$顶点位于$G$中的彩虹循环上。$G$的$k$ - $rainbow$ $cycle$ $index$，用$crx_{k}(G)$表示，是$G$的$k$ -彩虹循环着色中所需的最小颜色数。在本文中，我们限制我们的注意力$k$ -彩虹循环着色的计算方面。首先证明了判定$crx_1=3$是否可在多项式时间内求解的问题，而判定$crx_1 \leq k$是否为NP-完全问题，其中$k\geq 4$ .然后证明了$crx_2=3$是否能在多项式时间内求解的问题，而$crx_2 \leq 4$或$5$是否能在多项式时间内求解的问题是NP-完全的。此外，我们还考虑了$crx_3=3$和$crx_3 \leq 4$的情况。最后，我们证明了判定一个图的边染色（具有无限的颜色数）是否是$k$ -彩虹圈染色的问题，分别对$k=1$，$2$和$3$是NP-完全的.提出了有待进一步研究的问题。
2018-10-07 math.CO
Transversal polynomial of r-fold covers
我们探索代数组合学和图论中的算法问题之间的相互作用，通过定义一个多项式与对应着色（也称为DP着色），最近的概括列表着色，和唯一的游戏猜想。就像图的色多项式一样，我们能够在一个点上计算这个多项式，尽管计算这个多项式很复杂。我们通过将图的每个顶点吹成一个$r$顶点集，并通过与$r$边的匹配连接对应于邻顶点的每对集合来构造图$X$的覆盖。对于$X$的每个覆盖$Y$，我们关联一个多项式$ξ(Y,t)$，称为横向多项式。$ξ(Y,t)$的系数$t^k$是$Y$的$k$ -边诱导子图的个数，其顶点集是由爆破顶点给出的集合系统的横截.我们证明了$ξ(Y,t)$满足一个压缩-删除公式，并且如果$n=|V_X|$和覆盖有索引$r$，则$ξ(Y,-(r-1)) \equiv 0 \mod r^n$。
2022-12-15 math.CO
A note on graphs of $k$-colourings
本文证明每个图都可由某个$k$-着色图唯一确定，证实相关猜想，并表明有限个广义色多项式无法唯一反推原图。
2024-02-29 math.CO
On Color Isomorphic Pairs in Proper Edge Colourings of Complete Graphs
继最近的文件，发起了研究的颜色同构问题的完全图，我们得到了上界$f_2(n,H)$的一个家庭的图$H$获得的$K_0$ -th根的权力，一个平衡的有根树，一些足够大的$K_0$。证明使用Bukh的随机多项式方法。我们还得到了完全二部图的$1$ -细分的匹配下界。
2022-01-03 math.CO
Colouring perfect graphs with bounded clique number
一个图是完美的，如果每个诱导子图的色数等于它的最大团的大小，并且Grötschel，Lovász和Schrijver在1988年的一个算法在多项式时间内找到了完美图的最佳着色。但是该算法使用椭球方法，并且构造一个“组合”多项式时间算法来产生完美图的最佳着色是一个众所周知的公开问题。$G$中的偏斜划分是$V(G)$的划分$(A,B)$，使得$G[A]$不连通且$\bar{G}[B]$不连通，其中$\bar{G}$表示补图;并且如果满足$G$和$\bar{G}$中的路径的附加奇偶性条件，则它是平衡的。在本文中，我们首先给出了一个多项式时间算法，输入一个完美图，输出一个平衡斜划分，如果有一个。然后，我们用这个得到一个组合算法，找到一个最佳着色的完美图的团数$k$，在时间上是多项式固定$k$。
2017-07-12 cs.DM math.CO
Nested colourings of graphs
一个图的正常顶点着色是\emph{nested}，如果它的每个色类的顶点可以通过包含它们的开邻域来排序。通过与偏序集的关系，我们证明了嵌套的色数可以在多项式时间内计算。显然，嵌套色数是图的色数的一个上界。利用图的一般性质，给出了嵌套色数的多个不同界。我们还确定了嵌套的色数下的几个图形操作的行为，包括直接，笛卡尔，强，和字典的产品。此外，我们还对具有固定色数的固定顶点数的图的可能嵌套色数进行了精确的分类。
2013-06-01 math.CO
Maximum number of colourings. I. 4-chromatic graphs
