Orientations, lattice polytopes, and group arrangements I: Chromatic and tension polynomials of graphs
这是第一个一系列的文件协会的方向，格多面体，和阿贝尔群安排图。目的是解释图在零和负整数上的整张力多项式和模张力多项式。整个论述是在子群排列和Ehrhart多项式的应用的框架下进行的。这种观点导致以下主要结果的文件：（i）的互易性法律的整体张力多项式;（ii）的互易性法律的模张力多项式;和（iii）的Tutte多项式$T(G;x,y)$的值的一个新的解释图$G$在$(1,0)$的非循环方向的切割等价类的数量$G$。
2007-06-22 math.CO
Coloring circle arrangements: New $4$-chromatic planar graphs
Felsner，Hurtado，Noy和Streinu（2000）证明了简单大圆排列图的色数至多为$3$。基于这一猜想，我们研究了不同类别的（伪）圈排列图的可着色性。本文对$\triangle$ -饱和伪圆排列证明了这个猜想，即，对于其中面的2-着色的一个色类仅由三角形组成的布置，以及对于（伪）圆布置的其它类。这些结果是补充建设映射$\triangle$饱和安排与五边形面安排4-色4-定期安排图。这种“冠状”结构与Koester（1985）提出的冠状结构相似。基于详尽的实验与小的安排，我们提出了三个加强原来的猜想。我们还研究了分数着色。证明了两两相交伪圆的每一种排列$\mathcal{A}$的排列图都“接近”于$3$ -可着色.更准确地说，排列图的分数色数$χ_f(\mathcal{A})$由$χ_f(\mathcal{A}) \le 3+O(\frac{1}{n})$从上界定，其中$n$是$\mathcal{A}$的伪圈的数目。进一步，我们构造了一类分数$3$ -可着色的$4$ -边临界$4$ -正则可平面图.这证明了Gimbel，Kündgen，Li和Jumassen（2019）的一个猜想是错误的。
2022-05-17 cs.CG cs.DM math.CO
Chromatic Signed-Symmetric Functions of Signed Graphs
Stanley引入了单图的色对称函数，它是色多项式的推广。这是用相应图形排列的补数的整数点来表示的。Stanley证明了色函数的组合互易定理。这被认为是一个埃尔哈特型互易定理的图形安排。我们引入了色符号对称函数的符号图，色对称函数的一个模拟，通过相应的符号图安排的补的整数点，并证明了斯坦利的互易定理的推广。斯坦利已经证实，色对称函数区分树。这个猜想也被推广到符号树。我们验证了某些类的签名路径的猜想。
2021-03-04 math.CO
The Milnor fiber boundary of an arrangement determines its combinatorics
Universidad Politécnica Madrid（马德里理工大学）
本文证明复杂线排列的Milnor纤维边界决定了其组合学，并提供了一种通过塑形图构造排列相关poset的方法。
2025-12-05 math.AG math.CO math.GT
An equivalent formulation of chromatic quasi-polynomials
给定一个中心积分排列，该排列模正整数$q$的约简产生$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\ell$中的子群排列。Kamiya-Takemura-Terao（2008）引入了特征拟多项式的概念，用于评估子群排列的补的基数。Chen-Wang（2012）发现了一个类似但更一般的设置，即通过将积分排列限制为$\mathbb{R}^\ell$的子空间来替换积分排列，并评估$q$ -约化补的基数也将导致$q$中的拟多项式。在一项独立的研究中，Brändén-Moci（2014）定义了所谓的色拟多项式，并开始了对有限元素列表上的$q$ -着色的研究，这些元素在一个由色生成的阿贝尔群中。本文的主要目的是证明Chen-Wang拟多项式与Brändén-Moci拟色多项式在拟多项式枚举同构集的基数意义下是等价的。
2018-03-23 math.CO
Combinatorics of Toric Arrangements
本文建立了复曲面排列的补的整系数上同调代数的正则阶化的Orlik-Solomon模型。为了讨论Orlik-Solomon模型如何依赖于层的偏序集，我们给出了算术拟阵表示的唯一性的一些结果。判别环面安排的分析，使我们能够隔离某些条件下，两个环面安排有双态互补。给出了上同调代数是一次生成的组合条件。
2018-10-25 math.AT math.CO
Addition-deletion theorem for free hyperplane arrangements and combinatorics
