Another Identity for Complete Bell Polynomials based on Ramanujan's Congruences
Ho-Hon Leung
令$p(n)$是正整数$n$的划分数。基于Ramanujan给出的$p(7n+5)$的生成函数，我们导出了完备Bell多项式的一个新恒等式.
Let $p(n)$ be the number of partition of a positive integer $n$. We derive a new identity for complete Bell polynomials based on a generating function of $p(7n+5)$ given by Ramanujan.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Combinatorial proofs of the Ramanujan type congruences modulo 3
引入划分统计量$V_R$ -秩，给出了某些分拆函数的Ramanujan型模3同余的组合证明.
Congruences modulo $4$ for Rogers--Ramanujan--Gordon type overpartitions
在最近的工作中，安德鲁斯定义了奇异overpartitions的目标提出了overpartition类似定理的罗杰斯-Ramanujan型普通分区限制连续的行列。作为他的工作的一小部分，安德鲁斯注意到两个同余模$3$的数量奇异overpartition规定的参数$k=3$和$i=1$。值得注意的是，这个数等于具有$k=i=3$的Roger-Ramanujan-Gordon型超划分的个数，它来自于Chen，Sang和Shi提出的Gordon的Roger-Ramanujan划分定理的超划分模拟.本文给出了Rogers-Ramanujan-Gordon型超划分数的模$4$同余恒等式的个数.
On Ramanujan-type Congruences for Multiplicative Functions
对加性数论中特定函数的Ramanujan型同余的研究有着悠久而丰富的历史。最近的联系之间的除数和和过划分通过同余等差数列的动机，我们调查的存在性和分类的Ramanujan型同余函数在乘性数论。
Ramanujan congruences for overpartitions with restricted odd differences
我们调查Ramanujan同余的功能，计数的超分区n限制奇差。特别是，我们证明了只有一个这样的同余存在。我们的方法涉及到使用理论的模形式证明了一个更一般的定理，该定理的界限的数量可能的Ramanujan同余在某些η-代数。这概括了Jonah Sinick所做的工作。我们还提供了这个函数的两个模5同余。
Ramanujan-type congruences for $2$-color partition triples
令${p}_{3,3}(n)$表示$n$的$2$颜色分区三元组的数目，其中颜色之一仅出现在是$3$的倍数的部分中。本文将建立${p}_{3,3}(n)$的一些有趣的Ramanujan型同余。
Asymptotics of crank generating functions and Ramanujan congruences
本文给出了曲柄母函数无限族的傅里叶系数的渐近公式。此外，我们还利用这个结果证明了曲柄服从一定的不等式。这意味着曲柄不能解释任何分区同余在通常的方式旁边的三个拉马努金推断。
Explicit constructions for Ramanujan-type congruences
本文通过模形式的显式构造，为包括eta商、弱全纯模形式和mock模形式在内的生成函数建立Ramanujan型同余式，统一恢复已知同余式并得到新的非同余结果与显式同余式。
Ramanujan Congruences for Fractional Partition Functions
对于有理$α$，分数分拆函数$p_α(n)$由生成函数$(q;q)^α_\infty$的系数给出。当$α=-1$时，得到通常的配分函数。Ramanujan研究了素数$\ell$和整数$c$的形式为$p(\ell n + c)\equiv 0 \pmod{\ell}$的同余。Chan和Wang [4]最近研究了分数分拆函数的同余，并利用Dedekind η-函数的恒等式给出了几个无穷族的同余。在他们的工作之后，我们使用非普通素数的理论来找到一个一般的框架，该框架描述了模任意整数的同余。这使我们能够证明新的同余，如$p_\frac{57}{61}(17^2n-3)\equiv 0 \pmod{17^2}$。
An easy proof of Ramanujan's famous congruences $p(5m+4)\equiv 0 \equiv τ(5m+5) \pmod 5$
本文利用 Jacobi 三重积恒等式的极限情形和拉马努金计算 $τ(n)$ 的技巧，给出其两个模 5 同余式的简明证明。
Generalizing and Implementing Michael Hirschhorn's Amazing Algorithm for Proving Ramanujan-Type Congruences
当Mike Hirschhorn向我们展示他可爱的宝石时，它给出了Ramanujan著名结果的最简单的最新证明，即p（11n+6）可被11整除，我们意识到他的惊人方法可以扩展，并教授给计算机，并且可以证明更深层次的身份。如果不是Silviu Radu的强大算法的存在，我们会做得更多，该算法可以处理任何模形式的任何Ramanujan型同余（非常一般的类型），但仍然很高兴知道，为了证明这种简单陈述的结果，可以向一个七岁的孩子解释，人们不需要令人生畏的“模块化网络”，拉马努金从未掌握，可能也不会喜欢
Ramanujan-type Congruences for $\ell$-Regular Partitions Modulo $3, 5, 11$ and $13$
令$b_\ell(n)$为$n$的$\ell$ -正则划分的数目。最近，Hou等人建立了$b_\ell(n)$模$m$的几个无穷同余族，其中$(\ell,m)=(3,3),(6,3),(5,5),(10,5)$和$(7,7)$ .本文利用Hou等人给出的消失性质，证明了$b_{11}(n)$模$11$的无穷同余族.此外，对于$\ell= 3, 13$和$25$，我们利用Hecke特征形理论得到了$b_{\ell}(n)$模$3, 5$和$13$的三个无穷族同余.
