A Hopf type lemma for fractional equations
在这篇短文中，我们陈述了分数阶方程的一个Hopf引理及其证明的概要。我们相信，它将成为一个强有力的工具，在应用移动平面的方法对分数阶方程获得定性性质的解决方案。
2017-05-13 math.AP
Antisymmetric maximum principles and Hopf's lemmas for the Logarithmic Laplacian, with applications to symmetry results
本文为对数拉普拉斯算子建立反对称最大值原理和Hopf型引理，并应用于证明半线性问题解的对称性及平行曲面问题的刚性结果。
2024-07-16 math.AP
Hopf Lemma and regularity results for quasilinear anisotropic elliptic equations
考虑一类拟线性各向异性椭圆型方程，可能退化或奇异，这是在计算机视觉和连续介质力学的几个应用感兴趣。我们证明了一个霍普夫引理以及局部和全局的正解的正则性估计，推广了以前的结果已知的背景下的p-Laplacian方程。
2019-02-16 math.AP
A Hopf lemma and regularity for fractional $p-$Laplacians
本文研究了分数阶$p$ -Laplacian算子的定性性质。具体地，我们建立了Dirichlet条件下分数阶$p-$ Laplacian方程正弱上解的一个Hopf型引理.此外，还得到了光滑函数$u$满足$(-\triangle)_p^s u\in C^1(\mathbb{R}^n)$的最优条件.
2018-05-16 math.AP
A Hopf-type boundary point lemma for pairs of solutions to quasilinear equations
在$A^{1},\ldots,A^{n},B.$上的弱有界性假设下，给出了拟线性方程$\sum_{i=1}^{n} D_{i}(A^{i}(x,u,Du))+B(x,u,Du)=0$的弱解的$u=u_{1}-u_{2},$的一个Hopf边界点引理
2018-06-26 math.AP
Sub-solutions and a point-wise Hopf's Lemma for Fractional p-Laplacian
我们证明了一个霍普夫引理在点明智的意义。其关键技术是证明$(-Δ)^s_p u(x)$在单位球$B_1\subset\mathbb{R}^n$中是一致有界的，其中$u(x)=(1-|x|^2)^s_{+}$ .同时我们还研究了$(-Δ)^s_p u(x)=f(x,u).$有界正解的整体Hölder连续性
2020-06-23 math.AP
A Hopf's Lemma and the Boundary Regularity for the Fractional P-Laplacian
我们开始的文件与一个霍普夫引理的分数p-Laplacian问题的半空间。具体地说，我们证明了解沿向外法向量的导数在半空间的边界上是严格正的。其次，我们证明了分数阶p-Laplacian方程的正解在边界上具有一定的Holder连续性。
2017-11-07 math.AP
A counterexample to the Hopf-Oleinik lemma (elliptic case)
我们构造了一个新的反例，证实了$Ω$边界的Dini型条件的尖锐性。特别地，我们证明了对于凸区域，Dini型假设是保证Hopf-Oleinik型估计的充要条件.
