Statistics of Different Reduction Types of Fermat Curves
给出了Fermat曲线族$Y^p = X^s(1-X)$中不同约化类型统计量的理论界和算法，其中$p$是素数，$s =1, ..., p-2$是素数.
2012-12-05 math.NT
On pointless diagonal Fermat curves
给出了$\mathbb{F}_{q}$上无$\mathbb{F}_{q}$ -有理点的对角Fermat曲线$Ax^{\ell}+By^{\ell}=z^{\ell}$个数的一个改进的渐近上界，其中$\ell$是除$q-1$的素数.
2011-05-20 math.NT
On The Rank Of Congruent Elliptic Curves
本文中，$p$和$q$是两个不同的奇素数.首先构造了对应于$p$、$2p$、$pq$和$2pq,$的全等椭圆曲线，然后在全等数的情况下，确定了相应的全等椭圆曲线的秩.
2017-01-08 math.NT
An Elliptic Curve Analogue to the Fermat Numbers
费马数有许多值得注意的性质，包括序普适性、互质性和递归关系的定义。我们使用任意的椭圆曲线和无穷阶的有理点来生成类似于费马数的序列。我们证明了这些序列有许多相同的性质的费马数，我们讨论的结果，由特定的曲线和点生成的序列的素因子。
2017-08-12 math.NT
Kronecker limit formulas and scattering constants for Fermat curves
爱森斯坦级数是实解析函数，在双曲拉普拉斯算子的谱理论中起着核心作用。克罗内克极限公式确定了它们与模形式的联系。本文的主要结果是定理7.2，其中给出了与Fermat曲线相关的一族非同余子群的Kronecker极限公式。作为应用，我们可以确定定理8.1中费马曲线的散射常数。
2011-11-04 math.NT
Higher Chow cycles on Jacobian of Fermat curves and Hypergeometric functions
本文在Fermat曲线的Jacobian的$K_{1}$中构造了某些高阶Chow圈，推广了Collino的构造.我们进一步计算这些元素的调节器的特殊值的超几何函数。大坪计算了调节器的某些元素的$K_0$和$K_2$的费马品种和本文是沿着相同的路线。
2017-07-31 math.NT
The $a$-numbers of Fermat and Hurwitz curves
对于定义在特征$p >0$的代数闭域上的代数曲线$\mathcal{X}$，$a$数$a(\mathcal{X})$是$\mathcal{X}$上的正合全纯微分空间的维数.我们计算了Fermat曲线和Hurwitz曲线的无限族的$a$ -数。我们的结果适用于埃尔米特曲线给出了一个新的证明以前的结果格罗斯。
2016-03-11 math.NT
On families of 9-congruent elliptic curves
我们计算了与给定椭圆曲线9-全等的椭圆曲线族的方程。我们利用它们来寻找Q上无穷多个非平凡的9-同余椭圆曲线对，即Q上的非同构椭圆曲线对，它们的9-挠子群同构为Galois模。
2015-04-29 math.NT
Height of rational points on congruent number elliptic curves
证明了正比例的无平方数是全等数，使得相应的椭圆曲线上最低无挠有理点的标准高度满足强下界.
2018-02-20 math.NT
Note on Coleman's formula for the absolute Frobenius on Fermat curves
Coleman明确地计算了Fermat曲线上的绝对Frobenius。本文证明了一种$p$ -adic连续性蕴涵了他的公式的很大一部分。为此，我们研究了（$p$ -adic）Γ函数的函数方程与（$p$ -adic）CM-周期上的单项关系之间的关系.
