Relative Polya Group and Polya Dihedral Extensions of Q
Ali Rajaei, Abbas Maarefparvar
定义了数域的有限扩张的相对Polya群，并证明了Hilbert类域的相对Polya群的平凡性.然后我们把以前关于Q的Polya S3-扩张的结果推广到Q的某些二面角扩张上。
We define the relative Polya group for a finite extension of number fields and prove triviality of the relative Polya group for the Hilbert class field. Then we generalize our previous results on Polya S3-extensions of Q to some dihedral extensions of Q.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Class Groups of Dihedral Extensions
设L/F是2 p次二面扩张，其中p是奇素数。设K/F和k/F分别是L/F的p次和2次子扩张。然后我们将研究类群Cl（K）和Cl（k）的p-秩之间的关系。
Hasse norm principle for Galois dihedral extensions
设$L/k$是数域的伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群同构于$2n$阶二面体群.本文给出了$L/k$的Hasse范数原理以及与$L/k$相关的范数为1的环面$R^1_{L/k}(\mathbb{G}_m)$的弱逼近.
A Note on the Growth of Sha in Dihedral Extensions
本文研究了数域二面体扩张上椭圆曲线Tate–Shafarevich群的阶，给出了精确到4次方幂及整除n的素数的公式，并分别讨论了n为奇数和偶数时与二次子扩张上该群的阶的关系。
Counting biquadratic number fields with quaternionic and dihedral extensions
本文研究了可嵌入四元数或二面体扩张的双二次数域的计数问题，通过用 Hilbert 符号表达逆 Galois 问题的可解性，并应用 Heath-Brown 的方法界定关联二次特征标的和，建立了有界判别式下此类数域数量的渐近公式。
Class number formula for dihedral extensions
给出了$2q$次数域的二面扩张的一个类数公式的代数证明，其中$q$是任意奇数.我们的公式表示的类数的比率为单位的上同调群的顺序的比率，并恢复类似的公式，在文献中出现的特殊情况。作为我们的主要结果的推论，我们得到明确的界限上的（许多）可能的值，可以出现在二面角扩张的类数的比例。这样的界限是通过算术平均得到的，而不需要求助于深层的整表示理论。
The Structure of Hopf Algebras Acting on Dihedral Extensions
我们讨论的同构问题的霍普夫代数产生的Hopf-Galois结构的固定可分域扩张$L/K$。详细研究了$L/K$是Galois的情形，其中$L/K$是二面体群$D_p$，$p\ge 3$是素数，并给出了作用在$L/K$上的霍普夫代数的明确描述.我们还确定当两个这样的霍普夫代数是同构的，无论是作为霍普夫代数或代数。对于$p=3$和选择的$L/K$，我们给出了霍普夫代数的Wedderburn-Artin分解.
Hopf Galois module structure of dihedral degree $2p$ extensions of $\mathbb{Q}_p$
设$p$为奇素数。对于Galois群同构于$2p$阶二面体群$D_{2p}$的域扩张$L/\mathbb{Q}_p$，我们考虑了整数环$\mathcal{O}_L$的每一个Hopf Galois结构和模结构中计算相关阶的基的问题.我们解决了$L/\mathbb{Q}_p$不完全分歧的情况，并给出了一个实用的方法，为$p=3$和$p=5$的情况提供了一个完整的答案.我们看到，在这个家庭的二面角扩展，环的整数总是免费的相关订单在不同的霍普夫伽罗瓦结构。
The ring of integers of Hopf-Galois degree p extensions of p-adic fields with dihedral normal closure
对于奇素数$p$，我们考虑$p$ -adic域的度$p$扩张$L/K$，它具有正规闭包$\widetilde{L}$，使得$\widetilde{L}/K$的伽罗瓦群是$2p$阶二面体群.我们将证明在$L/K$上的唯一Hopf-Galois结构中整数环$\mathcal{O}_L$在其相关阶$\mathfrak{A}_{L/K}$上的自由度的完整表征，这类似于$p$ -adic域的循环度$p$扩展。我们将得出积极和消极的结果$\mathcal{O}_L$的自由度作为$\mathfrak{A}_{L/K}$ -模块的标准。
Comparing local constants of elliptic curves in dihedral extensions
本文研究了椭圆曲线的解析局部常数理论和算术局部常数理论，前者以Rohrlich的工作为基础，后者以Mazur和Rubin的工作为基础。以宇称猜想为动机，人们期望算术局部常数是局部解析根数之比的代数加法对应。我们计算在各种情况下，双方的常数，建立这种连接的一个实质性的类椭圆曲线。通过计算一些新情形下的算术常数，我们还推广了可确定数域二面扩张中p-Selmer秩增长的下界的椭圆曲线类.
