Galois module structure and Jacobians of Fermat curves
类不变同态允许人们测量通过在阿贝尔簇上划分点而得到的扩展的伽罗瓦模结构。在本文中，我们考虑的情况下，当阿贝尔簇是雅可比的费马曲线。我们给出了扭点的例子，其相关的伽罗瓦结构是平凡的，以及点的无穷阶的相关伽罗瓦结构是非平凡的。
2014-04-16 math.NT
Bounding Selmer Groups of Superelliptic Jacobians via Class Groups
Tongji University（同济大学）
该研究在含本原p次单位根的数域上，借助类群的p挠子群界定超椭圆雅可比簇相关Selmer群的范围，并辅以实例说明结果。
2026-09-03 math.NT
On the $2$-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves
本文利用代数 $K[x]/(p(x))$ 的类群给出奇次超椭圆曲线 Jacobian 的 $2$-Selmer 群上下界及公式，并应用于二次扭曲秩分布与亏格2曲线八次扭曲族。
2023-08-16 math.NT
Selmer varieties for curves with CM Jacobians
研究了定义在$\Q$上亏格至少为2的光滑射影曲线的$\Q_p$ -pro-unipotent基本群的标准商所对应的Selmer簇，其Jacobian分解为交换簇与复乘的乘积.利用初等多元Iwasawa理论证明了这类曲线的维数界，从而给出了$\Q$上丢番图有限性的一个新的证明.
2008-10-18 math.AG math.NT
Selmer ranks in twists of CM abelian varieties
本研究证明CM阿贝尔簇的若干p次扭变族中Selmer秩服从辛或酉分布，借此推出含本原p次单位根的数域上扭变费马曲线大多无解，并探讨了素数次循环扩张中的秩增长。
2025-07-31 math.NT
The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point
证明了当所有亏格为$n\geq 1$且具有有理Weierstrass点的超椭圆曲线按高排序时，其Jacobian的2-Selmer群的平均大小等于3.由此可知，它们的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩至多为3/2。Chabauty的方法，然后可以被用来获得一个有效的界限上的合理的点的数量，这些超椭圆曲线，例如，我们表明，大多数的超椭圆曲线属$n\geq 3$与理性Weierstrass点有不到20个有理点。
2013-04-29 math.AG math.NT
Nontrivial algebraic cycles in the Jacobian varieties of some quotients of Fermat curves
我们得到了费马曲线的某些导数的某些调和体积值的迹映象。这就提供了一种算法，即第k个Ceresa圈所调用的代数圈在雅可比簇中不代数等价于零。
2010-10-25 math.AG math.NT
Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves
Manjul Bhargava和Benedict Gross在文献[5]中考虑了$\Q$上的超椭圆曲线族具有固定的亏格和一个标记的有理Weierstrass点.他们表明，当按高度排序时，这些曲线的雅可比行列式的2-Selmer群的平均大小为3。本文考虑了$\Q$上的一类具有固定亏格和一个标记有理非Weierstrass点的超椭圆曲线.我们表明，当这些曲线的高度排序，其雅可比矩阵的2-Selmer群的平均大小是6。这就产生了这些超椭圆曲线的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩的上界为5/2。最后，使用等分布结果，我们修改了[16]的技巧，从而得出结论：当$g$趋于无穷大时，具有亏格$g$的这些一元偶次超椭圆曲线中趋于1的部分恰好具有两个有理点-无穷远处的标记无穷远点及其超椭圆共轭。
2014-02-17 math.AG math.NT
Lefschetz classes of simple factors of Fermat Jacobian of prime degree over finite fields
给出了有限域的代数闭包上的单阿贝尔簇的所有Tate类都是Lefschetz的一个矩阵的充要条件.作为应用，我们证明了在一个假设下，所有的泰特类是Lefschetz的简单因子的费马雅可比素数的程度。
2012-03-19 math.AG math.NT
Jacobi sums, Fermat Jacobians, and ranks of abelian varieties over towers of function fields
本文的目的是给出函数域k（t）上的阿贝尔簇的一些例子，这些簇在扩展塔中具有有界秩，例如k（t^{1/d}），其中d是变化的。一路上，我们证明了一些新的结果，费马曲线可能是独立的利益。
2006-09-26 math.AG math.NT
On the Abel-Jacobi maps of Fermat Jacobians
研究了Ceresa圈W_k-W_k^-的Abel-Jacobi象，其中W_k是曲线X在其雅可比簇上的第k个对称积的象.对于N次Fermat曲线，我们用广义超几何函数的特殊值表示，给出了W_k-W_k^-模代数等价不为零的一个判据，并对一定的N和k值进行了数值验证.
