A geometric problem and the Hopf Lemma. II
A.D. Alexandrov的一个经典结果表明，一个连通的紧致光滑$n-$维流形，没有边界，嵌入在$\Bbb R^{n+1}$中，并且它的中曲率是常数，是一个球面。本文研究了当$M$满足以下条件时，$M$在超平面$X_{n+1}=$常数中的对称性问题：对于$M$上的任意两点$(X', X_{n+1})$，$(X', \hat X_{n+1})$，其中$X_{n+1}>\hat X_{n+1}$，第一点的中曲率不大于第二点的中曲率.对称性并不总是成立的，但在本文中，我们在一些附加条件下建立了它。还介绍了Hopf引理的一些变形。几个开放的问题进行了说明。第一部分处理相应的一维问题。
2006-02-03 math.AP math.DG
Generalizing Hopf's boundary point lemma
在Morrey空间中，给出了H $\ddot{\text{o}}$ lder连续的高阶系数和低阶系数的线性散度型一致椭圆型方程弱解的一个Hopf边界点引理.
2018-06-19 math.AP
A centennial of the Zaremba--Hopf--Oleinik Lemma
本文讨论了二阶椭圆型和抛物型方程的低阶系数如何“坏”的问题，以保证解的Hopf-Oleinik引理成立。我们也触及在边界上的解决方案的梯度估计。
2011-08-10 math.AP
Hopf's lemma for a class of singular/degenerate PDE-s
本文研究了一类奇异/退化偏微分方程（包括$p$ -Laplacian）在某些$C^{1,Dini}$型域上的Hopf边界点引理.利用凸环中调和函数水平集的几何性质，我们构造了方程的子解，这些子解起着从下面屏障的作用。通过比较原理，我们得到了霍普夫引理.
2014-02-28 math.AP
A Hopf type lemma for fractional equations
在这篇短文中，我们陈述了分数阶方程的一个Hopf引理及其证明的概要。我们相信，它将成为一个强有力的工具，在应用移动平面的方法对分数阶方程获得定性性质的解决方案。
2017-05-13 math.AP
Antisymmetric maximum principles and Hopf's lemmas for the Logarithmic Laplacian, with applications to symmetry results
本文为对数拉普拉斯算子建立反对称最大值原理和Hopf型引理，并应用于证明半线性问题解的对称性及平行曲面问题的刚性结果。
2024-07-16 math.AP
Hopf Lemma and regularity results for quasilinear anisotropic elliptic equations
考虑一类拟线性各向异性椭圆型方程，可能退化或奇异，这是在计算机视觉和连续介质力学的几个应用感兴趣。我们证明了一个霍普夫引理以及局部和全局的正解的正则性估计，推广了以前的结果已知的背景下的p-Laplacian方程。
2019-02-16 math.AP
A Hopf lemma and regularity for fractional $p-$Laplacians
本文研究了分数阶$p$ -Laplacian算子的定性性质。具体地，我们建立了Dirichlet条件下分数阶$p-$ Laplacian方程正弱上解的一个Hopf型引理.此外，还得到了光滑函数$u$满足$(-\triangle)_p^s u\in C^1(\mathbb{R}^n)$的最优条件.
2018-05-16 math.AP
A Hopf-type boundary point lemma for pairs of solutions to quasilinear equations
在$A^{1},\ldots,A^{n},B.$上的弱有界性假设下，给出了拟线性方程$\sum_{i=1}^{n} D_{i}(A^{i}(x,u,Du))+B(x,u,Du)=0$的弱解的$u=u_{1}-u_{2},$的一个Hopf边界点引理
2018-06-26 math.AP
Sub-solutions and a point-wise Hopf's Lemma for Fractional p-Laplacian
我们证明了一个霍普夫引理在点明智的意义。其关键技术是证明$(-Δ)^s_p u(x)$在单位球$B_1\subset\mathbb{R}^n$中是一致有界的，其中$u(x)=(1-|x|^2)^s_{+}$ .同时我们还研究了$(-Δ)^s_p u(x)=f(x,u).$有界正解的整体Hölder连续性
2020-06-23 math.AP
A Hopf's Lemma and the Boundary Regularity for the Fractional P-Laplacian
我们开始的文件与一个霍普夫引理的分数p-Laplacian问题的半空间。具体地说，我们证明了解沿向外法向量的导数在半空间的边界上是严格正的。其次，我们证明了分数阶p-Laplacian方程的正解在边界上具有一定的Holder连续性。
2017-11-07 math.AP
A counterexample to the Hopf-Oleinik lemma (elliptic case)
我们构造了一个新的反例，证实了$Ω$边界的Dini型条件的尖锐性。特别地，我们证明了对于凸区域，Dini型假设是保证Hopf-Oleinik型估计的充要条件.