2022-11-29 math.NT
The minimal regular model of a Fermat curve of odd squarefree exponent and its dualizing sheaf
构造了$N$阶分圆整数上无奇平方复合指数$N$的Fermat曲线的极小正则模型.作为应用，我们计算了该模型的对偶层的算术自相交的上界和下界。
2016-05-15 math.NT
The even parity Goldfeld conjecture: congruent number elliptic curves
在1979年戈德菲尔德说：50\%的二次扭曲的椭圆曲线定义的有理数分析秩为零。在这篇简要的文章中，我们提出了一些最新的进展对猜想，特别是它的第一个例子-全等数椭圆曲线。
2021-06-17 math.NT
On pairs of 17-congruent elliptic curves
我们计算了$17$ -全等椭圆曲线的曲面Z（17，1）和Z（17，3）参数对的显式方程。我们发现它们都是同一椭圆K3-曲面的双重覆盖。我们使用这些方程展示了第一个非平凡的例子，一对辛17-全等椭圆曲线的有理数。我们还计算了相应的亏格2曲线，其雅可比矩阵具有$(17,17)$ -分裂。
2021-06-03 math.NT
On families of 13-congruent elliptic curves
我们计算的扭曲的模曲线$X(13)$参数化的椭圆曲线13-全等给定的椭圆曲线。通过寻找这些扭上的有理点，我们可以找到${\mathbb Q}$上的非平凡13-全等椭圆曲线对，即${\mathbb Q}$上的非同构椭圆曲线对，它们的13-扭子群同构于Galois模.我们还发现方程的表面参数对13-全等椭圆曲线。有两个这样的表面，对应于13-同余，做或不做，尊重韦尔配对。我们写每个作为一个双重覆盖的射影平面分歧超过一个高度奇异的模型巴兰的模曲线的水平13。通过在这些曲面上寻找合适的有理曲线，我们证明了在${\mathbb Q}$上存在无穷多对非平凡的13-全等椭圆曲线。
2019-12-23 math.NT
Galois module structure and Jacobians of Fermat curves
类不变同态允许人们测量通过在阿贝尔簇上划分点而得到的扩展的伽罗瓦模结构。在本文中，我们考虑的情况下，当阿贝尔簇是雅可比的费马曲线。我们给出了扭点的例子，其相关的伽罗瓦结构是平凡的，以及点的无穷阶的相关伽罗瓦结构是非平凡的。
2014-04-16 math.NT
Congruent numbers, elliptic curves, and the passage from the local to the global: an update
这是对我的关于同余数、椭圆曲线以及从局部到全局的文章的更新，这篇文章发表在Resonance，2009年12月，第100页。1183- 1205（https：//www.ias.ac.in/describe/article/reso/014/12/1183-1205），并在这里作为arXiv：0704.3783发布，涵盖了椭圆曲线算术的一些最新进展，特别是关于全等数问题。
2022-02-08 math.NT
Moments of Gaussian Periods and Modified Fermat Curves
本文利用超特征理论研究高斯周期的第四绝对矩，将其与修正 Fermat 曲线的有理点数联系起来，并给出精确公式及 Hasse–Weil 界。
2025-02-19 math.NT
Congruent Elliptic Curves with Non-trivial Shafarevich-Tate Groups
研究了一类全等椭圆曲线$E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$，其中$n$是全等于$1\pmod 8$且素因子全等于$1\pmod 4$的正整数.我们刻画了这样的$E^{(n)}$与Mordell-Weil秩零和$2$ -主要部分的Shafarevich-Tate群同构的$\big(\mathbb Z/2\mathbb Z \big)^2$。我们还讨论了一类具有Shafarevich-Tate群的2-准素部分的$E^{(n)}$同构于具有$k\ge2$的$\big(\mathbb Z/2\mathbb Z \big)^{2k}$.
2016-06-11 math.NT
Congruent elliptic curves over some $p$-adic Lie extensions
本文研究奇素数p下p进李扩张中p-同余椭圆曲线的Iwasawa不变量变化，同时分析经典Selmer群与精细Selmer群。
2025-03-11 math.NT
Twisted Fermat curves over totally real fields
设p是素数，F是全实域，使得[F（mu_p）：F]=2，[F：Q]是奇数.对于delta \in F^times，让[delta]表示它在F^times/F^{times p}中的类。本文给出了主要定理。有无穷多个类[delta] \in F^times/F^{times p}使得扭曲仿射费马曲线W_delta：X^p+Y^p=delta没有F-有理点。
2007-06-04 math.NT
Congruent number elliptic curves with rank at least two
我们给出了一类无穷多个同余数椭圆曲线，每一条曲线的秩至少为2，它们与$m^2=n^2+nl+l^2$的积分解有关。
2018-10-12 math.NT
Chebyshev's bias for Fermat curves of prime degree
本文证明素数次 Fermat 曲线及其部分商的素数竞赛渐近公式与 DRH 相关部分等价，并据此在 DRH 下计算其二阶矩 L 函数在 s=1 处的零点阶数。
2024-06-15 math.NT
Root numbers and Selmer groups for the Jacobian varieties of Fermat curves
设$p$为奇素数。设$K$是第$p$个分圆域，$F$是它的最大实子域.给出了Fermat曲线$X^p+Y^p=δ$的雅可比簇的根数的一般公式，其中$δ$是整数.作为这些一般公式的应用，我们导出了Fermat曲线的雅可比簇族的根数的等分布。当$p\nmid δ$时，我们绑定了这些雅可比簇的塞尔默群。此外，如果$p$是正则的，并且$K$除$δ$的所有素理想在$K/F$中是惰性的，则Selmer群被明确地确定，并且我们验证了这些雅可比簇的$p$ -宇称图.我们还给出了一个渐近下界的费马Jabobian的$p$ -宇称猜想持有的数量。
2021-11-29 math.NT
Primality tests for Fermat numbers and 2^(2k+1)\pm2^(k+1)+1
Robert Denomme和Gordan Savin利用椭圆曲线对费马数2^（2^k）+1进行了素性检验。我们提出了另一种利用椭圆曲线的费马数的素性检验，并给出了2^（2k+1）\pm 2^（k+1）+1形式的整数的素性检验.
