Congruent numbers, elliptic curves, and the passage from the local to the global: an update
这是对我的关于同余数、椭圆曲线以及从局部到全局的文章的更新，这篇文章发表在Resonance，2009年12月，第100页。1183- 1205（https：//www.ias.ac.in/describe/article/reso/014/12/1183-1205），并在这里作为arXiv：0704.3783发布，涵盖了椭圆曲线算术的一些最新进展，特别是关于全等数问题。
2022-02-08 math.NT
Congruent elliptic curves over some $p$-adic Lie extensions
本文研究奇素数p下p进李扩张中p-同余椭圆曲线的Iwasawa不变量变化，同时分析经典Selmer群与精细Selmer群。
2025-03-11 math.NT
Congruent Elliptic Curves with Non-trivial Shafarevich-Tate Groups
研究了一类全等椭圆曲线$E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$，其中$n$是全等于$1\pmod 8$且素因子全等于$1\pmod 4$的正整数.我们刻画了这样的$E^{(n)}$与Mordell-Weil秩零和$2$ -主要部分的Shafarevich-Tate群同构的$\big(\mathbb Z/2\mathbb Z \big)^2$。我们还讨论了一类具有Shafarevich-Tate群的2-准素部分的$E^{(n)}$同构于具有$k\ge2$的$\big(\mathbb Z/2\mathbb Z \big)^{2k}$.
2016-06-11 math.NT
On a non-critical symmetric square $L$-value of the congruent number elliptic curves
用$E_d: y^2=x^3-d^2x$定义了全等数椭圆曲线，其中$d\in \mathbb{N}.$我们用支撑在$E_d(\overline{\mathbb{Q}})$上扭点上的某次零因子的椭圆三对数的行列式给出了$L(\mathrm{Sym}^2(E_d),3)$的一个公式的简单证明.
2019-02-27 math.NT
Congruent number elliptic curves with rank at least two
我们给出了一类无穷多个同余数椭圆曲线，每一条曲线的秩至少为2，它们与$m^2=n^2+nl+l^2$的积分解有关。
2018-10-12 math.NT
Congruent Elliptic Curves with Non-trivial Shafarevich-Tate Groups: Distribution Part
研究了一类子类全等椭圆曲线$E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$的分布，其中$n$全等于$1\pmod 8$且素因子全等于$1\pmod 4$ .我们证明了剩余符号性质的独立性。因此，我们得到了秩为零的分布，如$E^{(n)}$与$2$ -主要部分的Shafarevich-Tate群同构的$\big(\mathbb Z /2\mathbb Z\big)^2$。我们还得到了秩为零的$E^{(n)}$和同构于$\big(\mathbb Z /2\mathbb Z\big)^{4}$的Shafarevich-Tate群的$2$ -准素部分的个数的一个下界.
2015-11-12 math.NT
On families of n-congruent elliptic curves
本文用不变论方法计算了n= 7，9，11时模曲线X（n）的某些扭曲。通过寻找这些扭上的有理点，可以找到Q上的非平凡n-全等椭圆曲线对，即Q上的n-扭子群同构为Galois模的非同构椭圆曲线对.我们还通过给出Q（T）上的显式非平凡例子证明了在n=9和n=11的情况下Q上有无穷多个例子。
2011-05-09 math.NT
Constructing congruent number elliptic curves using 2-descent
一个等于某个有理直角三角形面积的正整数称为全等数。从代数的观点来看，全等数意味着满足一个方程组。早在19世纪，人们就知道，如果$n$是一个全等数，那么方程$nm^2 = uv(u^2 - v^2)$就有解在$\mathbb{Z}$中。利用20世纪初建立的全等数与椭圆曲线的关系$E_n: y^2 = x^3 - n^2 x$，我们将证明这个已有两个世纪历史的结果的逆也成立.除此之外，我们提出了另一个证明的逆使用的方法2下降。在本文的最后，我们演示了如何使用我们的证明来构造$E_n$的子家族，其秩至少为2和3。