2015-12-24 math.AP
Optimal boundary regularity and a Hopf-type lemma for Dirichlet problems involving the logarithmic Laplacian
本文研究涉及对数拉普拉斯算子的狄利克雷问题，利用Kelvin变换构造障碍函数证明最优边界正则性，并由此得到非负弱解的Hopf型引理及非线性问题解的唯一性。
2024-07-03 math.AP
Quantitative uniqueness of continuation result related to Hopf's lemma
经典的霍普夫引理可以转化为延拓结果的唯一性。我们的目标是在目前的工作，以量化这一属性。我们精确地表明，如果一个解决方案$u$的散度型椭圆型方程达到其最大值在边界点$x_0$然后两个$L^1$ -规范的$u-u(x_0)$上的域和边界上有界，直到一个乘法常数，由外法线衍生物在$x_0$。
2021-05-06 math.AP
Hopf's lemmas and boundary point results for the fractional $p$-Laplacian
本文针对分数阶 $p$-拉普拉斯算子（$p \geq 2$）建立了Hopf边界引理的新证明，并推广到变号势情形，无需全局符号条件，且应用于边界点引理和非局部超定问题。
2024-11-07 math.AP
A Hopf lemma for the regional fractional Laplacian
我们提供了一个Hopf边界引理的区域分数拉普拉斯$(-Δ)^s_Ω$，与$Ω\subset\mathbb{R}^N$有界开集。更精确地说，给定$u$是方程$(-Δ)^s_Ω u = c(x)u$在$Ω$中的点态或弱超解，我们证明了当$x$接近$Ω$的边界$\partialΩ$时，比率$u(x)/(\mathrm{dist}(x,\partialΩ))^{2s-1}$是严格正的。我们还证明了分布超解的一个强最大值原理。
2022-05-17 math.AP
A Generalization of the Hopf's Lemma for the 1-D Moving-Boundary Problem for the Fractional Diffusion Equation and its Application to a Fractional Free-Boundary Problem
本文研究了时间分数阶扩散方程的一维移动边界问题的理论数学分析，其中时间分数阶导数$\al$ $\in (0,1)$取Caputo意义.证明了Hopf引理的一个推广，并利用这个结果证明了当考虑分数阶自由边界Stefan问题时自由边界的单调性.
2015-02-04 math.AP
Hopf-Oleinik lemma for elliptic equations in double divergence form
本文首次为双重散度形式的均匀椭圆方程建立了Zaremba-Hopf-Oleinik型边界点引理，并据此在$C^{1,α}$区域中得到了非散度形式二阶椭圆方程Green函数的精确双边估计。
2025-07-02 math.AP
Hopf's lemmas and boundary behaviour of solutions to the fractional Laplacian in Orlicz-Sobolev spaces
本文在Orlicz-Sobolev空间框架下，将Hopf边界引理推广到分数阶$a-$拉普拉斯算子，研究满足内部球条件的区域边界附近解的行为，并同时处理常号与变号位势问题。
2024-11-20 math.AP
A fractional Hopf Lemma for sign-changing solutions
本文研究了分数阶椭圆问题解的边界行为，在不对解的符号作全局假设的条件下建立了 Hopf 引理，并证明非平凡径向解在边界处不能有无穷多个零点累积，同时给出实例证明结果精确性。
2023-07-03 math.AP
Boundary regularity and Hopf lemma for nondegenerate stable operators
本文针对满足外部C^{1,dini}性质的有界开集，证明了非退化稳定积分微分算子方程解的尖锐边界Hölder正则性与Hopf型边界引理，并展示了估计在s→1-时的稳健性，从而恢复二阶方程经典结果。
2024-10-01 math.AP
Boundary Lipschitz Regularity and the Hopf Lemma on Reifenberg Domains for Fully Nonlinear Elliptic Equations
该研究针对完全非线性椭圆方程，提出统一方法证明Reifenberg区域上的边界Lipschitz正则性与Hopf引理，明确内外Reifenberg $C^{1,\mathrm{Dini}}$条件对应的成立情形，拓展了常规条件下的已有结论。
2019-12-27 math.AP