2015-12-24 math.AP
Optimal boundary regularity and a Hopf-type lemma for Dirichlet problems involving the logarithmic Laplacian
本文研究涉及对数拉普拉斯算子的狄利克雷问题，利用Kelvin变换构造障碍函数证明最优边界正则性，并由此得到非负弱解的Hopf型引理及非线性问题解的唯一性。
2024-07-03 math.AP
Quantitative uniqueness of continuation result related to Hopf's lemma
经典的霍普夫引理可以转化为延拓结果的唯一性。我们的目标是在目前的工作，以量化这一属性。我们精确地表明，如果一个解决方案$u$的散度型椭圆型方程达到其最大值在边界点$x_0$然后两个$L^1$ -规范的$u-u(x_0)$上的域和边界上有界，直到一个乘法常数，由外法线衍生物在$x_0$。
2021-05-06 math.AP
A Hopf's lemma and a strong minimum principle for the fractional $p$-Laplacian
本文的目的是对\[ (-Δ_p)^s u= c(x)|u|^{p-2}u \quad \text{ in } Ω\]的弱上解给出一个Hopf引理和一个强最小值原理，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N,$、$s\in(0,1),$、$p\in(1,+\infty),$、$c\in C(\overlineΩ)$的开集，$(-Δ_p)^s$是分数$p$ -Laplacian算子.
2017-02-23 math.AP
Hopf's lemmas and boundary point results for the fractional $p$-Laplacian
本文针对分数阶 $p$-拉普拉斯算子（$p \geq 2$）建立了Hopf边界引理的新证明，并推广到变号势情形，无需全局符号条件，且应用于边界点引理和非局部超定问题。
2024-11-07 math.AP
A Hopf lemma for the regional fractional Laplacian
我们提供了一个Hopf边界引理的区域分数拉普拉斯$(-Δ)^s_Ω$，与$Ω\subset\mathbb{R}^N$有界开集。更精确地说，给定$u$是方程$(-Δ)^s_Ω u = c(x)u$在$Ω$中的点态或弱超解，我们证明了当$x$接近$Ω$的边界$\partialΩ$时，比率$u(x)/(\mathrm{dist}(x,\partialΩ))^{2s-1}$是严格正的。我们还证明了分布超解的一个强最大值原理。
2022-05-17 math.AP
A Generalization of the Hopf's Lemma for the 1-D Moving-Boundary Problem for the Fractional Diffusion Equation and its Application to a Fractional Free-Boundary Problem
本文研究了时间分数阶扩散方程的一维移动边界问题的理论数学分析，其中时间分数阶导数$\al$ $\in (0,1)$取Caputo意义.证明了Hopf引理的一个推广，并利用这个结果证明了当考虑分数阶自由边界Stefan问题时自由边界的单调性.
2015-02-04 math.AP
Hopf-Oleinik lemma for elliptic equations in double divergence form
本文首次为双重散度形式的均匀椭圆方程建立了Zaremba-Hopf-Oleinik型边界点引理，并据此在$C^{1,α}$区域中得到了非散度形式二阶椭圆方程Green函数的精确双边估计。
2025-07-02 math.AP
Hopf's lemmas and boundary behaviour of solutions to the fractional Laplacian in Orlicz-Sobolev spaces
本文在Orlicz-Sobolev空间框架下，将Hopf边界引理推广到分数阶$a-$拉普拉斯算子，研究满足内部球条件的区域边界附近解的行为，并同时处理常号与变号位势问题。
2024-11-20 math.AP
A fractional Hopf Lemma for sign-changing solutions
本文研究了分数阶椭圆问题解的边界行为，在不对解的符号作全局假设的条件下建立了 Hopf 引理，并证明非平凡径向解在边界处不能有无穷多个零点累积，同时给出实例证明结果精确性。
2023-07-03 math.AP
Boundary regularity and Hopf lemma for nondegenerate stable operators
本文针对满足外部C^{1,dini}性质的有界开集，证明了非退化稳定积分微分算子方程解的尖锐边界Hölder正则性与Hopf型边界引理，并展示了估计在s→1-时的稳健性，从而恢复二阶方程经典结果。
2024-10-01 math.AP
Some remarks on singular solutions of nonlinear elliptic equations. III: viscosity solutions, including parabolic operators
本文研究非线性椭圆型方程的奇异解，其中包括黏性解的可去奇点，抛物型方程的Hopf引理的加强，黏性解的强最大值原理和Hopf引理，其中也包括抛物型方程.
