Class Groups of Dihedral Extensions
Franz Lemmermeyer
设L/F是2 p次二面扩张，其中p是奇素数。设K/F和k/F分别是L/F的p次和2次子扩张。然后我们将研究类群Cl（K）和Cl（k）的p-秩之间的关系。
Let L/F be a dihedral extension of degree 2p, where p is an odd prime. Let K/F and k/F be subextensions of L/F with degrees p and 2, respectively. Then we will study relations between the p-ranks of the class groups Cl(K) and Cl(k).
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Relative Polya Group and Polya Dihedral Extensions of Q
定义了数域的有限扩张的相对Polya群，并证明了Hilbert类域的相对Polya群的平凡性.然后我们把以前关于Q的Polya S3-扩张的结果推广到Q的某些二面角扩张上。
Hasse norm principle for Galois dihedral extensions
设$L/k$是数域的伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群同构于$2n$阶二面体群.本文给出了$L/k$的Hasse范数原理以及与$L/k$相关的范数为1的环面$R^1_{L/k}(\mathbb{G}_m)$的弱逼近.
A Note on the Growth of Sha in Dihedral Extensions
本文研究了数域二面体扩张上椭圆曲线Tate–Shafarevich群的阶，给出了精确到4次方幂及整除n的素数的公式，并分别讨论了n为奇数和偶数时与二次子扩张上该群的阶的关系。
Counting biquadratic number fields with quaternionic and dihedral extensions
本文研究了可嵌入四元数或二面体扩张的双二次数域的计数问题，通过用 Hilbert 符号表达逆 Galois 问题的可解性，并应用 Heath-Brown 的方法界定关联二次特征标的和，建立了有界判别式下此类数域数量的渐近公式。
Class number formula for dihedral extensions
给出了$2q$次数域的二面扩张的一个类数公式的代数证明，其中$q$是任意奇数.我们的公式表示的类数的比率为单位的上同调群的顺序的比率，并恢复类似的公式，在文献中出现的特殊情况。作为我们的主要结果的推论，我们得到明确的界限上的（许多）可能的值，可以出现在二面角扩张的类数的比例。这样的界限是通过算术平均得到的，而不需要求助于深层的整表示理论。
The Structure of Hopf Algebras Acting on Dihedral Extensions
我们讨论的同构问题的霍普夫代数产生的Hopf-Galois结构的固定可分域扩张$L/K$。详细研究了$L/K$是Galois的情形，其中$L/K$是二面体群$D_p$，$p\ge 3$是素数，并给出了作用在$L/K$上的霍普夫代数的明确描述.我们还确定当两个这样的霍普夫代数是同构的，无论是作为霍普夫代数或代数。对于$p=3$和选择的$L/K$，我们给出了霍普夫代数的Wedderburn-Artin分解.
Hopf Galois module structure of dihedral degree $2p$ extensions of $\mathbb{Q}_p$
设$p$为奇素数。对于Galois群同构于$2p$阶二面体群$D_{2p}$的域扩张$L/\mathbb{Q}_p$，我们考虑了整数环$\mathcal{O}_L$的每一个Hopf Galois结构和模结构中计算相关阶的基的问题.我们解决了$L/\mathbb{Q}_p$不完全分歧的情况，并给出了一个实用的方法，为$p=3$和$p=5$的情况提供了一个完整的答案.我们看到，在这个家庭的二面角扩展，环的整数总是免费的相关订单在不同的霍普夫伽罗瓦结构。
The ring of integers of Hopf-Galois degree p extensions of p-adic fields with dihedral normal closure
对于奇素数$p$，我们考虑$p$ -adic域的度$p$扩张$L/K$，它具有正规闭包$\widetilde{L}$，使得$\widetilde{L}/K$的伽罗瓦群是$2p$阶二面体群.我们将证明在$L/K$上的唯一Hopf-Galois结构中整数环$\mathcal{O}_L$在其相关阶$\mathfrak{A}_{L/K}$上的自由度的完整表征，这类似于$p$ -adic域的循环度$p$扩展。我们将得出积极和消极的结果$\mathcal{O}_L$的自由度作为$\mathfrak{A}_{L/K}$ -模块的标准。
Comparing local constants of elliptic curves in dihedral extensions
本文研究了椭圆曲线的解析局部常数理论和算术局部常数理论，前者以Rohrlich的工作为基础，后者以Mazur和Rubin的工作为基础。以宇称猜想为动机，人们期望算术局部常数是局部解析根数之比的代数加法对应。我们计算在各种情况下，双方的常数，建立这种连接的一个实质性的类椭圆曲线。通过计算一些新情形下的算术常数，我们还推广了可确定数域二面扩张中p-Selmer秩增长的下界的椭圆曲线类.
