发表机构
Kangwon National University; Seoul National University（江原国立大学; 首尔国立大学）
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本文确定了紧致 $\mathcal{T}(n)$-普适 $m$ 角型的最小判定集，给出了 $n\geq8$ 时除两个例外情形的完整刻画，并证明 $m$ 的上界最优。
AI 中文摘要
对于整数 $m\geq3$ 和 $n\geq1$，如果一个 $m$ 角型恰好表示正整数集合 $\mathcal{T}(n)=\{ n, n+1, n+2, \ldots \}$，则称其为紧致 $\mathcal{T}(n)$-普适的。本文研究了紧致 $\mathcal{T}(n)$-普适性的最小判定集 $\mathrm{CS}(m,n)$。我们的主要结果确定了对于 $n \geq8$，$3 \leq m \leq \left\lfloor \frac{3n+1}{2} \right\rfloor$ 时的 $\mathrm{CS}(m,n)$，除了 $(m,n)=(7,9)$ 和 $(7,10)$ 两种情况。更精确地，$$ \mathrm{CS}(m,n)= \begin{cases} \{ n, n+1, \ldots, 2n-1 \}, & m=5, \newline \{ n, n+1, \ldots, 2n \}, & m\neq5. \end{cases} $$ 我们还建立了相应的紧致 $\mathcal{T}(n)$-普适性结果，并证明了 $m$ 的上界是最优的。
英文摘要
For integers $m\geq3$ and $n\geq1$, an $m$-gonal form is called tight $\mathcal{T}(n)$-universal if it represents exactly the positive integers $\mathcal{T}(n)=\{ n, n+1, n+2, \ldots \}$. In this paper, we study the minimal criterion set $\mathrm{CS}(m,n)$ for tight $\mathcal{T}(n)$-universality. Our main result determines $\mathrm{CS}(m,n)$ for $n \geq8$, $3 \leq m \leq \left\lfloor \frac{3n+1}{2} \right\rfloor$, except for $(m,n)=(7,9)$ and $(7,10)$. More precisely, $$ \mathrm{CS}(m,n)= \begin{cases} \{ n, n+1, \ldots, 2n-1 \}, & m=5, \newline \{ n, n+1, \ldots, 2n \}, & m\neq5. \end{cases} $$ We also establish the corresponding tight $\mathcal{T}(n)$-universality results and show that the upper bound on $m$ is optimal.
Comments23 pages
