Generalizing Hopf's boundary point lemma
在Morrey空间中，给出了H $\ddot{\text{o}}$ lder连续的高阶系数和低阶系数的线性散度型一致椭圆型方程弱解的一个Hopf边界点引理.
2018-06-19 math.AP
A centennial of the Zaremba--Hopf--Oleinik Lemma
本文讨论了二阶椭圆型和抛物型方程的低阶系数如何“坏”的问题，以保证解的Hopf-Oleinik引理成立。我们也触及在边界上的解决方案的梯度估计。
2011-08-10 math.AP
Hopf's lemma for a class of singular/degenerate PDE-s
本文研究了一类奇异/退化偏微分方程（包括$p$ -Laplacian）在某些$C^{1,Dini}$型域上的Hopf边界点引理.利用凸环中调和函数水平集的几何性质，我们构造了方程的子解，这些子解起着从下面屏障的作用。通过比较原理，我们得到了霍普夫引理.
2014-02-28 math.AP
A Hopf type lemma for fractional equations
在这篇短文中，我们陈述了分数阶方程的一个Hopf引理及其证明的概要。我们相信，它将成为一个强有力的工具，在应用移动平面的方法对分数阶方程获得定性性质的解决方案。
2017-05-13 math.AP
Antisymmetric maximum principles and Hopf's lemmas for the Logarithmic Laplacian, with applications to symmetry results
本文为对数拉普拉斯算子建立反对称最大值原理和Hopf型引理，并应用于证明半线性问题解的对称性及平行曲面问题的刚性结果。
2024-07-16 math.AP
A Hopf lemma and regularity for fractional $p-$Laplacians
本文研究了分数阶$p$ -Laplacian算子的定性性质。具体地，我们建立了Dirichlet条件下分数阶$p-$ Laplacian方程正弱上解的一个Hopf型引理.此外，还得到了光滑函数$u$满足$(-\triangle)_p^s u\in C^1(\mathbb{R}^n)$的最优条件.
2018-05-16 math.AP
Sub-solutions and a point-wise Hopf's Lemma for Fractional p-Laplacian
我们证明了一个霍普夫引理在点明智的意义。其关键技术是证明$(-Δ)^s_p u(x)$在单位球$B_1\subset\mathbb{R}^n$中是一致有界的，其中$u(x)=(1-|x|^2)^s_{+}$ .同时我们还研究了$(-Δ)^s_p u(x)=f(x,u).$有界正解的整体Hölder连续性
2020-06-23 math.AP
A Hopf's Lemma and the Boundary Regularity for the Fractional P-Laplacian
我们开始的文件与一个霍普夫引理的分数p-Laplacian问题的半空间。具体地说，我们证明了解沿向外法向量的导数在半空间的边界上是严格正的。其次，我们证明了分数阶p-Laplacian方程的正解在边界上具有一定的Holder连续性。
2017-11-07 math.AP
A counterexample to the Hopf-Oleinik lemma (elliptic case)
我们构造了一个新的反例，证实了$Ω$边界的Dini型条件的尖锐性。特别地，我们证明了对于凸区域，Dini型假设是保证Hopf-Oleinik型估计的充要条件.
2015-12-24 math.AP
Optimal boundary regularity and a Hopf-type lemma for Dirichlet problems involving the logarithmic Laplacian
本文研究涉及对数拉普拉斯算子的狄利克雷问题，利用Kelvin变换构造障碍函数证明最优边界正则性，并由此得到非负弱解的Hopf型引理及非线性问题解的唯一性。
2024-07-03 math.AP
Quantitative uniqueness of continuation result related to Hopf's lemma
经典的霍普夫引理可以转化为延拓结果的唯一性。我们的目标是在目前的工作，以量化这一属性。我们精确地表明，如果一个解决方案$u$的散度型椭圆型方程达到其最大值在边界点$x_0$然后两个$L^1$ -规范的$u-u(x_0)$上的域和边界上有界，直到一个乘法常数，由外法线衍生物在$x_0$。
2021-05-06 math.AP
A Hopf's lemma and a strong minimum principle for the fractional $p$-Laplacian
本文的目的是对\[ (-Δ_p)^s u= c(x)|u|^{p-2}u \quad \text{ in } Ω\]的弱上解给出一个Hopf引理和一个强最小值原理，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N,$、$s\in(0,1),$、$p\in(1,+\infty),$、$c\in C(\overlineΩ)$的开集，$(-Δ_p)^s$是分数$p$ -Laplacian算子.