The Brauer-Kuroda formula for higher S-class numbers in dihedral extensions of number fields
设p是奇素数，设L/k是数域的伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群同构于2 p阶二面体群。设S是L的一个有限集，在Gal（L/k）作用下是稳定的.关于戴德金ζ函数在负整数上的特殊值的Lichtenbaum猜想，结合Artin L-函数的Brauer形式，给出了一个关于S-整数环的动机上同调群的阶与L/k的子扩张的S-单位的高阶调节子的（代数）公式。类比于经典的特殊值在0的情况下，我们给出了这个公式的代数证明，即不使用Lichtenbaum猜想，也不使用Brauer形式主义。我们的方法也给出了一个解释的调节器作为一个更高的单位指数。
Chebyshev's bias in dihedral and generalized quaternion Galois groups
研究了具有二面体$D_{2n}$或二次幂阶（广义）四元数$\mathbb H_{2n}$的伽罗瓦群的有理数的伽罗瓦扩张中Frobenius元的分布不等式.在Fiorilli和Jouve arXiv：2001.05428最近的工作的精神，我们研究，在自然假设下，这样的扩展，在水平方面，在那里的程度是固定的，并在垂直方面，在那里的程度走向无穷大的一些家庭。我们的主要贡献揭示了家庭的扩展的现象，吴给出了数值证据：真正的零的阿廷L-功能有时有一个根本的影响Frobenius元素的分布。
Generalized Artin pattern of heterogeneous multiplets of dihedral fields and proof of Scholz's conjecture
本文将基域K的具有p类转移同态$T_{K,N_i}:\,\mathrm{Cl}_p(K)\to\mathrm{Cl}_p(N_i)$的非分歧循环素数度扩张的齐次多重集$(N_1,\ldots,N_m)$的Artin转移模式$((\ker(T_{K,N_i}))_i,(\mathrm{Cl}_p(N_i))_i)$的概念推广到分歧扩张的异质多重集.应用于具有奇素数p的2 p次二面体N的二次子域K，计算验证了Scholz关于导子f>1的分歧扩张N/K的子域单位指数$(U_N:U_0)$的猜想.
Galois extensions ramified only at one prime
给出了$\Q$和$\F_q(t)$上的扩张的伽罗瓦群只在一个有限素数上分歧的有限群的一些限制条件。在$\Q$上，我们加强了Jensen和Yui关于二面体扩张的结果，并排除了一些非可解群.给出了对称群和二面体群在$\F_q(t)$上的一个限制条件，使它们成为在$\F_q(t)$上的一个弱分歧扩张.
On Brauer-Kuroda type relations of S-class numbers in dihedral extensions
设F/k是具有2 q阶二面体伽罗瓦群的数域的伽罗瓦扩张，其中q是奇数.我们将由Brauer-Kuroda关系产生的中间场的S-类数的某个商表示为单位指数。我们的公式对伽罗瓦群D_{2q}的任意扩张和包含阿基米德素数的任意Galois稳定素数集S都是有效的。我们的结果有好奇的应用程序，以确定单位的伽罗瓦模结构的单位模单位的D_{2q} -从类数和S-类数的扩展的单位的根。我们使用的技术主要是代表性理论，我们认为代表性理论的结果，我们获得的独立利益。
Rationality problem for norm one tori for dihedral extensions
本文利用Endo与Miyata及Endo的定理，完整解决了Galois闭包为二面体扩张的范数一环面的合理性（稳定等价）问题，并在附录中细化了稳定有理情形的证明。
Quadratic p-ring spaces for counting dihedral fields
设p为奇素数。对于二次数域\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})\)上的p-容许导体c，通过定义从正整数的除数格\(\mathbb{N}\)到K的p-初等类群\(C/C^p\)与单位群\(U/U^p\)的直积\(V_p\)的子空间格S的态射\(ψ:\,f\mapsto V_p(f)\)，引入了模c的p-环空间\(V_p(c)\).它们的性质允许K上所有扩张域N的精确计数，具有2 p阶的二面体群作为绝对伽罗瓦群\(Gal(N | \mathbb{Q})\)，并共享K上的公共判别式\(d_N\)和导体c。这些扩张的个数\(m_p(d,c)\)由S中p-环空间的位置公式给出，其复杂性随着有限域\(\mathbb{F}_p\)上向量空间\(V_p\)的维数增加，称为K的修正p-类秩\(σ_p\)。到目前为止，显式多重公式的判别式是已知的二次字段与\(0\leσ_p\le 1\)只有。在这里，结果扩展到\(σ_p=2\)，具体的数值例子的支撑。
On the dihedral Euler characteristics of Selmer groups of abelian varieties
本文通过Iwasawa主图说明了如何利用欧拉示性数公式的框架来研究CM域的某些二面角或反分圆扩张中的阿贝尔簇的Selmer群，特别是如何在这种情况下验证改进的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的p-部分.当Selmer群关于相伴的Iwasawa代数是余挠时，我们得到了由改进的Birch和Swinnerton-Dyer猜想预言的公式的p-部分.当Selmer群关于相应的Iwasawa代数不是余挠时，给出了余挠子模的欧拉示性数的一个几何描述，并说明了如何由Perrin-Riou和Howard的主要猜想定理导出不等式.