2011-01-14 math.AP math.DG
Boundary Lipschitz Regularity and the Hopf Lemma on Reifenberg Domains for Fully Nonlinear Elliptic Equations
该研究针对完全非线性椭圆方程，提出统一方法证明Reifenberg区域上的边界Lipschitz正则性与Hopf引理，明确内外Reifenberg $C^{1,\mathrm{Dini}}$条件对应的成立情形，拓展了常规条件下的已有结论。
2019-12-27 math.AP
A note on Hopf's lemma and strong minimum principle for nonlocal equations with non-standard growth
设$Ω\subset \mathbb{R}^n $是任意开集，$u$是$\mathcal{L}u=c(x)g(|u|)\frac{u}{|u|}$的弱上解，其中\[\mathcal{L}u(x)=\text{p.v.} \int_{\mathbb{R}^n} g\left(\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^s}\right) \frac{u(x)-u(y)}{|u(x)-u(y)|} K(x,y)\frac{dy}{|x-y|^s}\]和$g=G^{\prime}$对于某个Young函数$G.$本文给出了当$c(x)$在$\barΩ$中连续时，$u$的一个Hopf型引理和强最小值原理，推广了Del Pezzo和JDE-2017在分数Orlicz-Sobolev设置下的结果。
2023-03-06 math.AP
On Hopf's Lemma for sign-changing supersolutions to fractional Laplacian equations
Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo. Facoltà Scienze matematiche, fisiche e naturali. Sapienza Università di Roma（罗马大学数学系）；Aix Marseille Univ, CNRS, I2M（艾克斯-马赛大学，法国国家科学研究中心，I2M研究所）
本文研究了分数拉普拉斯方程中变号超解的霍普夫引理有效性，通过扩展方法将其与边界点的霍普夫引理联系起来，并改进了最近关于二元性结果的分析。
2026-03-13 math.AP
A quantitative Hopf-Oleinik lemma for degenerate fully nonlinear operators and applications to free boundary problems
本文提出了一种针对退化全非线性算子的定量Hopf-Oleinik引理，并应用于自由边界问题和火焰传播模型的正则性研究。
2025-12-19 math.AP
Hopf's lemma for parabolic equations involving a generalized tempered fractional $p$-Laplacian
本文针对含广义缓变分数阶$p$-Laplacian的非线性抛物系统，建立了相应的Hopf引理，为研究非局部抛物方程解的定性性质提供了有力工具。
2024-11-01 math.AP
Hopf's lemma for viscosity solutions to a class of non-local equations with applications
我们考虑一个大的家庭的积分微分方程，并建立一个非本地对应的霍普夫引理，直接表示在运营商的符号。作为密切相关的问题，我们也得到了各种黏性解的最大值原理。在我们的方法中，我们结合了直接分析与功能集成，允许一个鲁棒控制的域的边界周围，并利用相关的上升阶梯高度过程。然后，我们将这些结果的主要本征值问题，正解的径向对称性，超定非局部挠方程的研究。
2020-10-22 math.AP math.PR
Boundary Lipschitz Regularity and the Hopf Lemma for Fully Nonlinear Elliptic Equations
针对完全非线性椭圆方程粘性解的边界正则性问题，提出将曲边界视为超平面扰动的统一简洁方法，证明内外C^{1,\text{Dini}}条件分别对应边界Lipschitz连续性与Hopf引理成立，并验证该条件的最优性。
2023-07-24 math.AP
Global gradient regularity and a Hopf lemma for quasilinear operators of mixed local-nonlocal type