2020-06-15 math.NT
On the signed Selmer groups of congruent elliptic curves with semistable reduction at all primes above $p$
设$p$为奇素数。我们将适当的带符号Selmer群附加到椭圆曲线$E$上，其中假定$E$在$p$以上的所有素数处具有半稳定约化.然后，我们比较了Iwasawa $λ$ -不变量的这些签署塞尔默群的两个全等椭圆曲线上的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的Greenberg-Vatsal和B。D. Kim.作为比较公式的应用，我们证明了如果$p$ -奇偶猜想对其中一条全等椭圆曲线成立，那么对另一条椭圆曲线也成立.在证明后一个结果的过程中，我们还概括了哈特利关于符号塞尔默群的奇偶性的观察。
2020-06-22 math.NT
Rational $θ$-parallelogram envelopes via $θ$-congruent elliptic curves
通过定义正整数$n$的有理$θ$-包络的概念，引入了$θ$-同余数的一个新的推广，其中$θ\in (0, π)$是一个与有理余弦的夹角.然后，利用代数曲线的算法，对有理$θ$ -包络的有关问题进行了深入的研究。我们的结果推广了T.~ Ochiai，其中仅考虑病例$θ=π/2$。此外，我们回答了他的论文中的开放性问题及其对任何毕达哥拉斯角度的推广。
2021-03-30 math.NT
On $θ$-congruent numbers, rational squares in arithmetic progressions, concordant forms and elliptic curves
具有有理边的直角三角形、算术连续的有理平方的三元组和某些二次型的积分解之间的对应关系是众所周知的。我们展示了如何这种对应关系可以扩展到广义概念的合理$θ$ -三角形，合理的平方发生在等差数列和和谐的形式。在我们的方法中，我们建立了一对一的映射到某些椭圆曲线上的有理点，并详细研究了$θ$ -同余数问题和相应的椭圆曲线上的非平凡扭点的协调形式问题的解决方案的作用。这种方法使我们能够组合和扩展许多作者获得的一些不相交的结果，澄清文献中的一些陈述并回答一些迄今为止悬而未决的问题。
2014-08-22 math.NT
Bounds on the Mordell--Weil rank of elliptic curves over imaginary quadratic number fields with class number 1
本文将Thomas Kretschmer的引理推广到任意数域，并将其与2-下降变元一起应用，得到了一类类数为1的虚二次数域上椭圆曲线族的界.一个这样的家庭发生在全等数问题。我们考虑这些二次数域上的全等数问题，并在有限性条件下证明了有无穷多个数在Q上不全等，但在$Q(ζ_3)$上全等.
2019-06-29 math.NT
Central $L$ values of congruent number elliptic curves
本文证明同余数椭圆曲线的中心 L 值可表示为简单 theta 函数的 CM 值平方，推广了 Gauss 公式，兼具理论与计算价值。
2025-05-24 math.NT
Rank parity for congruent supersingular elliptic curves
Shekhar最近的一篇论文比较了椭圆曲线$E_1$和$E_2$的秩，其中有一个同构$E_1[p] \simeq E_2[p]$作为$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ -模，其中$p$是两条曲线的良好普通约化的素数。本文证明了当$p$是好的超奇约化素数时的一个类似结果。
2016-10-06 math.NT
The rank of 2-Selmer group associate to $θ$-congruent numbers
研究了$2$ - ${\rm Selmer}$群与$π/3$和$2π/3$ -同余数的秩的奇偶性.第二个结果给出了$π/3$和$2π/3$非全等数的一些正密度，这些正密度可以支持Goldfeld猜想的偶数部分.对于Shafarevich-Tate群为非平凡的椭圆曲线$E_n$，给出了$n$为非$π/3$ -同余数的必要条件.在最后一节中，我们证明了对于$n=pq\equiv 5(resp. \ 11)\pmod{24}$，非$π/3$（$resp.$ $2π/3$）-同余数的密度至少为75%，其中$p,q$是素数.