The Brauer-Kuroda formula for higher S-class numbers in dihedral extensions of number fields
设p是奇素数，设L/k是数域的伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群同构于2 p阶二面体群。设S是L的一个有限集，在Gal（L/k）作用下是稳定的.关于戴德金ζ函数在负整数上的特殊值的Lichtenbaum猜想，结合Artin L-函数的Brauer形式，给出了一个关于S-整数环的动机上同调群的阶与L/k的子扩张的S-单位的高阶调节子的（代数）公式。类比于经典的特殊值在0的情况下，我们给出了这个公式的代数证明，即不使用Lichtenbaum猜想，也不使用Brauer形式主义。我们的方法也给出了一个解释的调节器作为一个更高的单位指数。
From Polya fields to Polya groups: (I) Galoisian extensions
数域K的Polya群是由具有相同范数的极大理想的乘积类生成的K的类群的子群。波利亚域是一个数域，其波利亚群是平凡的。我们的目的是从已知的关于波利亚域的断言开始，找到关于波利亚群的结果。本文受Zantema结果的启发，研究了Q的两个Galoisian扩张的复合群的Polya群。
Chebyshev's bias in dihedral and generalized quaternion Galois groups
研究了具有二面体$D_{2n}$或二次幂阶（广义）四元数$\mathbb H_{2n}$的伽罗瓦群的有理数的伽罗瓦扩张中Frobenius元的分布不等式.在Fiorilli和Jouve arXiv：2001.05428最近的工作的精神，我们研究，在自然假设下，这样的扩展，在水平方面，在那里的程度是固定的，并在垂直方面，在那里的程度走向无穷大的一些家庭。我们的主要贡献揭示了家庭的扩展的现象，吴给出了数值证据：真正的零的阿廷L-功能有时有一个根本的影响Frobenius元素的分布。
Generalized Artin pattern of heterogeneous multiplets of dihedral fields and proof of Scholz's conjecture
本文将基域K的具有p类转移同态$T_{K,N_i}:\,\mathrm{Cl}_p(K)\to\mathrm{Cl}_p(N_i)$的非分歧循环素数度扩张的齐次多重集$(N_1,\ldots,N_m)$的Artin转移模式$((\ker(T_{K,N_i}))_i,(\mathrm{Cl}_p(N_i))_i)$的概念推广到分歧扩张的异质多重集.应用于具有奇素数p的2 p次二面体N的二次子域K，计算验证了Scholz关于导子f>1的分歧扩张N/K的子域单位指数$(U_N:U_0)$的猜想.
Galois extensions ramified only at one prime
给出了$\Q$和$\F_q(t)$上的扩张的伽罗瓦群只在一个有限素数上分歧的有限群的一些限制条件。在$\Q$上，我们加强了Jensen和Yui关于二面体扩张的结果，并排除了一些非可解群.给出了对称群和二面体群在$\F_q(t)$上的一个限制条件，使它们成为在$\F_q(t)$上的一个弱分歧扩张.
