Frame sets for generalized $B$-splines

分式伪样条与复伪样条及Parseval框架的构造

Fractional and Complex Pseudo-Splines and the Construction of Parseval Frames

整数阶伪样条$(m,\ell)$是由Daubechies，Han，Ron和Shen作为一个允许在经典B样条和Daubechies尺度函数之间插值的族引入的。本文的目的是将伪样条函数推广到分数阶和复数阶$(z, \ell)$和$α:=\re z > 1$。这就增加了平滑性方面的灵活性：而不是使用$C^m$，$m\in \N_0$的离散函数族，而是使用属于Hölder空间$C^{α-1}$的\emph{continuous}函数族。$z$虚部的存在允许在用于信号和图像分析的复变换技术中直接利用。我们还表明，在模拟整数的情况下，广义伪样条导致Parseval小波框架的建设通过酉扩张原则。

高斯的B-样条逼近、它们的Gabor标架性质和近似对偶标架

B-spline approximations of the Gaussian, their Gabor frame properties, and approximately dual frames

证明了当B样条的阶数$N$足够大时，由某些尺度B样条生成的Gabor系统可以看作是由高斯生成的Gabor系统的扰动，并且在任意小的公差范围内有偏差.因此，我们表明，对于任何选择的翻译/调制参数$a,b>0$与$ab<1,$的缩放版本的$B_N$生成足够大的$N$的Gabor帧。考虑到高斯和双窗口生成的Gabor帧分解，结果导致从完美的重建时出现的高斯被替换为缩放的B-样条，或当高斯的双窗口被替换为某些明确给定的和complexly支持的B-样条的线性组合的偏差的估计。特别是，这导致一个家庭的近似双窗口的一个非常简单的形式，导致“几乎完美的重建”在任何期望的误差容限内，只要产品$ab$是足够小的。相比之下，已知的（精确的）对偶窗口具有非常复杂的形式。一个类似的分析是用比例B样条代替高斯的某些截断。作为一个结果的方法，我们证明（大多数已知的）收敛结果考虑缩放B-样条高斯的$L^p$ -空间，以及在时域中的频域。

紧流形上的采样、样条和标架

Sampling, splines and frames on compact manifolds

对单位球$\mathbb{S}^{2}$的分析在地震学、天气预报、天体物理学、信号分析、晶体学、计算机视觉、计算机断层扫描、神经科学和统计学中有许多应用。在过去的二十年里，这些和其他应用的重要性引发了各种工具的开发，例如适合单位球$\mathbb{S}^{2}$、$\>\>\mathbb{S}^{3}$和旋转群$SO(3)$的样条和小波基。本文总结了作者及其合作者在紧致黎曼流形上的Shannon型采样、广义（平均）变分样条和局部化框架（小波）等方面的一些结果。结果示出的应用程序的Radon型变换的$\mathbb{S}^{d}$和$SO(3)$。

基于变号窗和B样条的Gabor框架

On Gabor frames generated by sign-changing windows and B-splines

对于一类支持compatible窗口，我们的特点是帧属性的Gabor系统$\mts,$的翻译参数$a$属于一定范围内的支持大小。我们表明，框架属性的障碍物位于可数数量的“曲线。“对于在支架内部为正的功能，这些障碍物不会出现，并且$(a,b)$平面中的考虑区域完全包含在框架组中。特别是这证实了最近的猜想B样条的Gröchenig在该特定地区。我们证明了如果全猜想能在某个“双曲带”中得到证明，则全猜想为真。"

Multivariate tile B-splines

Tile B-splines in $\mathbb{R}^d$ are defined as autoconvolutions of the indicators of tiles, which are special self-similar compact sets whose integer translates tile the space $\mathbb{R}^d$. These functions are not piecewise-polynomial, however, being direct generalizations of classical B-splines, they enjoy many of their properties and have some advantages. In particular, the precise values of the Hölder exponents of the tile B-splines are computed in this work. They sometimes exceed the regularity of the classical B-splines. The orthonormal systems of wavelets based on the tile B-splines a…

Gabor框架中B样条生成器的新的双曲裂口家族

A new family of hyperbolic slits in the Gabor frame set of B-spline generators

本文提出了一种新的双曲裂口家族，用于Gabor框架中B样条生成器的框架集补集，结合了Grochenig和Nielsen的方法，与Janssen tie相关联。

短支承剪板机

Shearlet frames with short support

本文对复合支承剪切梁进行了理论和应用研究。本文构造了基于II型伪样条的对称紧支撑剪切波方程组。特别地，利用B样条构造了具有显式解析形式的剪切框架，这对实际应用具有重要意义。基于B样条的剪切波系统也提供了最佳的稀疏逼近卡通类图像。

移位不变空间中不规则完全插值集的构造

Construction of irregular complete interpolation sets for shift-invariant spaces

本文利用 Toeplitz 算子刻画移位不变空间中不规则集合的完全插值性质，并通过指数样条的新递推关系与 Lerch zeta 函数无零点区域分析，证明了阶 m≥2 的样条空间中相应集合为完全插值集当且仅当 |α|<1/2。

关于由 B 样条、全正函数和 Hermite 函数生成的 Gabor 框架

On Gabor frames generated by B-splines, totally positive functions, and Hermite functions

本文借助平移不变空间采样理论与 Gabor 分析的联系，给出 Gabor 框架充分条件，并扩展 B 样条与 Hermite 函数的框架区域。

几何相关流形上的样条函数与小波函数

Splines and Wavelets on Geophysically Relevant Manifolds

对单位球$\mathbb{S}^{2}$的分析在地震学、天气预报、天体物理学、信号分析、晶体学、计算机视觉、计算机断层扫描、神经科学和统计学中有许多应用。在过去的二十年中，这些和其他应用的重要性引发了各种工具的发展，如样条和小波基适用于单位球$\mathbb{S}^{2}$，$\>\>\mathbb{S}^{3}$和旋转群$SO(3)$。本文总结了作者及其合作者关于紧致黎曼流形上的广义（平均）变分样条和局部化框架（小波）的一些结果。结果示出的应用程序的Radon型变换的$\mathbb{S}^{d}$和$SO(3)$。

由酉扩张原理导出的B样条框架

On B-spline framelets derived from the unitary extension principle

样条小波的Ron-Shen紧框架在基于框架的图像分析和处理中得到了广泛的应用。然而，除了紧框架性质和截断级数的逼近阶外，这类样条小波紧框架的其他性质很少被人所知。本文提出了这个家庭的一些新的性质，将提供进一步的理解，并希望，给出一些迹象，为什么它是有效的图像分析和解释。特别地，给出了由低阶样条小波紧框架生成高阶样条小波紧框架的递推公式。我们还把样条小波紧框架的每一个生成元表示为某个一元箱样条的某一阶导数。由此，我们进一步证明了充分高阶样条小波紧框架的每个生成元都接近于适当尺度的高斯函数的右阶导数。这导致了这样的结果，即由适当尺度的高斯函数的许多连续导数生成的小波系统形成了一个框架，其框架边界几乎是紧的。