Polynomial analogues of Ramanujan congruences for Han's hooklength formula
本文考虑eta幂$\prod {(1-q^k)}^{b-1}$。证明了当$n=5j+4$满足一定条件时，该表达式中的$\frac{q^n}{n!}$的系数作为$b$中的多项式，在模5的非零剩余类中呈等分布.其他对称性，以及对称性的其他素数和素数的权力，证明，并提出了一些开放的问题。
Congruences for Andrews' Smallest Parts Partition Function and New Congruences for Dyson's Rank
设spt（n）表示n的划分中最小部分出现的总数。最近，Andrews证明了spt（n）与二阶矩的关系，并证明了一些令人惊讶的Ramanujan型模5，7和13同余。我们证明了这些同余式的推广使用已知的秩和曲柄矩之间的关系。我们得到了spt（n）mod p（p = 11，17，19，29，31和37）的显式Ramanujan型同余.最近，Bringmann和Ono证明了Dyson秩函数有无穷多个Ramanujan型同余。他们的证明是非构造性的，并利用弱Maass形式理论。我们构造两个显式的非平凡的例子模11使用之间的秩矩和半整数权重Hecke特征形的初等同余。
Ramanujan-Type congruences for cubic partition functions
Chan和Kim提出的自然数$n$的三次分拆具有生成函数$\sum_{n=0}^{\infty}a(n)q^n= \frac{1}{(q; q)_{\infty}(q^2; q^2)_{\infty}}.$.本文推广了Chen-Lin的一些结果，指出$a(n)$应具有普通分拆函数的类似性质.具体地说，我们证明了对每个非负整数$n$，$a(5^4n+547)\equiv 0\pmod{5^2}, a(7^3n+190)\equiv 0\pmod{7^2}, a(7^3n+288 \equiv 0\pmod{7^2} and a(7^3n+337)\equiv 0\pmod{7^2}.$
Congruences for partition functions related to mock theta functions
与模拟θ函数相关的划分在文献中得到了大量的关注。最近，Choi和Kim从三阶和六阶模拟θ函数导出了几个划分恒等式。此外，他们还建立了三个Ramanujan型同余式。本文给出了这些分拆函数的一些新的同余式。
Ramanujan-type Congruences for Broken 2-Diamond Partitions Modulo 3
断裂$k$ -菱形划分的概念是由Andrews和Paule提出的。令$Δ_k(n)$表示$n$的破碎k-菱形划分的数目。他们还对$Δ_2(n)$模2，5和25的同余式提出了三种解释。Hirschhorn和塞勒斯证明了模2的代数，Chan证明了模5的情况。对于模3的情形，Radu和Sellers得到了$Δ_2(n)$的无穷族同余.本文利用Radu和Sellers的一个公式，Berndt给出的三角数生成函数的3-剖分公式，以及$U$ -算子、$V$ -算子、Hecke算子和Hecke本征形的性质，得到了$Δ_2(n)$模3的两个无穷族同余.例如，我们发现$Δ_2(243n+142)\equiv Δ_2(243n+223)\equiv0\pmod{3}$。Radu和Sellers的无穷族与本文导出的两个无穷族有两个公共同余，即$Δ_2(27n+16)\equivΔ_2(27n+25)\equiv0 \pmod{3}$。
On the Andrews-Stanley Refinement of Ramanujan's Partition Congruence Modulo 5
Stanley在最近对符号平衡的标号偏序集的研究中[13]，引入了一个新的整数划分统计量srank（pi）= O（pi）- O（pi '），其中O（pi）表示划分pi的奇数部分的个数，pi'表示pi的共轭。在[1]安德鲁斯证明了以下细化拉马努金的分区同余模5：p[0]（5n +4）= p[2]（5n + 4）= 0（mod 5），p（n）= p[0]（n）+ p[2]（n），其中p[i]（n）（i = 0，2）表示具有srank = i（mod 4）的n的分区的数目，并且p（n）是n的无限制分区的数目。安德鲁斯要求一个分区统计，将划分分区枚举的p[i]（5 n + 4）（i = 0，2）到五个equinumerous类。在本文中，我们讨论两个这样的统计。第一个，而新的，是密切相关的安德鲁斯-加文[2]曲柄。第二个是5芯曲柄，由Garvan，Kim和Stanton介绍[9]。最后，我们讨论了一些新的公式划分是5-核心。
