Wasserstein测地线上的函数不等式

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我们研究了沿Wasserstein测地线的函数不等式。若μ0和μ1分别是R^n上κ0-强对数凹和κ1-强对数凹的概率测度，我们证明它们的二次Wasserstein测地线对所有R^n上的概率测度ν满足该不等式。系数是尖锐的。通过线性化，这恢复了Han和Zhu [15]的Poincaré估计。在实直线上，我们证明了任意概率测度之间的单调插值过程中，最优T1和T2常数的平方根的凸性。该论证适用于更一般的输运熵不等式。我们还建立了每个有限p≥1的重新标度的L^p Poincaré常数的凸性，包括Poincaré常数的平方根和Cheeger常数的倒数。最后，我们构造了一个平面Wasserstein测地线，其端点满足T2和所有有限p的L^p-Poincaré不等式，而每个内部插值点都违反这些不等式。

英文摘要

We study functional inequalities along Wasserstein geodesics. If $μ$ 0 and $μ$ 1 are respectively $κ$ 0 -and $κ$ 1 -strongly log-concave probability measures on R n , we prove that their quadratic Wasserstein geodesic satisfies for all probability measures $ν$ on R n . The coefficient is sharp. By linearization, this recovers the Poincar{é} estimate of Han and Zhu [15]. On the real line, we prove convexity of the square roots of the optimal T 1 and T 2 constants along monotone interpolation between arbitrary probability measures. The argument applies to more general transport entropy inequalities. We also establish convexity of the rescaled L p Poincar{é} constants for every finite p $\ge$ 1, including the square root of the Poincar{é} constant and the inverse Cheeger constant. Finally, we construct a planar Wasserstein geodesic whose endpoints satisfy T 2 and all finite-p L p -Poincar{é} inequalities, whereas every interior interpolant fails these inequalities.

发表机构

• Université Paris Cité, CNRS, MAP5（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，MAP5）
• DMA, École normale supérieure, Université PSL, CNRS（高等师范学院数学与计算机科学系，巴黎文理研究大学，法国国家科学研究中心）

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