证明了$n$顶点上具有$χ(G) \geq 4$的连通图$G$对每个$k \geq 4$至多有$k(k-1)^{n-3}(k-2)(k-3)$ $k$ -染色.当且仅当图是由$K_4$通过重复添加叶子而形成时，对某些（然后对每个）$k$成立相等。这证实了Tomescu [Le nombre des graphes connexes $4$ -chromiques minimaux sommets etiquetes，C. R. Acad. Sci. Paris 273（1971），1124-1126].证明方法可能是独立的利益。特别是，我们的一个辅助结果列表-色多项式解决了最近的猜想布朗，Erey和李。
2017-08-05 math.CO
$3$-Colouring $P_t$-free graphs without short odd cycles
对于任何奇数$t\ge 9$，我们提出了一个多项式时间算法，解决了$3$着色问题，并找到一个$3$着色，如果存在的话，在$P_{t}$ -免费图的奇数围长至少$t-2$。特别是，我们的算法适用于$(P_9, C_3, C_5)$ -free图，从而朝着确定$3$ -着色在$P_t$ -free图，这是开放的$t\ge 8$的复杂性的进展。
2020-08-11 cs.DM math.CO
Monochromatic Paths and a Topological Approach to Norine's Conjecture
Charles University（查理大学）
本文受Norine猜想启发，研究2-边染色超立方体中的单色对径路径，通过三角化2-骨架的拓扑准则，证明中心对称单连通2-复形的任何对径染色都存在连接对径顶点对的单色路径，并通过对特定染色类中相对正方形面进行对称三角化，拓扑验证了这些类的Norine猜想，同时给出了仅有有限正方形面存在结构障碍情形下的定量界。
2026-08-11 math.CO
Complexity of colouring problems restricted to unichord-free and \{square,unichord\}-free graphs
图中的\emph{unichord}是一条边，它是圈的唯一弦。\emph{square}是四个顶点上的诱导环。一个图是\emph{unichord-free}，如果它的边都不是幺弦。本文对一个已知的无幺弦图的结构定理作了一个简单的重述，并证明了除了完全图$K_4$之外，任何最大度为3的无平方、无幺弦图都可以用四色全着色.我们的证明可以变成一个多项式时间算法，实际上输出的颜色。这解决了类的平方免费，unichord-free图作为一类的边着色是NP-完全的，但总着色是多项式。
2013-09-11 cs.DM math.CO
Graph colouring and Steenrod's problem for Stanley-Reisner rings
针对代数拓扑中Steenrod提出的分次环作为空间上同调环的经典问题，定义图着色的代数版本跨度着色，探究其与分次Stanley-Reisner环的Steenrod问题的关联。
2025-01-17 math.AT math.CO
Total b-chromatic Colouring of Graphs
本文引入图的全b-染色概念（扩展b-染色至顶点和边），证明一般图中计算全b-色数是NP难的，且给出毛虫图子类的多项式时间计算算法及最大颜色数的全b-染色方法。
2025-08-14 math.CO
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
2017-04-04 math.CO
Perfect Resolution of Strong Conflict-Free Colouring of Interval Hypergraphs
$k$ -强无着色（简称$k$ -SCF）问题是用最少的颜色数来给超图$H$的顶点着色，使得在$H$的每个超边$e$中，至少有$\min\{|e|,k\}$顶点的颜色不同于$e$中所有其它顶点的颜色.在区间超图的情况下，我们提出了一个精确的$P$ -时间算法的$k$ -SCF问题，从而解决了一个开放的问题Cheilaris等。（2014）。我们实现我们的结果表明，对于任何超图的$k$ -SCF着色是一个适当的着色相关的单图，我们称之为共生图。然后，我们表明，共现图是通过确定一个诱导子图的第二个单图，我们介绍，我们称之为冲突图。对于区间超图，我们证明了每个共生图和冲突图都是完美图。这个性质在我们的多项式时间算法中起着至关重要的作用。其次，我们证明了对于区间超图，$1$ -SCF着色数是区间超图的最小划分，使得每个区间超图的集合都有一个精确的命中集（在该命中集中，每个区间恰好被命中一次）.
