arXiv 1502.030562015-02math.NT

三个二次多项式的泛和

Universal sums of three quadratic polynomials

Zhi-Wei Sun

备注：: 26 pages
发表信息：: Sci. China Math. 63 (2020), no. 3, 501-520

摘要：

令$a,b,c,d,e$和$f$为整数，其中$a\ge c\ge e>0$、$b>-a$和$b\equiv a\pmod2$、$d>-c$和$d\equiv c\pmod 2$、$f>-e$和$f\equiv e\pmod2$。假设$b\ge d$是$a=c$，$d\ge f$是$c=e$。当$b(a-b)$，$d(c-d)$和$f(e-f)$不全为零时，我们证明了如果每个$n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$都可以用$x,y,z\in\mathbb N$写成$x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2$，那么元组$(a,b,c,d,e,f)$一定在我们的$473$候选者列表中，并表明其中有56个符合我们的目的。当$b\in[0,a)$，$d\in[0,c)$和$f\in[0,e)$时，我们研究了$\mathbb Z$上的泛元组$(a,b,c,d,e,f)$，其中任何一个$n\in\mathbb N$都可以用$x,y,z\in\mathbb Z$写成$x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2$，并证明了总共有12082个这样的候选元组，其中一些被证明是$\mathbb Z$上的泛元组.例如，我们证明了任何$n\in\mathbb N$都可以用$x,y,z\in\mathbb Z$写成$x(x+1)/2+y(3y+1)/2+z(5z+1)/2$，并推测每个$n\in\mathbb N$都可以用$x,y,z\in\mathbb N$写成$x(x+1)/2+y(3y+1)/2+z(5z+1)/2$。

英文摘要：

Let $a,b,c,d,e$ and $f$ be integers with $a\ge c\ge e>0$, $b>-a$ and $b\equiv a\pmod2$, $d>-c$ and $d\equiv c\pmod 2$, $f>-e$ and $f\equiv e\pmod2$. Suppose that $b\ge d$ if $a=c$, and $d\ge f$ if $c=e$. When $b(a-b)$, $d(c-d)$ and $f(e-f)$ are not all zero, we prove that if each $n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ can be written $x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2$ with $x,y,z\in\mathbb N$ then the tuple $(a,b,c,d,e,f)$ must be on our list of $473$ candidates, and show that 56 of them meet our purpose. When $b\in[0,a)$, $d\in[0,c)$ and $f\in[0,e)$, we investigate the universal tuples $(a,b,c,d,e,f)$ over $\mathbb Z$ for which any $n\in\mathbb N$ can be written $x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2$ with $x,y,z\in\mathbb Z$, and show that there are totally 12082 such candidates some of which are proved to be universal tuples over $\mathbb Z$. For example, we show that any $n\in\mathbb N$ can be written as $x(x+1)/2+y(3y+1)/2+z(5z+1)/2$ with $x,y,z\in\mathbb Z$, and conjecture that each $n\in\mathbb N$ can be written as $x(x+1)/2+y(3y+1)/2+z(5z+1)/2$ with $x,y,z\in\mathbb N$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

摘要：

英文摘要：

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