2010-03-01 math.AG math.NT
Partial Descent on Hyperelliptic Curves and the Generalized Fermat Equation x^3+y^4+z^5=0
设C：y^2=f（x）是定义在有理数上的超椭圆曲线.设K是数域，设K上的f因子是不可约多项式f=f_1 f_2..的乘积。f_r.我们将定义一个“塞尔默集”对应于这个分解的性质，如果它是空的，那么曲线C没有有理点。我们将证明我们的新方法的有效性，通过解决广义费马方程的签名（3，4，5），这是无懈可击的，通过以前的方法。
2011-03-10 math.NT
2-Selmer Parity for Hyperelliptic Curves in Quadratic Extensions
研究数域上超椭圆曲线的Jacobian的2-宇称猜想。在对它们的约化作一些适当的假设下，我们证明了关于基域的二次扩张的猜想。证明收益通过一个公式的克雷默和Tunnell有关的局部不变量的曲线，这可能是独立的利益。一个新的特点，这种概括是外观的条款，管理是否卡塞尔-泰特配对的雅可比矩阵是交替的，这首先出现在工作的Poonen-斯托尔。我们在许多情况下建立的本地公式，并表明，在其余情况下，它遵循标准的全球astronautures。
2022-04-06 math.NT
A note on local formulae for the parity of Selmer ranks
该注记利用阿贝尔簇的算术对偶定理，研究p-进无穷Selmer群上自同态的行列式，为雅可比簇奇偶猜想的一类扭曲版本提供证据。
2024-09-12 math.NT
2-Selmer groups of hyperelliptic curves with two marked points
研究了一类具有固定亏格的$\Q$上的超椭圆曲线族，以及一个标记有理Weierstrass点和一个标记有理非Weierstrass点.当这些曲线按高度排序时，我们证明了它们的雅可比矩阵的平均Mordell-Weil秩在5/2以上有界。我们证明了这一点，表明2-塞尔默群的平均秩是有界以上的6。我们还证明了与这个家族相关的同源家族的$ϕ$-Selmer群的平均大小正好是2。
2016-11-10 math.NT
Quadratic twists of abelian varieties and disparity in Selmer ranks
研究数域上固定主极化阿贝尔簇的二次扭族中2-Selmer秩的奇偶性。具体地说，我们确定具有奇数的扭曲的比例（分别为）。偶数）2-Selmer秩。本文推广了Klagsbrun-Mazur-Rubin关于椭圆曲线的工作和Yu关于超椭圆曲线的Jacobian的工作。几个差异的统计出现的可能性，Shafarevich-泰特组（如果有限）可能有秩序的两倍一平方米。特别是，统计奇偶校验的2-塞尔默秩和2-无穷塞尔默秩不再需要同意，我们描述两者。
2017-06-19 math.NT
$2^\infty$-Selmer Rank Parities via the Prym Construction
该研究推导了带K-有理2-挠点的亏格2、3曲线雅可比簇的$2^\infty$-Selmer秩奇偶性局部公式，给出显式预测示例以检验2-奇偶性猜想，结果可应用于亏格3半稳定曲线的奇偶性猜想。
2023-07-24 math.NT
Parity of ranks of Jacobians of curves
本文研究带自同构群作用的曲线 Jacobian 簇 Selmer 群，利用局部不变量刻画 Mordell–Weil 秩奇偶性，并据此给出椭圆曲线奇偶性猜想的新证明。
2024-07-04 math.NT
On Galois covers of curves and arithmetic of Jacobians
研究赋予有限群作用的曲线与 Jacobian 的算术，证明 $p^\infty$-Selmer 群是自对偶 $G$-模块，给出多种 $G$-下降结果，并改进 Kani-Rosen 构造及非几何连通曲线的性质推导。
2024-07-11 math.NT
On $BT_1$ group schemes and Fermat Jacobians