A note on Hopf's lemma and strong minimum principle for nonlocal equations with non-standard growth
设$Ω\subset \mathbb{R}^n $是任意开集，$u$是$\mathcal{L}u=c(x)g(|u|)\frac{u}{|u|}$的弱上解，其中\[\mathcal{L}u(x)=\text{p.v.} \int_{\mathbb{R}^n} g\left(\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^s}\right) \frac{u(x)-u(y)}{|u(x)-u(y)|} K(x,y)\frac{dy}{|x-y|^s}\]和$g=G^{\prime}$对于某个Young函数$G.$本文给出了当$c(x)$在$\barΩ$中连续时，$u$的一个Hopf型引理和强最小值原理，推广了Del Pezzo和JDE-2017在分数Orlicz-Sobolev设置下的结果。
2023-03-06 math.AP
On Hopf's Lemma for sign-changing supersolutions to fractional Laplacian equations
Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo. Facoltà Scienze matematiche, fisiche e naturali. Sapienza Università di Roma（罗马大学数学系）；Aix Marseille Univ, CNRS, I2M（艾克斯-马赛大学，法国国家科学研究中心，I2M研究所）
本文研究了分数拉普拉斯方程中变号超解的霍普夫引理有效性，通过扩展方法将其与边界点的霍普夫引理联系起来，并改进了最近关于二元性结果的分析。
2026-03-13 math.AP
A quantitative Hopf-Oleinik lemma for degenerate fully nonlinear operators and applications to free boundary problems
本文提出了一种针对退化全非线性算子的定量Hopf-Oleinik引理，并应用于自由边界问题和火焰传播模型的正则性研究。
2025-12-19 math.AP
Hopf's lemma for parabolic equations involving a generalized tempered fractional $p$-Laplacian
本文针对含广义缓变分数阶$p$-Laplacian的非线性抛物系统，建立了相应的Hopf引理，为研究非局部抛物方程解的定性性质提供了有力工具。
2024-11-01 math.AP
Boundary Lipschitz Regularity and the Hopf Lemma for Fully Nonlinear Elliptic Equations
针对完全非线性椭圆方程粘性解的边界正则性问题，提出将曲边界视为超平面扰动的统一简洁方法，证明内外C^{1,\text{Dini}}条件分别对应边界Lipschitz连续性与Hopf引理成立，并验证该条件的最优性。
2023-07-24 math.AP
Global gradient regularity and a Hopf lemma for quasilinear operators of mixed local-nonlocal type
本文针对p-Laplacian与分数阶(s, q)-Laplacian之和构成的混合局部-非局部拟线性算子，在边界仅为C^{1, α}且p > s q的条件下，证明了弱解到边界的C^{1, θ}正则性，并建立了正上解的Hopf型引理。
2023-08-11 math.AP
On the Hopf Lemma
证明了二阶椭圆算子的Hopf引理在具有$C^{1,α}$甚至更不正则边界的区域中成立。对于$C^1$边界，它不需要成立。对二阶抛物型算子证明了相应的结果。
2007-09-28 math.AP math.DG
Symmetry of hypersurfaces and the Hopf Lemma
A.D.Alexandrov的一个经典定理指出，欧几里得空间中具有常中曲率的连通紧致光滑超曲面必是球面。本文给出了具有有序中曲率的超曲面的对称性的一些结果和相应的Hopf引理的变化。一些开放的问题将被讨论。
2022-05-10 math.AP math.DG
Partial results on extending the Hopf Lemma
在[1]的定理3中，作者在一维证明了Hopf引理的一个推广，问题是它能否推广到高维。在本文中，我们提出了两个可能的扩展，并给出了一个非常部分的答案。我们写这篇文章是为了引起人们对这个问题的注意。
2009-10-02 math.AP math.DG
Schwarz lemmas for mappings with bounded Laplacian
对定义在单位圆盘上的具有有界Laplacian的映射建立了Schwarz型引理。然后，我们应用这些结果，以获得边界版本的Schwarz引理。