在超平面排列理论中，最重要也是最困难的问题是几个性质的组合依赖性。本文证明了Terao著名的自由排列的增删定理是组合的，即你是否能应用它只取决于排列的交叉格子。证明是基于一个经典的技术。由于有些部分最近已经完成，我们证明了其余部分，即，加法定理的组合性。作为推论，我们可以定义一类新的自由排列，称为超平面的额外自由排列，它可以通过仅使用加法定理从空排列构造。这样我们就可以证明寺尾猜想在这一类中是正确的。作为一个应用，我们可以证明每一个理想的施安排是额外的自由，这意味着他们的自由是组合的。
2018-11-09 math.AG math.CO
$q$-deformation of chromatic polynomials and graphical arrangements
本文提出“图构形的 $q$-形变”概念，将 Vandermonde 矩阵与 Moore 矩阵的关系扩展至图构形，并证明其特征多项式等多个不变量表现为原图构形不变量的 $q$-形变。
2025-04-07 math.CO math.RA
Combinatorics of hyperplane arrangements and Witten zeta function at the origin
University of Cologne（科隆大学）；Chiba Institute of Technology（千叶工业大学）
本文提出一种新方法，利用超平面排列的组合学，为Witten zeta函数在原点的值及其导数导出优雅公式，并推广至锥形zeta函数族。
2026-09-18 math.CO math.NT
Marked multi-colorings and marked chromatic polynomials of hypergraphs and subspace arrangements
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Indian Institute of Technology Ropar（罗帕尔印度理工学院）；Indian Institute of Science, Bangalore（班加罗尔印度科学学院）
本文定义超图的标记多着色、标记色多项式与独立级数，证明其系数关系并推广至子空间排列，同时给出超平面排列的非负性结果及超图边基数猜想。
2026-10-06 math.CO math.NT
Deletion theorem and combinatorics of hyperplane arrangements
我们表明，删除定理的自由安排是组合，即，是否能从自由排列中删除超平面而保持自由度，仅取决于相交格。实际上，我们用特征多项式给出了删除定理成立的一个显式充分和必要条件。这给出了许多推论，包括自由过滤的存在。证明是基于满足$b_2$ -等式的多重排列的对数导子模的极小生成元的形式的结果。
2017-09-23 math.AC math.AG math.CO
Chromatic quasisymmetric functions and Hessenberg varieties
我们讨论三个不同的主题的独立利益;一个在枚举组合，一个在对称函数理论，一个在代数几何。计数组合学的主题涉及欧拉多项式的推广的q-模拟，对称函数论的主题涉及斯坦利的色对称函数的精化，代数几何的主题涉及A型正则半单Hessenberg簇的上同调上的对称群的Tymoczko表示。我们的目的是探索这些主题之间的一些显着的联系。
2012-07-06 math.CO
Combinatorics and topology of toric arrangements defined by root systems
给定的环面（或toral）的安排定义的根系$Φ$，我们描述了偏序集的层（连接组件的交叉点），我们计数其元素。事实上，我们展示了如何减少到零维层，在这种情况下，我们提供了一个明确的公式，涉及的最大子图的仿射Dynkin图的$Φ$。然后我们计算了这种排列的补的欧拉示性数和庞加莱多项式，它是环面的正则点的集合。
2009-12-30 math.AT math.CO math.RT
Some applications of the chromatic polynomials
色多项式在不同的框架中有重要的应用，特别是在图论和计数组合数学中。本文的目的是建立图的色多项式的系数的一些性质。给出了第二类限制Stirling数的三个应用。
2014-02-04 math.CO
Davies-trees in infinite combinatorics
这篇短文是为2014年逻辑学术讨论会准备的，介绍了戴维斯树，并提出了无限组合学中的新应用。特别是，我们给出了新的和简单的证明，以下列定理的P. Komjáth：每一个$n$ -几乎不相交的家庭是本质上不相交的任何$n\in \mathbb N$ ; $\mathbb R^2$是联盟的$n+2$云，如果连续最多是$\aleph_n$的任何$n\in \mathbb N$ ;每一个不可数色图包含$n$ -连接不可数色子图的每一个$n\in \mathbb N$。