设$p$是素数，$k$是特征$p$的代数闭域. $k$上的$BT_1$群概型是作为$p$ -可分（Barsotti-Tate）群上的$p$的核而产生的有限交换群概型.我们比较了三种分类的$BT_1$组计划，由于在很大程度上卡夫，埃克达尔和奥尔特，并定义使用的话，规范过滤，和排列。利用这种比较，我们确定的Ekedahl-Oort类型的费马商曲线，我们计算这些曲线的$p$ -扭群计划的四个不变量。
2021-01-21 math.AG math.NT
Arithmetic statistics of isogeny Selmer groups associated to hyperelliptic curves
Charles University（查理大学）
本文结合Bhargava的数的几何方法与Vinberg理论中来自B型和C型Dynkin图表示的新参数化，确定了亏格g≥2的超椭圆曲线的雅可比簇相关同源Selmer群平均大小的渐近结果，并利用Greenberg-Wiles公式证明了这些同源Selmer群平均大小的下界。
2026-09-18 math.NT
Class groups and Selmer groups
通常情况下，阿贝尔簇的塞尔默群和与理想类群相关的群都可以自然地嵌入到同一个上同调群中。人们希望通过找到每个节点与它们的交集的距离来计算它们。在本文中，我们计算两个群体和他们的交集明确在当地的情况下，并把当地的信息得到尖锐的上界在全球的情况下。本文的技巧可用于任意阿贝尔簇、同构和数域的频繁出现。给出了椭圆曲线和超椭圆曲线雅可比数的几个例子。
2015-07-29 math.NT
Quadratic spaces and Selmer groups of abelian varieties with multiplication
本文将Poonen和Rains提出的、将Selmer群实现为正交二次空间中极大迷向子空间交的理论，推广至带复乘的阿贝尔簇，并探讨了相关的Shafarevich-Tate群问题。
2025-07-31 math.NT
On the Jacobian of hyperelliptic curves $y^2 = x^5 + m^2$
本文研究了整数$m$的超椭圆曲线$y^2 = x^5 + m^2$的雅可比矩阵的代数秩和解析秩.即首先给出了关于$m$的一个条件，给出了Selmer群的大小的一个界，然后给出了关于$m$的一个条件，使得$L$ -函数不为零.因此，我们构造了一个雅可比矩阵，满足Birch-Swinnerton-Dyer猜想的秩部分。
2021-06-24 math.NT
Torsion points on hyperelliptic Jacobians via Anderson's $p$-adic soliton theory
我们证明了某些阶的扭点不在由方程$y^2=x^{2g+1}+x$与$g \geq 2$给出的超椭圆曲线的雅可比簇中的θ因子上。证明采用了安德森的方法谁证明了一个类似的结果循环商的费马曲线的素数度。
2012-06-28 math.NT
Quadratic Chabauty and rational points II: Generalised height functions on Selmer varieties
我们给出了新的例子，Chabauty-金集可以被证明是有限的，通过发展的概念“广义高度函数”的Selmer品种。我们还解释了如何计算这些广义高度的迭代积分，并给出第一个明确的nonabelian Chabauty结果曲线$X/\mathbb{Q}$的雅可比矩阵的Mordell-Weil秩大于其属。
2018-07-20 math.AG math.NT
The average size of the 2-Selmer group of a family of non-hyperelliptic curves of genus 3
我们表明，平均大小的$2$ -塞尔默组的家庭的雅可比非超椭圆属- $3$曲线有一个显着的合理hyperflex点，当有序的自然高度，是有界以上的$3$。我们实现这一点，通过解释$2$ -塞尔默元素的积分轨道的代表与一个稳定的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -分级的李代数类型$E_6$和使用Bhargava的轨道计数技术。我们使用这个结果表明，标记点是唯一的有理点的一个积极的比例曲线在这个家庭。主要的新颖之处是建设的积分代表使用某些性质的紧致雅可比的简单曲线奇异的类型$E_6$，和一个代表性理论解释的芒福德θ组自然与我们的家庭的曲线。
