On the remarkable properties of the pentagonal numbers
在本文中，欧拉考虑了五边形数的性质，这些数的形式为$\frac{3n^2 \pm n}{2}$。他回忆说，无穷乘积$(1-x)(1-x^2)(1-x^3)...$展开为指数为五边形数的无穷级数，并尝试将这个无穷乘积的根代入这个无穷级数。我不知道他在某些部分做什么：特别是，他做了一些复杂的计算，关于单位的根和它们的总和，它们的平方，倒数，等等，并对某些发散级数如1-1-1+1+ 1 - 1+1+.我将感谢任何关于这些部分的建议或更正。
2005-05-18 math.HO math.NT
An observation on the sums of divisors
从欧拉的“观察summis divisorum”（1752年）的拉丁文翻译。Enestroem指数中的E243。五边形数定理是$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$。本文假定了五角数定理，并利用它证明了因子函数和的一个递推关系。“五边形数”一词来源于多边形数。欧拉求两边的对数导数。然后将两边乘以$-x$后，左边等于$\sum_{n=1}^\infty σ(n) x^n$，其中$σ(n)$是$n$的约数之和，例如$σ(6)=12$。这就产生了$σ(n)$的递归关系。我一直在详细研究所有欧拉的工作五边形数定理，更普遍的无穷乘积。我特别有兴趣看看是否还有其他人在欧拉和雅可比之间研究过类似的产品和系列，我很乐意听到任何对此有所了解的人的声音。
2009-07-18 math.HO math.NT
A demonstration of a theorem on the order observed in the sums of divisors
欧拉的《Demonstratio theoretical circa ordinem in summis divisorum observatum》（1760）。Enestroem指数中的E244。在他以前的论文E243中，欧拉陈述了五边形数定理，并假设它证明了因子函数和的递归关系。在E244中，欧拉证明了五边形定理，然后重复了递归的证明。在命题1中，欧拉证明了$\prod_{n=1}^\infty (1-a_n)=1-\sum_{n=1}^\infty a_n(1-a_1)...(1-a_{n-1})$。在命题2中，他明确地陈述了$a_n=x^n$的情况。然后在命题3中，欧拉应用命题2，然后收集项：每次从序列$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$中留下两项。这是详细解释在一份文件中，我的工作约欧拉的工作，五边形数定理。
2009-07-30 math.HO math.NT
A sum of three nonunit squares of integers
我们说一个正整数是三个非单位平方的和，如果它是三个非1整数的平方和。本文在广义黎曼假设（GRH）成立的条件下，求出了所有三个非单位平方和的整数。作为应用，我们在GRH下求出了$k=3$为唯一时的所有整数，它们分别是对任意整数$k\ge 3$的$k$非零三角数之和，$k$非零广义五边形数之和，$k$非零广义八边形数之和.
2019-09-11 math.NT
An integration of Euler's pentagonal partition
给出了一个递归公式，用于将正整数的组成作为多组正整数的和来计数，它与基于五边形数的欧拉递归公式非常相似，但是其中的系数是由欧拉系数的离散积分得到的.一个双射证明和一个基于生成函数的证明都表明了主题递归的等价性。
2010-09-19 cs.DM math.CO math.NT
Congruence conditions on the number of terms in sums of consecutive squared integers equal to squared integers
考虑寻找$M$连续整数平方和的所有整数解的问题，从$a^{2}$开始等于平方整数$s^{2}$，它表明，如果$M\equiv3,5,6,7,8$或$10 (mod\,12)$没有解决方案，并有整数解，如果$M\equiv0,9,24$或$33 (mod\,72)$ ;或$M\equiv1,2$或$16 (mod\,24)$ ;或$M\equiv11 (mod\,12)$。$M$的所有允许值都使用必要条件来表征。如果$M$本身是一个正方形，那么$M\equiv1 (mod\,24)$和$(M-1)/24$都是五边形数，除了前两个。
2014-09-28 math.NT
Extensions of the truncated pentagonal number theorem
本文基于Zeilberger算法的$q$-版本提出一种方法，可获得一类$q$-级数的有限和展开，从而推广了Andrews-Merca及Kolitsch等人的截断五角数定理恒等式。
2025-04-07 math.NT
Short addition sequences for theta functions
经典的SL 2（Z）模形式和椭圆函数的数值计算的主要步骤是计算属于戴德金η函数或Jacobi θ常数的稀疏q-级数的前N个非零项的和。我们构造短的加法序列来使用N + o（N）乘法执行此任务。我们的构造依赖于整数的特定二次级数作为同类较小数的和的可表示性。例如，我们表明，每一个广义五边形数c 5可以写为c = 2a + b，其中a，b是较小的广义五边形数。我们还给出了一个婴儿步巨步算法，使用O（N/ log r N）乘法的任何r > 0，击败下界N乘法显式计算时所需的条款。这些结果导致在实践中加速。
2018-03-08 math.NT
Finiteness theorems for universal sums of squares of almost primes