2009-12-10 math.NT
On a non-critical symmetric square $L$-value of the congruent number elliptic curves
用$E_d: y^2=x^3-d^2x$定义了全等数椭圆曲线，其中$d\in \mathbb{N}.$我们用支撑在$E_d(\overline{\mathbb{Q}})$上扭点上的某次零因子的椭圆三对数的行列式给出了$L(\mathrm{Sym}^2(E_d),3)$的一个公式的简单证明.
2019-02-27 math.NT
Congruent Elliptic Curves with Non-trivial Shafarevich-Tate Groups: Distribution Part
研究了一类子类全等椭圆曲线$E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$的分布，其中$n$全等于$1\pmod 8$且素因子全等于$1\pmod 4$ .我们证明了剩余符号性质的独立性。因此，我们得到了秩为零的分布，如$E^{(n)}$与$2$ -主要部分的Shafarevich-Tate群同构的$\big(\mathbb Z /2\mathbb Z\big)^2$。我们还得到了秩为零的$E^{(n)}$和同构于$\big(\mathbb Z /2\mathbb Z\big)^{4}$的Shafarevich-Tate群的$2$ -准素部分的个数的一个下界.
2015-11-12 math.NT
Primitive points on some low degree Fermat curves
University of Warwick（华威大学）
本文研究了费马曲线F_n上的原始点，证明当n=7或8时，不存在非平凡四次点，且为F_6和F_8提供非平凡点不存在的充分条件。
2026-03-16 math.NT
Fermat's Last Theorem and modular curves over real quadratic fields
本文研究了二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的Fermat方程$x^n+y^n=z^n$，其中$d$是无平方的，有$26 \leq d \leq 97$ .通过研究二次点上的模曲线$X_0(N)$，$d$ -正则素数，并与Hecke运营商的空间的希尔伯特新形式，我们扩展工作的Freitas和Siksek表明，大多数squarefree $d$在这个范围内有没有非平凡的解决方案，这个方程的$n \geq 4$。
2022-10-17 math.NT
Partial Descent on Hyperelliptic Curves and the Generalized Fermat Equation x^3+y^4+z^5=0
设C：y^2=f（x）是定义在有理数上的超椭圆曲线.设K是数域，设K上的f因子是不可约多项式f=f_1 f_2..的乘积。f_r.我们将定义一个“塞尔默集”对应于这个分解的性质，如果它是空的，那么曲线C没有有理点。我们将证明我们的新方法的有效性，通过解决广义费马方程的签名（3，4，5），这是无懈可击的，通过以前的方法。
2011-03-10 math.NT
On families of n-congruent elliptic curves
本文用不变论方法计算了n= 7，9，11时模曲线X（n）的某些扭曲。通过寻找这些扭上的有理点，可以找到Q上的非平凡n-全等椭圆曲线对，即Q上的n-扭子群同构为Galois模的非同构椭圆曲线对.我们还通过给出Q（T）上的显式非平凡例子证明了在n=9和n=11的情况下Q上有无穷多个例子。
2011-05-09 math.NT
Cohomology groups of Fermat curves via ray class fields of cyclotomic fields
分圆域$K={\mathbb Q}(ζ_p)$的绝对伽罗瓦群作用于指数为$p$的费马曲线$X$的代数同调。本文研究了一个Galois上同调群，它对于度量$X$上$K$ -有理点的阻塞是有价值的.我们分析了一个$2$ -幂零扩展的$K$，其中包含的信息需要测量这种障碍。我们确定了一个大子商的伽罗瓦上同调群所产生的海森堡扩展的$K$。对于$p=3$，我们进行了岩浆计算与束类域，群上同调，伽罗瓦上同调，这完全确定它。
2020-02-10 math.NT
The Fermat-type equations x^5 + y^5 = 2z^p or 3z^p solved through Q-curves