2014-07-14 math.CO math.LO
Two floor building needing eight colors
基于办公楼频率分配问题，研究了$3$维平行六面体排列的邻接图的色数。在每个平行六面体都在一层内的情况下，四色定理的直接应用产生邻接图的色数至多为$8$。我们提供了一个这样的安排的例子，需要确切的$8$颜色。我们还讨论了$3$维平行六面体的一般安排的邻接图的色数的界限，根据平行六面体的几何措施（边长，总表面或体积）。
2014-05-26 math.CO
On computation of the characteristic polynomials of the discriminantal arrangements and the arrangements generated by generic points
在这篇文章中，我们给出了一个计算研究的组合的判别安排。判别排列由两个正整数n和k参数化，使得n>k。具有参数（n，k）的判别排列的交格同构于由d维向量空间中的n个泛点生成的超平面排列的交格，其中d=n-k-1。判别式排列的组合学是非常困难的，除了布尔排列（k=0）和辫子排列（k=1）的特殊情况。我们回顾了关于由泛点生成的排列的交格的一些结果，并利用它们得到了判别排列的特征多项式的一些计算结果。
2011-10-02 math.CO
Geometric Combinatorics of Weyl Groupoids
本文将有限Coxeter群上的弱序性质推广到具有有限根系的Weyl群胚上。特别地，我们确定了区间关于弱序的拓扑结构，并证明了具有固定目标对象的态射集合形成一个正交可补交半格。本文定义了具有有限根系的Weyl广群的Coxeter复形，并证明了它与由单纯超平面排列切割的球面的三角剖分相一致。因此，人们得到了许多不是反射排列的超平面排列的代数解释。
2010-03-16 math.CO math.QA
The geometry and combinatorics of discrete line segment hypergraphs
$r$ -段超图$H$是边由$\mathbb{R}^2$中线段上的$r$连续整数点组成的超图.本文给出了这类超图的色数$χ(H)$和覆盖数$τ(H)$的界，揭示了这一过程中几个有趣的几何性质.我们猜想对于$r \ge 3$，覆盖数$τ(H)$至多为$(r - 1)ν(H)$，其中$ν(H)$表示$H$的匹配数.我们证明了我们的猜想的情况下，$ν(H) = 1$，并提供改进的（事实上，最佳的）界限$τ(H)$为$r \le 5$。我们还提供了色数$χ(H)$在$r$方面的精确界，并用它们证明了我们猜想的两个分数版本。
2018-07-12 math.CO
Degeneration in discriminantal arrangements
Institute for Chemical Reaction Design and Discovery, Hokkaido University（北海道大学化学反应设计与发现研究所）
本文通过引入非非常通用变种，研究判别排列的退化构造，并提供了小线排列空间的非非常通用变种列表。
2025-11-25 math.CO
Inductive approach to chromatic and characteristic polynomials
Northern Arizona University（北亚利桑那大学）
本文提出一种新的归纳方法，用于计算简单图的色多项式和中心超平面排列的特征多项式。
2026-05-24 math.AC math.AG math.CO
Hyperfiniteness and Borel combinatorics
我们研究了超有限性和问题之间的关系，在Borel图组合适应博弈论的技术引入的标志，超有限设置。本文计算了有界度无圈超有限Borel图的可能Borel色数和边色数，并以此回答了Kechris和Marks关于Borel色数与测度色数之间关系的一个问题.我们还证明了对每一个$d > 1$，都存在一个无Borel完美匹配的$d$ -正则无圈超有限Borel二部图.这些技术还给出了超有限有界度Borel图的例子，其中Borel局部引理失败，与最近的结果相比，Csóka，Grabowski，Máthé，Pikhurko和Tyros。相关的Borel Ruziewicz问题，我们证明了有一个连续的矛盾行动的$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{*3}$波兰空间，承认一个连续的添加剂不变的Borel概率测度，但承认没有可数添加剂不变的Borel概率测度。在研究$\mathrm{AD}$下等价关系商空间上的超滤子的背景下，我们还构造了$E_0$商空间上的超滤子$U$，它具有惊人的复杂性.特别地，Martin测度是Rudin-Kiesler可约化为$U$。最后，我们提出了一个问题，是否每一个超有限有界度Borel图有一个证人，它的超有限性是一致有界的大小以下。