2022-10-04 math.NT
Unveiling Arithmetic Statistics of Congruent Number Elliptic Curves via Data Science and Machine Learning
该研究结合数据科学与机器学习，基于300万以内无平方因子整数数据集，实证检验同余数椭圆曲线相关数论猜想，探索秩与挠群的统计分布，并实现同余数的分类预测。
2025-09-03 math.NT
An exact way to verify whether n is a congruent number using Heegner points
本文通过建立同余数与椭圆曲线 $y^2=x^3-n^2x$ 的联系，证明其 $L$-级数系数在 $m\equiv3\mod4$ 时为零，并利用 Heegner 点计算给出快速精确验证同余数的方法。
2024-11-21 math.NT
On discrepancy estimates for pseudorandom vectors constructed by the elliptic curve congruential generator
Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究院）
本文研究了由椭圆曲线同余生成器构造的伪随机向量的偏差估计问题，特别是在非平移情况下。研究得出了两个结果家族：首先，在由诱导一维线性同余生成器的相对最大周期条件（RMPC）特征的全余集 regime 中，证明了偏差 D、序列偏差 D_s 及在相应导出 RMPC 下的非重叠偏差 $\widetilde D_s$ 的上界为 $q^{1/2}/t$。其次，在一般子周期 regime 中，将 D、D_s 和 $\widetilde D_s$ 的上界减少到估计附着于一维线性同余生成器的可接受索引集的傅里叶 $\ell^1$ 质量，这隔离了进一步改进的算术瓶颈。
2026-05-20 math.NT
Asymptotic distribution of odd-balanced unimodal sequences with rank congruent to a mod c
我们计算的渐近估计奇数平衡单峰序列的秩全等$a \pmod{c}$为$c\neq 1$奇。我们发现了奇平衡单峰序列与过划分函数渐近相关的有趣结果。这与强单峰序列相反，强单峰序列与分拆函数渐近相关。
2022-02-03 math.NT
On the $16$-rank of class groups of $\mathbb{Q}(\sqrt{-3p})$ for primes $p$ congruent to $1$ modulo $4$
对于固定的$q\in\{3,7,11,19, 43,67,163\}$，我们考虑素数$p$与$1$模$4$全等的密度，使得数域$\mathbb{Q}(\sqrt{-qp})$的类群具有可被$16$整除的阶.我们表明，这个密度等于$1/8$，在一个更一般的猜想格特。维诺格拉多夫的方法是我们工作的关键分析工具。
2021-06-08 math.NT
The $\thera$-congruent numbers elliptic curves via a Fermat-type theorem
一个正整数$N$称为$θ$-同余数，如果存在一个$\ta$-三角形$(a,b,c)$，其有理边的$a$和$b$之间的夹角等于$θ$，其面积为$N \sqrt{r^2-s^2}$，其中$θ\in (0, π)$，$\cos(θ)=s/r$和$0 \leq |s|<r$是互质整数.藤原\cite{fujw1}证明了$N$是$\ta$-同余数当且仅当椭圆曲线$E_N^\ta: y^2=x (x+(r+s)N)(x-(r-s)N)$在其有理点群中有一个阶点大于$2$。此外，自然数$N\neq 1,2,3,6$是$\ta$-同余数当且仅当$E_N^\ta(\Q)$的秩大于零。本文通过推广Fermat算法，对满足上述条件的任意角$θ$，对给定的全等数$θ$生成新的有理$θ$三角形，肯定地回答了关于从给定的$θ$全等数$N$生成新的有理$θ$三角形的方法的存在性问题.我们表明，这种推广是类似的复制公式在$E_N^θ({\mathbb Q})$。然后，基于$E_N^θ({\mathbb Q})$中两个不同点的加法，给出了一种利用给定的两个不同点为$θ$-同余数$N$寻找新的有理$\ta$-三角形的方法.最后，我们给出了藤原定理2.2和定理2.3的一个侧面的另一种证明。特别地，我们提供了$E_N^θ({\mathbb Q})$中的所有扭点的列表以及相应的有理$θ$-三角形
2020-12-24 math.NT
Heron Quadrilaterals via elliptic curves
Heron四边形是面积和边长都是有理数的循环四边形。在这项工作中，我们建立了苍鹭四边形和一个家庭的椭圆曲线的形式$y^2 = x3+/alpha x^2-n^2x.$之间的对应关系。这种对应关系推广了戈因斯和马多克斯的概念，他们建立了类似的苍鹭三角形和椭圆曲线之间的连接。我们进一步研究这个家庭的椭圆曲线，看看他们的挠群和秩。我们还探讨了它们与全等数的关系，即/alpha = 0的情况。全等数是正整数，它是边长为有理数的直角三角形的面积。这是利用Heron四元数对全等数的一个新刻画。
2015-12-12 math.NT
On non-congruent numbers with 1 modulo 4 prime factors
本文利用2-decent方法求出了一系列素因子为$\equiv1\pmod4$的奇非全等数$\equiv1\pmod 8$，使得全等椭圆曲线具有次低Selmer群，其中包括Li和Tian的结果（Li and Tian，2000）作为特例.