本文针对p-Laplacian与分数阶(s, q)-Laplacian之和构成的混合局部-非局部拟线性算子，在边界仅为C^{1, α}且p > s q的条件下，证明了弱解到边界的C^{1, θ}正则性，并建立了正上解的Hopf型引理。
2023-08-11 math.AP
On the maximum principles and the quantitative version of the Hopf lemma for uniformly elliptic integro-differential operators
本文证明了方程$-Av+c(x)v=0$的{子解}，$x\in D$的估计，其中$D\subset \bbR^d$是一个区域（即开连通集），$A$是Waldenfels型积分-微分算子，其微分部分满足紧集上的一致椭圆性条件.一般来说，算子的系数不需要是连续的，而只需要是有界的和Borel可测的。我们的一些结果可以被认为是“定量”版本的霍普夫引理，因为它们提供了下界上的向外正常的方向导数在最大点的子解%在一个域的边界上的值在该点。我们还将通过与$A$和定义域相关的主本征函数来显示其最大点周围的子解的下界。另外还证明了弱、强最大值原理、弱Harnack不等式等结果。
2021-03-17 math.AP
The Hopf lemma for the Schrödinger operator
本文证明了在势能仅属于 $L_{\mathrm{loc}}^1(Ω)$ 的非负条件下，涉及Schrödinger算子的Dirichlet问题解的Hopf边界点引理，并利用Hopf引理失效的集合刻画了使相应边值问题有解的非负有限Borel测度。
2020-01-10 math.AP
A boundary point lemma for Black-Scholes type operators
本文证明了Black-Scholes型方程的Hopf边界点引理的一个精确形式。我们还研究了解在空间边界上的空间导数的存在性和正则性。
2005-09-10 math.AP q-fin.PR
Inhomogeneous Hopf-Oleĭnik Lemma and Applications. Part IV: Sharp Krylov Boundary Gradient Type Estimates for Solutions to Fully Nonlinear Differential Inequalities with unbounded coefficients and $C^{1,Dini}$ boundary data
本文给出了在\cite{BM-IHOL-PartI}或\cite{Boyan-2}中证明的非齐次Hopf-Ole \u <$nik引理（IHOL）的另一个应用.事实上，我们还提供了一个新的和更简单的证明稍微弱版本IHOL的一致椭圆完全非线性的情况下，这是足够的大多数用途。本文件主要有两个部分。在第一部分中，我们使用IHOL的无界RHS发展的Caffarelli的“Lipschitz暗示$C^{1,α}$“的方法来证明Ladyzhenskaya-Uraltseva边界梯度型估计的功能在$S^{*}(γ, f)$，在边界上消失。这里，无界RHS意味着$f\in L^{q}$与$q>n$。这扩展了著名的Krylov的边界梯度估计证明在\cite{Krylov}。从这些估计中恢复了半空间中解的Phragmén-Lindelöf分类结果。此外，Hölder估计的边界（在半球）为$u(x)/x_{n}$。在第二部分中，我们推广了$S^{*}(γ, σ, f)$中的函数的先前结果，其中$γ,f\in L^{q}$与$q>n$在$W^{2,q}$域上具有$C^{1,Dini}$边界数据。在这里，我们使用一个“平坦度的改善”的策略，适合于无界系数的情况。作为其结果，IHOL下逐点$C^{1,Dini}$边界正则性的定量版本。
2016-10-12 math.AP
Failure of the Hopf-Oleinik lemma for a linear elliptic problem with singular convection of non-negative divergence
本文研究了具有非负散度奇异对流的线性椭圆 Dirichlet 问题，将解的存在性理论推广至 $|E| \in L^2$ 并证明了比较原理，同时揭示此类奇异漂移项会导致 Hopf-Oleinik 引理失效。
2023-09-13 math.AP
Boundary weak Harnack estimates and regularity for elliptic PDE in divergence form
对于散度型的一致椭圆型方程，我们得到了经典弱Harnack不等式的一个整体推广，它推广并量化了Hopf-Oleinik边点引理.其中的后果是边界梯度估计，由于Krylov和良好的研究非散度型方程，但完全新颖的发散框架。另一个结果是一个新的更一般的版本的霍普夫-Oleinik引理。