2018-10-20 math.AP math.CV
On the maximum principles and the quantitative version of the Hopf lemma for uniformly elliptic integro-differential operators
本文证明了方程$-Av+c(x)v=0$的{子解}，$x\in D$的估计，其中$D\subset \bbR^d$是一个区域（即开连通集），$A$是Waldenfels型积分-微分算子，其微分部分满足紧集上的一致椭圆性条件.一般来说，算子的系数不需要是连续的，而只需要是有界的和Borel可测的。我们的一些结果可以被认为是“定量”版本的霍普夫引理，因为它们提供了下界上的向外正常的方向导数在最大点的子解%在一个域的边界上的值在该点。我们还将通过与$A$和定义域相关的主本征函数来显示其最大点周围的子解的下界。另外还证明了弱、强最大值原理、弱Harnack不等式等结果。
2021-03-17 math.AP
The Hopf Boundary Point Lemma for Vector Bundle Sections
本文建立了带边流形上向量丛截面的Hopf边界点引理的一个版本。这个结果可以看作是R.汉密尔顿1986年潜在的应用包括各种几何流的研究和几何边值问题不变集的构造。
2008-03-06 math.AP math.DG
Hopf's lemma for viscosity solutions to a class of non-local equations with applications
我们考虑一个大的家庭的积分微分方程，并建立一个非本地对应的霍普夫引理，直接表示在运营商的符号。作为密切相关的问题，我们也得到了各种黏性解的最大值原理。在我们的方法中，我们结合了直接分析与功能集成，允许一个鲁棒控制的域的边界周围，并利用相关的上升阶梯高度过程。然后，我们将这些结果的主要本征值问题，正解的径向对称性，超定非局部挠方程的研究。
2020-10-22 math.AP math.PR
Schwarz lemma for the solutions to the Dirichlet problems for the invariant Laplacians
该研究针对不变拉普拉斯算子的Dirichlet问题，建立了其解的Schwarz引理，推广了已有的相关定理结果。
2023-12-14 math.AP math.CV
The Hopf lemma for the Schrödinger operator
本文证明了在势能仅属于 $L_{\mathrm{loc}}^1(Ω)$ 的非负条件下，涉及Schrödinger算子的Dirichlet问题解的Hopf边界点引理，并利用Hopf引理失效的集合刻画了使相应边值问题有解的非负有限Borel测度。
2020-01-10 math.AP
Singular solutions of linear problems with fractional Laplacian
本文研究了具有分数拉普拉斯算子的线性问题的奇异解。首先，我们建立Bôcher型定理的穿孔球通过分配的方法。然后，我们发展了一些有趣的最大值原理上一个被刺破的球。我们的分布方法只需要基本的局部L-1可积性。我们还介绍了几个简单而有用的引理，使我们能够统一的拉普拉斯算子和分数拉普拉斯算子的治疗。这些定理、引理和方法可以适用于其它场合。
2019-03-01 math.AP
A geometric problem and the Hopf Lemma. II
A.D. Alexandrov的一个经典结果表明，一个连通的紧致光滑$n-$维流形，没有边界，嵌入在$\Bbb R^{n+1}$中，并且它的中曲率是常数，是一个球面。本文研究了当$M$满足以下条件时，$M$在超平面$X_{n+1}=$常数中的对称性问题：对于$M$上的任意两点$(X', X_{n+1})$，$(X', \hat X_{n+1})$，其中$X_{n+1}>\hat X_{n+1}$，第一点的中曲率不大于第二点的中曲率.对称性并不总是成立的，但在本文中，我们在一些附加条件下建立了它。还介绍了Hopf引理的一些变形。几个开放的问题进行了说明。第一部分处理相应的一维问题。
2006-02-03 math.AP math.DG
Analysis of the horizontal Laplacian for the Hopf fibration
本文研究了与具有任意Chern数$k$的Hopf纤维化$S^3\to S^2$相关的水平拉普拉斯$Δ^H$。我们利用表示论计算谱，描述热核，得到了$Δ^H$的完全热迹渐近性。给出了关联Poisson半群的格林函数，得到了其压缩性质的界和$Δ^H$的Sobolev不等式.边界和不等式随着$|k|$的增加而改善。
2002-09-11 math.AP math.DG