我们分别对密度为1/4、1/2的一组素数用$d=2, 3$求解丢番图方程$x^5 + y^5 = dz^p$.该方法包括在一个可能的解决方案，以另一个丢番图方程和解决后者使用Q-曲线和广义模块技术的工作Ellenberg和Dieulefait-Jimenez随着一些新的技术，以消除新的形式。
2011-03-28 math.NT
Solving Fermat-type equations $x^4 + d y^2 = z^p$ via modular Q-curves over polyquadratic fields
我们求解了丢番图方程x^4 + dy ^2 = z^p，其中d=2，d=3，p>349，p>131.该方法包括推广Frey、Ribet和Wiles在求解费马大定理时以及Ellenberg在求解方程x^4 + y^2 = z^p时所应用的思想，我们使用Q曲线、模形式和内扭曲。原则上，我们的方法可以应用于解决这类方程的其他值的d。
2008-04-14 math.NT
The Galois action on the lower central series of the fundamental group of the Fermat curve
关于数域$K$的绝对伽罗瓦群$G_K$的信息被编码为它如何作用于定义在$K$上的曲线$X$的基本基本群$π$。在$K=\mathbb{Q}(ζ_n)$是分圆域，$X$是$n \geq 3$次Fermat曲线的情形下，Anderson确定了$G_K$对$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$中系数的tale同调的作用，tale同调是tale基本群的下中心序列中的第一个商.本文确定了$π$的分次李代数的结构.因此，这就决定了$G_K$对$n$次费马曲线的étale基本群的下中心序列的相关分次商的所有次的作用，系数在$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$中。
2022-02-14 math.NT
On arithmetic properties of periods for some rational differential forms over $\mathbb{Q}$ on the Fermat curve $F_2$ of degree 2
在本文中，我们将定义多重zeta值的类似物，通过在二次Fermat曲线$F_2$上用一些$\mathbb{Q}$ -有理微分形式代替定义多重zeta值的微分形式，并讨论它们的算术性质.我们还调查了动机结构的动机周期对应于我们的时期。然而，为了研究它们，目前的理论对motivic zeta元素是不够的，这导致我们研究的基础扩展的motivic周期$\mathcal{H}_4$的水平4和它的伽罗瓦不变部分的空间。
2023-02-15 math.NT
Constructing congruent number elliptic curves using 2-descent
一个等于某个有理直角三角形面积的正整数称为全等数。从代数的观点来看，全等数意味着满足一个方程组。早在19世纪，人们就知道，如果$n$是一个全等数，那么方程$nm^2 = uv(u^2 - v^2)$就有解在$\mathbb{Z}$中。利用20世纪初建立的全等数与椭圆曲线的关系$E_n: y^2 = x^3 - n^2 x$，我们将证明这个已有两个世纪历史的结果的逆也成立.除此之外，我们提出了另一个证明的逆使用的方法2下降。在本文的最后，我们演示了如何使用我们的证明来构造$E_n$的子家族，其秩至少为2和3。
2020-06-15 math.NT
Rational $θ$-parallelogram envelopes via $θ$-congruent elliptic curves
通过定义正整数$n$的有理$θ$-包络的概念，引入了$θ$-同余数的一个新的推广，其中$θ\in (0, π)$是一个与有理余弦的夹角.然后，利用代数曲线的算法，对有理$θ$ -包络的有关问题进行了深入的研究。我们的结果推广了T.~ Ochiai，其中仅考虑病例$θ=π/2$。此外，我们回答了他的论文中的开放性问题及其对任何毕达哥拉斯角度的推广。
2021-03-30 math.NT
The classifying element for quotients of Fermat curves
该研究针对射影直线上在0、1、∞三点分歧的循环伽罗瓦覆叠C，在温和分歧条件下，借助适配绝对伽罗瓦群作用研究的基，确定了其基本群下中心序列的分次李代数结构。
