Weighted sums of generalized polygonal numbers with coefficients 1 or 2
本文考虑系数为$1$或$2$的广义多边形数的加权和.证明了对任何$m\ge10$，如果广义$m$ -1的加权和只表示$1$，$m-4$和$m-2$，则它们表示所有非负整数.此外，我们还研究了四个广义多边形数的和以$1$或$2$为系数的表示.
2022-01-10 math.NT
Almost universal ternary sums of polygonal numbers
对于自然数$m$，广义$m$ -广义数是具有$p_m(x)=\frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2}$和$x\in \mathbb Z$形式的那些数。本文在$m$上建立了三元和$p_m(x)+p_m(y)+p_m(z)$几乎泛的条件。
2017-10-27 math.NT
On the sums of three generalized polygonal numbers
对于每个自然数$m\ge 3$，令$P_m(x)$用$x\in\mathbb{Z}$表示广义$m$ -整数$\frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2}$。本文利用同余θ函数建立了$a$，$b$，$c$的和$P_a(x)+P_b(y)+P_c(z)$表示除n以外的所有正整数的条件.
2018-06-08 math.NT
Almost universal mixed sums of squares and polygonal numbers
对于每个整数$m\ge3$，令$P_m(x)$表示具有$x\in\mathbb{Z}$的广义$m$ -整数$\frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2}$。给定正整数$a,b,c,k$和一个具有$p\nmid c$的奇素数$p$，我们利用三元二次型理论完全确定了混合和$ax^2+by^2+cP_{p^k+2}(z)$何时表示除1/2个正整数以外的所有正整数.
2020-07-20 math.NT
Representations of integers as sums of four polygonal numbers and partial theta functions
University of Cologne（科隆大学）；University of Hong Kong（香港大学）
研究整数作为最多四个不同m边形数之和的表示，证明非负参数下的表示数与任意整数参数下的表示数在渐进行为上相同。
2026-03-20 math.NT
Almost Universal Weighted Ternary Sums of Polygonal Numbers
对于自然数$m$，广义$m$ -广义数由公式$p_m(x)=\frac{(m-2)x^2-(m-4)x}{2}$定义，其中$x\in \mathbb Z$。本文给出了加权三进制和$P_{a,b,c,m}:=ap_m(x)+bp_m(y)+cp_m(z)$几乎普适的$a,b,c,m$的一个判别准则。我们还证明了对于某些$a,b,c,m$，形式$P_{a,b,c,m}$不是几乎普适的，但它代表了所有可能的同余类。
2017-10-16 math.NT
On Sums of Practical Numbers and Polygonal Numbers
本文证明了所有正整数均可表示为实用数与三角形数之和，解决了 Sun 的猜想，并证明充分大的自然数可表示为实用数与两个 $s$ 角数之和。
2024-03-20 math.NT
On finiteness theorems for sums of generalized polygonal numbers
本文研究广义多角数混合和的普适性，通过限定满足特定最小公倍数条件的子类，获得了仅需验证有限正整数子集即可判定其表示所有正整数能力的有限性条件及常数渐近增长界。
2023-05-24 math.NT
Sums of generalized polygonal numbers of almost prime "length"
本文证明在$m$模30的限制下，密度为一的整数可表示为参数至多含6361个素因子的三个广义$m$边形数之和，并给出$f_m(n)$无平方部分足够大时的表示条件。
2024-09-20 math.NT
Fermat's polygonal number theorem for repeated generalized polygonal numbers
本文考虑了带重复的广义多边形数的和，推广了柯西证明的费马多边形数定理。特别地，我们得到了表示每一个正整数所需的广义$m$ -1-n数的最小数目，并进一步推广了这一结果，得到了当许多广义$m$-1-n数重复$r$次时的最优界，其中$r\in\mathbb{N}$是固定的.