在本文中，我们研究二次型是普遍的，当限制到几乎素输入，建立有限性定理类似的康威-Schneeberger 15定理。
2021-07-05 math.NT
Universal sums of generalized heptagonal numbers
在本文中，我们考虑整数表示为广义七边形数的和，其中每个七边形数的重复出现在和中的规定数量。特别是，我们调查的分类，这样的总和是普遍的，即，表示每个正整数的那些。我们证明了一个显式的有限界，使得一个给定的和是泛的当且仅当它在给定的界之前表示正整数。
2022-03-28 math.NT
Universal sums of $m$-gonal numbers
本文研究了由多边形数和构成的泛二次多项式。具体来说，我们确定一个渐近上界（作为$m$的函数）的大小的集合$S_m\subset\mathbb{N}$，这样，如果一个总和的$m$-$S_m\subset\mathbb{N}$数字表示$S_m$，那么它表示$\mathbb{N}$。
2018-12-30 math.NT
Universal Sums of Triangular Numbers and Squares
本文研究三角数与平方数的泛性和问题，证明其泛性等价于能表示一组给定的正整数。
2023-07-05 math.NT
Universal elliptic Gauß sums and applications
我们提出了新的想法，计算椭圆Gaussian和，这构成了一个类似的经典分圆Gaussian和，其使用已被提出的背景下，计数点的椭圆曲线和素性测试。利用某些著名的模函数，定义了泛椭圆高斯和，并证明了它们可以用$j$ -不变量和另一个模函数表示.之后，我们展示了如何使用这种表示法来获得与有限域$\mathbb{F}_p$上的椭圆曲线相关联的椭圆高斯和，然后可以用于计数点或素数证明。
2017-07-25 math.NT
Almost universal ternary sums of polygonal numbers
对于自然数$m$，广义$m$ -广义数是具有$p_m(x)=\frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2}$和$x\in \mathbb Z$形式的那些数。本文在$m$上建立了三元和$p_m(x)+p_m(y)+p_m(z)$几乎泛的条件。
2017-10-27 math.NT
Tight universal sums of $m$-gonal numbers
对于正整数$n$，大于或等于$n$的所有整数的集合由$\mathcal T(n)$表示。广义$m$ -泛数$g$的和称为紧$\mathcal T(n)$ -泛的，如果由$g$表示的所有非零整数的集合等于$\mathcal T(n)$ .本文证明了对于任意对$(m,n)$，广义$m$-数之和的最小紧$\mathcal T(n)$ -普适准则集的存在性.为了实现这一点，我们引入了一个算法，给出了所有候选人的紧$\mathcal T(n)$ -通用和广义$m$ -ESTA号码为任何给定的对$(m,n)$。此外，我们还提供了一些关于广义$m$-EARTH数的紧$\mathcal T(n)$-泛和分类的实验结果。
2022-02-18 math.NT
Universal sums of generalized polygonal numbers of almost prime length
Indian Institute of Technology Kharagpur（印度理工学院卡拉格普尔分校）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文研究了广义多边形数的通用和，证明了在输入素因子数量受限的情况下，通用和的有限性定理，并给出了不同条件下的最优界。
2026-04-09 math.NT
Almost Universal Weighted Ternary Sums of Polygonal Numbers
对于自然数$m$，广义$m$ -广义数由公式$p_m(x)=\frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2}$定义，其中$x\in \mathbb Z$。本文给出了加权三进制和$P_{a,b,c,m}:=ap_m(x)+bp_m(y)+cp_m(z)$几乎普适的$a,b,c,m$的一个判别准则。我们还证明了对于某些$a,b,c,m$，形式$P_{a,b,c,m}$不是几乎普适的，但它代表了所有可能的同余类。
2017-10-16 math.NT
Universal elliptic Gauß sums for Atkin primes in Schoof's algorithm
这项工作建立在以前的结果。在Schoof的椭圆曲线上点的计数算法中，我们定义了Atkin素数的泛椭圆高斯和.随后，我们表明这些数量承认一个有效的计算表示的$j$不变和其他两个模函数。我们详细分析了必要的计算，并推导出一种替代方法，用于确定轨迹的Frobenius同态Atkin素数使用这些预先计算。一个粗略的运行时分析表明，然而，这种新方法是没有竞争力的现有的。
2017-07-28 math.NT
Almost universal mixed sums of squares and polygonal numbers
对于每个整数$m\ge3$，令$P_m(x)$表示具有$x\in\mathbb{Z}$的广义$m$ -整数$\frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2}$。给定正整数$a,b,c,k$和一个具有$p\nmid c$的奇素数$p$，我们利用三元二次型理论完全确定了混合和$ax^2+by^2+cP_{p^k+2}(z)$何时表示除1/2个正整数以外的所有正整数.
