Inequalities for the Wasserstein mean of positive definite matrices
Rajendra Bhatia, Tanvi Jain, Yongdo Lim
证明了正定矩阵的不同平均的控制不等式。这些包括Cartan平均（Karcher平均），对数欧几里德平均，Wasserstein平均和幂平均。
We prove majorization inequalities for different means of positive definite matrices. These include the Cartan mean (the Karcher mean), the log Euclidean mean, the Wasserstein mean and the power mean.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Geometric mean flows and the Cartan barycenter on the Wasserstein space over positive definite matrices
在正定矩阵的Cartan-Hadamard黎曼流形上引入了一类具有有限一阶矩的概率测度的Wasserstein空间上的流，并考虑了相应Cartan重心轨线的可微性问题.因此，我们有一个版本的Lie-Trotter公式和一个相关的酉不变范数不等式。作为应用，给出了与Karcher方程和Cartan重心轨线有关的一个不动点定理.
On the Bures-Wasserstein distance between positive definite matrices
$n\times n$正定矩阵流形上的度量$d(A,B)=\left[ \tr\, A+\tr\, B-2\tr(A^{1/2}BA^{1/2})^{1/2}\right]^{1/2}$出现在各种优化问题中，在量子信息和最优输运理论中。它也与黎曼几何有关。本文的第一部分从矩阵分析的角度研究了这个度量，简化和统一了各种证明。然后，我们开发了一个理论的平均两个，和重心的几个，正定矩阵关于这个度量。我们解释了最近的一些工作上的不动点迭代计算这个Wasserstein重心。我们的重点是自然的矩阵分析的想法。
On the Wasserstein barycenter of positive definite operators
该研究将正定矩阵的Bures-Wasserstein均值推广到希尔伯特空间正定算子情形，证明其存在唯一性，分析其生成的ODE半群的指数收缩性，还证明相关极限定理并建立算子不等式。
Alpha Procrustes metrics between positive definite operators: a unifying formulation for the Bures-Wasserstein and Log-Euclidean/Log-Hilbert-Schmidt metrics
这项工作提出了一个参数化的家庭的距离，即阿尔法Procrustes距离，对称，正定（SPD）矩阵的集合。Alpha Procrustes距离提供了一个统一的公式，包括SPD矩阵之间的Bures-Wasserstein距离和Log-Euclidean距离。我们证明了Alpha Procrustes距离是对应于SPD矩阵流形上的黎曼度量族的黎曼距离，它包含了对数欧几里德和Wasserstein黎曼度量。然后将此公式推广到希尔伯特空间上的正定希尔伯特-施密特算子集，统一了无限维Bures-Wasserstein距离和Log-Hilbert-Schmidt距离.在再生核希尔伯特空间（RKHS）协方差算子的背景下，通过相应的核Gram矩阵得到了所有距离的封闭形式公式.从统计学的角度来看，Alpha Procrustes距离在有限维情况下的欧几里得空间上的高斯测度和无限维情况下的可分希尔伯特空间之间产生了一个参数化的距离族，包含2-Wasserstein距离，在RKHS设置中通过Gram矩阵具有封闭形式的公式。所提出的配方是新的在有限和无限维设置。
Bounds for the Wasserstein mean with applications to the Lie-Trotter mean
作为正定矩阵锥上黎曼迹度量的最小二乘均值，黎曼均值及其计算和理论方法得到了广泛的研究。最近，正定矩阵锥上的一个新度量和最小二乘均值被引入，分别称为Wasserstein度量和Wasserstein均值。本文研究了Wasserstein平均的行列式不等式等性质，并给出了Wasserstein平均的界。使用界的Wasserstein平均，我们验证了Wasserstein平均是多元Lie-Trotter平均。
Hlawka-Popoviciu inequalities on positive definite tensors
证明了正定算子的对称张量和的不等式。特别是，我们证明了多变量算子不等式的启发推广到著名的Hlawka和Popoviciu不等式。作为推论，我们得到了广义Hlawka和Popoviciu不等式的行列式，持久式，和广义矩阵函数。新的算子不等式及其推论包含了最近发表的几个关于正定矩阵的不等式作为特例。
Tensor product and Hadamard product for the Wasserstein means
作为最小二乘均值的一种，我们考虑了正定埃尔米特矩阵的Wasserstein均值.本文证明了与严格正的酉线性映射有关的Wasserstein平均不等式，张量积的Wasserstein平均的恒等式，Hadamard积的Wasserstein平均的一些不等式.