2021-09-07 math.AG math.NT
Frobenius distribution for quotients of Fermat curves of prime exponent
设C表示Q上素指数为l的Fermat曲线。C的Jacobian Jac（C）在Q上分裂为Jacobian Jac（C_k）的乘积，0< k < l-1，其中C_k是由C的自同构的某些子群作为C的同积而得到的曲线。众所周知，Jac（C_k）是绝对单交换阿贝尔簇B_k的具有复乘的幂.我们称B_k具有退化CM型的对（l，k）为退化的。对于非退化对（l，k），我们计算了Jac（C_k）的Sato-Tate群，证明了它的广义Sato-Tate猜想，并给出了计算有关分布的矩和测度的显式方法.无论（l，k）是退化的还是非退化的，我们也得到了l阶分圆域中一定剩余度素数的Frobenius等分布结果.我们的结果的关键是一个详细的研究某些广义Demjanenko矩阵的秩。
2015-11-08 math.NT
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves II
该研究提出精细化方法证明带单有理魏尔斯特拉斯点的超椭圆曲线的Chabauty--Coleman--Kim集合有限性，给出模2 Bloch--Kato塞尔默群的2进与实进塞尔默条件计算方法，验证了多数LMFDB中秩2亏格2曲线的有限性，还得到超椭圆曲线雅可比簇二次下降的域论描述。
2024-03-12 math.NT
The Heisenberg covering of the Fermat curve
本文给出第N个海森堡曲线作为费马曲线覆盖的模型，证明N=3时Manin-Drinfeld原理成立、N=5时不成立，解释了费马曲线尖点子群描述，并研究了雅可比簇态射像及X'_N同调。
2022-10-10 math.NT
Explicit calculation of the mod 4 Galois representation associated with the Fermat quartic
我们使用显式方法研究费马四次方程的雅可比簇上的4-扭点。借助于计算机代数系统，我们明确地给出了四扭点群的一个基。我们计算了伽罗瓦作用量，证明了模4的伽罗瓦表示的象同构于8阶的二面体群。作为应用，我们计算了第8阶分圆域上Fermat四次曲线的雅可比簇的Mordell-Weil群.我们确定所有的点上的费马四次定义在二次扩张的第8分圆域。因此，我们完成了1960年Faddeev的工作。
2019-09-29 math.AG math.NT
Monodromy groups and exceptional Hodge classes, I: Fermat Jacobians
本文计算了超椭圆曲线y^2=x^m+1的Jacobian簇J_m的等元分解、端元定义域和连通单值域，并展示了高维退化现象。
2026-06-16 math.AG math.NT
Refined effective bounds for Bloch-Kato Selmer groups associated to hyperelliptic curves
本文推广 Dogra 的显式 $2$-下降方法，在无有理 Weierstrass 点及 $2$ 处好通常约化条件下给出 Bloch–Kato Selmer 群维数的有效界，并据此建立深度 $2$ Chabauty–Kim 集有限性的新判定准则。
2025-05-15 math.NT
On Shafarevich-Tate groups and the arithmetic of Fermat Curves
本文推广了第一作者关于素数阶费马曲线商的雅可比行列式的Shafarevich-Tate群中的非平凡元素的结果，并利用第二作者的方法导出了19阶费马曲线上二次点的一个结果。
2002-10-31 math.AG math.NT
The five-color hypercube Adinkra and the Jacobian of a generalized Fermat curve
本文研究了五色超立方体Adinkra与广义费马曲线雅可比之间的映射，提出了一种组合算法计算高度函数图像，并给出了生成分歧系数的严格界限。
2026-01-14 math.AG math.CO math.NT
An Exploration of Degeneracy in Abelian Varieties of Fermat Type