2012-08-10 math.NT
$θ$-Congruent Numbers, Tiling Numbers and the Selmer Rank of Related Elliptic Curves: odd n
一些离散几何问题与定义在有理域$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的算术理论密切相关。本文研究了$θ=\fracπ{3}$与$\frac{2π}{3}$的$θ$ -同余数和平铺数n.对于$n\geqslant 2$是无平方奇整数的情形，我们确定所有的$n$使得椭圆曲线$E_{n,\fracπ{3}}:\ y^2=x(x-n)(x+3n)$或/和$E_{n,\frac{2π}{3}}:\ y^2=x(x+n)(x-3n)$的Selmer秩为零.由此，我们给出了$θ=\fracπ{3}$和$\frac{2π}{3}$的几类非$θ$ -同余数，以及具有任意多个素因子的非平铺数n.
2020-10-19 math.GR math.NT
Heronian elliptic curves and the size of the $2$-Selmer group
全等数问题的一个推广是找到以Heron三角形的面积出现的正整数$n$。全等数椭圆曲线的Selmer群已被广泛研究。在这里，我们期待的$2$ -塞尔默群结构的海伦椭圆曲线与海伦三角形的面积$n$和一个角度$θ$，使$\tan \fracθ{2} = n^{-1}$和$n^{2}+1=2q$的一些素数$q$。
2023-01-19 math.NT
Predicting the elliptic curve congruential generator
设$p$是素数，$\mathbf{E}$是定义在$p$元素的有限域$\mathbb{F}_p$上的椭圆曲线。对于点$G\in\mathbf{E}(\mathbb{F}_p)$，椭圆曲线全等生成元（相对于第一坐标）是由关系$x_n=x(W_n)=x(W_{n-1}\oplus G)=x(nG\oplus W_0)$、$n=1,2,\dots$定义的序列$(x_n)$，其中$\oplus$表示$\mathbf{E}$中的群运算，并且$W_0$是初始点。在本文中，我们表明，如果一些连续元素的序列$(x_n)$是整数，那么可以计算在多项式时间的椭圆曲线同余生成器（其中曲线可能定义在有理数或剩余环），使所产生的序列是相同的$(x_n)$在显示部分。事实证明，在实践中，所有的秘密参数，从而整个序列$(x_n)$，可以计算从八个连续的元素，即使素数和椭圆曲线是私人的。
2016-09-12 cs.CR math.NT
Monsky Matrix and 2-Selmer rank
本文利用Monsky矩阵证明对应同余数椭圆曲线的2-Selmer秩为零，并建立量化结果，证明在模8余1,2,3的残差类中存在无限多个非同余数。
2026-04-29 math.NT
The size of $2$-Selmer groups for the $\fracπ{3}$-congruent number problem
Harish-Chandra Research Institute（哈里什-钱德拉研究所）；Homi Bhabha National Institute（霍米·巴巴国立研究所）
本文研究了 $\frac{π}{3}$-congruent 数问题中椭圆曲线的 $2$-Selmer 组的平均秩，并得出了相关密度结果。
2026-07-29 math.NT
Congruent Numbers and Heegner Points
穆罕默德本Alhocain，在阿拉伯手稿的第十世纪，指出，主要对象的理论合理的直角三角形是找到一个广场时，增加或减少了一定数量$m$成为一个广场（见迪克森）。在现代语言中，这个目标是在椭圆曲线$my^2=x^3-x$上找到无限阶的有理点。Heegner建造（也见Monsky）这种有理点的情况下，$m$是素数全等5，7模8或两次素数全等6模8。本文将Heegner的结果推广到具有多个素除子的整数$m$.