Congruences modulo powers of 5 for the rank parity function
众所周知，Ramanujan证明了分拆函数的模5、7和11的幂同余.这一点后来被Watson（1938）和Atkin（1967）证明。在2009年，Choi，Kang和Lovejoy证明了曲柄奇偶函数的模5幂的同余。秩奇偶函数的生成函数是f（q），这是Ramanujan在给Hardy的最后一封信中提到的模拟θ函数的第一个例子。我们证明了同余模幂5的秩奇偶函数。
On the Andrews-Stanley Refinement of Ramanujan's Partition Congruence Modulo 5 and Generalizations
Stanley在最近对符号平衡的标号偏序集的研究中，引入了一个新的整数划分统计量srank（pi）= O（pi）- O（pi '），其中O（pi）表示划分pi的奇数部分的个数，pi'是pi的共轭。Andrews证明了Ramanujan的分划同余mod 5的以下改进：p[0]（5 n +4）= p[2]（5 n + 4）= 0（mod 5），p（n）= p[0]（n）+ p[2]（n），其中p[i]（n）（i = 0; 2）表示n的srank = i（mod 4）的分划数，p（n）是n的无限制分划数。安德鲁斯要求一个分区统计，将划分分区枚举的p[i]（5 n + 4）（i = 0，2）到五个equinumerous类。本文讨论了三个这样的统计量：St-曲柄统计量、2-秩统计量和5-核-曲柄统计量。第一个，虽然新的，是密切相关的安德鲁斯-加文曲柄。第二个是关于划分的2-商。第三个是由Garvan，Kim和Stanton介绍的。我们使用它在我们的组合证明安德鲁斯细化。值得注意的是，安德鲁斯的结果是一个简单的后果更强的细化拉马努金的同余模5。这种更一般的改进使用了一种新的分区统计，我们称之为BG秩。我们采用BG-秩证明新的划分同余模5。最后，我们讨论了一些新的公式划分是5-核心，并讨论了一个有趣的关系3-核心和Andrews-Garvan曲柄。
Some congruences modulo 5 and 25 for overpartition
我们提出了两个新的Ramanujan型同余模5的过度划分。我们还肯定地回答了Dou和Lin的一个猜想，该猜想包含四个模25同余。
Combinatorial Properties of Rogers-Ramanujan-Type Identities Arising from Hall-Littlewood Polynomials
在这里，我们考虑$q$ -系列来自霍尔-利特尔伍德多项式，\begin{equation*} R_ν(a,b;q)=\sum_{\substack{λ\\[1pt] λ_1\leq a}} q^{c|λ|} P_{2λ}\big(1,q,q^2,\dots;q^{2b+d}\big). \end{equation*}这些系列是由格里芬，小野，和Warnaar在他们的工作框架的罗杰斯-拉马努金身份。我们设计了一个递归的方法来计算这些系列的系数时，他们出现在罗杰斯-拉马努金框架。此外，我们还研究了这些级数的某些同余式和乘积的同余性质，推广了著名的Ramanujan同余式\begin{equation*} p(5n+4)\equiv0\pmod{5}. \end{equation*}
Arithmetic properties of the $\ell$-regular partitions
对于给定的素数$p$，我们分别研究了Ramanujan θ函数$ψ(q)$和$f(-q)$的$p$剖分恒等式的性质.作为应用，我们发现了一些$\ell$ -正则分拆函数，特别是$\ell=2,4,5,8,13,16$的模2同余的无穷族。此外，在Ramanujan给出的$p(n)$的经典同余式的基础上，我们得到了更多的$\ell$ -正则分拆函数的同余式.