2024-04-17 math.NT
Root numbers for twisted Fermat quotient curves
Mathematical inst. Tohoku Univ.（东北大学数学研究所）
本文基于扭曲费马商曲线的Hecke特征，推导出根数的显式公式，扩展了Stoll(2002)和Shu(2021)的研究成果。
2026-10-14 math.NT
Fermat curves and the reciprocity law on cyclotomic units
定义了周期环值β函数，并给出了其特殊值的互反律.证明是基于Rohrlich和Coleman关于Fermat曲线的一些结果。我们还有以下应用。Stark猜想暗示了偏zeta函数在$s=0$处的导数的指数是满足一定条件下的互反律的代数数。当基域是有理数域时，它是由欧拉公式和分圆单位的性质导出的。本文利用周期环值β函数的互反律给出了一个可供选择的（部分的）证明.换句话说，本文给出的互反律是分圆单位上互反律的一种改进。
2015-03-10 math.NT
On the signed Selmer groups of congruent elliptic curves with semistable reduction at all primes above $p$
设$p$为奇素数。我们将适当的带符号Selmer群附加到椭圆曲线$E$上，其中假定$E$在$p$以上的所有素数处具有半稳定约化.然后，我们比较了Iwasawa $λ$ -不变量的这些签署塞尔默群的两个全等椭圆曲线上的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的Greenberg-Vatsal和B。D. Kim.作为比较公式的应用，我们证明了如果$p$ -奇偶猜想对其中一条全等椭圆曲线成立，那么对另一条椭圆曲线也成立.在证明后一个结果的过程中，我们还概括了哈特利关于符号塞尔默群的奇偶性的观察。
2020-06-22 math.NT
Monodromy of Fermat Surfaces and Modular Symbols for Fermat curves
设$F_n$表示由$x^n+y^n=z^n$给出的Fermat曲线，$μ_n$表示$n$次单位根的Galois模.已知整同调群$H_1(F_n,\Z)$是循环$\Z[μ_n\times μ_n]$模。本文利用模符号和Fermat曲线的模描述证明了这一结果，并找到了整同调群$H_1(F_n,\Z)$的一个基.利用Fermat曲面构造了一类Fermat曲线，并计算了其单值性。
2018-10-01 math.AG math.NT
On a bound of Garcia and Voloch for the number of points of a Fermat curve over a prime field
1988年，加西亚和沃洛赫证明了费马方程x^n+y^n=a在素有限域F_p上的解的个数的上界为4 n ^{4/3}（p-1）^{2/3}，其中a \in F_p^* 和n \ge 2是p-1的除数，使得（n-1/2）^4 \ge p-1。这比在所述范围内的Weil界p+1+（n-1）（n-2）p^{1/2}更好。通过改进Garcia和Voloch的证明，我们证明了在他们的界中常数4可以用3 \cdot 2^{-2/3}代替。
2005-11-14 math.NT
Rank parity for congruent supersingular elliptic curves
Shekhar最近的一篇论文比较了椭圆曲线$E_1$和$E_2$的秩，其中有一个同构$E_1[p] \simeq E_2[p]$作为$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ -模，其中$p$是两条曲线的良好普通约化的素数。本文证明了当$p$是好的超奇约化素数时的一个类似结果。
2016-10-06 math.NT
On asymptotic Fermat over the Z_2 extension of Q
在最近的工作中，作者证明了有效的渐近费马大定理的无限域族$\mathbb{Q}(ζ_{2^{r+2}})^+$，其中$r \ge 0$。在他们的证明中，一个关键的步骤是下面的克劳斯猜想。设$K$是具有奇数窄类数和在$2$之上的唯一素数$λ$的数域。则不存在定义在$K$上的椭圆曲线，其导体为$λ$，并且具有$2$的$K$ -有理阶点。本文仅利用椭圆曲线、Tate曲线和Tate模的基本事实，给出Kraus猜想的一个新的初等证明.