2012-10-31 math.NT
Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in the complex multiplication case and the congruent number problem
对于$K$上的椭圆曲线$E$，Birch和Swinnerton-Dyer猜想预言Mordell-Weil群$E(K)$的秩等于$L(E_{/ K},s)$在$s=1$的零点的阶。本文给出了具有复乘的椭圆曲线的一个证明。证明的关键是利用$p$ -adic Hodge理论将椭圆曲线Tate模上的无限级Galois作用化为有限级Galois作用。作为推论，我们可以确定一个给定的自然数是否是一个全等数（全等数问题）。这个问题是数学中最古老的未解决的问题之一。
2022-11-29 math.AG math.NT
The congruent numbers have positive natural density
证明了有理椭圆曲线y^2 = x^3 - n^2x对于至少41.9%的无平方因子正整数n = 1，2，3 mod 8满足完全的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，并且对于至少55.9%的无平方因子正整数n = 5，6，7 mod 8满足正则的BSD猜想.特别是，至少55.9%的正无平方数整数等于5、6或7 mod 8是全等数。这些证明完成了由田、袁和张开始的一个论点。
2016-03-29 math.NT
Explicit moduli spaces for congruences of elliptic curves
我们确定明确的双有理模型在Q上的模块化表面参数对N-全等椭圆曲线在所有情况下，这个表面是一个椭圆表面。在每种情况下，我们还确定的Mordell-Weil格和几何皮卡德数的秩。
2018-04-26 math.NT
On a parity result for the symmetric square of modular forms with congruent residual representations
Harish-Chandra Research Institute（哈里实-钱德拉研究所）；Homi Bhabha National Institute（霍米·巴巴国立研究所）
本文证明了具有同余剩余Galois表示的两个模形式相关联的对称平方表示在分圆扩张上Selmer群λ-不变量的奇偶性结果，并处理了普通与非普通两种情况。
2026-10-02 math.NT
Representation Defects and Cassels Pairings for Congruent Number Curves: Rédei Symbols and Governing Fields
Nanjing University（南京大学）
该研究针对同余数曲线，建立了Qin归一化表示缺陷奇偶性与Cassels配对Pfaffian的关系，推导了特定条件下的同余数相关同余式并推广了相关结论。
2026-09-09 math.NT
On the elliptic curve $ y^{2} = x (x^2 + p)$ over some certain imaginary quadratic fields
本文讨论定义在虚二次域上的标题椭圆曲线，如$\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$，其中$q$与3模8和$(p,q)=1$全等.
2018-03-21 math.NT
Selmer stability in families of congruent Galois representations
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文研究同余模形式族中Selmer群的变化，探讨在固定素数p≥5下，通过Greenberg局部条件定义的Selmer群稳定性。证明在某些条件下，满足p-秩稳定性的模形式数量至少增长为X(logX)^{α-1}。
2026-02-01 math.NT
The quadratic character of 1+\sqrt{2} and an elliptic curve
当p全等于1 mod 8时，我们得到了1+ \sqrt{2}的二次特征标的一个判据，它与\Q的类数（\sqrt{-p}）有关.本文利用椭圆曲线得到了一个类似的判别准则，与用代数数论证明旧的判别准则不同。
2010-01-03 math.NT
On congruent primes and class numbers of imaginary quadratic fields