Congruences on the Bell polynomials and the derangement polynomials
本文利用影演算的方法，将涉及Bell数和乱序数的Sun和Zagier同余推广到多项式情形。还提供了一些特殊的同余式。
Arithmetic Properties of Overpartition Pairs
Bringmann和Lovejoy引入了一个rank为overpartition对，并研究了它的作用，在合同性质的$\bar{pp}(n)$，数overpartition对n。特别是，他们应用克莱因形式的理论来证明存在许多数量$\bar{pp}(n)$的拉马努金型同余。本文给出了$\bar{pp}(n)$的两个Ramanujan型恒等式和一些显式同余式。此外，我们发现三个等级的组合解释的事实，即$\bar{pp}(n)$是整除的三个任何n。我们还构造了$\bar{pp}(n)$模3，5和9的无穷族同余。
Congruences modulo powers of 5 for $k$-colored partitions
令$p_{-k}(n)$枚举$n$的$k$着色分区的数量。本文建立了$k$ -着色划分的模25同余的无限族.进一步证明了$p_{-k}(n)$与$k=2, 6$和$7$模5幂的Ramanujan型同余的无穷族.例如，对于所有整数$n\geq0$和$α\geq1$，我们证明了\begin{align*} p_{-2}\left(5^{2α-1}n+\dfrac{7\times5^{2α-1}+1}{12}\right) &\equiv0\pmod{5^α} \end{align*}和\begin{align*} p_{-2}\left(5^{2α}n+\dfrac{11\times5^{2α}+1}{12}\right) &\equiv0\pmod{5^{α+1}}. \end{align*}
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 5
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。Hirschhorn和Sellers表明，$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$适用于$n\geq 0$。他们还证实了$n\geq 0$的$\overline{p}(40n+35)\equiv 0 \pmod{40}$。Chen和Xia利用Alaca，Alaca和Williams给出的θ函数的$(p,k)$ -参数化证明了这个猜想.本文利用Treneer发现的$\overline{p}(5n)$模$5$的生成函数之间的关系和Mahlburg给出的$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$-adic展开式，证明了$n \geq 0$的$\overline{p}(5n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4\cdot 5n) \pmod{5}$和$n \geq 0$的$\overline{p}(n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4n)\pmod{8}$.因此，我们推断，PDMATHAMBMZ的$\overline{p}(4^k(40n+35))\equiv 0 \pmod{40}$。利用$ϕ(q)^3$上的Hecke算子和$ϕ(q)^3$是Hecke本征形的事实，我们得到了一个无穷族的正整数$\overline{p}(4^k \cdot5…
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 16
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。最近，Fortin-Jacob-Mathieu和Hirschhorn-Sellers分别得到了$\overline{p}(n)$的生成函数的2-、3-和4-剖分，并导出了$\overline{p}(n)$模$4$、$8$和$64$的一系列同余式，包括$\overline{p}(5n+2)\equiv 0 \pmod{4}$、$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$和$\overline{p}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}$ . Yao和Xia利用剖分技术得到了$\overline{p}(n)$模$8, 16$和$32$的同余式，如$\overline{p}(48n+26) \equiv 0 \pmod{8}$，$\overline{p}(24n+17)\equiv 0 \pmod{16}$和$\overline{p}(72n+69)\equiv 0 \pmod{32}$ .本文给出了$\overline{p}(n)$模16的生成函数的16-剖分，并证明了$n\ge 0$的生成函数为$\overline{p}(16n+14)\equiv0\pmod{16}$.利用Mahlburg对$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$ -adic展开式，得到了$\overlin…
