Construction of Symmetric Complex Tight wavelet Frames from Pseudo Splines via Matrix Extension with Symmetry
Xiaosheng Zhuang
利用伪样条矩阵对称延拓构造对称复紧小波框架。
Construction of Symmetric Complex Tight wavelet Frames from Pseudo Splines via Matrix Extension with Symmetry.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Wavelets and framelets from dual pseudo splines
对偶伪样条函数是一类新的可加细函数，它是\cite{DHSS}中引入的一类B样条函数的特例。本文将构造与对偶伪样条相关联的Riesz小波。此外，我们使用对偶伪样条构造紧框架系统，通过应用酉扩张原理，具有所需的逼近阶。
It is well-known that the $m$-th order cardinal $B$-spline wavelet, $ψ_{m},$ decays exponentially. Our aim in this paper is to determine the exact rate of this decay and thereby to describe the asymptotic behaviour of $ψ_{m}$.
Battle-Lemarie wavelet systems of natural orders are established in the paper. The main result of the work is decomposition theorem in Besov and Triebel-Lizorkin spaces with local Muckenhoupt weights, which is performed in terms of bases generated by the systems of such a type. Battle-Lemarie wavelets are splines and suit very well for the study of integration operators.
Splines and Wavelets on Geophysically Relevant Manifolds
对单位球$\mathbb{S}^{2}$的分析在地震学、天气预报、天体物理学、信号分析、晶体学、计算机视觉、计算机断层扫描、神经科学和统计学中有许多应用。在过去的二十年中，这些和其他应用的重要性引发了各种工具的发展，如样条和小波基适用于单位球$\mathbb{S}^{2}$，$\>\>\mathbb{S}^{3}$和旋转群$SO(3)$。本文总结了作者及其合作者关于紧致黎曼流形上的广义（平均）变分样条和局部化框架（小波）的一些结果。结果示出的应用程序的Radon型变换的$\mathbb{S}^{d}$和$SO(3)$。
Construction of some types wavelets with coefficient of scaling N
本文证明了B样条是任意自然数N的尺度函数。对于任意自然N构造的Haar小波、Kotelnikov-Shannon小波、基于B样条的非正交小波，给出了它们的构造方法。给出了基于B样条的N通道信号分解滤波器和重构滤波器的构造实例
From cardinal spline wavelet bases to highly coherent dictionaries
小波族是由一个原型函数的缩放和平移产生的，称为{ \em {mother wavelet}}。基数样条空间的小波基的构造通常在多分辨率分析方案中进行。因此，增加多分辨率子空间的维数的通常方法是通过增加比例因子。我们在这里表明，当工作在一个紧凑的间隔，可以达到相同的效果，而不改变小波尺度，但减少平移参数。通过这样一个过程，我们产生一个冗余的框架，称为{ \em{dictionary} }，跨越相同的空间作为小波基，但小波的更广泛的支持。我们的字典元素的相关性，通过测量它们的“一致性”，并产生的例子说明了高度一致的字典稀疏信号表示的问题的相关性。
In this paper, we investigate the wavelet coefficients for function spaces $\mathcal{A}_k^p=\{f: \|(i ω)^k\hat{f}(ω)\|_p\leq 1\}, k\in N, p\in(1,\infty)$ using an important quantity $C_{k,p}(ψ)$. In particular, Bernstein type inequalities associated with wavelets are established. We obtained a sharp inequality of Bernstein type for splines, which induces a lower bound for the quantity $C_{k,p}(ψ)$ with $ψ$ being the semiorthogonal spline wavelets. We also study the asymptotic behavior of wavelet coefficients for both the family of Daubechies orthonormal wavelets and the family of semiorthogona…
We exhibit the necessary range for which functions in the Sobolev spaces $L^s_p$ can be represented as an unconditional sum of orthonormal spline wavelet systems, such as the Battle-Lemarié wavelets. We also consider the natural extensions to Triebel-Lizorkin spaces. This builds upon, and is a generalization of, previous work of Seeger and Ullrich, where analogous results were established for the Haar wavelet system.
In this paper, we introduce the new class of twisted $B$-splines and study some properties of these B-splines. We also investigate the system of twisted translates and the wavelets corresponding to these twisted $B$-splines.
