移位不变空间中不规则完全插值集的构造
Construction of irregular complete interpolation sets for shift-invariant spaces
AI总结：
本文利用 Toeplitz 算子刻画移位不变空间中不规则集合的完全插值性质，并通过指数样条的新递推关系与 Lerch zeta 函数无零点区域分析，证明了阶 m≥2 的样条空间中相应集合为完全插值集当且仅当 |α|<1/2。
摘要：
对于若干移位不变空间，存在实数 $a\in\mathbb{R}$ 使得集合 $a+\mathbb{Z}$ 是一个完全插值集。本文利用 Toeplitz 算子刻画了集合 $(a+\mathbb{N}_0)\cup(α+a+\mathbb{N}^{-})$ 对于移位不变空间的完全插值性质。基于该刻画，我们确定了所有使得采样集 $\mathbb{N}_0\cupα+\mathbb{N}^{-}$ 构成横向不变空间完全插值集的 $α$。我们为指数样条引入一个新的递推关系，考察这些样条的零点，并探究双重无穷 Lerch zeta 函数的无零点区域。由此，我们证明 $\left\langle\frac{m}{2}\right\rangle+\mathbb{N}_0\cupα+\left\langle\frac{m}{2}\right\rangle+\mathbb{N}^{-}$ 是阶为 $m\geq 2$ 的移位不变样条空间的完全插值集当且仅当 $|α|<1/2$。
英文摘要：
For several shift-invariant spaces, there exists a real number $a\in\mathbb{R}$ such that the set $a+\mathbb{Z}$ is a complete interpolation set. In this paper, we characterize the complete interpolation property of the set $(a+\mathbb{N}_0)\cup(α+a+\mathbb{N}^{-})$ for shift-invariant spaces using Toeplitz operators. Using this characterization, we determine all $α$ for which the sample set $\mathbb{N}_0\cupα+\mathbb{N}^{-}$ forms a complete interpolation set for transversal-invariant spaces. We introduce a new recurrence relation for exponential splines, examines the zeros of these splines, and explores the zero-free region of the doubly infinite Lerch zeta function. Consequently, we demonstrate that $\left\langle\frac{m}{2}\right\rangle+\mathbb{N}_0\cupα+\left\langle\frac{m}{2}\right\rangle+\mathbb{N}^{-}$ is a complete interpolation set for a shift-invariant spline space of order $m\geq 2$ if and only if $|α|<1/2$.
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