Prime and Touchard Congruences of Mixed-Type Bell Numbers
本文建立混合型斯特林数与贝尔数的组合算术框架，连通分拆结构、Touchard 多项式与素幂同余式，结合 p 进赋值理论证明相关同余式，推广组合序列经典算术性质。
Proof of some conjectural congruences of da Silva and Sellers
令$p_{\{3, 3\}}(n)$表示三种颜色的$3$ -规则分区的数量。在最近的一篇论文中，da Silva和Sellers研究了$p_{\{3, 3\}}(n)$的某些算术性质。进一步证明了$p_{\{3, 3\}}(n)$满足的四个模$5$的Ramanujan类同余.本文利用模形式理论证明了da Silva和Sellers的代数同余。
Congruences modulo powers of $5$ and $7$ for the crank and rank parity functions and related mock theta functions
本文拓展了秩奇偶函数模5的幂的同余式至模7的幂的情形，推导了相关三阶仿theta函数ω(q)系数的同余式，并证明了曲柄奇偶函数的一族模7的幂的同余式。
The Rogers-Ramanujan-Gordon Theorem for Overpartitions
设$B_{k,i}(n)$为$n$在某种差分条件下的划分数，设$A_{k,i}(n)$为$n$在某种同余条件下的划分数。Rogers-Ramanujan-Gordon定理指出，$B_{k,i}(n)=A_{k,i}(n)$。Lovejoy对$i=1$和$i=k$的情形得到了Rogers-Ramanujan-Gordon定理的一个过分割类比。在一般情况下，我们发现了Rogers-Ramanujan-Gordon定理的一个过度分割类似物。设$D_{k,i}(n)$为满足一定差分条件的$n$的超划分数，$C_{k,i}(n)$为满足一定同余条件的$n$的非上划线部分的超划分数.我们表明，$C_{k,i}(n)=D_{k,i}(n)$。利用Andrews引入的一个函数，我们得到了一个递推关系，它意味着$D_{k,i}(n)$的母函数等于$C_{k,i}(n)$的母函数.我们还发现了一个生成函数公式的$D_{k,i}(n)$通过使用戈登标记表示的超划分，它可以被认为是一个单位的安德鲁斯为普通分区的超划分模拟。
An elementary (number theory) proof of Touchard's congruence
设B_n表示第n个Bell数。我们利用B_n的已知递归表达式给出了一个推广的递归式，它可以用来证明Touchard同余式。
Backward Touchard congruence
著名的Touchard同余式指出，$B_{n+p}B_n+B_{n+1}$模$p$，其中$p$是一个素数，$B_n$表示贝尔数。本文研究了$B_{n-p}$的整除性质及其在$p$的高次幂和$r$ -Bell数上的推广.特别是，我们所考虑的问题的孙-Zagier同余，这是另外改进的\mbox{a new}之间的关系推导$r$ -贝尔和乱序数的密切关系。最后，我们得到了模$p$的Bell数的周期的一些结果.
A note on congruences for the difference between even cranks and odd cranks
最近Amdeberhan和Merca证明了曲柄奇偶函数$C(n)$的一些算术性质，曲柄奇偶函数定义为具有偶数曲柄的$n$和具有奇数曲柄的$n$的划分数之间的差，序列$a(n)$的生成函数是$C(n)$的生成函数的倒数。函数$C(n)$首先由Choi、Kang和Lovejoy研究。本文对他们的一些主要结果给出了新的初等证明并加以推广。特别地，我们建立了涉及$C(n)$和$a(n)$的某些有限和的模$5$和$25$的Ramanujan型同余。我们的证明采用库珀，Hirschhorn，和刘易斯的结果，和某些身份涉及罗杰斯-Ramanujan连分数$R(q)$由于陈省身和唐。
Congruences for Bipartitions with Odd Parts Distinct