2020-07-20 math.NT
Efficient computation of universal elliptic Gauß sums
在以前的文件中，它已被证明，椭圆高斯和，其使用已提出的范围内的椭圆曲线和素数测试点计数，可以计算使用模函数。在这项工作中，我们给出了详细的算法，必要的计算，所有这些都已实现在C。我们分析了相对简单的算法，从理论推导，并提供了几个改进，大大加快计算。此外，稍微概括以前的结果，我们描述了如何（椭圆）雅可比和可以确定在一个非常相似的方式，并显示如何可以使用。最后，我们的算法的空间和运行时的要求进行分析。
2017-07-26 math.NT
Ternary universal sums of generalized polygonal numbers
对于某个整数$x$，形式为$p_m(x)= \frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2} \ (m\ge 3)$的整数称为$m$阶的广义多边形数。广义多边形数的三进制和$Φ_{i,j,k}^{a,b,c}(x,y,z)=ap_{i+2}(x)+bp_{j+2}(y)+cp_{k+2}(z)$，对于某些正整数$a,b,c$和某些整数$1\leq i\leq j \leq k$，称为在$\mathbb{Z}$上泛的，如果方程$Φ_{i,j,k}^{a,b,c}(x,y,z)=n$对于任何非负整数$n$都有整数解$x,y,z$。本文证明了Sun等人提出的广义多边形数的$17$三元和的普适性。
2021-02-09 math.NT
Universal mixed sums of generalized $4$- and $8$-gonal numbers
对于整数$x$，形式为$P_m(x)= \frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2}$的整数称为广义$m$ -实数。对于正整数$α_1,\dots,α_u$和$β_1,\dots,β_v$，广义$4$ -和$8$ -的混合和$Φ=α_1P_4(x_1)+\cdots+α_uP_4(x_u)+β_1P_8(y_1)+\cdots+β_vP_8(y_v)$称为泛的，如果$Φ=N$对于任何非负整数$N$都有整数解。本文证明了广义$4$ -和$8$ -数的真泛混合和恰好有1271个.进一步证明了“$61$ -定理”，该定理指出广义$4$ -和$8$ -的任意混合和是泛和的当且仅当它表示整数$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，$10$，$12$，$13$，$14$，$15$，$18$，$20$、$30$、$60$和$61$。
2018-09-11 math.NT
On a Class of Sums with Unexpectedly High Cancellation, and its Applications
以下尝试在分析证明的五边形数定理，我们报告发现的一般原则，导致一个意想不到的取消振荡的总和。在陈述动机和我们的定理之后，我们应用它来证明关于Prouhet-Tarry-Escott问题、整数分割和素数分布的几个结果。关于Prouhet-Tarry-Escott问题，我们表明，\begin{align*} \sum_{|\ell|\leq x}(4x^2-4\ell^2)^{2r}-\sum_{|\ell|<x}(4x^2-(2\ell+1)^2)^{2r}=\text{polynomial w.r.t. } x \text{ with degree }2r-1. \end{align*}这也许可以证明使用伯努利多项式的属性，但索赔掉出我们的方法在一个更自然和动机的方式。使用这个结果，我们解决了一个近似版本的PTE问题，这样做，我们的工作在近似的情况下超过了界限，可以证明使用鸽子洞参数，这似乎是显着的。此外，我们证明了$$ \sum_{\ell^2 < n} (-1)^\ell p(n-\ell^2)\ \sim\ (-1)^n 2^{-3/4} n^{-1/4} \sqrt{p(n)}, $$，其中$p(n)$是通常的配分函数。我们得到了下面的“弱五边形数定理”，其中我们可以用Chebyshev $Ψ$函数代替配分函数$p(n)$：$$ \sum_{0 < \ell < \sqrt…