Brooklyn College（布鲁克林学院）
本文研究费马类型阿贝尔簇的退化现象，通过Mumford-Tate群、Hodge群和Sato-Tate群分析退化特征，证明当m为奇合数时，超椭圆曲线的雅可比簇退化。
2024-08-01 math.AG math.NT
Torsion cycles on Fermat varieties
Indian Statistical Institute Bangalore（印度统计研究所班加罗尔）
本文通过埃尔利克的方法重新证明了罗赫利奇关于费马曲线的定理，并将其推广到更高维度的无同源循环和高智周期。
2026-02-28 math.AG math.NT
On the symmetric determinantal representations of the Fermat curves of prime degree
证明了素次Fermat曲线的定义方程不能写成三元有理系数线性型元素的对称矩阵的行列式.在证明中，我们使用了元素为线性型的对称矩阵与光滑平面曲线上的非有效theta特征之间的关系。我们还利用Gross-Rohrlich关于素次Fermat曲线的雅可比簇上的有理挠点的一些结果。
2015-07-08 math.AG math.NT
On relations between Jacobians of certain modular curves
本文讨论了模曲线$X(p)$的各种商的雅可比数之间的某种关系，它将$X(p)$的商通过$GL_2(F_p)$的一个非分裂Cartan子群的正规化子的雅可比数与更标准的模曲线的雅可比数联系起来.在本文中，我们证实了Merel的猜想中发现的Darmon-Merel的论文，“缠绕的等价物和一些变量的费马大定理”，Crelle，第490卷，第81-100页，1997年，其中描述了这种关系的明确对应。所用的方法是减少猜想，以显示一定的$Z[GL_2(F_p)]$ -模同态是同构。这是通过使用双陪集运营商之间的一些特殊的关系，找到一个表达式，这个同态的特征值的勒让德字符和和索托-安德拉德和。一个分歧的论点，然后表明，这些特征值是非零的。
1998-09-03 math.NT
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves I
本文提出了一种通过 Galois 协同论方法确定超椭圆曲线 Jacobian 的 Bloch-Kato Selmer 组秩的方法，并利用该方法回答了关于有理点的问题。
2026-02-27 math.AG math.NT
Experiments with Ceresa classes of cyclic Fermat quotients
给出了Ceresa圈在中间雅可比矩阵中具有挠象的非超椭圆曲线的两个新例子。对于其中一个，相关动机的$L$ -函数的中心值是非零的，Ceresa循环是Griffiths群中的挠，与Beilinson和Bloch的描述一致。我们推测这些扭转Ceresa类的存在的一个可能的解释，基于一些计算与循环费马矩。
2022-07-06 math.AG math.NT
The arithmetic of a twist of the Fermat quartic
研究了由$X^4 + Y^4 + Z^4 = 0$定义的Fermat四次方程的扭度的算法，其中没有$\mathbb{Q}$ -有理点.我们明确地计算了雅可比簇的Mordell-Weil群.我们证明了Picard群的度$0$部分是秩为$2$的自由$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -模，而Mordell-Weil群是秩为$3$的自由$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -模.因此，相对Brauer群是非平凡的。我们还表明，这四次违反了局部-全局性质的线性行列式表示。
2021-07-14 math.AG math.NT
Bounds on 2-torsion in class groups of number fields and integral points on elliptic curves