2021-06-07 math.CO
Colouring $(sP_1+P_5)$-Free Graphs: a Mim-Width Perspective
我们证明了类的$(K_t,sP_1+P_5)$ -自由图有界最小宽度的每一个$s\geq 0$和$t\geq 1$，并有一个多项式时间算法，给定一个图在类中，计算分支分解的常数最小宽度。大量的\NP -完全图问题在有界最小宽度的图类上成为多项式时间可解的，并且对于这些图类，分支分解是快速可计算的。$k$ -着色问题就是这种问题的一个例子。对于这个问题，我们可以假设输入图是无$K_{k+1}$的。然后，作为我们的结果的一个结果，我们得到了一个新的证明已知的结果，即对任何固定的$k\geq 1$和$s\geq 0$，$k$ -着色是多项式时间可解的$(sP_1+P_5)$ -自由图。事实上，我们的研究结果表明，这种多项式时间算法的根本原因是该类具有有限的最小宽度。
2020-04-23 cs.CC cs.DM cs.DS
Edge-colouring and total-colouring chordless graphs
图$G$是\emph{chordless}，如果在$G$中没有圈有弦。本文研究了无弦图的色指数和全色数。我们描述了一个已知的无弦图的分解结果，并利用它建立了每个最大度的无弦图$Δ\geq 3$都有色指数$Δ$和全色数$Δ+ 1$。证明是算法的意义上，我们实际上输出一个最佳着色的图形实例在多项式时间。
2013-09-07 cs.DM math.CO
Colouring Probe $H$-Free Graphs
Department of Computer Science, Durham University（达勒姆大学计算机系）；Institute of Optimization and Operations Research, Ulm University（乌尔姆大学优化与运筹学研究所）；Department of Information and Computing Sciences, Utrecht University（乌得勒支大学信息与计算科学系）
研究了H-无图的着色问题，发现当图结构为P_t-无图时，3着色复杂性取决于t的大小，t≤5时多项式时间可解，t≥6时为NP难。
2025-12-27 cs.DM cs.DS math.CO
The Generalised Colouring Numbers on Classes of Bounded Expansion
广义着色数$\mathrm{adm}_r(G)$、$\mathrm{col}_r(G)$和$\mathrm{wcol}_r(G)$是由Kierstead和Yang作为通常着色数的推广而引入的，也被称为图的退化度，并且从那时起在Nešetzil和Ossona de Mendez引入的有界扩张和无处稠密类图的理论中找到了重要的应用。本文研究了色数与另外两种测度的关系，即与均匀拟宽的测度的关系，这两种测度是Dawar等人在一阶逻辑的保持定理中首先研究的，以及与Grohe等人引入的分裂器博弈的关系。我们证明了除固定拓扑子图外的每个图都有一个泛序，即，一阶证明对于$r$的每个值，着色数都很小。最后，我们使用我们的建设这样的订单给一个新的证明Eickmeyer和Kawarabayashi的结果，示出的继任者不变的一阶公式的模型检验问题是固定参数听话的排除拓扑未成年人的图类。
2016-06-29 cs.DM math.CO
The forced colouring function of a graph
Monash University（莫纳什大学）
本文研究图的强制着色函数，确立其基本性质，给出特定点导数的组合解释，并证明在特定区间内计算其值为#P-难。
2026-09-16 cs.DM math.CO
Characterizing Circular Colouring Mixing for $\frac{p}{q}<4$
给定一个图$G$，$k$ -混合问题是：从一个$k$ -着色$f$开始，通过每次只改变一个顶点的颜色，同时在每一步保持一个$k$ -着色，是否可以得到$G$的所有$k$ -着色？更一般地说，对于图$H$，$H$ -混合问题是：从一个同态$f$开始，通过每次只改变一个顶点的图像，同时在每一步保持一个同态$G \to H$，是否可以得到所有的同态$G \to H$？本文主要研究$k$ -着色的一个推广，即$(p,q)$ -圆着色.我们证明了当$2 < \frac{p}{q} < 4$，一个图$G$是$(p,q)$ -混合的当且仅当对于$G$的任何$(p,q)$ -着色$f$，和$G$的任何循环$C$，在着色下循环的风等于一个特定的值（直观上对应于没有风）.作为结果，我们表明，$(p,q)$ -混合是封闭的限制同态称为折叠。利用这一点，我们证明了$(2k+1,k)$ -mixing对所有$k \in \mathbb{N}$都是co-NP-完全的，并利用类似的思想证明了如果连通图$G$的循环色数是$\frac{2k+1}{k}$，则$G$折叠成$C_{2k+1}$ .我们利用这个刻画解决了Brewster和Noel的一个猜想，即二部图的循环混合数是$2$。最后，当$(p,q)$.