2022-06-22 math.CO math.NT
Almost universal sums of triangular numbers with one exception
对于任意整数$x$，形式为$T(x)=\frac{x^2+x}{2}$的整数称为三角数。对于正整数$α_1,α_2,\dots,α_k$，三角数之和$Δ_{α_1,α_2,\dots,α_k}(x_1,x_2,\dots,x_k)=α_1 T(x_1)+α_2 T(x_2)+\cdots+α_k T(x_k)$被称为几乎泛在，但有一个例外，如果丢番图方程$Δ_{α_1,α_2,\dots,α_k}(x_1,x_2,\dots,x_k)=n$对于除单个非负整数$n$之外的任何非负整数都有整数解$(x_1,x_2,\dots,x_k)\in\mathbb{Z}^k$。在这篇文章中，我们分类了所有几乎泛和的三角数，只有一个例外。此外，我们还给出了一个有效的几乎普适性判据，除了任意三角数和之外，它是Conway，Miller和Schneeberger的“15-定理”的推广。
2022-04-08 math.NT
Universal sums via products of Ramanujan's theta functions
Hodeidah University（荷台达大学）；Nanjing University（南京大学）
本文通过拉马努金θ函数的恒等式，证明了两种特定形式的多项式在整数范围内是通用的。
2026-02-25 math.NT
Some universal quadratic sums over the integers
设$a,b,c,d,e,f\in\mathbb N$与$a\ge c\ge e>0$，$b\le a$与$b\equiv a\pmod2$，$d\le c$与$d\equiv c\pmod2$，$f\le e$与$f\equiv e\pmod2$。如果任何非负整数都可以用$x,y,z\in\mathbb Z$写成$x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2$，则有序元组$(a,b,c,d,e,f)$被称为在$\mathbb Z$上通用。最近，Z W. Sun在$\mathbb Z$上找到了这种通用元组的所有候选者。在本文中，我们使用的理论三元二次型表明，44个具体元组$(a,b,c,d,e,f)$在孙的候选人名单确实是通用的$\mathbb Z$。例如，我们证明了$(16,4,2,0,1,1)$在$\mathbb Z$上的普适性，它与形式$x^2+y^2+32z^2$有关。
2020-01-11 math.NT
Universal quaternary mixed sums involving generalized 3-, 4-, 5- and 8-gonal numbers via products of Ramanujan's theta functions
本文利用Ramanujan theta函数恒等式理论，系统确定了由广义3-、4-、5-和8-角数构成的四元混合和何时能表示所有非负整数，即其通用性。
2025-07-18 math.NT
Universal sums of generalized octagonal numbers
对于某个整数$x$，形式为$P_8(x)=3x^2-2x$的整数称为广义八边形数。广义八边形数的四元和$Φ_{a,b,c,d}(x,y,z,t)=aP_8(x)+bP_8(y)+cP_8(z)+dP_8(t)$称为{ \it universal}，如果$Φ_{a,b,c,d}(x,y,z,t)=n$对任意正整数$n$都有整数解$x,y,z,t$。在这篇文章中，我们表明，如果$a=1$和$(b,c,d)=(1,3,3), (1,3,6), (2,3,6), (2,3,7)$或$(2,3,9)$，那么$Φ_{a,b,c,d}(x,y,z,t)$是通用的。这些是Sun在\cite {sun}中记录的。我们还给出了广义八边形数的任意和$a_1 P_8(x_1)+a_2P_8(x_2)+\cdots+a_kP_8(x_k)$的普适性的一个有效判据，它是Conway和Schneeberger的“$15$ -定理”的推广.