Weak log-majorization between the geometric and Wasserstein means
该文研究正定埃尔米特矩阵的多种均值间的对数优超关系，证明了正定矩阵乘积与其几何均值的奇异值对数优超，建立双变量Wasserstein均值与谱几何均值的弱对数优超，并验证特定条件下前者递减收敛于对数欧氏均值。
Parameterized Wasserstein mean with its properties
对与夹心型准相对熵相关的散度，引入了一种新的正定矩阵的最小二乘均值。它推广了均值为零的高斯分布的协方差阵的著名的Wasserstein均值，因此我们称之为参数化Wasserstein均值。研究了参数化Wasserstein平均的范数不等式，给出了它关于Loewner阶的界，并给出了参数化Wasserstein平均的Lie-Trotter-Kato公式的推广.最后，我们利用Cartan均值证明了参数化Wasserstein均值的对数优化性质。
Self-improvement of the Bakry-Emery criterion for Poincar{é} inequalities and Wasserstein contraction using variable curvature bounds
在Bakry-Emery意义下，研究了R^n上扩散过程在变曲率下界下的Poincar{é}不等式和长时间行为.我们得到了关于L^1最优输运距离的平衡点的收敛速率的各种估计，以及在几种感兴趣的情况下，包括曲率可能为负的情况下，庞加莱不等式中常数的界。特别地，当曲率为正但不为常数时，证明了Poincar{é}不等式的Bakry-Emery估计的一个自改进.
Operator inequalities and gyrolines of the weighted geometric means
本文考虑两种不同类型的正定算子的加权几何平均。我们证明了这些几何平均的分量双射，并给出了谱几何平均作为度量中点的几何性质。此外，还得到了与正定算子的几何平均有关的几个有趣的不等式。在有限维回转群结构中，我们还看到了加权几何平均的意义，并给出了2 × 2正定矩阵和密度矩阵的加权几何平均公式。
Functional inequalities along Wasserstein geodesics
本文研究Wasserstein测地线上的函数不等式，证明强对数凹测度间测地线的尖锐系数不等式，并建立实直线上最优T1、T2常数及L^p Poincaré常数的凸性，构造反例表明内部插值点可能不满足这些不等式。
Learning with symmetric positive definite matrices via generalized Bures-Wasserstein geometry
针对SPD矩阵学习的几何框架需求，本文提出由对称正定矩阵M参数化的广义Bures-Wasserstein（GBW）几何，推导其微分几何性质，并通过实验验证其性能优于原始BW几何，可适配多种机器学习应用。
Local extrema for Procustes problems in the set of positive definite matrices
给定两个正定矩阵$A$和$B$，Gelfand，Naimark和Lidskii的一个著名结果利用优超不等式建立了$A$和$B$的特征值与$AB$的特征值之间的关系.在这项工作中，我们做了一个本地的研究集中在频谱的矩阵，实现这些不等式中的平等。作为应用，我们完成了关于正定矩阵流形上酉不变范数的Procustes问题的一些结果。
The general class of Wasserstein Sobolev spaces: density of cylinder functions, reflexivity, uniform convexity and Clarkson's inequalities
本文研究Wasserstein Sobolev空间，证明柱函数在能量意义下稠密，并据此得出空间的自反性与一致凸性条件，以及Clarkson型不等式的充分条件。
Convex maps on R^n and positive definite matrices
研究了$R^n$上与正定矩阵有关的各种凸函数。这就产生了一些奇异的Holder矩阵不等式。
Wasserstein contraction and Poincaré inequalities for elliptic diffusions at high temperature
研究高温下ℝᵈ上椭圆扩散过程，在漂移项紧集外收缩距离的假设下，证明马尔可夫半群是W₂Wasserstein距离收缩映射，进而得到不变测度的Poincaré不等式，还将论证调整用于不变测度漂移稳定性、相互作用粒子系统等研究。
Heron-Wasserstein majorization inequalities for spectral and Kubo-Ando geometric means
本文证明了谱几何平均和Kubo-Ando几何平均的Heron型优超不等式，并解决了Bhatia关于弱优超精炼的问题。