Hirschhorn和Sellers研究了奇数部分不同的分区数的算术性质。在另一个方向上，哈蒙德和刘易斯研究了二等分数的算术性质。本文考虑奇部相异的双分拆的个数。让这个数字表示为$pod_{-2}(n)$。我们得到了$pod_{-2}(n)$的两个Ramanujan型恒等式，这意味着$pod_{-2}(2n+1)$是偶数，而$pod_{-2}(3n+2)$可被3整除.此外，我们表明，对于任何$α\geq 1$和$n\geq 0$，$ pod_{-2}(3^{2α+1}n+\frac{23\times 3^{2α}-7}{8})$是3的倍数和$pod_{-2}(5^{α+1}n+\frac{11\times 5^α+1}{4})$是整除5。我们还发现组合解释的两个同余模2和3。
Partitions weighted by the parity of the crank
一个分区统计'曲柄'给出了拉马努金著名的分区同余组合的解释。本文建立了偶曲柄划集数$M_e(n)$减去奇曲柄划集数$M_o(n)$所满足的渐近公式、Ramanujan型同余和q-级数恒等式.例如，我们表明，$M_e(5n+4)-M_o(5n+4)\equiv 0 \pmod 5.$我们还确定了确切的值$M_e(n)-M_o(n)$的情况下，分区成不同的部分，这是最多两个和零无限多$n$。
Extending Congruences for the number of smallest parts in overpartitions with smallest part even
本文扩展了超划分中最小部分为偶数的最小部分数量的同余式，证明了新的个体同余式，并给出了无限族拉马努金型同余式。
Non-Rascoe partitions and a rank parity function associated to the Rogers-Ramanujan partitions
研究Rogers-Ramanujan分拆中奇数秩与偶数秩超出数的生成函数，证明其与非Rascoe分拆（不同部分且部分数非部分）紧密相关，并推导算术性质及模4同余猜想，推广至参数ℓ。
New series for powers of $π$ and related congruences
通过符号计算，我们推导出了97个与Ramanujan型级数有关的$π$幂的新型级数。这里有三个典型的例子：$$\sum_{k=0}^\infty \frac{P(k) \binom{2k}k\binom{3k}k \binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} =\frac{18\times557403^3\sqrt{10005}}{5π}$$与\begin{align*}P(k) = &637379600041024803108 k^2 + 657229991696087780968 k \\&+ 19850391655004126179, \end{align*}、$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(3k+1)16^k}{(2k+1)^2k^3\binom{2k}k^3} = \frac{π^2-8}2,$$和$$\sum_{n=0}^\infty\frac{3n+1}{(-100)^n} \sum_{k=0}^n{n\choose k}^2T_k(1,25)T_{n-k}(1,25) = \frac{25}{8π},$$，其中广义中心三项系数$T_k(b,c)$表示$(x^2+bx+c)^k$展开式中$x^k$的系数。利用同余式给出了$1/π$的有理Ramanujan型级数的一般刻画，并通过寻找相应的同余式给…
On certain weighted 7-colored partitions
受Andrews的2色广义Frobenius划分的启发，我们考虑了一类加权7色分拆函数，建立了一些有趣的Ramanujan型恒等式和同余式.此外，我们还提供了一些模5和模7同余的组合解释。最后，我们研究了按某些划分统计量的奇偶性加权的加权7色划分的性质。
Congruences for the Number of Cubic Partitions Derived from Modular Forms
利用模形式得到了三次分拆数a（n）的同余式.三次分割的概念是由Chan介绍的，并由Kim与Ramanujan的三次连分数有关。Chan已经证明了a（n）有几个类似于划分数p（n）的性质，包括生成函数、连分数和同余关系。更具体地说，我们表明，$a(25n+22)\equiv 0 ({\rm mod} 5)$，$a(49n+15) \equiv a(49n+29) \equiv a(49n+36) \equiv a(49n+43) \equiv 0 ({\rm mod} 7)$。进一步证明了a（n）取无穷多个偶数值和无穷多个奇数值。
Congruences for an analogue of Lin's partition function