2020-12-06 math.NT
The Heisenberg covering of the Fermat curve
本文给出第N个海森堡曲线作为费马曲线覆盖的模型，证明N=3时Manin-Drinfeld原理成立、N=5时不成立，解释了费马曲线尖点子群描述，并研究了雅可比簇态射像及X'_N同调。
2022-10-10 math.NT
On $θ$-congruent numbers, rational squares in arithmetic progressions, concordant forms and elliptic curves
具有有理边的直角三角形、算术连续的有理平方的三元组和某些二次型的积分解之间的对应关系是众所周知的。我们展示了如何这种对应关系可以扩展到广义概念的合理$θ$ -三角形，合理的平方发生在等差数列和和谐的形式。在我们的方法中，我们建立了一对一的映射到某些椭圆曲线上的有理点，并详细研究了$θ$ -同余数问题和相应的椭圆曲线上的非平凡扭点的协调形式问题的解决方案的作用。这种方法使我们能够组合和扩展许多作者获得的一些不相交的结果，澄清文献中的一些陈述并回答一些迄今为止悬而未决的问题。
2014-08-22 math.NT
Central $L$ values of congruent number elliptic curves
本文证明同余数椭圆曲线的中心 L 值可表示为简单 theta 函数的 CM 值平方，推广了 Gauss 公式，兼具理论与计算价值。
2025-05-24 math.NT
On the high rank $π/3$ and $2π/3$-congruent number elliptic curves
考虑由$ E_{n,θ}:\quad y^2=x^3+2s n x^2-(r^2-s^2) n^2 x $给出的椭圆曲线，其中$0 < θ< π$，$\cos(θ)=s/r$是有理数，具有$0\leq |s| <r$和$\gcd (r,s)=1$。这些椭圆曲线与$θ$ -同余数问题有关，作为同余数问题的推广.对于固定的$θ$这个家庭对应于二次扭曲的$n$的曲线$E_θ: \,\, y^2=x^3+2s x^2-(r^2-s^2) x.$我们研究了两个特殊情况$θ=π/3$和$θ=2π/3$。我们已经发现了一个$n=n(w)$的一个子家族的秩至少为$3$以上的${\mathbb Q}(w)$和一个子家族的秩$4$参数化的椭圆曲线的点具有正秩。我们还发现了$n$的例子，在这两种情况下，$E_{n, θ}$的排名都超过了$\mathbb Q$。
2014-12-15 math.NT
Bounds on the Mordell--Weil rank of elliptic curves over imaginary quadratic number fields with class number 1
本文将Thomas Kretschmer的引理推广到任意数域，并将其与2-下降变元一起应用，得到了一类类数为1的虚二次数域上椭圆曲线族的界.一个这样的家庭发生在全等数问题。我们考虑这些二次数域上的全等数问题，并在有限性条件下证明了有无穷多个数在Q上不全等，但在$Q(ζ_3)$上全等.
2019-06-29 math.NT
Contre-exemples au principe de Hasse pour les courbes de Fermat
设$p$为奇素数。本文研究了由方程$ax^p+by^p+cz^p=0$给出的定义在${\bf Q}$上的Fermat曲线关于局部-整体Hasse原理的性质。证明了存在无穷多个指数为$p$的费马曲线，它们是Hasse原理的反例。这是abc猜想的一个结果，如果$p\geq 5$。利用H. Cohen和Chebotarev的密度定理，通过对$p\leq 19$的证明，得到了这个猜想的一个部分结果.
2016-01-28 math.NT
Modular elliptic curves over real abelian fields and the generalized Fermat equation $x^{2\ell}+y^{2m}=z^p$
结合几个强模性定理和类域理论，我们得到了一类实交换域上半稳定椭圆曲线的一个新的模性定理。本文证明了：若$K$是导体$n<100$的实阿贝尔场，有$5 \nmid n$和$n \ne 29$，$87$，$89$，则$K$上的半稳定椭圆曲线$E$是模的.设$\ell$，$m$，$p$为素数，与$\ell$，$m \ge 5$，$p \ge 3$为素数，将$\mathbb{Q}(ζ_p)^+$上的Frey椭圆曲线与广义Fermat $x^{2\ell}+y^{2m}=z^p$的一个假定的非平凡本原解相联系，利用降阶方法和模性结果研究了它的模$\ell$表示.我们证明了当$p \le 11$，或当$p=13$和$\ell$，$m \ne 7$时，非平凡原始解的不存在性.
2016-04-11 math.NT
2-Selmer Groups and the Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture for the Congruent Number Curve
本文对曲线E_n：y^2=x^3-n^2x具有给定大小的2-Selmer群的n个数进行了计数。这个问题也在一对Invent中讨论过。罗杰·希斯-布朗的数学论文我们讨论了计算这些Selmer群的大小和验证Birch和Swinnerton-Dyer猜想的情况之间的联系。渐近公式的关键成分是勒让德符号的“独立性”，该符号在具有恰好k个素因子的整数的素除子处求值。
2007-06-29 math.NT
On the arithmetic self-intersection numbers of the dualizing sheaf for Fermat curves of prime exponent
本文改进了素指数费马曲线$F_p$的极小正则模型的对偶层的算术自相交数的上界。
2009-06-21 math.AG math.NT