Symmetric Norm Inequalities And Positive Semi-Definite Block-Matrices
对于半正定分块矩阵$M,$，我们称$M$是P. S. D。我们写了$M=\begin{pmatrix} A \& X\\ {X^*} \& B\end{pmatrix} \in {\mathbb{M}}\_{n+m}^+$，用$A\in {\mathbb{M}}\_n^+$，$B \in {\mathbb{M}}\_m^+.$重点是研究由于C.~ Bourrin的结果，主要结果是推广了P.S.D.矩阵$M$由满足不等式的相同大小的块写入：对于所有对称范数，$\|M\|\le \|A+B\|$。
Norm inequalities related to the matrix geometric mean
给出了两个正定矩阵的几何平均的不同形式的范数不等式。
Order Relations of the Wasserstein mean and the spectral geometric mean
本文研究正定矩阵上Wasserstein均值和谱几何均值曲线的near order与Löwner序关系，证明near order强于特征值逐项序并建立两类均值之间的序不等式及单调性。
Inequalities on generalized matrix functions
证明了广义矩阵乘积的非整数幂函数关于半正定矩阵和的不等式。例如，对于任何实数$r \in \{1\} \cup [2, \infty)$、半正定矩阵$A_i,\ B_i,\ C_i\in M_{n_i}$、$i=1,2$和广义矩阵函数$d_χ, d_ξ$，例如行列式和积式等，我们有\begin{eqnarray*}&&\left(d_χ(A_1+B_1+C_1)d_ξ(A_2+B_2+C_2)\right)^r \\ &&\hskip 1in + \left(d_χ(A_1)d_ξ(A_2)\right)^r + \left(d_χ(B_1)d_ξ(B_2)\right)^r + \left(d_χ(C_1)d_ξ(C_2)\right)^r \\ & \ge &\left(d_χ(A_1+B_1 )d_ξ(A_2+B_2 )\right)^r + \left(d_χ(A_1+ C_1)d_ξ(A_2+ C_2)\right)^r + \left(d_χ( B_1+C_1)d_ξ( B_2+C_2)\right)^r\,.\end{eqnarray*}.本文给出了一个一般的证明方案，证明了关于$m \ge 3$的更一般的涉及$m$半正定矩阵的不等式，推广了其他作者的结果.
Geodesic convexity and strengthened functional inequalities in submanifolds of Wasserstein space
本文利用EVI梯度流保持子流形不变的度量空间一般原理，研究Wasserstein空间子流形上能量与熵泛函的测地凸性，得到若干新凸性结果并改进Talagrand和HWI不等式。
Norm inequalities related to operator monotone functions
设$A$是Hilbert空间$H$上的正定算子，$|||.|||$是$B(H)$上的酉不变范数.证明了若$f$是$(0,\infty)$和$n\in \mathbb{N}$上的算子单调函数，则$|||D^n f(A)|||\leq\|f^{(n)}(A)\|$和$\|f^{(n)}(\cdot)\|$是$B(H)$中所有正定算子集上的拟凸函数.建立了一些涉及可微函数的Hermite-Hadamard型不等式的右端估计，并且由它们诱导的自伴算子集上的映射的范数是凸的、拟凸的或PDMATHAMV-凸的.作为应用，我们利用$|||B-A|||$得到了$|||f(B)-f(A)|||$的一些界.例如，设$f,g$是$(0,\infty)$上的两个算子单调函数。然后，对每个酉不变范数$|||.|||$和每个正定算子$A,B$，\begin{align*} &\left|\left|\left|f(A)g(A)-f(B)g(B)\right|\right|\right|\notag\\ &\leq|||B-A|||\Big[\max\left\{\|f'(A)\|,\|f'(B)\|\right\}\times\max\left\{\|g(A)\|,\|g(B)\|\right\}\notag\\ &+\max\left\{\|f(A)\|,\|f(B)\|\right\}\times \ma…
On log-sum inequalities
在信息论中，著名的对数和不等式是证明相对熵非负性的基本工具。在本文中，我们建立了一组类似于对数和不等式的不等式，涉及两个定义在标量上的函数。给出了参数扩展的对数和不等式。我们将这些不等式推广到交换矩阵上。此外，利用Löwner偏序关系和Hansen-Pedersen理论，我们证明了一些类似于对数和不等式的矩阵不等式.