Inhomogeneous Hopf-Oleĭnik Lemma and Applications. Part IV: Sharp Krylov Boundary Gradient Type Estimates for Solutions to Fully Nonlinear Differential Inequalities with unbounded coefficients and $C^{1,Dini}$ boundary data
本文给出了在\cite{BM-IHOL-PartI}或\cite{Boyan-2}中证明的非齐次Hopf-Ole \u <$nik引理（IHOL）的另一个应用.事实上，我们还提供了一个新的和更简单的证明稍微弱版本IHOL的一致椭圆完全非线性的情况下，这是足够的大多数用途。本文件主要有两个部分。在第一部分中，我们使用IHOL的无界RHS发展的Caffarelli的“Lipschitz暗示$C^{1,α}$“的方法来证明Ladyzhenskaya-Uraltseva边界梯度型估计的功能在$S^{*}(γ, f)$，在边界上消失。这里，无界RHS意味着$f\in L^{q}$与$q>n$。这扩展了著名的Krylov的边界梯度估计证明在\cite{Krylov}。从这些估计中恢复了半空间中解的Phragmén-Lindelöf分类结果。此外，Hölder估计的边界（在半球）为$u(x)/x_{n}$。在第二部分中，我们推广了$S^{*}(γ, σ, f)$中的函数的先前结果，其中$γ,f\in L^{q}$与$q>n$在$W^{2,q}$域上具有$C^{1,Dini}$边界数据。在这里，我们使用一个“平坦度的改善”的策略，适合于无界系数的情况。作为其结果，IHOL下逐点$C^{1,Dini}$边界正则性的定量版本。
2016-10-12 math.AP
Failure of the Hopf-Oleinik lemma for a linear elliptic problem with singular convection of non-negative divergence
本文研究了具有非负散度奇异对流的线性椭圆 Dirichlet 问题，将解的存在性理论推广至 $|E| \in L^2$ 并证明了比较原理，同时揭示此类奇异漂移项会导致 Hopf-Oleinik 引理失效。
2023-09-13 math.AP
Spectral stability estimates for the Dirichlet and Neumann Laplacian in rough domains
在本文中，我们建立了新的定量稳定性估计方面的所有特征值的Neumann和Dirichlet拉普拉斯算子的区域扰动。我们的主要结果遵循一个抽象的引理，说明它实际上是足够的，以提供一个合适的投影算子的估计。而这个引理可以应用在不同的正则性假设的域上，在这里，我们用它来估计在Lipschitz和所谓的Reifenberg平坦域的频谱。我们的论点也依赖于适当的扩展技术和估计的衰减特征函数在边界上，可以解释为一个边界的正则性结果。
2012-09-17 math.AP
Boundary weak Harnack estimates and regularity for elliptic PDE in divergence form
对于散度型的一致椭圆型方程，我们得到了经典弱Harnack不等式的一个整体推广，它推广并量化了Hopf-Oleinik边点引理.其中的后果是边界梯度估计，由于Krylov和良好的研究非散度型方程，但完全新颖的发散框架。另一个结果是一个新的更一般的版本的霍普夫-Oleinik引理。
2022-11-01 math.AP
A miscellany
我们提出了几个结果，包括一些评论的霍普夫引理。
2009-10-02 math.AP
The subelliptic heat kernel of the octonionic Hopf fibration
本文研究了$15$维单位球面的次拉普拉斯算子，它是通过提升八元数射影空间的拉普拉斯算子得到的.我们得到特别是显式公式，其热核和推导表达式的格林函数的相关sub-Laplacian。作为副产品，我们还获得了次拉普拉斯算子的谱，热核的小时间渐近性，并明确计算了次黎曼距离。
2020-01-14 math.AP math.DG
The subelliptic heat kernels of the quaternionic Hopf fibration
本文的主要目的是研究单位球面的次拉普拉斯算子，它是通过提升四元数射影空间的拉普拉斯算子得到的。特别是我们得到了它的热核的显式公式，并推导出共形次拉普拉斯算子的格林函数和小时间渐近性的表达式。作为我们的研究的副产品，我们也得到了一些结果有关的子拉普拉斯投影的霍普夫纤维化。
2015-08-21 math-ph math.AP math.DG
Some remarks on singular solutions of nonlinear elliptic equations. III: viscosity solutions, including parabolic operators
本文研究非线性椭圆型方程的奇异解，其中包括黏性解的可去奇点，抛物型方程的Hopf引理的加强，黏性解的强最大值原理和Hopf引理，其中也包括抛物型方程.