On Brauer-Kuroda type relations of S-class numbers in dihedral extensions
设F/k是具有2 q阶二面体伽罗瓦群的数域的伽罗瓦扩张，其中q是奇数.我们将由Brauer-Kuroda关系产生的中间场的S-类数的某个商表示为单位指数。我们的公式对伽罗瓦群D_{2q}的任意扩张和包含阿基米德素数的任意Galois稳定素数集S都是有效的。我们的结果有好奇的应用程序，以确定单位的伽罗瓦模结构的单位模单位的D_{2q} -从类数和S-类数的扩展的单位的根。我们使用的技术主要是代表性理论，我们认为代表性理论的结果，我们获得的独立利益。
Rationality problem for norm one tori for dihedral extensions
本文利用Endo与Miyata及Endo的定理，完整解决了Galois闭包为二面体扩张的范数一环面的合理性（稳定等价）问题，并在附录中细化了稳定有理情形的证明。
From Polya fields to Polya groups, (II) non-galoisian number fields
数域K的Polya群是由具有相同范数的极大理想的乘积类生成的K的类群的子群。波利亚域是一个数域，其波利亚群是平凡的。我们的目的是从已知的关于波利亚域的断言开始，找到关于波利亚群的结果。在第二篇文章中，我们描述了Q的某些非Galois扩张的Polya群。
Quadratic p-ring spaces for counting dihedral fields
设p为奇素数。对于二次数域\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})\)上的p-容许导体c，通过定义从正整数的除数格\(\mathbb{N}\)到K的p-初等类群\(C/C^p\)与单位群\(U/U^p\)的直积\(V_p\)的子空间格S的态射\(ψ:\,f\mapsto V_p(f)\)，引入了模c的p-环空间\(V_p(c)\).它们的性质允许K上所有扩张域N的精确计数，具有2 p阶的二面体群作为绝对伽罗瓦群\(Gal(N | \mathbb{Q})\)，并共享K上的公共判别式\(d_N\)和导体c。这些扩张的个数\(m_p(d,c)\)由S中p-环空间的位置公式给出，其复杂性随着有限域\(\mathbb{F}_p\)上向量空间\(V_p\)的维数增加，称为K的修正p-类秩\(σ_p\)。到目前为止，显式多重公式的判别式是已知的二次字段与\(0\leσ_p\le 1\)只有。在这里，结果扩展到\(σ_p=2\)，具体的数值例子的支撑。
A note on Polya groups
设$K/\mathbf{Q}$是有限Galois扩张. $K$的波利亚群是类群$Cl(K)$的子群，由$K$的模糊理想类生成。本文证明了有限阿贝尔群同构于数域的Pólya群。
On the dihedral Euler characteristics of Selmer groups of abelian varieties
本文通过Iwasawa主图说明了如何利用欧拉示性数公式的框架来研究CM域的某些二面角或反分圆扩张中的阿贝尔簇的Selmer群，特别是如何在这种情况下验证改进的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的p-部分.当Selmer群关于相伴的Iwasawa代数是余挠时，我们得到了由改进的Birch和Swinnerton-Dyer猜想预言的公式的p-部分.当Selmer群关于相应的Iwasawa代数不是余挠时，给出了余挠子模的欧拉示性数的一个几何描述，并说明了如何由Perrin-Riou和Howard的主要猜想定理导出不等式.
Upper ramification sequences of nonabelian extensions of degree $p^3$ in characteristic $p$
本文对局部特征$p>0$域上$p^3$度的全分歧非交换扩张的上分歧断裂进行了分类。我们发现除了$8$阶的二面体群之外，每个$p^3$阶的非交换伽罗瓦群都可以出现非整数上分歧断裂。
Finding large Selmer rank via an arithmetic theory of local constants
我们得到了数域上二面角扩张上椭圆曲线的Selmer秩的下界。设$K/k$是数域的二次扩张，$E$是定义在$k$上的椭圆曲线，$p$是奇素数.令$F$表示$K$的最大阿贝尔$p$ -扩张，该扩张在所有素数处都是非分歧的，其中$E$具有不良约化并且是具有二面体伽罗瓦群的$k$上的伽罗瓦（即，$Gal(K/k)$的生成器$c$通过-1作用于$Gal(F/K)$）。我们证明了（在对$p$的温和假设下）：如果前$p$ Selmer群$S_p(E/K)$的秩是奇数，则对于$F$中的$K$的每个有限扩张$L$，$S_p(E/L)$的秩至少是$[L:K]$.
On the number of quaternion and dihedral braces and Hopf--Galois structures
本研究证明了乘群为广义四元数群的给定阶braces数量的相关猜想，给出了二面体群情形的类似结果，并枚举了对应Galois扩张上的阿贝尔型Hopf-Galois结构。
Extensions with Galois group Hol(C8) unramified over a complex quadratic number field
研究Galois群为Hol(C8)且在复二次域上非分歧的正规扩张，确定其Galois群为半二面体群或16阶模群，并给出显式构造。
Cohomology of normic systems and fake Z_p extensions
本文建立一般框架研究数域沿Z_p-扩张的伽罗瓦模Tate上同调，证明商范畴中五项正合序列的存在性，并应用于二面体类型伪Z_p-扩张的类数增长研究。
A brief survey of recent results on Pólya groups
代数数域的波利亚群是理想类群的一个特殊子群。本文概述了数域的Pólya群的最新结果，它们与整数值多项式环的联系，并触及了一些关于具有大Pólya群的数域的结果。为了完整起见，我们已经包括了Zantema定理的证明，该定理为确定$\mathbb{Q}$上许多有限伽罗瓦扩展的Pólya群奠定了基础。在文章的最后，我们提供了一个初步的证明较弱的版本最近的结果Cherubini等人。
On quaternion algebras over some extensions of quadratic number fields
设$p$和$q$是两个正素数。设$\ell$为奇正素数，$F$为二次数域.设$K$是$F$的扩张，使得$K$是$F$上的次数为$\ell$的$\Q$的二面角扩张，或者$K$是$F$上的阿贝尔$\ell$ -扩张，假设$\ell$整除$F$的类数。本文给出了$K$上的可除四元数代数$H_{K}(p, q)$的一个完整刻画.