Unitary orbits of Hermitian operators with convex or concave functions
这个简短但自成一体的调查提出了一些优雅的矩阵/一般凸或凹函数，获得与酉轨道技术的算子不等式。Jensen，次或超可加型不等式被考虑。其中一些是经典不等式（Choi，Davis，Hansen-Pedersen）的算子凸或凹函数的替代。导出了各种迹、模和行列式不等式。结合半正定矩阵的一个有趣的分解，得到了分块矩阵的几个结果。
Norm and anti-norm inequalities for positive semi-definite matrices
得到了一些涉及对称（酉不变）范数的次可加性结果。例如，如果$g(t)=\sum_{k=0}^m a_kt^k$是具有非负系数的次数$m$的多项式，则对于所有正算子$A,\,B$和所有对称范数，$\|g(A+B)\|^{1/m} \le \|g(A)\|^{1/m} + \|g(B)\|^{1/m}$。为了给出平行的超可加性结果，我们研究了反范数，一类包含Schatten $q$ -范数的泛函，用于$q\in(0,1]$和$q<0$。所得结果是Minkowski行列式不等式的推广。一些估计块矩阵的推导。例如，假设$f:[0,\infty) \to [0,\infty)$是凹的，而$p\in(1,\infty)$是凹的。如果$f^p(t)$是超加性的，则对于所有正的$m\times m$矩阵$A=[a_{ij}]$，为$Tr f(A) \ge (\sum_{i=1}^m f^p(a_{ii}))^{1/p}$。此外，对于正规化迹$τ$，我们考虑了函数$ϕ(t)$和$f(t)$，其中函数$A\mapstoϕ\circτ\circ f(A)$是凸的或凹的，并得到了一个简单的解析判据。
Conditionally positive definiteness in operator theory
本文研究了条件正定算子类，即生成条件正定序列的算子。这个类本身包含次正规算子、$2$ -和$3$ -等距算子以及更多的算子。相当大的一部分的文件是专门研究的条件正定序列的指数增长性的重点放在寻找他们的正定性的标准，这两个概念是在半群的意义上理解。作为结果，我们得到了条件正定算子的半谱和扩张型表示。我们还证明了条件正定算子类在取幂运算下是闭的。在Agler的遗传谓词演算的基础上，我们建立了这类算子的$L^{\infty}(M)$ -谓词演算，其中$M$是相伴的半谱测度.我们提供了各种应用这种微积分不等式涉及多项式和解析函数。此外，我们还得到了条件正定算子是次正规压缩算子（包括伸缩压缩算子）的新的充要条件。
A log-majorization inequality for normal matrices with applications to determinantal inequalities and geometric means
研究建立正规矩阵对数优超不等式，扩展厄米特结果。通过该不等式解决行列式猜想正规矩阵扩展，给出加权几何均值乘积特征值图景，完善相关定理。
Some inequalities for the matrix Heron mean
设$A, B$是正定矩阵，$p=1, 2$和$r\ge 0$ .我们还证明了，对于正定矩阵$A$和$B$ \begin{equation*}\label{det} \Dt (P_{t}(A, B)) \le \Dt (Q_{t}(A, B)), \end{equation*}，其中$Q_t(A, B)= \big(\frac{A^t+B^t}{2}\big)^{1/t}$和$P_t(A, B)$是$A$和$B$的$t$ -幂平均。因此，我们得到了矩阵Heron平均的行列式不等式：对于任何正定矩阵$A$和$B,$ $$ \Dt(A+ B + 2(A\sharp B)) \le \Dt(A+ B + A^{1/2}B^{1/2} + A^{1/2}B^{1/2})). $$这些结果补充了Bhatia，Lim和Yamazaki（LAA，{ \bf 501}（2016）112-122）获得的结果。
Local convergence rates for Wasserstein gradient flows and McKean-Vlasov equations with multiple stationary solutions
