An elementary (number theory) proof of Touchard's congruence
Greg Hurst, Andrew Schultz
设B_n表示第n个Bell数。我们利用B_n的已知递归表达式给出了一个推广的递归式，它可以用来证明Touchard同余式。
Let B_n denote the nth Bell number. We use well-known recursive expressions for B_n to give a generalizing recursion that can be used to prove Touchard's congruence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Prime and Touchard Congruences of Mixed-Type Bell Numbers
本文建立混合型斯特林数与贝尔数的组合算术框架，连通分拆结构、Touchard 多项式与素幂同余式，结合 p 进赋值理论证明相关同余式，推广组合序列经典算术性质。
Backward Touchard congruence
著名的Touchard同余式指出，$B_{n+p}B_n+B_{n+1}$模$p$，其中$p$是一个素数，$B_n$表示贝尔数。本文研究了$B_{n-p}$的整除性质及其在$p$的高次幂和$r$ -Bell数上的推广.特别是，我们所考虑的问题的孙-Zagier同余，这是另外改进的\mbox{a new}之间的关系推导$r$ -贝尔和乱序数的密切关系。最后，我们得到了模$p$的Bell数的周期的一些结果.
Elementary proof of congruences modulo 25 for broken $k$-diamond partitions
令$Δ_{k}(n)$表示$n$的$k$ -破碎菱形划分的数目。最近，第二作者在模形式的帮助下证明了$Δ_{k}(n)$的模25的无限个同余族。在本文中，我们的目的是提供一个初步的证明这一结果。
Some Elementary Congruences for the Number of Weighted Integer Compositions
一个非负整数$n$的整数复合是一个非负整数的元组$(π_1,\ldots,π_k)$，其和是$n$ ; $π_i$被称为复合的部分。对于固定数量的$k$部件，$f$加权整数组合（在文献中也称为$f$着色整数组合）的数量由扩展二项式系数$\binom{k}{n}_{f}$给出，其中每个部件尺寸$s$可能出现在$f(s)$不同的颜色中.我们推导出了$\binom{k}{n}_{f}$的几个同余性质，其中大部分类似于普通二项式系数。其中有奇偶性的$\binom{k}{n}_{f}$，巴贝奇的同余，卢卡斯定理等，我们还给出了同余$c_{f}(n)$，数的$f$加权整数组成的任意多个部分，并为扩大二项式系数和。我们关闭我们的结果的应用程序，以总理的标准加权整数组成。
Elementary proof of congruences involving sum of binomial coefficients
给出了几个涉及二项式系数的单和与多和的同余式的初等证明。
Elementary Proofs of Infinite Families of Congruences for Merca's Cubic Partitions
最近，使用模形式和斯穆特的{ \tt Mathematica}实现拉杜的算法证明分区同余，梅尔卡证明了以下两个同余：对于所有$n\geq 0,$ \begin{align*} A(9n+5) & \equiv 0 \pmod{3}, \\ A(27n+26) & \equiv 0 \pmod{3}. \end{align*}这里$A(n)$是密切相关的功能，计数的数量{ \it立方分区}，分区，其中偶数部分被允许出现在两个不同的颜色。实际上，$A(n)$被定义为将$n$三次分割成偶数部分的数目与将$n$三次分割成奇数部分的数目之间的差。在这个简短的说明中，我们通过经典的生成函数操作提供了这两个同余的初等证明。然后，我们证明了两个无限家庭的非嵌套Ramanujan的模3的同余满足$A(n)$其中梅尔卡的原始两个同余作为每个家庭的初始成员。
Elementary Proofs of Recent Congruences for Overpartitions Wherein Non-Overlined Parts are Not Divisible by 6
本文用初等方法证实了Nath等人关于超分拆数$\overline{R_6^*}(n)$模128的无限同余式族猜想，并给出了两个先前用模形式证明的同余式的初等证明。
Elementary Proofs and Generalizations of Recent Congruences of Thejitha and Fathima
本文针对Thejitha和Fathima提出的、计数特定着色分拆的函数$a_5(n)$的类Ramanujan同余式，用生成函数运算与初等$q$-级数分拆的纯初等方法给出证明，并将结果推广为无穷族可除性性质。
Elementary proofs of congruences modulo 5 for overpartitions with restricted odd differences
本文针对Hanson和Smith在2023年利用模形式证明的关于重分拆函数$\overline{t}(n)$的两个模5同余式，给出了一个完全初等的证明方法。
Some congruences for $3$-core cubic bipartitions
该研究通过初等 $q$-级数技巧和剖分公式，建立 $3$-core 立方二分拆计数函数的若干同余性质。
Congruences and recursions for the cubic partition
令$p_2(n)$表示立方分区的数量。本文给出了$p_2(n)$的两个新的模$11$同余.我们还提供了一个初级的替代证明的一个同余成立陈。此外，我们将为$p_2(n)$建立一个递归，这是更广泛的一类递归的特殊情况。
Elementary Proofs of Infinitely Many Congruences for $k$-Elongated Partition Diamonds
本文用初等生成函数与经典q级数方法，为k-伸长分拆钻石数d_k在无穷多个k值下证明无穷多同余性质，扩展了Andrews和Paule的模形式结果。