On $\mathbb{Z}_N\rtimes\mathbb{Z}_2$-Hopf-Galois structures
设$K/F$是具有$Gal(K/F)=Γ$的域的有限Galois扩张.在Timothy Kohl的早期工作中，作者列举了作用于二面角扩张的二面角霍普夫-伽罗瓦结构。二面体群是$\mathbb{Z}_n$和$\mathbb{Z}_2$的半直积的一个具体实例。本文计算了具有$G$型伽罗瓦群$Γ$的Hopf-Galois结构的个数，其中$Γ,G$是当$N$的根式为Burnside数，$N$为奇数时形式为$\mathbb{Z}_N\rtimes_ϕ\mathbb{Z}_2$的群.作为一个应用，我们还找到了相应数量的斜括号。
Counting Frobenius extensions over local function fields
研究局部函数域在特征p下扩展的渐进行为，特别考虑伽罗瓦群为AGL_1(p)子群的情况，并解决更一般情况下的计数问题，包括非阿贝尔群如S_3、二面体群和许多弗罗贝尼乌斯群。
On non-abelian Brumer and Brumer-Stark conjectures for monomial CM-extensions
设$K/k$是数域的有限Galois CM-扩张，其Galois群$G$是单项式的，$S$是$k$的有限位置集.然后定义“Stickelberger元素”$θ_{K/k,S}$。\关于这个元素，安德烈亚斯·尼克尔（Andreas Nickel）提出了非阿贝尔的Brumer和Brumer-Stark拓扑以及它们的“弱”版本。本文证明了当$G$是单项式群时，弱非交换拓扑可化为交换子扩张的弱拓扑对于任意奇素数$p$的$4p$阶二面体群，对于任意自然数$n$的$2^{n+2}$阶广义四元数群，以及4个字母的交错群，分别记为$D_{4p},\ Q_{2^{n+2}}$和$A_4$.假设$G$同构于$D_{4p}$、\ $Q_{2^{n+2}}$或$A_4 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。\然后证明了弱非交换拓扑的$l$ -部分，其中$l=2$在四元数情形下，$l$是一个任意素数，在二面体情形下，$l$不分裂为$\mathbb{Q}(ζ_p)$，在交替情形下，$l$不分裂为$\mathbb{Q}(ζ_3)$.特别是，我们不排除2-部分的结构，并不假设$S$包含所有有限的地方，分歧在$K/k$与镍的公式。
The $S$-relative Pólya groups and $S$-Ostrowski quotients of number fields
该研究将数域的相对Pólya群与Ostrowski商推广为S版本，借助已有结果得到S-capitulation映射相关经典结论的推广，包含S版Hilbert定理94。
Non-parametric sets of regular realizations over number fields
对给定的数域$k$，证明了对于许多有限群$G$，$k$的所有具有Galois群$G$的Galois扩张不能通过特殊化任何给定的具有Galois群$G$和$E/k$正则的许多Galois扩张$E/k(T)$而得到.我们的例子包括阿贝尔群，二面体群，对称群，有限域上的一般线性群等，我们还提供了一个类似的结论，而专门化任何给定的无穷多个伽罗瓦扩展$E/k(T)$与伽罗瓦群$G$和$E/k$正规的某种类型，在一个抽象的“一致的法尔亭”定理”。
Extensions of the Bloch-Pólya theorem on the number of real zeros of polynomials (II)
本文扩展了Bloch-Pólya定理，证明了存在绝对常数c，使得对于特定区间的系数，可构造多项式使其在特定区间内具有至少一定数量的符号变化，改进了前人结果。
Power-saving error terms for the number of $D_4$-quartic extensions over a number field ordered by discriminant
研究了定数域上相对判别式范数有界的二面体四次扩张的渐近计数问题。这个计数的主项（包括常数的求和公式）可以在文献中找到（参见Cohen--Diaz y Diaz--Olivier的声明，没有证明，参见Klüners的证明），但是除了基场是$\mathbb{Q}$的情况外，还没有明确确定误差项的节能。在这篇文章中，我们描述的参数获得显式的主项和节能的错误项的数量$D_4$-四次扩展在一个一般的底数字段排序的范数，其相对的判别式。我们也给出了一个广泛的概述的历史和发展的数域渐近。