2016-11-07 math.CO math.DS math.LO
Hirzebruch-type inequalities viewed as tools in combinatorics
本调查的主要目的是提供一个介绍，代数拓扑的性质，Hirzebuch型不等式的平面曲线安排在复杂的射影平面。由于这些不等式在许多与平面上的点或线排列有关的组合问题中的应用，它们得到了越来越多的关注。我们想提出一个技术性的总结，也有一些最近的应用，例如在弱狄拉克猜想的背景下。我们还公布了一些开放的问题和疑问。
2020-12-25 math.CO
Unlabeled Signed Graph Coloring
推广Hanlon关于无标号图的色多项式的工作，定义了无标号图的无标号色多项式.给出了符号分划格上的标号和非标号符号色多项式在不同序理想上的求和的显式公式。我们还定义了一个符号置换图的商，并证明了它的符号图的排列与一个特殊子空间上的诱导排列密切相关。最后，给出了符号图的无标号无圈定向数的一个公式，该公式与经典的Stanley和Zaslavsky的互易定理相类似。
2018-02-22 math.CO
Triangular arrangements on the projective plane
Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；Université de Pau et des Pays de l’Adour（波城及阿杜尔地区大学）
研究三角排列的组合学性质，证明其总能由单位根排列实现，并给出自由与非自由三角排列的示例。
2023-04-30 math.AG math.AT math.CO
The Newton polytope and Lorentzian property of chromatic symmetric functions
本文研究Dyck路径无差别图的色对称函数，证明其允许着色权重构成置换多面体的格点并给出支配权公式，猜想并部分证明其洛伦兹性质，同时将牛顿多面体结果推广到(3+1)-自由偏序集。
2025-02-08 math.CO
The realization space of a certain conic line arrangement of degree 7 and a $π_1$-equivalent Zariski pair
本文通过构造一个π₁等价Zariski对，确定了具有特定固定组合结构的7次圆锥曲线-直线排列实现空间的连通分支数。
2023-07-04 math.AG math.CO math.GT
A survey of the Shi arrangement
1983年，Lusztig定义了一个从$n$的仿射置换到$n$的划分的映射$σ$。他解释说，对于$n$的任何分区$λ$，$σ^{-1}(λ)$是一个双侧单元。Shi在1986年证明了这个猜想的一部分。作为一个副产品，他介绍了超平面的Shi排列，并发现了它的一些显着性质。施安排已成为一个中心对象，代数组合。本文旨在对Shi排列进行相当温和的介绍，适用于具有组合学，代数和欧几里得几何背景的读者。
2020-12-28 math.CO
Asymptotics of multivariate sequences IV: generating functions with poles on a hyperplane arrangement
设F是一个解析函数与一个线性函数乘积的商。在多变量分析组合学的框架下工作，我们使用多元残基和鞍点近似计算F的泰勒系数的渐近公式。由于F的奇异集是超平面的并，因此我们能够明确多元奇异性分析中出现的拓扑分解。除了有效和明确的渐近结果，我们提供了第一个结果不同的渐近制度之间的过渡，并提供了第一个软件包来验证和计算渐近的非光滑情况下的分析组合在几个变量。这也是我们的希望，本文将作为一个入口，以更先进的角落分析组合在几个变量的组合。
2022-07-23 cs.SC math.CO
Non-very generic arrangements in low dimension
本文针对低维空间中判别构型组合性质在非极一般情形下所知甚少的问题，刻画并分类了非极一般构型，同时给出了具体例子。
2024-05-03 math.CO
Characteristic numbers and chromatic polynomial of a tensor
引入了张量的示性数和色多项式。该方法推广和统一了图的色多项式、拟阵的色多项式、Schubert演算中二次型的示性数、超平面排列补的贝蒂数、行列式超曲面补的欧拉示性数以及代数统计中一般线性集中模型的极大似然度.