2020-05-08 math.CO math.NT
Composition-theoretic series in partition theory
我们使用整数组合物的总和类似于生成函数的分区理论，表示某些分区枚举功能的总和组成部分是$k$ -数字;我们的证明采用拉马努金的θ函数。我们探讨应用空缺的$q$系列，一类新的组合理论狄利克雷级数。
2022-09-15 math.CO math.NT
Ternary universal sums of generalized pentagonal numbers
对于任何$m\ge3$，每个具有$x \in \z$的形式$p_m(x)=\frac{(m-2)x^2-(m-4)x}2$的整数被称为广义$m$ -整数。令$a\le b\le c$为正整数。对于每一个非负整数$n$，如果存在整数$x,y,z$使得$n=ap_k(x)+bp_k(y)+cp_k(z)$，则四元组$(k;a,b,c)$称为{ \it universal}。孙在\cite{s1}所有可能的候选人是普遍的，并证明了一些四元组是普遍的（另见\cite{gs}）。他仍然是以下四重$(5,1,1,k)$为$k=6,8,9,10$，$(5,1,2,8)$，和$(5,1,3,s)$为$7 \le s \le 8$作为候选人，并重申了他们的普遍性。在这篇文章中，我们证明了上面给出的其余7个四元组实际上是普适的。
2009-11-06 math.NT
Tight universal triangular forms
对于非负整数的子集$S$和正整数的向量$\mathbf{a}=(a_1,\dots,a_k)$，令$V'_S(\mathbf{a})=\{ a_1s_1+\cdots+a_ks_k : s_i\in S\} \setminus \{0\}$。对于正整数$n$，令$\mathcal T(n)$为大于或等于$n$的整数集合。本文考虑了当$S$是（广义）$m$ -整数的集合且$n$是正整数时，求出所有满足$V'_S(\mathbf{a})=\mathcal T(n)$的向量$\mathbf{a}$的问题.特别是，我们完全解决的情况下，当$S$是三角数的集合。
2021-06-22 math.NT
Sums of four polygonal numbers: precise formulas
本文给出四个广义多边形数之和及受限四平方和表示数的统一公式，以Hurwitz类数线性组合表示，证明若干猜想，并导出相关傅里叶系数公式。
2025-06-19 math.CO math.NT
Moment estimates for exponential sums over k-free numbers
本文研究了k-自由数上指数和的L^p-积分的大小，并证明了其本质上的紧界。
2014-08-07 math.NT
A tight structure theorem for sumsets
设$A = \{0 = a_0 < a_1 < \cdots < a_{\ell + 1} = b\}$是有限的非负整数集。我们证明了和集$NA$具有某种易于描述的结构，只要$N \geqslant b-\ell$，正如Shakan和第一作者最近所证明的那样。我们还对这些集合$A$进行了分类，对于这些集合，该界限不能得到改善。
2021-03-31 math.CO math.NT
On some universal sums of generalized polygonal numbers
对于$m=3,4,\ldots$，那些具有$x\in\mathbb Z$的$p_m(x)=(m-2)x(x-1)/2+x$称为广义$m$ -实数。Sun [13]研究了对于正整数$a,b,c$的哪些值，和$ap_5+bp_5+cp_5$在$\mathbb Z$上是泛在的（即，任何$n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$具有$ap_5(x)+bp_5(y)+cp_5(z)$与$x,y,z\in\mathbb Z$的形式）。我们证明了$p_5+bp_5+3p_5\,(b=1,2,3,4,9)$和$p_5+2p_5+6p_5$在$\mathbb Z$上是泛的，正如Sun所证明的. Sun还指出，任何$n\in\mathbb N$都可以写成$p_3(x)+p_5(y)+p_{11}(z)$和$3p_3(x)+p_5(y)+p_7(z)$与$x,y,z\in\mathbb N$ ;相反，我们证明了$p_3+p_5+p_{11}$和$3p_3+p_5+p_7$在$\mathbb Z$上是通用的。我们的证明基本上是初等的，因此适合一般读者。
2016-06-23 math.CO math.NT
A Note on the Number of Representations of $n$ as a Sum of Generalized Polygonal Numbers
本文将 Jha 关于平方数与三角数表示计数和除数和的恒等式推广到任意 s≥3 的广义多边形数情形。
2024-09-03 math.CO math.NT
Asymptotically tight bounds on subset sums
对于有限阿贝尔群G的子集A，定义Sigma（A）={ sum_{a\in B} a：B \subset A}.在Sigma（A）具有平凡稳定子的情况下，可以推导出Sigma（A）的大小在|A|中至少是二次的;|西格玛（A）|>= |A| ^{2}/64最近由De Vos、Goddyn、Mohar和Samal获得。我们将这个界改进到渐近最好的可能结果|西格玛（A）|>=（1/4-o（1））|A| ^{2}。我们还研究了一个相关的问题，其中A是任何子集的Z_{n}与所有元素互质的A的n;它最近已被证明，由Vu，如果这样的一个集合A的性质西格玛（A）是不是Z_{n}然后|A| =O（sqrt{n}）。De Vos，Goddyn，Mohar和Samal将此界改进为|A| <= 8 sqrt {n}，我们进一步改进此界，得到渐近最佳可能结果|A| <=（2+o（1））sqrt{n}.