2017-02-23 math.AP
Hopf's lemmas and boundary point results for the fractional $p$-Laplacian
本文针对分数阶 $p$-拉普拉斯算子（$p \geq 2$）建立了Hopf边界引理的新证明，并推广到变号势情形，无需全局符号条件，且应用于边界点引理和非局部超定问题。
2024-11-07 math.AP
A Hopf lemma for the regional fractional Laplacian
我们提供了一个Hopf边界引理的区域分数拉普拉斯$(-Δ)^s_Ω$，与$Ω\subset\mathbb{R}^N$有界开集。更精确地说，给定$u$是方程$(-Δ)^s_Ω u = c(x)u$在$Ω$中的点态或弱超解，我们证明了当$x$接近$Ω$的边界$\partialΩ$时，比率$u(x)/(\mathrm{dist}(x,\partialΩ))^{2s-1}$是严格正的。我们还证明了分布超解的一个强最大值原理。
2022-05-17 math.AP
A Generalization of the Hopf's Lemma for the 1-D Moving-Boundary Problem for the Fractional Diffusion Equation and its Application to a Fractional Free-Boundary Problem
本文研究了时间分数阶扩散方程的一维移动边界问题的理论数学分析，其中时间分数阶导数$\al$ $\in (0,1)$取Caputo意义.证明了Hopf引理的一个推广，并利用这个结果证明了当考虑分数阶自由边界Stefan问题时自由边界的单调性.
2015-02-04 math.AP
Hopf-Oleinik lemma for elliptic equations in double divergence form
本文首次为双重散度形式的均匀椭圆方程建立了Zaremba-Hopf-Oleinik型边界点引理，并据此在$C^{1,α}$区域中得到了非散度形式二阶椭圆方程Green函数的精确双边估计。
2025-07-02 math.AP
Hopf's lemmas and boundary behaviour of solutions to the fractional Laplacian in Orlicz-Sobolev spaces
本文在Orlicz-Sobolev空间框架下，将Hopf边界引理推广到分数阶$a-$拉普拉斯算子，研究满足内部球条件的区域边界附近解的行为，并同时处理常号与变号位势问题。
2024-11-20 math.AP
A fractional Hopf Lemma for sign-changing solutions
本文研究了分数阶椭圆问题解的边界行为，在不对解的符号作全局假设的条件下建立了 Hopf 引理，并证明非平凡径向解在边界处不能有无穷多个零点累积，同时给出实例证明结果精确性。
2023-07-03 math.AP
Boundary regularity and Hopf lemma for nondegenerate stable operators
本文针对满足外部C^{1,dini}性质的有界开集，证明了非退化稳定积分微分算子方程解的尖锐边界Hölder正则性与Hopf型边界引理，并展示了估计在s→1-时的稳健性，从而恢复二阶方程经典结果。
2024-10-01 math.AP
Boundary Lipschitz Regularity and the Hopf Lemma on Reifenberg Domains for Fully Nonlinear Elliptic Equations
该研究针对完全非线性椭圆方程，提出统一方法证明Reifenberg区域上的边界Lipschitz正则性与Hopf引理，明确内外Reifenberg $C^{1,\mathrm{Dini}}$条件对应的成立情形，拓展了常规条件下的已有结论。
2019-12-27 math.AP
A note on Hopf's lemma and strong minimum principle for nonlocal equations with non-standard growth
设$Ω\subset \mathbb{R}^n $是任意开集，$u$是$\mathcal{L}u=c(x)g(|u|)\frac{u}{|u|}$的弱上解，其中\[\mathcal{L}u(x)=\text{p.v.} \int_{\mathbb{R}^n} g\left(\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^s}\right) \frac{u(x)-u(y)}{|u(x)-u(y)|} K(x,y)\frac{dy}{|x-y|^s}\]和$g=G^{\prime}$对于某个Young函数$G.$本文给出了当$c(x)$在$\barΩ$中连续时，$u$的一个Hopf型引理和强最小值原理，推广了Del Pezzo和JDE-2017在分数Orlicz-Sobolev设置下的结果。
2023-03-06 math.AP
On Hopf's Lemma for sign-changing supersolutions to fractional Laplacian equations
Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo. Facoltà Scienze matematiche, fisiche e naturali. Sapienza Università di Roma（罗马大学数学系）；Aix Marseille Univ, CNRS, I2M（艾克斯-马赛大学，法国国家科学研究中心，I2M研究所）
本文研究了分数拉普拉斯方程中变号超解的霍普夫引理有效性，通过扩展方法将其与边界点的霍普夫引理联系起来，并改进了最近关于二元性结果的分析。
2026-03-13 math.AP
A quantitative Hopf-Oleinik lemma for degenerate fully nonlinear operators and applications to free boundary problems
本文提出了一种针对退化全非线性算子的定量Hopf-Oleinik引理，并应用于自由边界问题和火焰传播模型的正则性研究。
2025-12-19 math.AP
Hopf's lemma for parabolic equations involving a generalized tempered fractional $p$-Laplacian
本文针对含广义缓变分数阶$p$-Laplacian的非线性抛物系统，建立了相应的Hopf引理，为研究非局部抛物方程解的定性性质提供了有力工具。
2024-11-01 math.AP
Boundary Lipschitz Regularity and the Hopf Lemma for Fully Nonlinear Elliptic Equations
针对完全非线性椭圆方程粘性解的边界正则性问题，提出将曲边界视为超平面扰动的统一简洁方法，证明内外C^{1,\text{Dini}}条件分别对应边界Lipschitz连续性与Hopf引理成立，并验证该条件的最优性。
2023-07-24 math.AP
On the Convergence of Quasilinear Viscous Approximations with Degenerate Viscosity
利用速度平均引理证明了拟线性粘性近似的几乎处处极限是唯一的熵解（在{ \it F. Otto}），其中粘性项的形式为$\mathbb{R}^{d}$和$B\geq 0$ .
2023-03-28 math.AP
On the Hopf Lemma
证明了二阶椭圆算子的Hopf引理在具有$C^{1,α}$甚至更不正则边界的区域中成立。对于$C^1$边界，它不需要成立。对二阶抛物型算子证明了相应的结果。
2007-09-28 math.AP math.DG
Symmetry of hypersurfaces and the Hopf Lemma
A.D.Alexandrov的一个经典定理指出，欧几里得空间中具有常中曲率的连通紧致光滑超曲面必是球面。本文给出了具有有序中曲率的超曲面的对称性的一些结果和相应的Hopf引理的变化。一些开放的问题将被讨论。
2022-05-10 math.AP math.DG
Quasilinear parabolic equations with first order terms and $L^1$-data in moving domains
研究了一类非线性项依赖于一阶项和可积数据的拟线性抛物型方程在移动区域上整体弱解的存在性。这个类包括$p$ -拉普拉斯方程作为一个特殊情况。通过对梯度的适当估计以及移动区域中Aubin-Lions引理的适当版本，证明了弱解是全局的.
2020-12-17 math.AP
On the maximum principles and the quantitative version of the Hopf lemma for uniformly elliptic integro-differential operators
本文证明了方程$-Av+c(x)v=0$的{子解}，$x\in D$的估计，其中$D\subset \bbR^d$是一个区域（即开连通集），$A$是Waldenfels型积分-微分算子，其微分部分满足紧集上的一致椭圆性条件.一般来说，算子的系数不需要是连续的，而只需要是有界的和Borel可测的。我们的一些结果可以被认为是“定量”版本的霍普夫引理，因为它们提供了下界上的向外正常的方向导数在最大点的子解%在一个域的边界上的值在该点。我们还将通过与$A$和定义域相关的主本征函数来显示其最大点周围的子解的下界。另外还证明了弱、强最大值原理、弱Harnack不等式等结果。
2021-03-17 math.AP
Partial results on extending the Hopf Lemma
在[1]的定理3中，作者在一维证明了Hopf引理的一个推广，问题是它能否推广到高维。在本文中，我们提出了两个可能的扩展，并给出了一个非常部分的答案。我们写这篇文章是为了引起人们对这个问题的注意。
2009-10-02 math.AP math.DG
The Hopf Boundary Point Lemma for Vector Bundle Sections
本文建立了带边流形上向量丛截面的Hopf边界点引理的一个版本。这个结果可以看作是R.汉密尔顿1986年潜在的应用包括各种几何流的研究和几何边值问题不变集的构造。
2008-03-06 math.AP math.DG
Quasilinear Schrödinger Equations