2021-11-01 math.AC math.AG math.CO
Borel Combinatorics of Schreier Graphs of $\mathbb{Z}$-actions
Nankai University（南开大学）；Quanzhou Normal University（泉州师范学院）
本文研究了$\mathbb{Z}$-作用Schreier图的Borel组合学，证明其与连续组合学一致且可判定，并给出了计算Borel色数的指数时间算法及生成集大小为4时的公式。
2026-10-09 math.CO math.DS math.LO
Minimal plus-one generated line arrangements with double and triple intersection points
该论文在弱组合学框架下，完整分类了复射影平面中具有二重和三重交点的极小加一生成线排列。
2025-09-10 math.AG math.CO
The Generalized Sylvester's And Orchard Problems Via Discriminantal arrangement
本文揭示了判别式排列$\mathcal{B}(n, k,\mathcal{A})$组合学变化与广义Sylvester问题和orchard问题中点构型分类的联系，为解决这些未解问题提供了新视角。
2022-01-09 math.CO
Worpitzky-compatible subarrangements of braid arrangements and cocomparability graphs
Ashraf，Yoshinaga和第一作者最近提出了Weyl排列的Worpitzky相容子排列类及其相应的欧拉多项式，它将特征多项式和Ehrhart拟多项式合并为一个公式.编织排列的子排列，即$A$类型的Weyl排列，被称为图形排列。我们证明了Worpitzky兼容的图形安排的特点是由上可比图。我们的主要结果产生新的公式色和图形的欧拉多项式的协可比图。
2020-07-02 math.CO
Combinatorially equivalent hyperplane arrangements
本文研究任意域上超平面排列的组合学。具体来说，我们确定在何种情况下的安排和它的减少模素数同构格通过使用最小的强$σ$ -Gröbner基地。证明了有限域上的Terao猜想蕴含有理数上的猜想。
2021-04-02 math.AG math.CO
String cone and Superpotential combinatorics for flag and Schubert varieties in type A
我们研究组合的伪线安排和它们的关系的几何旗和舒伯特品种。我们关联到每个伪线安排两个多面体锥，定义在一个双重的方式。我们证明了其中之一是Littelmann和Berenstein-Zelevinsky的加权弦锥。对于另一个，我们展示了它是如何出现在框架内的集群品种和镜像对称的格罗斯-哈克-基尔-Kontsevich：旗品种的锥是热带化的超势，而舒伯特品种的限制的超势是必要的。我们证明了这两个锥是单模等价的。作为我们的组合结果的推论，我们实现了卡尔德罗的复曲面退化舒伯特品种GHKK退化集群理论。
2019-04-29 math.AG math.CO math.RT
Chromatic Polynomial and Heaps of Pieces
斯坦利在他的论文[斯坦利，理查德P：图的非循环定向在：离散数学5（1973），Nr. 2，S. 171-178.]提供了当用负整数代替色多项式时的解释。格林和Zaslavsky解释系数的色多项式在[格林，柯蒂斯; Zaslavsky，托马斯：关于解释惠特尼数通过安排超平面，zonotopes，非氡分区，和方向的图形。见：美国数学学会学报280（1983），1月，Nr。1，S. 97-97.]我们将开发一个对合的factorisations堆件和使用这种对合，我们将提供双射证明结果从这两个文件。
2019-03-16 math.CO
On line arrangements with odd multiplicities
本文利用4-流形中局部平坦球面的拓扑论证，对具有奇数重数奇点的线构形的弱组合学给出限制，并证明不存在仅含三重点的13条线构形。
2024-03-25 math.AG math.CO math.GT
Wonderful models for toric arrangements