Growth of Selmer Groups over function fields
研究了阿贝尔簇簇$p$群$Sel_p(A/k)$的秩，其中$k$是一个函数域.若$K/k$是二次扩张，$F/k$是二面体扩张，且$Sel_p (A/K)$的$\mathbb{Z}_p$ -余秩为奇数，则证明了$Sel_p(A/F) \geq [F:K]$的$\mathbb{Z}_p$ -余秩为奇数.其结果使用Mazur-Rubin发展的数域上椭圆曲线的局部常数理论。
On Triple Quadratic Residue Symbols in Real Quadratic Fields
针对窄类群平凡的实二次域，引入三次二次剩余符号，通过模2算术三重Milnor不变量定义，并刻画其在8次二面体扩张中的分解律，推广了Rédei的三次符号。
Ostrowski quotients for finite extensions of number fields
对于数域的有限Galois扩张$L/K$，相对Pólya群$\Po(L/K)$与$L/K$中的强模糊理想类群重合.本文利用Brumer-Rosen和Zantema工作中一个与$\Po(L/K)$有关的正合列，对文献中的一些经典结果给出了简短的证明.然后定义"Ostrowski约束“$\Ost(L/K)$作为投降映入$\Po(L/K)$的上核，并将关于$\Po(L/\mathbb{Q})$的一些已知结果推广到$\Ost(L/K)$ .
An improved error term for counting $D_4$-quartic fields
本文改进了Cohen等人关于D₄-四次域计数公式的误差项，将其从原有结果提升至O(X^{5/8+ε})，并将类似结论推广到任意基域上的四次二面体扩张。
Combinatorial Techniques in the Galois Theory of $p$-Extensions
当前伽罗瓦论中的一个主要问题是刻画各种域的绝对伽罗瓦群的投射有限群。获得详细的知识的结构的等价物和子群过滤的伽罗瓦群的$p$ -扩展是一个重要的步骤，解决方案。我们说明了几种技术计数伽罗瓦$p$ -扩展的各种领域，包括勾股领域和局部域。给出了形式实勾股域的扩张数的一个表达式，该勾股域的伽罗瓦群为8阶二面体群。本文导出了Zassenhaus滤子的$n$阶化片的$\mathbb{F}_p$维数的计算公式，它适用于各种不同的生成的原$p$群，包括自由原$p$群，Demushkin群及其自由原$p$积.几个例子来说明这些尺寸在表征亲$p$伽罗瓦群的重要性。我们还表明，知识的亲$p$伽罗瓦群的小子可以提供信息的形式之间的关系群生成器。
Class Numbers and Algebraic Tori
设$p$是奇素数，$D_p$是$2p$阶二面体群，$h_p$和$h^+_p$分别是$\bm{Q}(ζ_p)$和$\bm{Q}(ζ_p+ ζ_p^{-1})$的类数.定理$h_p^+=1$当且仅当，对于任何允许$D_p$ -扩张的域$k$，$k$上的所有代数$D_p$ -环面都是稳定有理的.对于$h_p=1$和$C_p$ -环面的类似结果也是有效的。
Galois cohomology of certain field extensions and the divisible case of Milnor-Kato conjecture
我们证明了“可除的情况下”的Milnor-Bloch-Kato猜想（这是第一步Voevodsky的证明这个猜想为任意素数l）在一个相当清晰和基本的方式。假设这个猜想，我们构造了一个具有分圆系数的有限扩张的Galois上同调的6项正合序列，这些域扩张的伽罗瓦群在其上具有正合四重置换表示，例如循环群，二面体群，双二次群Z/2，\times Z/2和对称群S_4. Bloch-Kato，Merkurjev-Tühl和Kahn提出的几个正合序列都是用这种方法证明的。此外，我们介绍了一个更复杂的版本的经典论点被称为“Bass-Tate引理”。作为推论，得到了Milnor环中零化子理想的一些结果.
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