本文证明了三次及更高次数域$K$（Brauer-Siegel的平凡界是$O_ε(|{\rm Disc}(K)|^{1/2+ε})$）的子群的2-扭子群的大小的第一个已知的非平凡界.这就相应地改进了：1）Brumer和Kramer关于2-Selmer群的大小和椭圆曲线的秩的界，2）Helfgott和Venkatesh关于椭圆曲线上整点个数的界，3）2-Selmer群的大小和超椭圆曲线的Jacobian的秩的界，4）2-Selmer群的大小和Jacobian的秩的界，5）2-Selmer群的大小和Jacobian的秩的界。（4）有界判别式的$A_4$ -四次域的个数的Besides和Wong界。
2017-01-10 math.NT
The generalized Fermat equation with exponents 2, 3, n
研究了广义费马方程$x^2 + y^3 = z^p$，其中$p \ge 7$是素数.使用模块化和水平降低技术，该问题可以减少到确定的有理点集满足一定的2-adic和3-adic条件的有限集的扭转的模块曲线$X(p)$。首先，我们开发了新的本地标准，以决定是否有某些类型的潜在良好的减少在2和3的两个椭圆曲线可以有辛或反辛同构$p$ -扭转模块。使用这些标准，我们根据2和3处的局部信息产生必须考虑的$X(p)$扭曲的最小列表;该列表取决于$p \bmod 24$。最近的结果mod $p$表示与图像在一个分裂的Cartan子群的正规化，使我们能够减少在某些情况下进一步的列表。我们的第二个主要结果是完整的解决方案的方程时，$p = 11$，这是以前最小的未解决的$p$。一个相关的新成分是使用第三作者在最近的工作中介绍的“Selmer群Chabauty”方法，应用于椭圆曲线Chabauty背景下，以确定在12度的某些数域上定义的$X_0(11)$上的相关点。这个结果是有条件的GRH，这是需要证明的正确性计算的五个特定的数域的36度的类群。对于$p = 13$，我们也给出了一些部分结果.
2019-06-14 math.NT
On the singularity of the Demjanenko matrix of quotients of Fermat curves
给定一个素数$\ell\geq 3$和一个正整数$k \le \ell-2$，可以定义一个矩阵$D_{k,\ell}$，即所谓的Demjanenko矩阵，其秩等于指数为$\ell$的费马曲线的某个商的雅可比矩阵${\mathrm Jac}({\mathcal C}_{k,\ell})$的霍奇群的维数。对于一个固定的$\ell$，$D_{k,\ell}$是奇异的$k$的存在性（等价地，${\mathrm Jac}({\mathcal C}_{k,\ell})$的Hodge群的秩不是最大的）已经在文献中被广泛研究。当$\ell$趋于无穷大时，我们给出了这样的$k$个数的渐近公式.
2014-04-21 math.AG math.NT
Upper bounds for the growth of Mordell-Weil ranks in pro-p towers of Jacobians
研究了固定数域上pro-p塔中曲线雅可比行列式的Mordell-Weil秩的变化。特别是，我们表明，在温和的条件下，塔中的雅可比矩阵的Mordell-Weil秩是有界的，其尺寸的一个常数倍以上。在费马曲线塔的情况下，我们表明，常数可以任意接近1。主要结果被用于即将发表的Guillermo Mantilla-Soler关于模雅可比矩阵J（Np^m）的Mordell-Weil秩的论文中。
2010-01-24 math.AG math.NT
Generalized explicit descent and its application to curves of genus 3
我们介绍了一个共同的推广，基本上所有已知的方法显式计算塞尔默群，这是用来绑定的行列阿贝尔簇在全球领域。我们还简化和扩展的证明有关的计算cohomologically定义的Selmer组。自20世纪90年代以来，Selmer群计算已经适用于Q上的曲线的Jacobian直到2，但我们的方法是第一个适用于一般曲线的3。我们表明，我们的方法成功的一些属3的例子定义的多项式与小系数。
2013-12-11 math.AG math.NT
Geometry-of-numbers methods over global fields II: Coregular representations
本文通过几何数论方法研究全局域上核心向量空间中轨道计数问题，并利用这些技术界定了椭圆曲线和超椭圆曲线的平均秩和Selmer群大小。