An Elementary Proof of a Conjecture of Saikia on Congruences for $t$--Colored Overpartitions
本文用初等生成函数操作、剖分和归纳法，证明了 Saikia 关于 $t$ 色超分拆函数 $\overline{p}_{-t}(n)$ 模 2 幂同余的猜想对所有奇数 $t$ 成立。
An extension of Lucas Theorem
本文给出计算模素数二项式系数的同余判据的初等证明，并据此推广Lucas定理，应用于推导二项式系数和的恒等式与同余式。
A note on congruences modulo 7 and 11 for two restricted partition functions
本文通过q级数技术研究了某些受限划分函数在7和11模下的同余关系，并推广了之前使用模形式方法得到的结果。
A note on congruences for the difference between even cranks and odd cranks
最近Amdeberhan和Merca证明了曲柄奇偶函数$C(n)$的一些算术性质，曲柄奇偶函数定义为具有偶数曲柄的$n$和具有奇数曲柄的$n$的划分数之间的差，序列$a(n)$的生成函数是$C(n)$的生成函数的倒数。函数$C(n)$首先由Choi、Kang和Lovejoy研究。本文对他们的一些主要结果给出了新的初等证明并加以推广。特别地，我们建立了涉及$C(n)$和$a(n)$的某些有限和的模$5$和$25$的Ramanujan型同余。我们的证明采用库珀，Hirschhorn，和刘易斯的结果，和某些身份涉及罗杰斯-Ramanujan连分数$R(q)$由于陈省身和唐。
Congruence Lattices of Certain Finite Algebras with Three Commutative Binary Operations
Grätzer和Schmidt从“抽象代数的同余格的刻画”（Acta Sci. Math.（Szeged）24（1963），34-59）适合于为每个有限分配格是可表示的这一众所周知的事实提供另一种证明，这被看作是有限格表示问题的一种特殊情况。这个证明的建设汇集了伯克霍夫的表示定理有限分配格，强调布尔格时，代表有限格，和透视偏序集的不平等的基础上。也许有可能推广这种方法中使用的技术。除了上述的表示定理外，本文的两个定理只使用了初等工具。特别是不依赖于群论的概念或技巧（参见Péter Pál Pálfy和Pavel Puddyak），也不依赖于众所周知的方法，用于证明某些有限格是可表示的（参见William J. DeMeo），例如闭包方法。
On Erdos's elementary method in the asymptotic theory of partitions
设m是正整数，A是属于r个模m不同同余类并的所有正整数的集合.我们假设A的元素是互素的，即gcd（A）= 1。设p_A（n）表示n分成属于A的部分的个数。我们得到了logp_A（n）~ π \sqrt（2 rn/3 m）的渐近公式.证明是基于Erdos的初等方法，以获得通常的分拆函数p（n）的渐近公式。
1-Shell totally symmetric plane partitions (TSPPs) modulo powers of 5
令$s(n)$为$n$的1-壳层全对称平面划分（TSPP）的数目。本文用初等方法导出了$s(n)$的$5$模幂同余的无穷族.即，$$s\left(2\cdot 5^{2α-1}n+5^{2α-1}\right)\equiv 0 \pmod{5^α}.$$
The $k$-elongated plane partition function modulo small powers of $5$
本文通过经典$q$-级数操作和5-分解，扩展了$k$-伸长分拆菱形生成的分拆数$d_k(n)$的已知结果，证明了其模5、25和125的无限同余族。
Extending recent work of Nath, Saikia, and Sarma on $k$-tuple $\ell$-regular partitions
本文验证了Nath等人关于T_{2,3}(n)模6无限个同余的猜想，并通过q级数技术证明了更一般的结果，同时给出了新的关于T_{ℓ,k}(n)的同余族。
Remarks on a certain restricted partition function of Lin
本文通过q级数和分割公式，给出了林关于b(3n+1)和b(3n+2)生成函数的初等证明，并建立了b(n)对3的无限多个内部同余式。
Arithmetic Properties of Overpartition Triples
令${\overline{p}_{3}}(n)$为$n$的过划分三元组的数目。通过初等级数运算，我们建立了${\overline{p}}_{3}(n)$模2的小幂的一些同余，如\[{\overline{p}_{3}}(16n+14)\equiv 0 \pmod{32}, \quad {\overline{p}_{3}}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}.\]。我们还发现了${\overline{p}_{3}}(n)$模7，9和11的许多算术性质，涉及下列Ramanujan型同余的无限族：对任意整数$α\ge 1$和$n \ge 0$，我们有${\overline{p}_{3}}\big({{3}^{2α+1}}(3n+2)\big)\equiv 0$（mod $9\cdot 2^4$），$\overline{p}_{3}(4^{α-1}(56n+49)) \equiv 0$（mod 7）和\[{\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+3)\big)\equiv {\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+5)\big)\equiv {\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+6)\big)\equiv 0 \pmod{7}.\]
A congruence obstruction to Roman's bound for Zarankiewicz numbers
该研究证明了s≥3时Zarankiewicz数的Roman界在设计阈值正下方大部分范围无法达到，明确了同余障碍条件，并关联线性规划分析了相关界的可达性。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。