Upper ramification sequences of nonabelian extensions of degree $p^3$ in characteristic $p$
本文对局部特征$p>0$域上$p^3$度的全分歧非交换扩张的上分歧断裂进行了分类。我们发现除了$8$阶的二面体群之外，每个$p^3$阶的非交换伽罗瓦群都可以出现非整数上分歧断裂。
Finding large Selmer rank via an arithmetic theory of local constants
我们得到了数域上二面角扩张上椭圆曲线的Selmer秩的下界。设$K/k$是数域的二次扩张，$E$是定义在$k$上的椭圆曲线，$p$是奇素数.令$F$表示$K$的最大阿贝尔$p$ -扩张，该扩张在所有素数处都是非分歧的，其中$E$具有不良约化并且是具有二面体伽罗瓦群的$k$上的伽罗瓦（即，$Gal(K/k)$的生成器$c$通过-1作用于$Gal(F/K)$）。我们证明了（在对$p$的温和假设下）：如果前$p$ Selmer群$S_p(E/K)$的秩是奇数，则对于$F$中的$K$的每个有限扩张$L$，$S_p(E/L)$的秩至少是$[L:K]$.
Remarks on Automorphy of Residually Dihedral Representations
证明了几何表示$ρ:G_F \rightarrow GL_2(\mathcal{O})$的自同构提升结果，其中$F$是全实数域，$\mathcal{O}$是$\mathbb{Q}_p$的有限扩张的整数环，$p$是奇素数，使得剩余表示$\barρ$是全奇的，并且是由$F(ζ_p)/F$的二次子域$K$的绝对伽罗瓦群的一个特征标导出的.这样的表示不符合泰勒-怀尔斯假设，证明自同构的修补技术也不起作用。我们应用这一点的椭圆曲线$E$的$F$上的自同构，当$E$没有$F$合理的7-等距和这样的图像$G_F$作用于$E[7]$规范化分裂Cartan子群的$GL_2(\mathbb{F}_7)$。
On the number of quaternion and dihedral braces and Hopf--Galois structures
本研究证明了乘群为广义四元数群的给定阶braces数量的相关猜想，给出了二面体群情形的类似结果，并枚举了对应Galois扩张上的阿贝尔型Hopf-Galois结构。
Extensions with Galois group Hol(C8) unramified over a complex quadratic number field
研究Galois群为Hol(C8)且在复二次域上非分歧的正规扩张，确定其Galois群为半二面体群或16阶模群，并给出显式构造。
Cohomology of normic systems and fake Z_p extensions
本文建立一般框架研究数域沿Z_p-扩张的伽罗瓦模Tate上同调，证明商范畴中五项正合序列的存在性，并应用于二面体类型伪Z_p-扩张的类数增长研究。
On quaternion algebras over some extensions of quadratic number fields
设$p$和$q$是两个正素数。设$\ell$为奇正素数，$F$为二次数域.设$K$是$F$的扩张，使得$K$是$F$上的次数为$\ell$的$\Q$的二面角扩张，或者$K$是$F$上的阿贝尔$\ell$ -扩张，假设$\ell$整除$F$的类数。本文给出了$K$上的可除四元数代数$H_{K}(p, q)$的一个完整刻画.