本文证明了非加权索伯列夫空间中具有初值的拟线性Schrhödinger方程的局部适定性。对于具有最小平滑度的小初始数据，这已经由J.Marzuola、J.Metcalfe和D.塔塔鲁这项工作并不试图解决初始数据的最小正则性，而是建立在C。凯尼格湾Ponce和L.织女星消除小的条件，在未加权空间。这是通过开发一个非中心版本的土井引理，它允许一个证明加藤型平滑估计。这些估计使得有可能实现必要的先验线性结果。
2014-09-30 math.AP
Hopf's lemma for viscosity solutions to a class of non-local equations with applications
我们考虑一个大的家庭的积分微分方程，并建立一个非本地对应的霍普夫引理，直接表示在运营商的符号。作为密切相关的问题，我们也得到了各种黏性解的最大值原理。在我们的方法中，我们结合了直接分析与功能集成，允许一个鲁棒控制的域的边界周围，并利用相关的上升阶梯高度过程。然后，我们将这些结果的主要本征值问题，正解的径向对称性，超定非局部挠方程的研究。
2020-10-22 math.AP math.PR
The Hopf lemma for the Schrödinger operator
本文证明了在势能仅属于 $L_{\mathrm{loc}}^1(Ω)$ 的非负条件下，涉及Schrödinger算子的Dirichlet问题解的Hopf边界点引理，并利用Hopf引理失效的集合刻画了使相应边值问题有解的非负有限Borel测度。
2020-01-10 math.AP
A nonsmooth variational approach to semipositone quasilinear problems in $\mathbb{R}^N$
本文研究了一类半正拟线性问题\begin{equation*} \left \{ \begin{array}{rclcl} -Δ_p u = h(x)(f(u)-a),\ & u > 0 & \mbox{in} & \mathbb{R}^N, \end{array} \right. \end{equation*}解的存在性，其中$1<p<N$，$a>0$，$ f:[0,+\infty) \to [0,+\infty)$是次临界增长函数，$f(0)=0$，而$h:\mathbb{R}^N \to (0,+\infty)$是满足某些技术条件的连续函数.利用非光滑临界点理论和比较原理证明了足够小的$a$存在解。我们还提供了一个版本的Hopf引理和一个Liouville型结果的$p$ -拉普拉斯算子在整个$\mathbb{R}^N$。
2022-10-26 math.AP
Existence result for a class of quasilinear elliptic equations with (p-q)-laplacian and vanishing potentials
本文的主要目的是建立一类含（p-q）-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程正解的存在性.我们考虑一个非线性，可以是亚临界在无穷远和超临界的起源，我们也考虑势函数，可以消失在无穷远。该方法是基于变分参数处理山口引理和适应的惩罚方法。为了克服紧性的不足，我们修改了原问题和相关的能量泛函。最后，为了证明修正问题的解也是原问题的解，我们使用了由Moser迭代方案得到的估计。
2015-08-26 math.AP
O(2) Hopf bifurcation of viscous shock waves in a channel
推广Texier和Zumbrun的工作，在半线性非反射对称情形下，研究了一类含热粘弹性方程的拟线性双曲抛物方程组在通道中粘性激波的O（2）横向Hopf分支，或称“\cellular不稳定性”.主要困难是（i）通过适当的双曲抛物能量估计获得时间-T解算子的Fr'echet可微性，（ii）在没有任何中心流形约化的情况下处理O（2）对称性（由于缺乏频谱间隙）或（由于非标准的准线性双曲-抛物形式）在时间空间上通过空间动力学处理的必要框架-周期函数，这是解决这个问题的两种标准方法后一个问题通过时间-T映射的李雅普诺夫{施密特}约化来解决，得到一个具有O（2）加上近似S1对称性的四维问题，我们使用直接的隐函数定理参数来处理\by手。前者通过平衡拉格朗日坐标系中的信息与增广系统中的信息来处理。有趣的是，这一论点并不适用于气体动力学或磁流体力学（MHD），因为拉格朗日对称性的无限维族对应于任意体积保持的非线性同态下的不变性。
2014-01-09 math.AP
Rational Approximation for a Quasilinear Parabolic Equation
近似定理，类似于已知的线性椭圆型方程的结果，得到的热方程的解决方案。通过Cole-Hopf变换，这给出了一个非线性抛物型方程Burgers方程的逼近定理。
2007-09-22 math-ph math.AP math.MP
A geometric problem and the Hopf Lemma. II
A.D. Alexandrov的一个经典结果表明，一个连通的紧致光滑$n-$维流形，没有边界，嵌入在$\Bbb R^{n+1}$中，并且它的中曲率是常数，是一个球面。本文研究了当$M$满足以下条件时，$M$在超平面$X_{n+1}=$常数中的对称性问题：对于$M$上的任意两点$(X', X_{n+1})$，$(X', \hat X_{n+1})$，其中$X_{n+1}>\hat X_{n+1}$，第一点的中曲率不大于第二点的中曲率.对称性并不总是成立的，但在本文中，我们在一些附加条件下建立了它。还介绍了Hopf引理的一些变形。几个开放的问题进行了说明。第一部分处理相应的一维问题。