A Note on the Daubechies Approach in the Construction of Spline Type Orthogonal Scaling Functions
我们用洛伦兹多项式显式地给出了[I]中方程（6.1.7）的解。Daubechies，小波十讲，CBMS-NSF应用数学区域会议系列，61。工业与应用数学学会（SIAM），费城，宾夕法尼亚州，1992年]和[I. Daubechies，紧支撑小波的规范正交基.因此，我们给出了一种有效的方法来证明Daubechies关于样条型正交尺度函数存在性的结果和计算Daubechies尺度函数。
Tight wavelet frames are computationally and theoretically attractive, but most existing multivariate constructions have various drawbacks, including low vanishing moments for the wavelets, or a large number of wavelet masks. We further develop existing work combining sums of squares representations with tight wavelet frame construction, and present a new and general method for constructing such frames. Focusing on the case of box splines, we also demonstrate how the flexibility of our approach can lead to tight wavelet frames with high numbers of vanishing moments for all of the wavelet masks…
Sampling, splines and frames on compact manifolds
对单位球$\mathbb{S}^{2}$的分析在地震学、天气预报、天体物理学、信号分析、晶体学、计算机视觉、计算机断层扫描、神经科学和统计学中有许多应用。在过去的二十年里，这些和其他应用的重要性引发了各种工具的开发，例如适合单位球$\mathbb{S}^{2}$、$\>\>\mathbb{S}^{3}$和旋转群$SO(3)$的样条和小波基。本文总结了作者及其合作者在紧致黎曼流形上的Shannon型采样、广义（平均）变分样条和局部化框架（小波）等方面的一些结果。结果示出的应用程序的Radon型变换的$\mathbb{S}^{d}$和$SO(3)$。
On B-spline framelets derived from the unitary extension principle
样条小波的Ron-Shen紧框架在基于框架的图像分析和处理中得到了广泛的应用。然而，除了紧框架性质和截断级数的逼近阶外，这类样条小波紧框架的其他性质很少被人所知。本文提出了这个家庭的一些新的性质，将提供进一步的理解，并希望，给出一些迹象，为什么它是有效的图像分析和解释。特别地，给出了由低阶样条小波紧框架生成高阶样条小波紧框架的递推公式。我们还把样条小波紧框架的每一个生成元表示为某个一元箱样条的某一阶导数。由此，我们进一步证明了充分高阶样条小波紧框架的每个生成元都接近于适当尺度的高斯函数的右阶导数。这导致了这样的结果，即由适当尺度的高斯函数的许多连续导数生成的小波系统形成了一个框架，其框架边界几乎是紧的。
Exponential Splines of Complex Order
本文将指数B样条的概念推广到复阶。这个扩展包含作为特殊情况的类指数样条，也是类多项式B-样条的复杂秩序。我们推导出一个依赖于单个参数的复指数B样条的时域表示，并建立了与Lizorkin空间上定义的分数阶微分算子的连接。此外，我们证明了复指数样条引起的多分辨率分析的$L^2(\mathbb{R})$和定义小波基的$L^2(\mathbb{R})$。
We propose a simple method to construct step mask and corresponding step wavelet functions that generate tight wavelet frames on the field of p-adic numbers. To construct tight wavelet frames we do not use the principle of unitary extension, we use Pontryagin's principle of duality.
Wavelet frames for $L^2({\mathbb R})$ can be characterized by means of spectral techniques. This work uses spectral formulas to determine all the tight wavelet frames for $L^2({\mathbb R})$ with a fixed finite number of generators of minimal support. The method associates wavelet frames of this type with certain inner operator-valued functions in Hardy spaces. The cases with one and two generators are completely solved.