我们建立了一个完美的复曲面模型。我们开发的“复曲面模拟”的组合套，它允许定义一个家庭的光滑开集覆盖的模型。在这种方法中，我们证明了该模型是光滑的，我们给一个精确的几何和组合描述的正规交叉因子。
2011-02-09 math.AG math.CO
Acyclic Orientations and the Chromatic Polynomial of Signed Graphs
给出了符号图（对称图）的无圈定向与染色之间的一个新的对应关系。Goodall等人引入了一个二元色多项式$χ_G(k,l)$，它使用颜色$0,\pm1,\dots,\pm k$以及$l-1$对称颜色$0_1,\dots,0_{l-1}$来计算有符号着色的数量。我们证明了二元色多项式$|χ_G(-1,2)|$的评价等于符号图的非循环方向数模交换源和汇产生的等价关系。我们提出了三个证明这一事实，证明使用环面超平面安排，证明使用删除压缩，和直接证明。
2022-09-03 math.CO
Combinatorics of intervals in the plane I: trapezoids
我们研究了$\mathbb{R}^2$中的区间的排列，其中许多对形成了拟序。我们表明，任何一组的区间形成许多的代数群必须有潜在的代数结构，我们？这导致了一些意想不到的例子，间隔集形成许多类，其中一个重要的作用是由2度曲线。
2020-05-18 cs.CG math.CO
Freeness of arrangements of lines and one conic with ordinary quasi-homogeneous singularities
本文研究由线和一个光滑圆锥组成的自由排列，通过弱组合学方法对具有准齐次普通奇点的排列进行不完全分类。
2024-11-19 math.AG math.CO
A survey of combinatorial aspects in the topology of complex hyperplane arrangements
我们调查复杂的超平面安排的拓扑结构和组合之间的相互作用。不声称是详尽的，我们在此设置组合方面的基本群，相关的分次李代数，高同伦群，上同调环，扭曲的同源秩1复系数，和米尔诺纤维。
2009-09-09 math.AG math.CO
Edge colored hypergraphic arrangements
由编织排列的超平面的交叉定义的子空间排列可以由边着色超图编码。证明了这种子空间排列的特征多项式是由伴随边着色超图的广义色多项式给出的。本文的主要结果提供了子空间排列复补的非平凡Massey积存在的一个充分条件。这是通过研究一个谱序列相关的李余代数辛哈和沃尔特。
2009-03-25 math.AT math.CO
Combinatorics of orbit configuration spaces
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本研究定义了群作用下轨道配置空间这一配置空间变体，给出其分层偏序集的组合描述，并借助与经典偏序集的联系完成上同调计算。
2020-10-02 math.AT math.CO
Stable curves and chromatic polynomials
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进学院数学研究所）；University of Warwick（华威大学）
通过稳定曲线模空间和超平面排列理论，证明由有限简单图索引的交点数与图的色多项式满足闭公式，并探讨相关猜想。
2026-06-18 math.AG math.CO
The Amazing Chromatic Polynomial
设G是一个点为V，边为E的组合图.图G的正常染色是指给顶点分配颜色，使得没有边连接两个相同颜色的顶点。这些是著名的四色定理中考虑的着色。证明了用t种颜色对G进行真染色的次数是关于t的多项式，称为G的色多项式。这个多项式有许多奇妙的性质。它也有一个令人惊讶的习惯，即出现在先验的与图着色无关的上下文中。我们将调查三个这样的例子，涉及非循环方向，超平面安排，和增加森林。此外，对称函数和代数几何的连接将被提及。
2021-06-07 math.CO
Shi arrangements and low elements in affine Coxeter groups