2006-02-03 math.AP math.DG
Bifurcation phenomena in one-phase quasilinear equations with nonstandard growth
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP（坎皮纳斯州立大学）；Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC（数学、统计与科学计算研究所）；Departamento de Matemática（数学系）；Universidade Federal do Ceará（塞阿拉联邦大学）
本文研究由g-拉普拉斯算子控制的单相自由边界问题，证明边界数据低于阈值时出现分岔，存在第三个解，并分析演化问题的渐近稳定性。
2026-09-28 math.AP
Existence of ground state sign-changing solutions for a class of quasilinear scalar field equations originating from nonlinear optics
本文研究非线性光学中拟线性椭圆方程的基态变号解，结合非Nehari流形方法与Miranda定理证明其存在性，并揭示其能量性质。
2023-12-25 math.AP
Topological invariants for anisotropic quasilinear elliptic systems: A Poincaré-Hopf formula
Università degli Studi di Bari Aldo Moro（巴里阿尔多·莫罗大学）
本文研究各向异性拟线性椭圆系统泛函的拓扑不变量，证明其导算子属于(S)_+类，孤立临界点的临界群为有限型，并建立Poincaré-Hopf公式。
2026-10-01 math.AP
Inhomogeneous Hopf-Oleĭnik Lemma and Applications. Part IV: Sharp Krylov Boundary Gradient Type Estimates for Solutions to Fully Nonlinear Differential Inequalities with unbounded coefficients and $C^{1,Dini}$ boundary data
本文给出了在\cite{BM-IHOL-PartI}或\cite{Boyan-2}中证明的非齐次Hopf-Ole \u <$nik引理（IHOL）的另一个应用.事实上，我们还提供了一个新的和更简单的证明稍微弱版本IHOL的一致椭圆完全非线性的情况下，这是足够的大多数用途。本文件主要有两个部分。在第一部分中，我们使用IHOL的无界RHS发展的Caffarelli的“Lipschitz暗示$C^{1,α}$“的方法来证明Ladyzhenskaya-Uraltseva边界梯度型估计的功能在$S^{*}(γ, f)$，在边界上消失。这里，无界RHS意味着$f\in L^{q}$与$q>n$。这扩展了著名的Krylov的边界梯度估计证明在\cite{Krylov}。从这些估计中恢复了半空间中解的Phragmén-Lindelöf分类结果。此外，Hölder估计的边界（在半球）为$u(x)/x_{n}$。在第二部分中，我们推广了$S^{*}(γ, σ, f)$中的函数的先前结果，其中$γ,f\in L^{q}$与$q>n$在$W^{2,q}$域上具有$C^{1,Dini}$边界数据。在这里，我们使用一个“平坦度的改善”的策略，适合于无界系数的情况。作为其结果，IHOL下逐点$C^{1,Dini}$边界正则性的定量版本。
2016-10-12 math.AP
Failure of the Hopf-Oleinik lemma for a linear elliptic problem with singular convection of non-negative divergence
本文研究了具有非负散度奇异对流的线性椭圆 Dirichlet 问题，将解的存在性理论推广至 $|E| \in L^2$ 并证明了比较原理，同时揭示此类奇异漂移项会导致 Hopf-Oleinik 引理失效。
2023-09-13 math.AP
Existence and multiplicity of sign-changing solutions for quasilinear Schrödinger equations with sub-cubic nonlinearity
本文考虑拟线性薛定谔方程\begin{equation*} -Δu+V(x)u-uΔ(u^2)=g(u),\ \ x\in \mathbb{R}^{3}, \end{equation*}，其中$V$和$g$是连续函数.在没有$V$上的强制条件和$g$上的单调性条件的情况下，我们证明了上述问题存在一个最小能量变号解和无穷多个变号解.我们的结果特别解决了上述问题的情况下，$g(u)=|u|^{p-2}u$（$2<p<4$），并完成了一些最近的相关工作的符号变化的解决方案，在这个意义上，在文献中只考虑的情况$g(u)=|u|^{p-2}u$（$p\geq4$）。本文的主要结果是用一种新的摄动方法和下降流不变集方法得到的。此外，在泛函仅满足Cerami条件的情况下，给出了Cerami条件下的变形引理.