A real algebra perspective on multivariate tight wavelet frames
最近的结果从真正的代数几何和多项式优化理论有关的多元紧小波框架的存在性问题，其生成元至少有一个消失时刻在一个新的框架。也就是说，Ron和Shen提出的酉扩张原理的几个等价公式可以用某些非负三角多项式的埃尔米特平方和半定规划来解释。后者与最近的结果在代数几何和半定规划，使我们能够回答肯定的长期存在的开放问题，这种紧小波框架的存在，在尺寸$d=2$，我们还提供了数值有效的方法，检查其存在和实际建设的任何维度。我们展示了一类反例的尺寸$d=3$显示，在一般情况下，UEP属性是不足以存在的紧小波框架。另一方面，我们给出了$d > 3$维上紧小波框架存在的更强的充分条件，并通过几个例子说明了我们的结果。
Pseudo-splines of integer order $(m,\ell)$ were introduced by Daubechies, Han, Ron, and Shen as a family which allows interpolation between the classical B-splines and the Daubechies' scaling functions. The purpose of this paper is to generalize the pseudo-splines to fractional and complex orders $(z, \ell)$ with $α:=\re z > 1$. This allows increased flexibility in regard to smoothness: instead of working with a discrete family of functions from $C^m$, $m\in \N_0$, one uses a \emph{continuous} family of functions belonging to the Hölder spaces $C^{α-1}$. The presence of the imaginary part of $…
An Algebraic Perspective on Multivariate Tight Wavelet Frames. II
继续我们最近的工作，我们研究多项式掩码的多元紧小波框架从两个额外的和互补的观点：凸性和系统理论。我们认为这样的多项式掩码是由单一的多项式的酉扩张原理的装置。我们表明，这样的多项式的集合是凸的，并揭示其极值点作为多项式，满足正交镜像滤波器的条件。乘法结构的多项式集，使我们能够提高已知的上界的数量框架生成器来自盒样条。在单变量和双变量情况下，紧小波框架的多项式掩码可以解释为保守多元线性系的传递函数。系统理论的最新进展使我们能够发展出一种更有效的方法来构造紧框架。以S. W.德鲁里，我们表明，对于尺寸大于2这样的传递函数表示相应的多项式掩码并不总是存在。然而，对于来自非负系数的多元多项式的小波掩码，我们确定明确的传递函数表示。我们用几个例子来说明我们的结果。
Sparse Representation on Graphs by Tight Wavelet Frames and Applications
在本文中，我们介绍了一个新的（建设性的）表征紧小波框架的非平坦域在连续设置，即流形上，和离散设置，即图;讨论如何快速紧小波框架变换可以计算，以及它们如何可以有效地用于处理图形数据。首先，我们定义了一个给定的流形$\cM$上的拟仿射系统，该流形是由有限的小波函数集合$Ψ:=\{ψ_j: 1\le j\le r\}\subset L_2(\R)$的广义伸缩和移位形成的。我们进一步要求$ψ_j$由具有掩码$a_j$的可细化函数$ϕ$生成。我们提出的条件所需的面具$\{a_j: 0\le j\le r\}$，使相关的准仿射系统产生的$Ψ$是一个紧框架的$L_2(\cM)$。然后，我们讨论如何从连续（流形）的离散设置（图）的过渡可以自然地完成。为了使所提出的离散紧小波框架变换在应用中是有用的，我们展示了如何通过提出快速紧小波框架变换图形数据（WFTG）的变换可以有效地和准确地计算。最后，我们考虑了所提出的WFTG的两个具体应用：图数据去噪和半监督聚类。利用WFTG提供的稀疏表示，我们提出了基于图的$\ell_1$ -范数的最优化模型，用于去噪和半监督聚类。一方面，我们的数值结果表明，显着的优势，WFTG的谱图小波变换（SGWT）的[1]的应用。另一方面，在两个真实数据集上的数值实验表明，所提出的半监督聚类模型使用WFTG是整体竞争力的国家的最先进的方法在文献中开发的高维数据分类，并优于这些方…
Orthonormal dilations of non-tight frames
我们建立了具有附加结构的非紧框架的扩张定理，即，由酉算子群和射影酉表示生成的标架。这推广了以前的扩张结果Parseval框架由于汉和拉森和Gabardo和汉。我们还扩展了Parseval小波的扩张定理，由于Dutkay，韩，Picioroaga，和太阳，通过确定最佳类的框架小波的扩张成正交小波是可能的。
We study the construction of nonuniform tight wavelet frames for the Lebesgue space $L^2(\mathbb{R})$, where the related translation set is not necessary a group. The main purpose of this paper is to prove the unitary extension principle (UEP) and the oblique extension principle (OEP) for construction of multi-generated nonuniform tight wavelet frames for $L^2(\mathbb{R})$. Some examples are also given to illustrate the results.