2022-11-01 math.AP
A miscellany
我们提出了几个结果，包括一些评论的霍普夫引理。
2009-10-02 math.AP
Hopf potentials for the Schrödinger operator
我们建立了薛定谔算子$-Δ+ V$的Hopf边界点引理，其中$V$只属于空间$L^{1}_{loc}(Ω)$ .更精确地说，我们证明了，在所有的$-Δ+ V$的超解$u$上消失的边界$\partialΩ$和$V u \in L^{1}(Ω)$，如果存在一个超解满足$\partial u/\partial n < 0$几乎处处在$\partialΩ$上关于向外单位向量$n$，那么这样的性质成立于每一个非平凡的超解在同一类。我们依赖于$L^{\infty}(\partialΩ)$中具有边界数据的非齐次Dirichlet问题的非平凡解的存在性。
2018-07-19 math.AP
Hopf bifurcation of viscous shock wave solutions of compressible Navier-Stokes equations and MHD
扩展我们以前的人工粘性系统的结果，我们表明，在适当的谱假设下，可压缩Navier-Stokes（cNS）和磁流体动力学（MHD）方程的激波解进行Hopf分支附近的时间周期解。与物理粘度和相应的抛物线平滑的缺乏相关联的主要新的困难是需要表明，非线性和线性化的解决方案运营商之间的差异是二次方小$H^s$中的数据在$H^s$。我们通过在拉格朗日坐标中进行的新的能量估计来实现这一点;有趣的是，这种估计在欧拉坐标中是错误的。同时，我们大大锐化和简化了以前的工作的分析。
2006-12-16 math.AP
The role of antisymmetric functions in nonlocal equations
本文建立带零阶项分数阶 Laplace 算子反对称超解的 Hopf 型引理，并结合移动平面法证明半线性分数阶平行曲面问题的径向对称性与区域为球，同时讨论相关最大值原理、Harnack 不等式及局部假设下的反例。
2023-06-04 math.AP
Strong Comparison Principles for Some Nonlinear Degenerate Elliptic Equations
本文得到了一类非线性退化椭圆算子$\nabla^2 ψ+ L(x,\nabla ψ)$（包括共形Hessian算子）的局部Lipschitz黏性解的强比较原理和Hopf引理.
2018-04-03 math.AP
Boundary behavior of solutions to fractional $p$-Laplacian equation
该研究针对分数阶$p$-拉普拉斯方程，证明了其解的广义Hopf引理与全局边界Harnack不等式，并得出满足Wiener准则的有界开集中第一$(s,p)$-特征值具有孤立性的结论。
2025-02-21 math.AP
The splitting lemmas for nonsmooth functionals on Hilbert spaces I
希尔伯特空间上退化临界点附近的Gromoll-Meyer广义Morse引理（又称分裂引理）是无穷维Morse理论中的一个重要结果，它至少对$C^2$ -光滑泛函成立.这就阻碍了人们用Morse理论研究大多数$F(u)=\int_Ωf(x, u,..., D^mu)dx$形式的变分问题，如（\ref{e:1.1}）。本文对Hilbert空间$H$上的一类连续方向可微泛函（低于$C^1$）建立了一个分裂定理和一个移位定理，这类泛函在稠密连续嵌入Banach空间$X\subset H$上的临界点附近具有较高的光滑性（但低于$C^2$）. (This分裂定理概括了我所知的几乎所有以前的分裂定理）。此外，还给出了一个新的Poincaré-Hopf型定理以及$H$和$X$上泛函的临界群之间的关系.与通常的隐函数定理方法和动力系统方法不同，我们的证明是将Duc-Hung-Khai \cite{DHK}的Morse-Palais引理的思想与\cite{JM, Skr, Va1}的一些技巧结合起来。我们的理论适用于紧致流形上的拉格朗日方程组和一大类非线性高阶椭圆型方程的边值问题。
2014-06-11 math.AP math.FA math.GT
A representation formula for the distributional normal derivative
本文针对带非负位势和有限 Borel 测度右端的 Poisson 方程，建立了分布意义下法向导数的积分表示公式，并由此证明非负 Hopf 位势情形下 Hopf 引理在边界上几乎处处成立。
2025-02-05 math.AP