研究了林受限分区函数类比B(n)的算术性质，通过q级数技术和模函数建立模2、3、5、7和9的拉马努金型同余式。
Partition statistics and quasiweak Maass forms
Andrews最近引入了k标记的Durfee符号，它是与Dyson的秩统计量的矩相连接的分区的推广。他用这些联系，以找到身份有关其生成功能，以及证明拉马努金型同余这些对象，并找到之间的关系。本文证明了这些对象的超几何生成函数是拟拟θ函数的自然例子，拟θ函数被定义为弱Maass形式及其导数的全纯部分。特别地，这些生成函数可以被视为具有任意高权重的Ramanujan模拟θ函数的类似物。我们利用自守性质证明了Durfee符号的无穷多个同余的存在性。此外，我们表明，随着k的变化，模块化的k-标记Durfee符号的情况下，k=2正是决定。最后，我们利用这一关系证明了秩矩在有界权的一级模形式下的一般同余的存在性。
Generalization of a few results in Integer Partitions
在本文中，我们推广了几个重要的结果，在分划;即结果被称为斯坦利的定理和长老的定理，并提出了由Ramanujan的同余结果的配分函数。我们推广的结果斯坦利和长老从一个固定的整数到一个数组的后续整数，并提出了一个类似的拉马努金的同余关系的“部分数”的功能，而不是分区功能。我们还推导出的“零件数”的生成函数，并通过一个新的使用费雷尔的图表与他们的图形解释的技术成果。
IdentityFinder and some new identities of Rogers-Ramanujan type
Rogers-Ramanujan恒等式和各种类似恒等式（Gordon，Andrews-Bressoud，Capparelli等）形成一个与整数划分有关的非常深的恒等式族。这些恒等式（以生成函数的形式书写）通常具有“乘积侧”等于“和侧”的形式，其中乘积侧枚举服从某些同余条件的分区，并且和侧服从某些初始条件和差分条件（以及可能的其他限制）。我们使用符号计算来生成各种这样的和边，然后使用欧拉算法来查看它们中的哪一个实际上确实生成了优雅的乘积边。我们不仅重新发现了许多已知的恒等式，而且还发现了一些显然是新的恒等式，这些恒等式得到了强有力的数学证据的支持。
On a curious property of Bell numbers
在本文中，我们得到的同余表示贝尔数和错位数的模彼此任何素数。
Congruence families modulo powers of $7$ for $4$-colored generalized Frobenius partitions
本文运用Chen-Zhu模变换框架研究4色广义Frobenius分拆$cψ_{4,β}$，给出模7的幂的Ramanujan型同余族新例证，并显著简化了证明。
Elementary Proofs of Infinite Families of Congruences for Merca's Cubic Partitions
最近，使用模形式和斯穆特的{ \tt Mathematica}实现拉杜的算法证明分区同余，梅尔卡证明了以下两个同余：对于所有$n\geq 0,$ \begin{align*} A(9n+5) & \equiv 0 \pmod{3}, \\ A(27n+26) & \equiv 0 \pmod{3}. \end{align*}这里$A(n)$是密切相关的功能，计数的数量{ \it立方分区}，分区，其中偶数部分被允许出现在两个不同的颜色。实际上，$A(n)$被定义为将$n$三次分割成偶数部分的数目与将$n$三次分割成奇数部分的数目之间的差。在这个简短的说明中，我们通过经典的生成函数操作提供了这两个同余的初等证明。然后，我们证明了两个无限家庭的非嵌套Ramanujan的模3的同余满足$A(n)$其中梅尔卡的原始两个同余作为每个家庭的初始成员。
Congruences of Multipartition Functions Modulo Powers of Primes
令$p_r(n)$表示$n$的$r$ -分量多重划分的数目，并且令$S_{γ,λ}$是由$η(24z)^γϕ(24z)$张成的空间，其中$η(z)$是Dedekind的eta函数，并且$ϕ(z)$是$M_λ({\rm SL}_2(\mathbb{Z}))$中的全纯模形式。本文证明了$p_r(\frac{m^k n +r}{24})$关于$n$的生成函数与空间$S_{γ,λ}$模$m^k$中的一个函数全等.作为特殊情况，这种关系导致许多众所周知的同余，包括$p(n)$模$5,7,11$的拉马努金同余和$p_2(n)$模5和$p_{8}(n)$模11的甘地同余。进一步，利用$S_{γ,λ}$在Hecke算子$T_{\ell^2}$下的不变性，得到了与$p_r(n)$的$m^k$-adic性质有关的两类同余.