Fractional spline wavelet systems are considered in the work. Molecular structure of elements of such systems admits estimates connecting norms of fractional integrals' images and pre--images in Besov spaces.
On approximation by tight wavelet frames on Vilenkin groups
本文研究Vilenkin群上紧小波框架的逼近性质，定义了满足级数收敛条件的阶跃函数，得到了对应函数类的逼近阶，并推导出带对数权的Sobolev空间函数的逼近误差。
Hyperbolic trigonometric functions as approximation kernels and their properties II: Wavelets
本文提出利用双曲三角函数构造的小波进行函数近似，并探讨其在时频分析中的应用及通用性。
Nearly tight frames of spin wavelets on the sphere
我们表明，自旋小波的球体$S^2$，这是由第一作者和Marinucci在早期的文章中，可以选择，以形成一个近紧的框架。这些自旋子波可以应用于宇宙微波背景辐射极化的研究。对于这些帧中的某些帧，存在正$C$，使得尺度为$a^j$的每个帧元素被支撑在半径为$Ca^j$的测地线球中。
Equations For Frame Wavelets In $L^2(\R^2)$
建立了$L^2(\R^2)$中与$2\times 2$扩张积分矩阵相关的紧支撑单函数正规紧框架小波的方程组.
Orthonormal bases of regular wavelets in spaces of homogeneous type
适应最近发展的随机并元结构，我们在几何加倍准度量空间中引入了样条函数的概念。这类函数与欧几里得空间中的线性样条一样具有插值和再生性质。它们也有Hölder正则性。这是用来建立一个规范正交基的Hölder连续小波的指数衰减在任何空间的齐型。与经典理论一样，小波基为研究和发展函数空间理论和奇异积分提供了一个通用的Calderón再生公式。我们讨论了$L^p$空间BMO的例子，并将其应用于T（1）定理的证明。作为没有额外的条件{（像'反向加倍'，'小边界'的球，等等）}在齐型空间上，我们的结果扩展了关于这个问题的一系列工作。
In this paper, an algorithm based on polyphase matrix for constructing a pair of orthogonal wavelet frames is suggested, and a general form for all orthogonal tight wavelet frames on local fields of positive characteristic is described. Moreover, we investigate their properties by means of the Fourier transform.
Directional time frequency analysis via continuous frame
Grafakos和Sansing \cite{GS}已经展示了如何在基于Gabor系统的$L^2(\mr^n)$中获得方向敏感的时间-频率分解。在$\ltr;$中，关键工具是“岭思想”，其将一元函数提升为多个变量的多元函数。我们推广他们的结果表明，类似的结果举行开始与一般的框架$L^2(\mr),$在设置的离散框架和连续框架。这允许将该理论应用于若干其他类别的帧，例如，小波框架和平移不变系统。我们将考虑应用到迈耶小波和复杂的B样条。在小波系统的特殊情况下，我们展示了如何离散的表示使用$ε$ -网。
Let $q\geq 2$ be an integer, and $\Bbb F_q^d$, $d\geq 1$, be the vector space over the cyclic space $\Bbb F_q$. The purpose of this paper is two-fold. First, we obtain sufficient conditions on $E \subset \Bbb F_q^d$ such that the inverse Fourier transform of $1_E$ generates a tight wavelet frame in $L^2(\Bbb F_q^d)$. We call these sets (tight) wavelet frame sets. The conditions are given in terms of multiplicative and translational tilings, which is analogous with Theorem 1.1 ([20]) by Wang in the setting of finite fields. In the second part of the paper, we exhibit a constructive method for o…
New Tight Wavelet Frame Constructions Sharing Responsibility
针对现有紧小波框架构造方法存在的母小波生成方法缺失、需解决平方和问题等局限，提出将构造负担分摊到可加细函数与母小波的新型构造方法，为解决平方和问题提供新思路。