本研究在仿射Coxeter群框架下，证明了Shi排列各区域的极小长度元素集合等价于低阶元素集合，解决了相关猜想，并进一步揭示了区域下降壁与对应低阶元素alcove下降壁的一致性。
2023-08-21 math.CO math.GR
From Pascal's Theorem to the geometry of Ziegler's line arrangements
本文研究 Ziegler 与 Yuzvinsky 用以说明同调不变量和形式性不由组合学决定的六边形线排布，揭示其与帕斯卡定理的几何联系，并给出 Jacobian syzygy 最小次数及形式性的一般结论。
2024-01-16 math.AC math.AG math.CO
Examples of strong Ziegler pairs of conic-line arrangements of degree 7 and 8
本文证明了某些具有相同组合结构但嵌入拓扑不同的平面曲线对（Zariski对）同时也是Milnor代数不同构的强Ziegler对。
2025-09-10 math.AG math.CO
Gessel polynomials, rooks, and extended Linial arrangements
我们研究了一个家庭的多项式与上升下降统计标记根平面k元树介绍Gessel，从车理论的角度来看。我们推广的超额统计排列，以最大的非攻击车放置在某些矩形板分解成板的楼梯形状。然后，我们有关的最大nonattacking车放置在某些斜板的区域的数量在扩展Linial安排通过建立这些板的阶乘多项式的特征多项式的扩展Linial安排之间的关系。此外，我们给出了一个组合解释的有界区域的数量在扩展线性安排的设置标记根平面k元树。最后，利用Goldman-Joichi-White的工作，我们确定了其色多项式等于扩展线性排列的特征多项式的图，直到一个简单的归一化。
2016-04-23 math.CO
Hodge theory in combinatorics
GeorgeBirkhoff在1912年证明了有限图G的n种颜色的真染色数是n中的一个多项式，称为G的色多项式。Read在1968年提出，对于任何图G，色多项式的系数的绝对值序列是单峰的：它上升，达到一个峰值，然后下降。里德的猜想是由June Huh在2012年的一篇论文中证明的，该论文大量使用了代数几何的方法。Huh的结果随后被Huh和Katz改进和推广，再次使用大量的代数几何。事实上，这两篇论文都建立了系数的对数-对数关系，这比单峰性更强。Huh和Huh-Katz的突破开启了更一般的Rota-Welsh猜想，其中图被推广到（不一定是可表示的）拟阵，图的色多项式被拟阵的特征多项式取代。Huh和Huh-Katz技巧在这个一般性水平上是不适用的，因为没有与这个问题相关的基本代数几何。但在2015年，Adiprasito，Huh和Katz宣布了Rota-Welsh猜想的证明，该猜想基于一种新颖的方法，其动机是代数几何，但没有利用任何结果。作者首先证明了Rota-Welsh猜想可以从代数几何中的Hard Lefschetz定理和Hodge-Riemann关系的组合类比中推导出来。然后，他们实现了一个精心设计的归纳程序，证明组合硬莱夫谢茨定理和Hodge-Riemann关系使用纯粹的组合参数。我们将研究这些发展。
2017-06-01 math.AG math.CO
LLT polynomials, chromatic quasisymmetric functions and graphs with cycles
我们使用单位区间图的Dyck路径模型来研究由Shareshian和Wachs引入的色拟对称函数，以及垂直带-特别是单胞LLT多项式。我们发现，有平行的现象，关于$e$ -这两个家庭的多项式的积极性。特别是，我们给出了几个例子，LLT多项式的行为就像一个“镜像”的色准对称对应。Dyck路径模型也扩展到圆弧有向图，以获得更大的家庭的多项式。LLT多项式的这种循环扩张以前没有被研究过。很多关于单位区间图的组合数学进行到这个更一般的设置，我们证明了几个语句关于色拟对称函数和LLT多项式的$e$ -系数。特别是，我们认为某些$e$阳性的特征在上述所有家庭中都存在。此外，我们还研究了垂直带LLT多项式，它不存在自然的色拟对称对应项。这些多项式基本上是修改霍尔-Littlewood多项式，因此特别感兴趣。在这个更一般的框架中，我们能够给出一个自然的组合解释的$e$ -系数的线图和循环图，在这两个色和LLT设置。
2017-06-12 math.CO