On a restricted linear congruence
令$b,n\in \mathbb{Z}$、$n\geq 1$和${\cal D}_1, \ldots, {\cal D}_{τ(n)}$都是$n$的正约数。对于$1\leq l \leq τ(n)$，定义${\cal C}_l:=\lbrace 1 \leqslant x\leqslant n \; : \; (x,n)={\cal D}_l\rbrace$。本文结合数论函数的有限Fourier变换和Ramanujan和的思想，给出了以下结果的一个简短证明：具有$κ_{l}=|\lbrace x_1, \ldots, x_k \rbrace \cap {\cal C}_l|$，$1\leq l \leq τ(n)$的一次同余方程$x_1+\cdots +x_k\equiv b \pmod{n}$的解的个数是\begin{align*} \frac{1}{n}\mathlarger{\sum}_{d\, \mid \, n}c_{d}(b)\mathlarger{\prod}_{l=1}^{τ(n)}\left(c_{\frac{n}{{\cal D}_l}}(d)\right)^{κ_{l}}, \end{align*}，其中$c_{d}(b)$是Ramanujan和.这个问题的一些特殊情况和其他形式已经被几位作者研究过了。这个问题最近在数论、组合数学、计算机科学和密码学中得到了非…
The Partition-Frequency Enumeration Matrix
本文提出分区-频率枚举矩阵，通过无限上三角数论矩阵提供初等方法，统一数论函数与分区函数关系，并恢复扩展多个经典结果，如除数函数和拉马努金τ函数的递推关系。
Sum of parts in overpartitions and partitions without repeated odd parts
本文通过经典 theta 函数恒等式，证明了按奇偶性分类的超划分中某些非划线部分和以及无重复奇数部分划分中某些部分和的模 5 和模 7 拉马努金型同余式。
An Exploration of Crank Generating functions for $t$-core partitions
本文提出一族生成函数，解释$t$-核心分区的模数关系，拓展了crank生成函数的应用范围。
A refined $q$-analogue of some congruences of Van Hamme
本文受 Guo 近期工作启发，为 Van Hamme 的 (B.2)、(E.2)、(F.2) 超同余式建立了统一的 q-模拟，并由此导出与 Euler 多项式相关的含参数超同余式。
Congruences for spin characters of the double covers of the symmetric and alternating groups
本文从算术角度研究对称群和交错群双重覆盖的旋特征生成函数，利用经典解析工具和初等生成函数操作，推导出许多 Ramanujan-like 同余。
Rogers-Ramanujan type identities at $Λ_0$ from perfect crystals of exceptional quantum affine algebras
通过完美晶体推导 exceptional 量子 affine 代数在 $Λ_0$ 处的 Rogers-Ramanujan 类身份，并提供生成函数的系数相等性验证。
On the Number of Partitions with Designated Summands
Andrews，Lewis和Lovejoy引入了分拆函数PD（n）作为指定和数的$n$的分区数，其中我们假设在具有相等大小的部分中，恰好指定一个。他们证明了PD（3n+2）可以被3整除。我们得到了PD（3n+2）的生成函数的一个Ramanujan型恒等式，它包含Andrews，Lewis和Lovejoy的同余式.对于PD（3n），Andrews，Lewis和Lovejoy证明了生成函数可以表示为$(1-q^{2n+1})$的幂乘以一个函数$F(q^2)$的无穷乘积。我们找到了$F(q^2)$的显式公式，从而导出了PD（3 n）的母函数公式。我们还得到了PD（3n+1）的母函数的一个公式。我们的证明依赖于Chan关于Ramanujan三次连分数的恒等式和三次θ函数的一些恒等式。通过引入一个秩的分区与设计的被加数，我们给出了一个组合的解释的同余的安德鲁斯，刘易斯和洛夫乔伊。
Partitions with parts separated by parity: conjugation, congruences and the mock theta functions
本文利用共轭映射的组合方法研究奇偶部件分隔的整数分拆，证明推广 Andrews 二元生成函数的参数化恒等式与两族 Andrews–Beck 型同余式，并揭示共轭稳定分拆子集同三个三阶 mock theta 函数的联系。
Restricted linear congruences
本文利用Ramanujan和的性质和算术函数的离散Fourier变换，给出了线性同余式$a_1x_1+\cdots +a_kx_k\equiv b \pmod{n}$的解的个数的一个显式公式，其中$\gcd(x_i,n)=t_i$（$1\leq i\leq k$），其中$a_1,t_1,\ldots,a_k,t_k, b,n$（$n\geq 1$）是任意整数.因此，我们得到了上述限制线性同余式无解的充要条件。Rademacher和Brauer分别在1925年和1926年首次考虑了这类同余的解的个数，这是$a_i=t_i=1$ $(1\leq i \leq k)$的特例。从那时起，这个问题已被研究，在其他几个特殊情况下，在许多文件，特别是雅各布森和威廉姆斯[{ \it杜克大学数学。{ \bf 39}（1972），521- 527]给出了当$(a_1,\ldots,a_k)=t_i=1$ $(1\leq i \leq k)$ .这个问题的动机非常好，在数学、计算机科学和物理学的几个领域都有有趣的应用，并且在这些或其他方向上有更多的应用/影响。
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