2011-01-14 math.AP math.DG
A boundary point lemma for Black-Scholes type operators
本文证明了Black-Scholes型方程的Hopf边界点引理的一个精确形式。我们还研究了解在空间边界上的空间导数的存在性和正则性。
2005-09-10 math.AP q-fin.PR
Boundary behavior of solutions to fractional $p$-Laplacian equation
该研究针对分数阶$p$-拉普拉斯方程，证明了其解的广义Hopf引理与全局边界Harnack不等式，并得出满足Wiener准则的有界开集中第一$(s,p)$-特征值具有孤立性的结论。
2025-02-21 math.AP
A comparison method for the fractional Laplacian and applications
本文研究了分数椭圆型方程解的边界行为，证明了Lane-Emden方程第一特征值的孤立性，并建立了广义Hopf引理和全局边界Harnack不等式。
2023-03-31 math.AP
Sign-changing solutions for the stationary Kirchhoff problems involving the fractional Laplacian in \mathcal{R}^N
本文研究了一类含分数阶Laplacian算子的Kirchhoff型问题的最小能量变号解的存在性。利用约束变分方法和定量变形引理，我们得到了给定问题的最小能量节块解ub。此外，我们还证明了ub的能量严格大于基态能量的两倍。当b为参数时，我们还给出了u_b在b趋于0时的收敛性质。
2017-01-14 math.AP
Pitt's inequality and the fractional Laplacian: sharp error estimates
利用Frank，Lieb和Seiringer给出的分数阶Laplacian的带权谱表示和Stein-Weiss不等式，得到了Pitt不等式的分数阶Laplacian和带权Besov范数的精确误差估计.利用非么模群的伸缩不变性、群对称性和非线性Stein-Weiss引理，给出了Frank-Seiringer“Hardy不等式”的简短证明，其中分数光滑性由Besov范数度量.
2009-07-31 math.AP
Continuity of weak solutions to an elliptic problem on $p$-fractional Laplacian
该文研究$\u211d^N$空间中$p$-分数阶拉普拉斯算子椭圆变分问题弱解的连续性，给出弱解连续的充分条件，同时修正了两篇相关文献中特定参数范围下引理的证明。
2022-08-08 math.AP math.FA
Fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$ with critical growth
本文研究了含有分数阶$p\&q$拉普拉斯算子的非线性问题：\begin{equation*} (-Δ)^{s}_{p}u+(-Δ)^{s}_{q}u+|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u=λh(x) f(u)+|u|^{q^{*}_{s}-2}u \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*}其中$s\in (0,1)$，$1<p<q<\frac{N}{s}$，$q^{*}_{s}=\frac{Nq}{N-sq}$，$λ>0$是参数，$h$是非平凡有界扰动，$f$是具有次临界增长的超线性连续函数.利用适当的变分变分和集中紧引理，证明了充分大的$λ$的非平凡非负解的存在性。
2019-06-29 math.AP
Maximum principles for the fractional p-Laplacian and symmetry of solutions
本文研究了含分数阶p-Laplacian算子的非线性方程组$$ (-\lap)_p^s u(x)) \equiv C_{n,s,p} PV \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}[u(x)-u(y)]}{|x-z|^{n+ps}} dz= f(x,u).$$，证明了一个{反对称函数的\em最大值原理}，并得到了进行动平面法的其它关键要素，如{ \em一个关键的边界估计引理}.然后，我们建立了单位球上和整个空间上包含分数p-Laplacian算子的半线性方程正解的径向对称性和单调性。我们相信，这里开发的方法可以适用于各种问题，涉及非线性非局部算子。
2017-05-13 math.AP
Symmetry breaking for an elliptic equation involving the Fractional Laplacian
研究了大球中含分数阶拉普拉斯算子的椭圆型方程的对称破缺现象。我们的主要工具是一个扩展的施特劳斯径向引理涉及的分数拉普拉斯，这可能是独立的利益，并从中我们推导出紧凑的嵌入定理的Sobolev型空间的径向函数与权力的重量。
2016-12-05 math.AP math.FA
On the Boundary Point Principle for divergence-type equations
在对方程系数和区域边界的严格要求下，给出了一般散度型椭圆型和抛物型方程的Zaremba-Hopf-Oleinik边界点引理的几种形式.
2018-09-17 math.AP