2021-09-18 math.AP
Boundary weak Harnack estimates and regularity for elliptic PDE in divergence form
对于散度型的一致椭圆型方程，我们得到了经典弱Harnack不等式的一个整体推广，它推广并量化了Hopf-Oleinik边点引理.其中的后果是边界梯度估计，由于Krylov和良好的研究非散度型方程，但完全新颖的发散框架。另一个结果是一个新的更一般的版本的霍普夫-Oleinik引理。
2022-11-01 math.AP
A miscellany
我们提出了几个结果，包括一些评论的霍普夫引理。
2009-10-02 math.AP
Some remarks on singular solutions of nonlinear elliptic equations. III: viscosity solutions, including parabolic operators
本文研究非线性椭圆型方程的奇异解，其中包括黏性解的可去奇点，抛物型方程的Hopf引理的加强，黏性解的强最大值原理和Hopf引理，其中也包括抛物型方程.
2011-01-14 math.AP math.DG
Variational and Geometric Analysis for Quasilinear Elliptic Equations and Systems
本文采用变分与拓扑方法，研究由p-Laplacian等非线性算子驱动的拟线性椭圆系统的解的存在性，并发展了局部Morse理论、Poincaré-Hopf公式以及Landesman-Lazer型条件，同时推广了Onofri不等式。
2026-05-29 math.AP
A boundary point lemma for Black-Scholes type operators
本文证明了Black-Scholes型方程的Hopf边界点引理的一个精确形式。我们还研究了解在空间边界上的空间导数的存在性和正则性。
2005-09-10 math.AP q-fin.PR
Positive ground state solutions for generalized quasilinear Schrödinger equations with critical growth
研究了由等离子体物理和高功率超短激光产生的具有临界增长的$\mathbb{R}^N$中广义拟线性薛定谔方程的基态正解的存在性.通过变量替换，拟线性问题转化为半线性问题，其泛函定义在索伯列夫空间$H^1(\mathbb{R}^N)$中.利用Nehari流形的方法对修正方程建立极大极小的刻画，从而得到相应能量泛函的Palais-Smale序列是有界的.结合Lions的集中紧性引理和Brézis和Nirenberg \cite{bn}提出的一些经典论证，我们证明了有界Palais-Smale序列具有非零性.最后，在适当的假设下，我们得到了正基态解的存在性。我们的结果推广和改进了一些已知的结果。
2023-03-20 math.AP math.DS
Ground states solution of Nehari-Pohožaev type for periodic quasilinear Schrödinger system
本文研究了周期拟线性Schrödinger系统，通过在适当约束下极小化及集中紧致引理证明了基态解的存在性，并首次涵盖了周期情形下$α+β\in(2,4)$的耦合系统。
2023-05-24 math.AP
The Averaging lemma and regularizing effect
我们证明了新的速度平均的一般形式，$\op(\nabla_x,v)f(x,v)=g(x,v)$的二阶多维方程的结果，其中$\op(\nabla_x,v):=\bba(v)\cdot\nabla_x-\nabla_x^\top\cdot\bbb(v)\nabla_x$。这些结果量化的Sobolev正则性的平均值，$\int_vf(x,v)ϕ(v)dv$，在非退化的集合$\{v: |\op(\ixi,v)|\leq δ\}$和纯粹的可积性的数据，$(f,g)\in (L^p_{x,v},L^q_{x,v})$。速度平均，然后使用准线性二阶方程，$\op(\nabla_x,ρ)ρ=S(ρ)$使用其基本的动力学配方，$\op(\nabla_x,v)χ_ρ=g_{{}_S}$的研究\emph{regularizing effect}。特别是，我们改进了以前的非线性守恒律的正则性声明，我们得出了全新的对流扩散和椭圆型方程退化，非各向同性扩散驱动的正则性结果。
2005-11-02 math.AP
