发表机构
Università degli Studi di Bari Aldo Moro（巴里阿尔多·莫罗大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究各向异性拟线性椭圆系统泛函的拓扑不变量，证明其导算子属于(S)_+类，孤立临界点的临界群为有限型，并建立Poincaré-Hopf公式。
AI 中文摘要
我们考虑泛函 $I_{\delta,\Psi_1,\Psi_2}:X \to \mathbb{R}$，对任意 $z=(u,v) \in X$ 定义为 \begin{align*} I_{\delta,\Psi_1,\Psi_2}(z) & = \int_{\Omega} \Psi_1(\nabla u) \\, dx + \int_{\Omega} \Psi_2(\nabla v ) \\, dx - \int_{\Omega} H(\delta,x,u(x),v(x)) \\,dx, \end{align*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中光滑有界区域，$\Psi_1, \Psi_2: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ 是满足 $1 < p, q < N$ 的适当条件的凸函数，非线性项 $H$ 允许具有次临界和临界增长，并且可能依赖于参数 $\delta \in I \subseteq \mathbb{R}$。这里，函数空间设置为乘积空间 $X:=W_0^{1,p}(\Omega)\times W_0^{1,q}(\Omega)$，配备范数 $\\|z\\|= \\|u\\|_{1,p} + \\|v\\|_{1,q}$ 对任意 $z=(u,v)\in X$，其中 $\\| \cdot \\|_{1,s}$ 是 $W^{1,s}_0(\Omega)$ 中的通常范数。在本文中，我们证明 $I_{\delta,\Psi_1,\Psi_2}'$ 属于 $(S)_+$ 类，并推断 $I_{\delta,\Psi_1,\Psi_2}$ 的每个孤立临界点具有有限型的临界群，且 Poincaré-Hopf 公式成立。
英文摘要
We consider the functional $I_{δ,Ψ_1,Ψ_2}:X \to \mathbb{R}$ defined for any $z=(u,v) \in X$ as \begin{align*} I_{δ,Ψ_1,Ψ_2}(z) & = \int_Ω Ψ_1(\nabla u) \, dx + \int_Ω Ψ_2(\nabla v ) \, dx & - \int_Ω H(δ,x,u(x),v(x)) \,dx, \end{align*} where $Ω$ is a smooth bounded domain of $\mathbb{R}^N$, $Ψ_1, Ψ_2: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ are convex functions satisfying suitable conditions for $1 < p, q < N$, and the nonlinearity $H$ is allowed to exhibit both subcritical and critical growth and may depend on a parameter $δ\in I \subseteq \mathbb{R}$. Here, the functional space setting is given by the product space $X :=W_0^{1,p}(Ω)\times W_0^{1,q}(Ω)$ equipped with the norm $\|z\|= \|u\|_{1,p} + \|v\|_{1,q}$ for any $z=(u,v)\in X$, where $\| \cdot \|_{1,s}$ is the usual norm in $W^{1,s}_0(Ω)$. In this paper we prove that $I_{δ,Ψ_1,Ψ_2}'$ is of class $(S)_+$ and we infer that each isolated critical point of $I_{δ,Ψ_1,Ψ_2}$ has critical groups of finite type and a Poincaré-Hopf formula holds.
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