针对自由能存在非全局最小值临界点导致log-Sobolev不等式全局失效的问题，提出局部不等式方法，为颗粒介质方程及Vlasov-Fokker-Planck方程提供了局部指数收敛速率，并证明了粒子系统自由能的快速衰减。
Some inequalities of matrix power and Karcher means for positive linear maps
本文推广了一些涉及正定矩阵的幂和Karcher平均的矩阵不等式。在其他不等式中，它表明，如果${\mathbb A}=(A_{1},...,A_{n})$是正定矩阵的$n$元组，使得$0<m\leq A_{i}\leq M\, (i=1,\cdots,n)$对于某些标量$m< M$和$ω=(w_{1},\cdots,w_{n})$是具有$w_{i}\geq0$和$\sum_{i=1}^{n}w_{i}=1$的权向量，则\begin{align*} Φ^{p}\Big(\sum_{i=1}^{n}w_{i}A_{i}\Big)\leq α^{p}Φ^{p}(P_{t}(ω; {\mathbb A})) \end{align*}和\begin{align*} Φ^{p}\Big(\sum_{i=1}^{n}w_{i}A_{i}\Big)\leq α^{p}Φ^{p}(Λ(ω; {\mathbb A})), \end{align*}其中$p>0$，$α=\max\Big\{\frac{(M+m)^{2}}{4Mm}, \frac{(M+m)^{2}}{4^{\frac{2}{p}}Mm}\Big\}$，$Φ$是正酉线性映射，并且$t\in [-1, 1]\backslash \{0\}$。
Indeterminacy estimates, eigenfunctions and lower bounds on Wasserstein distances
本文利用类似的技巧证明了${\sf RCD}(K,\infty)$空间中的两个不等式。第一个是不确定性估计，涉及$L^{\infty}$函数的正部分和负部分之间的$p$ -Wasserstein距离以及正部分和负部分之间的界面的度量。第二个是Laplace本征函数正负部分之间的$p$ -Wasserstein距离的一个严格下界。
Some families of operator norm inequalities
已知函数$f(e^x)/g(e^x)$对某些函数是正定的，$f,g$蕴含与$f,g$有关的算子范数不等式.我们处理具有以下形式的函数：$f(t) = t^{(1-\sum_{i=1}^n (a_i-b_i))/2}\prod_{i=1}^n \frac{b_i(t^{a_i}-1)}{a_i(t^{b_i}-1)}$。
On the geometry of Wasserstein barycenter I
本文在非紧致非光滑的扩展度量测度空间中研究Wasserstein重心，引入新概念并证明存在性、唯一性及Jensen不等式，推广至满足曲率-维数条件的空间，提出重心-曲率-维数条件并证明其稳定性，获得多边缘Brunn--Minkowski不等式等几何结果。
Preservers of the $p$-power and the Wasserstein means on $2 \times 2$ matrices
本文证明 $I_2$ 型 von Neumann 代数上保持 Kubo-Ando $p$-幂平均或 Wasserstein 平均的正定函数必为常值，并给出刻画 $C^*$-代数中心性的两个条件。
Local Poincaré inequalities from stable curvature conditions on metric spaces
证明了在各种曲率维数条件下的局部Poincaré不等式在测量格罗莫夫-豪斯多夫收敛下是稳定的.我们考虑的第一类空间是Lott和Villani定义的弱CD（K，N）空间。我们研究的第二类空间由这样的空间组成，在这些空间中，我们有一个流满足Rényi熵泛函$E_N(ρm) = -\int_X ρ^{1-1/N} dm$或Shannon熵泛函$E_\infty(ρm) = \int_X ρ\log ρdm$的演化变分不等式。我们还证明了如果Rényi熵泛函在Wasserstein空间中是强位移凸的，那么在空间的每一点上，我们对空间的几乎所有点都有唯一的测地线。
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