2022-05-20 math.CO
Role colouring graphs in hereditary classes
研究了遗传类图的角色着色的计算复杂性。我们感兴趣的是描述家庭的遗传类上的角色着色与k颜色可以计算在多项式时间。特别地，我们希望描述“难”和“易”类之间的边界。边界类的概念是阿列克谢耶夫为了研究这种边界而引入的。我们的主要结果是一个边界类的k-角色着色问题和相关的k-优惠券着色问题，最近得到了很多关注的文献。后一个结果使用的技术，用于生成任意围长的规则图，这可能是独立的利益。
2018-02-27 cs.CC math.CO
The 2-colouring problem for $(m,n)$-mixed graphs with switching is polynomial
该研究针对(m,n)-混合图在切换操作下的同态判定问题，证明当目标图顶点数k≤2时多项式可解，k≥3时NP困难，为二分定理提供进展。
2022-10-24 math.CO
Polynomial Schur's theorem
我们解决了$\{x,y,z:x+y=p(z)\}$的Ramsey问题，对于$\mathbb{Z}$上的所有多项式$p$。特别是，我们将所有多项式是$2$ -拉姆齐，也就是说，这些$p(z)$，使任何$2$ -着色的$\mathbb{N}$包含无限多个单色解决方案的$x+y=p(z)$。对于非$2$ -Ramsey多项式，我们证明了$\mathbb{N}$的所有非$2$ -Ramsey的$2$ -着色，揭示了某些整除障碍是$x+y=p(z)$的$2$ -Ramsey性的唯一障碍.
2023-01-07 math.CO math.NT
A Dichotomy Theorem for Circular Colouring Reconfiguration
循环着色的“重新配置问题”问，给定两个$(p,q)$ -着色$f$和$g$的图$G$，是否有可能转换$f$到$g$通过改变一个顶点的颜色在一个时间，使每个中间映射是一个$(p,q)$ -着色？我们证明了这个问题可以在多项式时间内解决$2\leq p/q <4$和PSPACE完全$p/q\geq 4$。这推广了一个已知的二分法重新配置经典图着色定理。
2016-04-13 cs.CC cs.DM math.CO
Hardness of linearly ordered 4-colouring of 3-colourable 3-uniform hypergraphs
该研究证明，区分3-一致超图是否LO 3-可着色与LO 4-不可着色是NP完全的，通过代数、拓扑和组合方法扩展了近似图着色的拓扑途径。
2023-12-20 cs.CC math.AT math.CO
Paths between colourings of sparse graphs
图~ $G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$具有$G$的所有可能的$k$ -着色的集合作为顶点集，并且如果两个着色在一个顶点上不同，则两个着色是相邻的。我们给出了Bousquet和Perarnau（\emph{European Journal of Combinatorics}，2016）的以下定理的简短证明。令$d$和$k$为正整数，$k \geq d + 1$。对于每个$ε> 0$和每个具有$n$顶点和最大平均度$d - ε$的图$G$，存在一个常数$c = c(d, ε)$使得$R_k(G)$具有直径$O(n^c)$ .我们的证明可以转化为一个简单的多项式时间算法，找到一个路径之间的一对给定的着色$R_k(G)$。
2020-12-12 cs.DM math.CO
Fractionally colouring $P_5$-free graphs
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Oxford（牛津大学）
该研究证明了不含诱导五顶点路径 $P_5$ 的图的分数着色数上限，并推进了多项式Gyárfás-Sumner猜想的研究。
2026-01-01 math.CO
Colouring polygon visibility graphs and their generalizations
曲线伪可见图推广了多边形和伪多边形可见图，形成了一类遗传图。证明了团数为$ω$的曲线伪可见图的色数至多为$3\cdot 4^{ω-1}$。证明是通过设置有序图，我们确定了两个条件满足的每一个曲线伪可见图（被认为是一个有序图），并证明他们是足够的要求的界限。证明是算法的：团数和具有所声称的颜色数的着色都可以在多项式时间内计算。
2021-03-13 cs.CG math.CO
On The Toric Ideals of the Coloured Graphs of Reduced Words
本文研究由阶梯分拆索引的伪多部图，给出其一般色多项式，并利用分拆恒等式构造与顶点正常着色相关的仿射环面理想，证明其射影版本可由卡通图实现。
2023-10-26 math.CO
On the complexity of colouring antiprismatic graphs
针对着色反棱柱图（即棱柱图团覆盖问题）复杂度未知的问题，本文提出了两种多项式时间算法，分别解决不可定向棱柱图的团覆盖问题和所有棱柱图的顶点不相交三角形问题。
2019-10-24 cs.DM math.CO
The chromatic number of a signed graph
在1982年，Zaslavsky引入了符号图$G$的一个适当顶点着色的概念，作为一个映射$ϕ\colon V(G)\to \mathbb{Z}$，使得对于任何两个邻顶点$u$和$v$，颜色$ϕ(u)$不同于颜色$σ(uv)ϕ(v)$，其中$σ(uv)$是边$uv$的符号。大部分Zaslavsky的研究集中在多项式不变量相关的签署图着色，而不是行为的着色个别签署图。我们继续研究签署的图着色提出的定义，一个色数的签署图，它提供了一个自然的扩展的色数的无符号图。我们建立了这个不变量的基本性质，给出了它的色数的界，研究了平面符号图的色数，证明了著名的Brooks定理在符号图上的推广.