Some equations relating multiwavelets and multiscaling functions
在\cite{Dut}中引入的局部迹函数被用来推导出在广义多分辨率分析的背景下与多小波和多尺度函数相关的方程，而不需要使用滤波器。给出了规范紧框架小波的一种构造方法。具体的例子包括规范化紧框架和正交小波集的建设。
This work characterizes (dyadic) wavelet frames for $L^2({\mathbb R})$ by means of spectral techniques. These techniques use decomposability properties of the frame operator in spectral representations associated to the dilation operator. The approach is closely related to usual Fourier domain fiberization techniques, dual Gramian analysis and extension principles, which are described here on the basis of the periodized Fourier transform. In a second paper of this series, we shall show how the spectral formulas obtained here permit us to calculate all the tight wavelet frames for $L^2({\mathbb…
On extensions of wavelet systems to dual pairs of frames
任意一对具有小波结构的Bessel序列能否通过添加一对单生成小波系而扩展为一对对偶标架，这是一个公开的问题。我们考虑特定的情况下，给定的小波系统所产生的多尺度设置与三角掩模，并提供一个积极的答案下额外的假设。我们还确定了一些条件，是必要的扩展到双多尺度小波框架与任何数量的发电机，并表明，它们意味着扩展与两对小波系统是可能的。一路上，我们提供的例子表明，扩展到双框架对是有吸引力的，因为他们往往允许更好的性能比更流行的扩展到紧框架。
Spectrum-Adapted Tight Graph Wavelet and Vertex-Frequency Frames
我们考虑的问题，设计光谱图过滤器的原子，可用于有效地表示信号驻留在加权图的字典的建设。虽然在以前的谱图小波构造中使用的滤波器仅适应于谱的长度，但本文提出的滤波器适应于图Laplacian特征值的分布，因此导致原子具有更好的区分能力。我们的方法是首先描述一个家庭的系统的一致平移的内核在图的谱域，从而产生紧张的框架，通过广义平移产生的原子图。然后，我们用一个函数来近似图拉普拉斯特征值的累积谱密度函数，从而弯曲均匀平移。我们使用这种方法来构建计算效率高，频谱适应，紧顶点频率和图形小波框架。我们给出了大量的例子，由此产生的频谱自适应图滤波器，并提出了一个说明性的例子，顶点频率分析使用所提出的建设。
On approximation by tight wavelet frames on the field of $p$-adic numbers
该研究在 $p$-进数域上构造满足可和条件的阶梯函数紧小波框架，并给出相应加权 Fourier 变换可积函数的逼近阶。
The unitary extension principle (UEP) by Ron and Shen yields conditions for the construction of a multi-generated tight wavelet frame for $L^2(\mr^s)$ based on a given refinable function. In this paper we show that the UEP can be generalized to locally compact abelian groups. In the general setting, the resulting frames are generated by modulates of a collection of functions, via the Fourier transform this corresponds to a generalized shift-invariant system. Both the stationary and the nonstationary case are covered. We provide general constructions, based on B-splines on the group itself as w…
We introduce a construction of multiscale tight frames on general domains. The frame elements are obtained by spectral filtering of the integral operator associated with a reproducing kernel. Our construction extends classical wavelets as well as generalized wavelets on both continuous and discrete non-Euclidean structures such as Riemannian manifolds and weighted graphs. Moreover, it allows to study the relation between continuous and discrete frames in a random sampling regime, where discrete frames can be seen as Monte Carlo estimates of the continuous ones. Pairing spectral regularization …