2017-07-22 math.NT
Even universal sums of triangular numbers
本文分类了所有偶泛的三角数之和，并给出了任意三角数之和偶泛性的有效判定准则，推广了 Bosma 和 Kane 的三角数八定理。
2024-08-21 math.NT
Universal Gauss-Thakur sums and L-series
本文研究了在具有q个元素F_q的有限域的代数闭包的元素上赋值的Anderson-Thakur函数Ω的性质。实际上，这个函数与域K=F_q（T）的显式类域理论有着相当显著的关系。我们将看到，这些值，连同它的除导数的值，生成K的极大阿贝尔扩张，它在无穷远处是光滑分歧的。我们还将看到，Ω是一个普适的高斯-塔库尔和，我们将详细解释。然后，我们将使用这些结果，以显示存在的功能关系的一类L-系列介绍的第二作者。最后，我们的结果将被应用于Bernoulli-Carlitz分式的一类新的同余，并提出了一个解析猜想，暗示这类分式模A=F_q[T]的素理想的一个有趣的行为.
2013-03-28 math.NT
On the rank of universal quadratic forms over real quadratic fields
本文研究了实二次域$\mathbb Q(\sqrt D)$上的全正定对角泛二次型所需变量的最小数目，并利用相关的连分数的某些系数和得到了它的上界.我们还估计这样的总和方面的$D$和建立一个连分数展开和特殊值的$L$ -函数的克罗内克的极限公式的精神之间的联系。
2017-11-07 math.NT
Even better sums of squares over quintic and cyclotomic fields
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
分类了所有次数不超过5且存在有理整数系数万有二次型的全实域，解决了次数≤5的万有型提升问题，主要工具是每个2的倍数都是平方和的域的密集计算分类，并推广到高次实分圆域证明了Kitaoka猜想。
2026-06-25 math.NT
Ternary Sums of Squares and Triangular Numbers
对于任何整数$x$，令$T_x$表示三角数$\frac{x(x+1)}{2}$。本文给出了三进制和$αx^2 +βT_y + γT_z$表示除1/2个正整数以外的所有正整数三元组$(α, β, γ)$的一个完全刻划。这解决了Kane和Sun的一个猜想\cite [猜想1.19（i）]{KS 08}，并完成了几乎泛三元混合平方和和三角数的刻画.
2011-01-18 math.NT
Universal sums of three quadratic polynomials
令$a,b,c,d,e$和$f$为整数，其中$a\ge c\ge e>0$、$b>-a$和$b\equiv a\pmod2$、$d>-c$和$d\equiv c\pmod 2$、$f>-e$和$f\equiv e\pmod2$。假设$b\ge d$是$a=c$，$d\ge f$是$c=e$。当$b(a-b)$，$d(c-d)$和$f(e-f)$不全为零时，我们证明了如果每个$n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$都可以用$x,y,z\in\mathbb N$写成$x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2$，那么元组$(a,b,c,d,e,f)$一定在我们的$473$候选者列表中，并表明其中有56个符合我们的目的。当$b\in[0,a)$，$d\in[0,c)$和$f\in[0,e)$时，我们研究了$\mathbb Z$上的泛元组$(a,b,c,d,e,f)$，其中任何一个$n\in\mathbb N$都可以用$x,y,z\in\mathbb Z$写成$x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2$，并证明了总共有12082个这样的候选元组，其中一些被证明是$\mathbb Z$上的泛元组.例如，我们证明了任何$n\in\mathbb N$都可以用$x,y,z\in\mathbb Z$写成$x(x+1)/2+y(3y+1)/2+…
2020-02-13 math.NT
On finiteness theorems for sums of generalized polygonal numbers
本文研究广义多角数混合和的普适性，通过限定满足特定最小公倍数条件的子类，获得了仅需验证有限正整数子集即可判定其表示所有正整数能力的有限性条件及常数渐近增长界。
2023-05-24 math.NT
Sums of squares of integers from residue classes
Korea University（高丽大学）
本文研究了余类模m的整数余类的平方和性质，证明了当余数d≡±1 mod m时，该余类是s-平方universal，并确定了最小的s值。
2026-02-15 math.NT
Sums of singular series and primes in short intervals in algebraic number fields