2016-03-03 math.CO
Colouring signed analogues of Kneser, Schrijver, and Borsuk graphs
本文研究Kneser符号图的平衡着色，证明其平衡色数为n-k+1，引入Schrijver符号图作为顶点临界子图，并探讨与Borsuk符号图的拓扑联系。
2025-09-09 math.CO
Optimal b-Colourings and Fall Colourings in $H$-Free Graphs
Inha University（仁荷大学）；Durham University（杜伦大学）；ENS Lyon（里昂高等师范学校）；University of Glasgow（格拉斯哥大学）
研究H-free图中四种着色问题的计算复杂性，揭示b着色数、崩溃着色数和崩溃无色数的复杂性分类，并发现H存在使得b着色数为NP难而紧b着色数为多项式时间可解。
2026-03-27 cs.CC cs.DM cs.DS
An algorithmic framework for colouring locally sparse graphs
我们开发了一个算法框架图着色，减少了问题，以验证一个本地的独立集的概率属性。有了这一点，我们给任何固定的$k\ge 3$和$\varepsilon>0$，一个随机多项式时间算法着色图的最大程度$Δ$中的每个顶点是包含在最多$t$副本的周期长度$k$，其中$1/2\le t\le Δ^\frac{2\varepsilon}{1+2\varepsilon}/(\logΔ)^2$，与$\lfloor(1+\varepsilon)Δ/\log(Δ/\sqrt t)\rfloor$颜色。这概括并改进了几个值得注意的结果，包括Kim（1995）和Alon，Krivelevich和Sudakov（1999）的结果，以及Molloy（2019）和Achlioptas，Iliopoulos和Sinclair（2019）的最近结果。色数上的这个界紧到渐近因子$2$，并且它与着色随机图的一个著名的算法障碍相吻合。
2020-04-15 cs.DS math.CO
The Potts model and chromatic functions of graphs
Noble和Welsh的$U$ -多项式与Potts模型以及几个重要的图多项式有着密切的联系。对于每个图$G$，$U(G)$等价于Stanley的对称坏着色多项式$XB(G)$。此外，Sarmiento建立了$U$和Brylawski的多铬酸盐之间的等效性。Loebl将$q$ -重铬酸盐$B_q(G,x,y)$定义为图$G$和三个自变量$q,x,y$的函数，证明了它等于具有可变状态数和一定外场贡献的Potts模型的分拆函数，并证明了$q$ -重铬酸盐等价于$U$ -多项式.他还提出了一个更强的猜想整数分区。本文的目的有两个方面。我们提出了一个建设反驳Loebl的整数分区猜想，我们引入了一个新的功能$B_{r,q}(G;x,k)$，这也是等于Potts模型的分拆函数的可变数量的状态和（不同）的外部字段的贡献，我们表明，$B_{r,q}(G;x,k)$是等价的$U$ -多项式和斯坦利的对称着色坏多项式。
2013-11-18 math.CO
Equitable $d$-degenerate choosability of graphs
设${\mathcal D}_d$是$d$ -退化图类，$L$是图$G$的列表赋值. $G$的一个着色使得每个顶点从它的列表中接收一种颜色，并且由一种颜色着色的顶点所诱导的子图是$d$ -退化图，称为$G$的$(L,{\mathcal D}_d)$ -着色.对于一个$k$ -统一列表分配$L$和$d\in\mathbb{N}_0$，如果存在$G$的$(L,{\mathcal D}_d)$ -着色使得任何颜色类的大小不超过$\left\lceil|V(G)|/k\right\rceil$，则图$G$是公平$(L,{\mathcal D}_d)$ -可着色的.公平$(L,{\mathcal D}_d)$着色是公平列表着色的推广，由Kostochka等人引入，和张氏提出的一个公平的树型列表。这样的模型在网络分解中可以是有用的，其中一些结构性质被施加在网络上。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法，对于一个给定的$(k,d)$ -分区的$G$与$t$ -统一列表分配$L$和$t\geq k$，返回其公平的$(L,\mathcal{D}_{d-1})$ -着色。此外，我们表明，3维网格是公平的$(L,\mathcal{D}_1)$着色的任何$t$ -均匀列表分配$L$其中$t\geq 3$。