我们考虑的问题，确定是否一个给定的素数p是一个全等数。我们提出了一个容易计算的标准，使我们能够得出结论，某些素数的一致性是以前未定的，其实是不一致的。因此，我们得到了额外的信息，可能的大小Tate-Shafarevich组的相关椭圆曲线。我们还提出了一个相关的准则，素数p，使得16整除类数的虚二次域Q（sqrt（-p））。这两个结果都是基于下降法。虽然我们不能单独证明有无穷多个素数满足这两个标准，也不能证明有无穷多个素数不满足这两个标准，但我们确实利用了两者之间的细微差别来得出结论，至少有一个标准是由无穷多个素数满足的。
2012-04-30 math.NT
A variant of the congruent number problem
本文针对固定角余弦为$\pm \sqrt{2}/2$的情形，研究$θ$-同余数问题的一个变体，该问题与特定椭圆曲线的有理点存在性相关。
2023-08-28 math.NT
The average number of integral points on the congruent number curves
该研究证明了同余数椭圆曲线族上非挠整点总数的上界为$O(N(\log N)^{-1/4+\varepsilon})$，通过整二元四次型判别式降低法与Heath-Brown方法估计2-Selmer群平均大小完成证明，为数论中整点计数问题提供了新结果。
2023-03-22 math.NT
Perfect powers in elliptic divisibility sequences
证明了首项可被2或3整除的椭圆整除序列存在n个完全幂。对于Mordell曲线，如果首项大于1，同样的结论也成立。给出了Mordell曲线和全等数曲线族的例子，并给出了相应的不含完美幂项的椭圆整除序列。将原因子结果与丢番图方程的模方法相结合。
2011-01-19 math.NT
On Lehmer's Conjecture for Polynomials and for Elliptic Curves
一些作者已经证明了明确版本的莱默猜想多项式的系数都是全等1模m。我们证明了多项式f（X）在（Z/mZ）[X]中可被形式为1+X+.+的多项式整除的类似结果。X^n，其中n > ε*deg（f）。我们还制定和证明了类似的声明椭圆曲线。
2010-08-21 math.NT
Diophantine Equation $X^4+Y^4=2(U^4+V^4)$
本文利用椭圆曲线理论求四次丢番图方程的解。$X^4+Y^4=2(U^4+V^4)$关键词：丢番图方程，椭圆曲线，同余数
2015-01-23 math.NT
On non-congruent numbers with $8a\pm1$ type odd prime factors and tame kernels
设$n$是一个无平方因子的正整数，其中$n$的每一个奇素因子都有$8a\pm 1$的形式.我们确定当$n$是非全等的第二个最小的$2$ -小学Shafarevich-Tate组，在类组的$4$ -秩和Jacobi符号。特别地，当$n$的每个奇素因子都具有形式$8a+1$时，该条件等价于对于奇$n$，$\mathbb Q(\sqrt{n})$的驯服核的$4$ -秩消失，或者对于偶$n$，$\mathbb Q(\sqrt{-n})$消失。这推广了以前的结果。
2021-11-23 math.KT math.NT
Non-vanishing of central $L$-values of the Gross family of elliptic curve
研究证明了特定椭圆曲线二次扭曲的L函数中心值非零性，并由此得出相关群的有限性及反向定理。
2025-05-08 math.NT
On $θ$-congruent numbers on real quadratic number fields
设${\mathbb K}={\mathbb Q}(\sqrt{m})$是一个实二次数域，其中$m>1$是一个无平方的整数.假设$0 < θ< π$具有有理余弦，例如$\cos (θ)=s/r$与$0< |s|<r$和$\gcd(r,s)=1$。一个正整数$n$称为$(\mathbb K,θ)$ -全等数，如果有一个三角形，称为$(\mathbb K,θ, n)$ -三角形，在$\mathbb K$中的边以$θ$为角，以$nα_θ$为面积，其中${α_θ}=\sqrt{r^2-s^2}$。考虑定义在$\mathbb K$上的$(\mathbb K,θ)$ -同余数椭圆曲线$E_{n,θ}: y^2=x(x+(r+s)n)(x-(r-s)n)$.用PDMATHBNB表示正整数PDMATHBNA的无平方部分。本文证明了：如果$m\neq {\rm sqf}(2r(r-s))$和$mn\neq 2, 3, 6$，则$n$是$(\mathbb K,θ)$ -同余数当且仅当Mordell-Weil群$E_{n,θ}(\mathbb K)$有正秩，且所有的$(\mathbb K,θ, n)$ -三角形可分为四类.