Gross和Smith提出了代数数域上Hardy-Littlewood孪生素数的推广.我们估计的行为的总和的奇异系列，出现在这些programmures，低序项。更确切地说，我们找到了奇异级数减一的光滑和的渐近公式。基于Gross和Smith的理论，我们用我们的结果表明，对于代数数域K中足够大的“短区间”，随机短区间中素元计数的方差偏离Cramer模型预测的一个与K无关的通用因子.数域上的猜想推广了Goldston和Montgomery关于整数的一个经典猜想。数值数据提供支持的猜想。
2020-01-26 math.NT
On some universal sums of generalized polygonal numbers
对于$m=3,4,\ldots$，那些具有$x\in\mathbb Z$的$p_m(x)=(m-2)x(x-1)/2+x$称为广义$m$ -实数。Sun [13]研究了对于正整数$a,b,c$的哪些值，和$ap_5+bp_5+cp_5$在$\mathbb Z$上是泛在的（即，任何$n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$具有$ap_5(x)+bp_5(y)+cp_5(z)$与$x,y,z\in\mathbb Z$的形式）。我们证明了$p_5+bp_5+3p_5\,(b=1,2,3,4,9)$和$p_5+2p_5+6p_5$在$\mathbb Z$上是泛的，正如Sun所证明的. Sun还指出，任何$n\in\mathbb N$都可以写成$p_3(x)+p_5(y)+p_{11}(z)$和$3p_3(x)+p_5(y)+p_7(z)$与$x,y,z\in\mathbb N$ ;相反，我们证明了$p_3+p_5+p_{11}$和$3p_3+p_5+p_7$在$\mathbb Z$上是通用的。我们的证明基本上是初等的，因此适合一般读者。
2016-06-23 math.CO math.NT
On sums of Hecke-Maass eigenvalues squared over primes in short intervals
我们证明了一个统一的估计的总和Hecke-马斯特征值平方素数在短时间内，可以被视为一个模拟Hoheisel的经典素数定理的所有真正的解析尖点形式。我们的论点是仿照我们的治疗林尼克的最小素数定理等差数列（塔塔LN 72），并依赖于最近的作品在理论的自守表示。我们强调，常数在目前的工作，包括那些隐含的，都是普遍的，有效地计算，虽然我们不特别注意数值精度。在第三个版本中，我们对主断言进行了改进，并添加了更多细节。在这个新的版本中，一些扩充有关对称L-函数的对数导数的界限。然而，这只是为了使我们的论点更容易理解。
2014-03-02 math.NT
On almost universal mixed sums of squares and triangular numbers
1997年K. Ono和K. Soundararajan [发明。Math.130（1997）]证明了在广义黎曼假设下，任何大于2719的正奇数都可以用著名的拉马努金形式$x^2+y^2+10z^2$表示，等价地，形式$2x^2+5y^2+4T_z$表示所有大于1359的整数，其中$T_z$表示三角数$z(z+1)/2$。给定正整数$a,b,c$，我们采用模形式和二次型的理论，以确定完全时，一般形式$ax^2+by^2+cT_z$表示足够大的整数，并建立类似的结果，形式$ax^2+bT_y+cT_z$和$aT_x+bT_y+cT_z$。下面是我们的主要定理的一些结果：（1）所有足够大的奇数都有$2ax^2+y^2+z^2$的形式当且仅当$a$的所有素因子全等于1模4。(ii)形式$ax^2+y^2+T_z$几乎是通用的（即，它表示足够大的整数）当且仅当$a$的每个奇素因子全等于1或3模8。(iii)$ax^2+T_y+T_z$几乎是泛的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4。(iv)当$v_2(a)\not=3$时，形式$aT_x+T_y+T_z$几乎是普适的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4和$v_2(a)\not=5,7,...$，其中$v_2(a)$是$a$的2进阶。
2010-08-17 math.CO math.NT
On universal sums of polygonal numbers
对于$m=3,4,\ldots$，$m$阶的多边形数由$p_m(n)=(m-2)\binom n2+n\ (n=0,1,2,\ldots)$给出。对于正整数$a,b,c$和具有$\max\{i,j,k\}\ge5$的$i,j,k\ge3$，我们称三元组$(ap_i,bp_j,cp_k)$是泛的，如果对于任何$n=0,1,2,\ldots$都存在非负整数$x,y,z$使得$n=ap_i(x)+bp_j(y)+cp_k(z)$。我们发现，只有95个候选人的通用三元组（其中两个是$(p_4,p_5,p_6)$和$(p_3,p_4,p_{27})$），并推测，他们确实是通用三元组。对于许多三元组$(ap_i,bp_j,cp_k)$（包括$(p_3,4p_4,p_5),(p_4,p_5,p_6)$和$(p_4,p_4,p_5)$），我们证明了任何非负整数都可以写成$ap_i(x)+bp_j(y)+cp_k(z)$ with $x,y,z\in\mathbb Z$的形式.我们也给出了一些有关三元二次型的新结果，其中之一是任何非负整数$n\equiv 1\pmod{6}$都可以写成$x^2+3y^2+24z^2$ with $x,y,z\in\mathbb Z$的形式。此外，我们提出了几个相关的结构，其中之一的状态，任何$m=3,4,\ldots$的每个自然数可以表示为$p_{m+1}(x_1)…