2020-03-21 math.CO
Chromatic polynomials of 2-edge coloured graphs
利用由$2$-边着色图同态导出的$2$ -边着色图的着色定义，将色多项式的定义推广到$2$ -边着色图.我们发现封闭形式的前三个系数的多项式，推广了已知的结果的色多项式的图。当每一个顶点都与两种颜色的边关联时，我们对那些$2$ -边着色图的色多项式等于其基础图的色多项式进行了分类.最后，我们研究这个多项式的根的行为，突出的行为没有看到的色多项式的图形。
2020-07-27 math.CO
Colouring Graphs of Bounded Diameter in the Absence of Small Cycles
对于$k\geq 1$，$G$的$k$着色$c$是从$V(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得对于任何两个非相邻顶点的$c(u)\neq c(v)$为$u$和$v$ . $k$ -着色问题是判定图$G$是否具有$k$ -着色。对于图族${\cal H}$，如果$G$不包含任何来自${\cal H}$的图作为导出子图，则图$G$是${\cal H}$ -free的.令$C_s$为$s$ -顶点循环。在以前的工作（MFCS 2019）中，我们研究了直径对$(C_3,\ldots,C_s)$ -free图和$H$ -free图的$3$ -着色复杂性的影响，其中$H$是一些polyad。在这里，我们证明了$s$的某些小的值，$3$ -着色是多项式时间可解的$C_s$ -自由图的直径$2$和$(C_4,C_s)$ -自由图的直径$2$。事实上，我们的结果适用于更一般的问题列表$3$ -着色。我们补充这些结果与直径$4$的一些硬度结果。
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
On Colourability of Polygon Visibility Graphs
研究了多边形可见图的着色问题。特别地，对于简单多边形的可见图，我们给出了4-着色的多项式算法，并证明了5-着色问题对于它们已经是NP-完全的。对于带洞的多边形可见图，我们证明了4-着色问题是NP-完全的。
2019-06-05 cs.DM math.CO
The Glauber dynamics for edge-colourings of trees
设$T$是一棵在$n$顶点上的树，其最大度为$Δ$。我们证明了对于$k\geq Δ+1$，$T$的$k$ -边着色的Glauber动力学在$n$中以多项式时间混合。由于链对于$k \leq Δ$甚至不是遍历的，所以颜色数的界限是最好的。我们的证明使用递归分解的树到子树;我们绑定的松弛时间的原始树的松弛时间的子树使用块动力学和链比较技术。独立的兴趣，我们还介绍了一个单调性的结果，Glauber动力学，简化了我们的证明。
2020-07-30 cs.DM cs.DS math.CO
Colouring graphs with no induced six-vertex path or diamond
菱形是通过从4个顶点上的完全图中移除边而获得的图。一个图是（$P_6$，diamond）-free的，如果它不包含同构于六点路或菱形的诱导子图.本文证明了无（$P_6$，diamond）图$G$的色数不大于6的最大值和$G$的团数.我们这样做，通过减少问题的不完美（$P_6$，钻石）-免费的图形通过强完美图定理，不完美的图形分为几种情况下，并给予适当的着色为每种情况。我们还证明了只有一个6-顶点临界（$P_6$，diamond，$K_6$）-free图.与Lovász θ函数一起，这给出了一个多项式时间算法来计算（$P_6$，diamond）-free图的色数。
2021-06-16 cs.DM math.CO
Glauber dynamics for colourings of chordal graphs and graphs of bounded treewidth