Gabor Shearlets
在本文中，我们介绍了伽柏剪切波，剪切波系统的一个变种，这是基于不同的组表示比以前的剪切波结构：他们结合元素从伽柏和小波框架在其建设。因此，它们可以用小波理论的标准滤波器结合标准Gabor窗口来实现。与通常的shearlets不同，新的结构可以实现所需的冗余度。我们的结构遵循剪羊毛的一般策略。首先，我们定义基于组的Gabor shearlets，然后修改它们的锥适应的版本。与Meyer滤波器相结合，锥适应的Gabor剪切波构成了一个紧密的框架，并提供了低冗余稀疏近似的各向异性功能，这是卡通功能的共同模型类。
Directional polynomial wavelets on spheres
本文提出了一种球面上方向多项式小波，用于各向异性特征的方向敏感分析，通过有限方向性实现高效的小波展开。
$\ell_0$ Minimization for Wavelet Frame Based Image Restoration
紧小波框架理论在过去的二十年里得到了广泛的研究，目前被广泛应用于图像复原和其他图像处理和分析问题。基于小波框架的模型，包括平衡方法和基于分析的方法的成功，是由于他们的能力，稀疏逼近分段光滑函数，如图像。受平衡方法和基于分析的方法的启发，我们将提出一个基于小波帧的$\ell_0$最小化模型，其中帧系数的$\ell_0$“范数”被惩罚。我们采用惩罚分解（PD）方法来解决所提出的优化问题。数值实验结果表明，该模型在恢复图像的清晰度和保持图像的平滑度方面，与基于分析的方法和平衡方法相比，具有更好的图像质量。还将提供PD方法的一些收敛性分析。
A Battle-Lemarié Frame Characterization of Besov and Triebel-Lizorkin Spaces
本文研究了由过采样生成的样条框架与Battle-Lemarié小波系统的非负整数阶关系，建立了光滑参数至s < n+1的Besov和Triebel-Lizorkin（准）范数刻画，并证明了端点情况s=n+1的结果。
Nearly Tight Frames and Space-Frequency Analysis on Compact Manifolds
设$\bf M$是一个光滑的紧定向黎曼流形，$Δ$是${\bf M}$上的Laplace-Beltrami算子。比如说$0 \neq f \in \mathcal{S}(\RR^+)$，还有那个$f(0) = 0$。对于$t > 0$，让$K_t(x,y)$表示$f(t^2 Δ)$的内核。设$f$满足Daubechies准则，$b > 0$ .对于每个$j$，将${\bf M}$写为可测量集$E_{j,k}$的不相交并集，其直径至多为$ba^j$，如果$ba^j$足够小，则与$ba^j$相当。服用$x_{j,k} \in E_{j,k}$。然后，我们表明，功能$ϕ_{j,k}(x)=[μ(E_{j,k})]^{1/2} \bar{K_{a^j}}(x_{j,k},x)$形成一个框架$(I-P)L^2({\bf M})$，$b$足够小（这里$P$是投影到常数功能）。此外，我们表明，帧边界的比率接近1的膨胀参数接近1，使帧迅速变得接近紧（$b$足够小）。此外，根据函数$F \in (I-P)L^2$在空间和频率上的局部化程度，我们可以描述求和$F \sim SF = \sum_j \sum_k < F,ϕ_{j,k} > ϕ_{j,k}$中的哪些项非常小，以至于可以忽略不计。如果$n=2$和$\bf M$是环面或球面，和$f(s)=se^{-s}$（“墨西哥帽”的情况），我们得到两个明…
Extended MacMahon-Schwinger's Master Theorem and Conformal Wavelets in Complex Minkowski Space
在1+3维共形群SO（4，2）（局部同构于SU（2，2））的齐次空间（Cartan域）D4 =SO（4，2）/（SO（4）\times SO（2））上构造了连续小波变换（CWT）.流形D_4可以通过Cayley变换一一映射到复Minkowski空间的未来管域C^4_+上，在文献中已经提出了其他类型的（电磁）小波。本文研究了Hilbert空间L^2_h上共形群的酉不可约表示（D_4，d ν_λ）和L^2_h（C^4_+，d \tilde ν_λ）与连续质量谱的同构性，证明了（等方差）之间的希尔伯特空间，容许性和紧框架条件，给出了齐次多项式的重构公式和正交基，讨论了所提出的共形小波的对称性和欧氏极限。为此，我们首先陈述并证明了Schwinger主定理（SMT）的一个λ-推广，它是一个有用的数学工具，特别是作为共形群的酉表示函数的生成函数和L^2_h（D_4，d ν_λ）的再生（Bergman）核的导出。SMT与MacMahon的主定理（MMT）有关，为了完整性，还提供了Louck的SU（N）固体谐波方面的扩展。并研究了收敛条件。
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