2015-05-14 math.CO math.NT
The frequency and the structure of large character sums
令$M(χ)$表示对于给定的非主狄利克雷特征标$χ\pmod q$的$|\sum_{n\le N}χ(n)|$的最大值，并且令$N_χ$表示达到最大值的点。在这篇文章中，我们研究的分布$M(χ)/\sqrt{q}$作为一个变化的字符$\pmod q$，其中$q$是素数，并调查的位置$N_χ$。我们证明了$M(χ)/\sqrt{q}$的分布弱收敛到一个普适分布$Φ$，在大部分可能的范围内均匀收敛，并得到了$Φ$尾部的（双指数衰减）估计。几乎所有$M(χ)$大的$χ$都是$1$自命不凡的古怪角色。现在，$M(χ)\ge |\sum_{n\le q/2}χ(n)| = \frac{|2-χ(2)|}π\sqrt{q} |L(1,χ)|$，人们知道后一个表达式有多大，这就是早期$Φ$的下界是如何被证明的。然而，我们表明，对于大多数$χ$与$M(χ)$大，$N_χ$是有界远离$q/2$，$M(χ)$的值是比$\frac{\sqrt{q}}π |L(1,χ)|$稍大。
2017-06-20 math.NT
Some Remarks on the Erdős Distinct Subset Sums Problem
设$\left\{a_1, \dots, a_n\right\} \subset \mathbb{N}$是一组正整数，$a_n$表示最大的元素，使得对于任何两个$2^n$子集，所有元素的和是不同的。Erdibs问这是否意味着$a_n \geq c \cdot 2^n$适用于某种通用的$c>0$。我们证明，稍微扩展的结果Elkies，任何$a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}_{>0}$ $$ \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{\sin{ x}}{ x} \right)^2 \prod_{i=1}^{n} \cos{( a_i x)^2} dx \geq \fracπ{2^{n}}$$与平等的当且仅当所有子集和$1-$分离。这导致了一个新的证明，目前最好的下界$a_n \geq \sqrt{2/πn} \cdot 2^n$。主要的新见解是，具有不同的子集和和$a_n$小需要随机变量$X = \pm a_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n$接近高斯在精确的意义上。
2023-01-02 math.CA math.CO math.NT
Fel's Conjecture on Syzygies of Numerical Semigroups
Axiom Math（Axiom数学研究所）
通过指数生成函数和系数提取，证明了Fel关于数值半群合冲幂和与间隙幂和及生成元幂和之间关系的猜想，并在Lean/Mathlib中形式化证明。
2026-06-16 math.AC math.CO math.NT
Exponential Sums and Riesz energies
我们绑定了一个指数和，出现在研究的不规则性分布（几个狄拉克测度之和的低频傅里叶能量）通过几何量：一种特殊情况是对于所有的$\left\{ x_1, \dots, x_N\right\} \subset \mathbb{T}^2$、$X \geq 1$和通用的$c>0$ $$ \sum_{i,j=1}^{N}{ \frac{X^2}{1 + X^4 \|x_i -x_j\|^4}} \lesssim \sum_{k \in \mathbb{Z}^2 \atop \|k\| \leq X}{ \left| \sum_{n=1}^{N}{ e^{2 πi \left\langle k, x_n \right\rangle}}\right|^2} \lesssim \sum_{i,j=1}^{N}{ X^2 e^{-c X^2\|x_i -x_j\|^2}}.$$由于该指数和与点的相当微妙的分布特性密切相关，我们得到了Riesz型能量的近极小的非局部结构陈述。在政权$X \gtrsim N^{1/2}$的上限和下界匹配的最大分离点集满足$\|x_i -x_j\| \gtrsim N^{-1/2}$。
2017-09-03 math-ph math.CA math.MP
On the limiting distribution of sums of random multiplicative functions
本文确定了Steinhaus随机乘性函数和的极限分布，回答了Harper的问题；通过将鞅中心极限定理应用于受乘性混沌启发的截断求和，并采用基于耦合与均匀化的新论证证明了临界非高斯乘性混沌的普适性。
2025-09-14 math.CV math.FA math.NT