关于图的着色的Glauber动力学是一个随机过程，它包括在每一步中用在其邻域中不存在的颜色中均匀随机选择的新颜色包围图的随机顶点。已知当可用颜色的总数至少为$Δ+2$时，其中$Δ$是图的最大度，该过程收敛于所有着色的集合上的均匀分布。此外，一个众所周知的猜想是，收敛发生所需的时间，称为混合时间，是图的大小的多项式。这个猜想的许多较弱的变体已经在文献中通过允许更多的颜色或将图限制在特定的类或两者来研究。本文遵循这条研究路线，通过研究混合时间的Glauber动力学弦图，以及图的有界树宽。我们表明，混合时间是多项式的图的大小在以下两种情况下：-图有界树宽，至少$Δ+2$颜色，-弦图，如果颜色的数量至少是$(1+\varepsilon) (Δ+1)$，任何固定常数$\varepsilon$。
2020-11-03 cs.DM cs.DS math.CO
General Parity Result and Cycle-plus-Triangles Graphs
推广了Fleishner和Stiebitz的一个宇称结果，并结合Alon-Tarsi多项式方法证明了由一个哈密顿圈和若干个不相交的三角形构成的4-正则图总是3-可选的.此外，我们提出了一个修改的多项式方法，并显示它如何给稍微多的组合信息的着色比直接应用阿隆的组合零点。
2015-12-19 math.CO
Chromatic polynomials of complementary (n,k)-clique pairs
我们引入了一类由任意数量的边连接的两个团组成的图对。一个图对的成员具有这样的性质：一个图的连通桥边集是另一个图的连通桥边集的补。我们证明了这样一对图的色多项式之间的精确关系，表明它们具有相同的分裂域，并且每个图的非循环方向的数量由另一个图的正确顶点着色的数量决定。
2011-06-07 math.CO
A polynomial version of Cereceda's conjecture
设$k$和$d$使得$k \ge d+2$ .考虑一个$G$-退化图$d$的两个$k$ -着色.我们是否可以通过在每一步中包围一个顶点，同时在任何一步中保持适当的着色，将一个转化为另一个？Cereceda等人肯定地回答了这个问题，并展示了一个指数长度的连续序列。然而，Cereceda强调应该存在一个二次长度。$G$的$k$ -重构图是其顶点是$G$的适当$k$ -着色的图，如果两个着色在一个顶点上不同，则在两个着色之间存在一条边。Cereceda猜想可以重新表述为：$d$ -退化图的$(d+2)$ -重构图在$n$顶点上的直径是$O(n^2)$ .到目前为止，即使对于$d=2$，多项式直径的存在也是开放的。本文证明了$d$ -退化图的$k$-重构图的直径是$O(n^{d+1})$，其中对$k \ge d+2$ .此外，我们还证明了如果$k \ge \frac 32 (d+1)$，则$k$ -重构图的直径是二次的，从而改进了$k \ge 2d+1$的上界.我们还表明，$5$ -重构图的平面二分图有二次直径，证实Cereceda的猜想，这一类的图。
2019-03-13 cs.DM math.CO
On Colouring $(2P_2,H)$-Free and $(P_5,H)$-Free Graphs
着色问题的问题是，对于给定的整数$k$，图的顶点是否可以用至多$k$颜色着色，使得没有两个相邻的顶点接收相同的颜色。一个图是$(H_1,H_2)$ -free的，如果它没有同构于$H_1$或$H_2$的导出子图.如果已知$(H_1,H_2)$ -free图上的着色对于除有限个连通图$H_2$之外的所有图都是多项式时间可解或NP完全的，则连通图$H_1$几乎被分类。证明了除爪图$K_{1,3}$和$5$ -顶点路$P_5$外的所有连通图$H_1$几乎都是可分类的.我们还证明了一些新的硬度结果着色$(2P_2,H)$ -免费的图形。这使我们能够列出所有图$H$，其着色的复杂性在$(2P_2,H)$ -free图上是开放的，以及所有图$H$，其着色的复杂性在$(P_5,H)$ -free图上是开放的。事实上，我们证明这两个列表是一致的。此外，我们证明了$(2P_2,H)$ -free图和$(P_5,H)$ -free图的着色的复杂性对于所有已知的情况是相同的。
2017-12-06 cs.CC cs.DS math.CO
List $k$-Colouring $P_t$-Free Graphs: a Mim-width Perspective