2026-04-18 math.NT
Chabauty without the Mordell-Weil group
根据最近的想法与比约恩Poonen联合工作，我们描述了一种算法，可以在某些情况下确定一组有理点上的曲线$C$，只给$p$ -塞尔默组$S$的雅可比矩阵（或其他一些阿贝尔簇$C$地图）和图像的$p$ -塞尔默集的$C$在$S$。当亏格很大时，这种方法更有可能成功，这是因为通常很难获得Mordell-Weil群的有限指数子群的生成元，这需要以通常的方式应用Chabauty方法。我们给出了一些应用，例如对形式为$x^5 + y^5 = z^p$的广义费马方程。
2017-01-03 math.NT
The Eisenstein cycles and Manin Drinfeld properties
考虑模群的有限指数子群。给出了尖点因子在相应的模曲线的雅可比矩阵中是挠率的一个解析判据。根据贝利定理，这样的准则适用于数域上的任何曲线。我们的主要工具是明确的描述，在模符号，我们称之为爱森斯坦循环。后者是相对同调类的表示，在这些类上，任何全纯微分形式的积分为零。我们的方法依赖于一个基本的方式在特定的情况下，我们可以考虑方便的广义雅可比矩阵，而不是雅可比矩阵。Eisenstein类是具有复系数的某些同调类的实部。这些类的虚部与附在爱森斯坦级数上的散射常数有关。最后，我们通过考虑费马曲线来说明我们的理论。
2022-04-14 math.NT
Galois representations attached to Q-curves and the generalized Fermat equation A^4 + B^2 = C^p
证明了虚二次数域K上d次Q曲线E上的mod p伽罗瓦表示是满射的，对所有大于某个常数M_{K,d}的p，如果E在不整除6的素数上有潜在的乘性约化.证明使用Mazur的形式浸入法，结果的Darmon和Merel对非分裂模曲线，和分析论证表明，某些扭曲的模曲线的雅可比矩阵承认与Mordell-Weil秩0。结合作者和Skinner关于Q-曲线模性的一个定理，满射性结果证明了当p >= 211时，广义Fermat方程A^4 + B^2 = C^p没有非平凡的原始解。
2003-11-27 math.AG math.NT
Mordell--Lang and disparate Selmer ranks of odd twists of some superelliptic curves over global function fields
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
研究了某些超椭圆曲线的奇数扭的Selmer秩差异，证明了其有理点数量的上界及密度问题。
2026-08-18 math.NT
Galois action on the homology of Fermat curves
在他的论文题为“扭转点的费马雅可比，根的循环单位和相对奇异同调“，安德森确定的同源性程度$n$费马曲线作为一个伽罗瓦模块的行动绝对伽罗瓦集团$G_{\mathbb{Q}(ζ_n)}$。特别是，当$n$是一个奇素数$p$，他表明，行动的$G_{\mathbb{Q}(ζ_p)}$对一个更强大的相对同调群因素通过伽罗瓦群的分裂领域的多项式$1-(1-x^p)^p$。若$p$满足Vandiver猜想，则证明了$\mathbb{Q}(ζ_p)$上的分裂域的伽罗瓦群是秩为$(p+1)/2$的初等交换$p$ -群.使用一个明确的基础，这个伽罗瓦群，我们完全计算的相对同调，同调，并作为伽罗瓦模块的度$3$费马曲线的开子集的同调。然后，我们计算几个伽罗瓦上同调群，其中出现的障碍，合理的点。
2015-04-03 math.AG math.AT math.NT
Every $BT_1$ group scheme appears in a Jacobian
设$p$是素数，$k$是特征$p$的代数闭域. $k$上的$BT_1$群概型是作为$p$ -可分（Barsotti-Tate）群上的$p$的核而产生的有限交换群概型.我们的主要结果是，每个$k$上的$BT_1$方案组出现作为一个直接因子的$p$ -扭群计划的雅可比定义在$\mathbb{F}_p$上的显式曲线。我们也处理一个变量与极化。我们的主要工具是卡夫分类的$BT_1$组计划，一个定理的小田，和组合描述的德拉姆上同调的费马曲线。
2021-01-20 math.AG math.NT