2008-05-31 math.CO math.NT
(k+1)-sums versus k-sums
$k$ -集合$A\subseteq \mathbb{Z}$的总和是可以被表示为$A$的$k$不同元素的总和的整数。$(k+1)$ -和的数目与$k$ -和的数目之比能有多大？写作$k\wedge A$的集合的$k$ -总和的$A$我们证明，\[ \frac{|(k+1)\wedge A|}{|k\wedge A|}\, \le \, \frac{|A|-k}{k+1} \]每当$|A|\ge (k^{2}+7k)/2$。这个不等式是严格的--当$A$是一个等比数列时，就可以得到上面的比率。这就回答了鲁萨的一个问题。
2012-06-08 math.CO math.NT
Bias in the number of steps in the Euclidean algorithm and a conjecture of Ito on Dedekind sums
该研究分析三种欧几里得算法变体在半区间Farey分数上的平均步数偏差，结合连分数与丢番图不等式计数方法，证明了伊藤关于戴德金和值分布的猜想。
2022-09-06 math.NT
Exponential sums weighted by additive functions
The University of Mississippi（密西西比大学）；RAND Corporation（兰德公司）
本文研究了由加性函数加权的指数和，证明了其紧界，并应用Hardy-Littlewood圆法解决了与总素因子个数相关的Goldbach-Vinogradov三元问题的渐进行为。
2026-02-12 math.NT
Gauss sums and the maximum cliques in generalized Paley graphs of square order
设$GP(q,d)$是定义在有限域$\mathbb{F}_q$上的$d$ -Paley图.众所周知，提高$GP(q,d)$的团数的平凡上界$\sqrt{q}$是非常困难的。本文研究了有限域上的高斯和与其对应的广义Paley图的最大团之间的关系。我们证明了$GP(q,d)$的团数的平凡上界是紧的当且仅当$d \mid (\sqrt{q}+1)$，从而加强了Broere-Döman-Ridley和Schneider-Silva的相关结果.我们还得到了关于半本原高斯和的Stickelberger定理的一个新的简单证明。
2021-06-13 math.CO math.NT
Sums and products along sparse graphs
在他们1983年的开创性论文中，Erdés和Szemerédi证明了任何$n$不同的整数都会导致$n^{1+ε}$不同的对和或许多不同的乘积，并证明了$n^{2-o(1)}$的下界。他们进一步提出了这个问题的一个推广，其中和和积是沿着给定图$G$在$n$标记顶点上的边取的。他们为至少有$n^{1+ε}$边的一般图证明了和积定理的一个版本。在这项工作中，我们考虑稀疏图的和积定理，并表明，这个问题已经有重要的后果时，$G$是一个匹配（即，$n/2$不相交边）：任何整数和积的$n^{1/2+δ}$形式的下界都蕴涵着原始Erdens-Szemerédi问题的$n^{1+δ}$的下界。相反，在实数上，匹配的最小和积是$Θ(\sqrt{n})$，因此这种方法有可能实现专门用于整数的下界。我们继续给这个问题在不同的设置的下限和上限。此外，我们提供了紧边界的总和沿扩展。在我们的证明中的一个关键因素是减少从一个匹配的最大数量的整数转换成完满平方的和产品。这个问题最初是由欧拉研究的，我们利用椭圆曲线分析得到了欧拉结果的一个更强形式。
2009-09-08 math.CO math.NT
Sumsets with a minimum number of distinct terms
本文研究限制至少 r 个不同项的广义和集 h^(≥r)A，给出其在 Z_m 上最小大小的上界，并在 Z 与 Z_p 上证明精确下界及等号集合的刻画。
2025-01-10 math.CO math.NT