图$G=(V,E)$的着色是一个映射$c\colon V\to \{1,2,\ldots\}$，使得对于$G$的每两个相邻顶点$u$和$v$，$c(u)\neq c(v)$。{ \sc List $k$ -Colouring}问题是决定具有用于每个$u\in V$的列表$L(u)\subseteq \{1,\ldots,k\}$的图$G=(V,E)$是否具有着色$c$，使得用于每个$u\in V$的$c(u)\in L(u)$。最近，Chudnovsky，Spirkl and Zhong（DM 2020）证明了对于每个$t\geq 1$和$K_{1,s}^1$，List $3$ -Colouring对于$(K_{1,s}^1,P_t)$ -free图是多项式时间可解的.我们将他们的结果推广到对每个$k\geq 1$列表$k$ -着色。我们的结果还推广了已知的结果，即对于每个$k\geq 1$和$s\geq 0$，列表$k$ -着色对于$(sP_1+P_5)$ -free图是多项式时间可解的，这是由Hoàng，Kamienski，Lozin，Sawada和Shu（Mimica 2010）证明的$s=0$，以及由Couturier，Golovach，Kratsch和Paulusma（Mimica 2015）证明的。我们证明了我们的结果，证明了一个潜在的宽度参数的有界性。也就是说，我们表…
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
Colouring Graphs Without a Subdivided H-Graph: A Full Complexity Classification
Durham University（杜伦大学）；KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔克-科特赖克校区）；ENS Lyon（里昂高等师范学院）
本文研究了无细分H图的着色问题，通过开发新的分解定理和多项式时间算法，实现了对H₀和H₁两类图的完全复杂性分类，并扩展至稳定切割和反馈顶点集问题。
2026-02-20 cs.CC cs.DM cs.DS
On the expressive power of $2$-edge-colourings of graphs
本文研究2-边染色图集合对图遗传性质的表达能力，刻画了三顶点模式在至多两条边或由单色路径与染色三角形组成时的结构特征，并证明相应自由染色问题多项式可解，同时给出NP-完全情形。
2025-03-10 cs.DM math.CO
A complexity trichotomy for approximately counting list H-colourings
本文研究了图的H-着色列表的近似计数的计算复杂性。我们发现了一个基于图H的结构的自然的图论可割性。如果H是非自反二部图或自反完全图，则列表H-着色的计数是在多项式时间内平凡的.另外，若H是非自反二部置换图或自反真区间图，则列表H-着色的近似计数等价于二部图中独立集的近似计数问题#BIS。这是一个研究得很好的问题，被认为是中等复杂性-据信，它没有一个FPRAS，但它并不像近似最困难的计数问题在#P.对于每一个其他图H，近似计数列表H-着色是完整的#P关于近似保持减少（所以没有FPRAS，除非NP=RP）。该图的两个令人满意的特征是：（i）它在遗传图类方面有一个自然的公式，（ii）证明在很大程度上是自包含的，不需要任何泛代数（不像加权情况下的类似二分法）。我们能够将硬度结果扩展到有界度设置，表明所有硬度结果都适用于最大度至多为6的输入图。
2017-01-05 cs.CC math.CO
Shallow Minors, Graph Products and Beyond Planar Graphs
Dujmović，Jordet，Micek，Morin，Ueckerdt，and Wood [J. ACM 2020]的可平面图乘积结构定理指出，每个可平面图都是树宽有界的图和路的强乘积的子图，这个结果已经成为解决队列布局、非重复着色、中心着色和邻接标号方案等重要公开问题的关键工具。在本文中，我们扩展了这条线的研究，利用浅子证明类似的产品结构定理的几个超越可平面图类。驱动我们工作的关键观察是，许多超越可平面图可以被描述为可平面图与小完全图的强积的浅子图。特别地，我们证明了平面图、$k$ -平面图、$(k,p)$ -簇平面图、扇平面图和$k$ -扇丛可平面图的幂都具有这种浅子结构.利用新旧结果的结合，我们推出了这些类具有有界的色数、有界的非重复色数、多项式$p$ -中心色数、线性强色数和立方弱色数.此外，我们证明了$k$ -间隙可平面图至少有指数局部树宽，因此，不能被描述为一个有界树宽图和一条路的强积的子图。
2022-06-17 math.CO