2014-12-12 math.NT
Explicit Families Of Elliptic Curves With The Same Mod 6 Representation
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。本文研究了两种特定的模曲线，它们分别参于直接（或间接）为参数的椭圆曲线族。逆）6-全等于$E$以及显式参数化。直接情况下的方程已经制定出来，但参数化只给出了极少数情况。在本文中，我们使用一种新的方法来获得方程的直接和反向的情况下，充分（和更简单）的参数化。
2014-05-25 math.NT
Families Of Elliptic Curves With The Same Mod 8 Representations
设$E:y^2=x^3+ax+b$是在$\mathbb{Q}$上定义的椭圆曲线。我们计算了经典模曲线$X(8)$的某些扭曲。在这些扭上寻找有理点使我们能够找到非平凡的$\mathbb{Q}$上的$8$ -全等椭圆曲线对，即$\mathbb{Q}$上的非同构椭圆曲线对，它们的$8$ -扭子群同构为伽罗瓦模.我们还证明了在$\mathbb{Q}$上有无穷多个例子。
2014-12-20 math.NT
Integral points on the congruent number curve
研究了全等数曲线的二次扭曲$\mathcal{E}_D:y^2=x^3-D^2x$上的整点。给出了$\mathcal{E}_D(\mathbb{Q})$中$2\mathcal{E}_D(\mathbb{Q})$的每一陪集上的整点个数的上界，并证明了它们的总和为$\ll (3.8)^{\mathrm{rank} \mathcal{E}_D(\mathbb{Q})}$ .我们进一步证明了这个族中的非挠整点的平均个数是由$2$上界的。作为应用，我们还从我们的上界推导出两两互质正整数的联立Pell方程组$aX^2-bY^2=d$，$bY^2-cZ^2=d$，$a,b,c,d$，至多有$\ll (3.6)^{ω(abcd)}$整数解.
2022-04-28 math.NT
Tunnell-type criteria for variants of the congruent number problem
KAIST（韩国科学技术院）
本文针对余弦为±3/5和±4/5的θ-同余数问题，利用广义theta级数构造权3/2的模形式，其傅里叶系数决定椭圆曲线中心L-值，从而给出Tunnell型准则，并证明算术级数中素数的无条件非θ-同余性。
2026-09-24 math.NT
The 2-rank of the class group of some real cyclic quartic number fields
本文研究了一类实循环四次数域的类群的2-秩。确切地说，我们考虑的情况下，二次子域是Q（\sqrt{l}）与l全等5模8是一个素数。
2020-04-17 math.NT
The rank of a CM elliptic curve and a recurrence formula
设$p$是素数，$E_{p}$表示椭圆曲线$y^2=x^3+px$。已知对于与$1, 9$模$16$全等的$p$，$E_{p}$在$\mathbb{Q}$上的秩等于$0, 2$。在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想成立的条件下，给出了秩为$2$的一个充要条件，该秩是由一个递推公式定义的多项式的常数项表示的.
2021-03-22 math.NT
Multiples of integral points on elliptic curves
如果$E$是定义在$\ZZ$上的极小椭圆曲线，则我们得到一个仅依赖于$E$的全局Tamagawa数的约束$C$，使得对于任何点$P\in E(\QQ)$，$nP$对于至多一个$n>C$值是整数。作为推论，我们证明了，如果$E/\QQ$是一个固定的椭圆曲线，那么对于所有扭转$E'$的$E$的足够的高度，和所有扭转免费，秩一子群$Γ\subseteq E'(\QQ)$，$Γ$包含最多6个整点。包括全等数曲线的显式计算。
2008-08-14 math.NT
Power residues of Fourier coefficients of elliptic curves with complex multiplication
固定m >= 1，设E是Q上的椭圆曲线，具有复乘。我们用公式表示素数p（与1模m全等）的密度，其中E的第p个傅里叶系数是模p的m次幂;这些密度通常不同于1/m的朴素期望。我们还证明了我们的代数m除以单位根的数目躺在CM域E;最涉及的情况是m=4和复乘Q（i）。
2006-04-03 math.NT