On $\mathbb{Z}_N\rtimes\mathbb{Z}_2$-Hopf-Galois structures
设$K/F$是具有$Gal(K/F)=Γ$的域的有限Galois扩张.在Timothy Kohl的早期工作中，作者列举了作用于二面角扩张的二面角霍普夫-伽罗瓦结构。二面体群是$\mathbb{Z}_n$和$\mathbb{Z}_2$的半直积的一个具体实例。本文计算了具有$G$型伽罗瓦群$Γ$的Hopf-Galois结构的个数，其中$Γ,G$是当$N$的根式为Burnside数，$N$为奇数时形式为$\mathbb{Z}_N\rtimes_ϕ\mathbb{Z}_2$的群.作为一个应用，我们还找到了相应数量的斜括号。
Counting Frobenius extensions over local function fields
研究局部函数域在特征p下扩展的渐进行为，特别考虑伽罗瓦群为AGL_1(p)子群的情况，并解决更一般情况下的计数问题，包括非阿贝尔群如S_3、二面体群和许多弗罗贝尼乌斯群。
On non-abelian Brumer and Brumer-Stark conjectures for monomial CM-extensions
设$K/k$是数域的有限Galois CM-扩张，其Galois群$G$是单项式的，$S$是$k$的有限位置集.然后定义“Stickelberger元素”$θ_{K/k,S}$。\关于这个元素，安德烈亚斯·尼克尔（Andreas Nickel）提出了非阿贝尔的Brumer和Brumer-Stark拓扑以及它们的“弱”版本。本文证明了当$G$是单项式群时，弱非交换拓扑可化为交换子扩张的弱拓扑对于任意奇素数$p$的$4p$阶二面体群，对于任意自然数$n$的$2^{n+2}$阶广义四元数群，以及4个字母的交错群，分别记为$D_{4p},\ Q_{2^{n+2}}$和$A_4$.假设$G$同构于$D_{4p}$、\ $Q_{2^{n+2}}$或$A_4 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。\然后证明了弱非交换拓扑的$l$ -部分，其中$l=2$在四元数情形下，$l$是一个任意素数，在二面体情形下，$l$不分裂为$\mathbb{Q}(ζ_p)$，在交替情形下，$l$不分裂为$\mathbb{Q}(ζ_3)$.特别是，我们不排除2-部分的结构，并不假设$S$包含所有有限的地方，分歧在$K/k$与镍的公式。
Shifted dihedral isogeny quotients and the classification of exceptional rational functions of degree five
对特征不为2和5的有限域上次数为5的例外有理函数进行分类，利用算术和几何单值群、分歧结构及黎曼 - 赫维茨公式，给出循环和二面体单值性情况的结果，还得到特征2和5的部分分类。
Non-parametric sets of regular realizations over number fields
对给定的数域$k$，证明了对于许多有限群$G$，$k$的所有具有Galois群$G$的Galois扩张不能通过特殊化任何给定的具有Galois群$G$和$E/k$正则的许多Galois扩张$E/k(T)$而得到.我们的例子包括阿贝尔群，二面体群，对称群，有限域上的一般线性群等，我们还提供了一个类似的结论，而专门化任何给定的无穷多个伽罗瓦扩展$E/k(T)$与伽罗瓦群$G$和$E/k$正规的某种类型，在一个抽象的“一致的法尔亭”定理”。
A Witt-Burnside ring attached to a pro-dihedral group
经典Witt向量环是混合特征交换代数的一个基本对象，在数论中有着广泛的应用。Dress和Siebeneicher对任意投射有限群G都有一个重要的推广，即生成一个环值函子W_G，其中经典的Witt向量可恢复为例子G = Z_p.本文探讨了这个函子的象的结构，其中G是由2-幂二面体群的逆极限构成的pro-2群，并且在特征2的场上拍摄W_G的图像。
Growth of Selmer Groups over function fields
研究了阿贝尔簇簇$p$群$Sel_p(A/k)$的秩，其中$k$是一个函数域.若$K/k$是二次扩张，$F/k$是二面体扩张，且$Sel_p (A/K)$的$\mathbb{Z}_p$ -余秩为奇数，则证明了$Sel_p(A/F) \geq [F:K]$的$\mathbb{Z}_p$ -余秩为奇数.其结果使用Mazur-Rubin发展的数域上椭圆曲线的局部常数理论。
Counting and equidistribution of reciprocal geodesics and dihedral groups
研究了PSL（2，R）中格的无限二面体子群的共轭类数的增长，推广了Sarnak和Bourgain-Kontorovich关于模曲面上倒易测地线数增长的早期工作.我们还证明了单位切丛中的倒易测地线是等分布的。
The dihedral Lie algebras and Galois symmetries of π_1^l(P^1 - 0, infinity and N-th roots of unity)
本文研究了伽罗瓦群在P^1-{0，无穷大，N阶单位根}基本群的pro-l-完备化上的作用.我们描述了伽罗瓦作用象的李代数，并与GL_m（m = 1，2，3，.）的模簇的几何有关.这个故事是多重多面体在单位根上的动机理论的l-adic方面，它推广了经典的割圆理论。
Mod-2 dihedral Galois representations of prime conductor
针对不超过500000的奇素数N，计算Hecke算子T₂在S₂(Γ₀(N), Q)上的作用并分析其模2约化的特征值，结合类域论与模2伽罗瓦表示解释结果，还扩展了关于特定模2约化的椭圆曲线和模形式的不存在性结果。
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