Global well-posedness for a NLS-KdV system on $\mathbb{T}$
本文证明了在能量空间$H^1\times H^1$以下的初始数据$(u_0,v_0)$下，$\mathbb{T}$上的Schr dinger- Korteweg - deVries（NLS-KdV）系统的Cauchy问题是整体适定的.更准确地说，我们表明，非共振NLS-KdV是全局适定的初始数据$(u_0,v_0)\in H^s(\mathbb{T})\times H^s(\mathbb{T})$与$s>11/13$和共振NLS-KdV是全局适定的初始数据$(u_0,v_0)\in H^s(\mathbb{T})\times H^s(\mathbb{T})$与$s>8/9$。证明该定理的思想是应用Colliander，Keel，Staffilani，Takaoka和Tao的I-方法，以改进Arbieto，Corcho和Matheus关于能量空间$H^1\times H^1$中$\mathbb{T}$上NLS-KdV的整体适定性的结果.
2005-11-19 math.AP
Global well-posedness and scattering for defocusing, cubic NLS in $\mathbb{R}^3$
我们证明了全球适定性和分散的散焦，立方NLS的$\mathbb{R}^3$与初始数据在$H^s(\mathbb{R}^3)$为$s>49/74$。该证明结合了\cite{CKSTT4}的共振分解思想和\cite{ben1} \cite{roy}的线性-非线性分解思想以及大时间迭代思想。
2012-02-13 math.AP
Global well-posedness of the energy-critical defocusing NLS on $\mathbb{R}\times\mathbb{T}^3$
本文证明了能量临界散焦初值问题\begin{equation*} (i\partial_t+Δ_x)u=u|u|^2,\qquad u(0)=ϕ, \end{equation*}在半周期环境$x\in\R\times\T^3$下的$H^1$的整体适定性.
2011-02-28 math.AP
On long time behavior of the focusing energy-critical NLS on $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$ via semivirial-vanishing geometry
研究了波导流形$\mathbb{R}_x^d\times\mathbb{T}_y$上的聚焦能量临界非线性光学系统\begin{align}\label{nls_abstract} i\partial_t u+Δ_{x,y} u=-|u|^{\frac{4}{d-1}} u\tag{NLS} \end{align}，其中波导流形具有$d\geq 2$ .我们揭示了一个有点违反直觉的现象，尽管非线性势的能量临界性，\eqref{nls_abstract}的长时间动力学是纯粹由具有能量亚临界特性的半维里消失几何决定的。作为一个出发点，我们考虑一个极小化问题$m_c$上定义的半维里消失流形与规定的质量$c$。我们证明了对于所有足够大的质量的变分问题$m_c$有一个唯一的优化$u_c$满足$\partial_y u_c=0$，而对于所有足够小的质量，任何优化的$m_c$必须有非平凡的$y$依赖。然后，证明了$m_c$刻画了\eqref{nls_abstract}的有限时间爆破解（$d=2,3$）和全局散射解（$d=3$）分支的一个与半维里符号相关的尖锐阈值.据作者所知，本文还给出了第一个大数据散射的结果集中NLS产品空间中的能量临界设置。
2022-06-28 math.AP
Global Well-posedness for the focusing cubic NLS on the product space $\mathbb{R} \times \mathbb{T}^3$
本文证明了在积空间$\mathbb{R} \times \mathbb{T}^3$上聚焦的三次非线性薛定谔方程的整体适定性，其初始值低于欧氏空间中基态的阈值.在Ionescu-Pausader \cite{IPRT3}（Comm.Math.Phys.312（2012），no.3，781-831）中讨论并证明了散焦类似物。
2020-09-02 math.AP
Existence and asymptotic stability of quasi-periodic solution of discrete NLS with potential in $\mathbb{Z}$
证明了离散非线性薛定谔方程（DNLS）的两参数小时间拟周期解的存在性。我们进一步证明了DNLS的所有小解都是这个拟周期解和色散波的特例。
2016-04-08 math.AP
Reducibility and nonlinear stability for a quasi-periodically forced NLS
基于二维环面$\mathbb T^2:= (\mathbb R/2π\mathbb Z)^2$上的非线性立方薛定谔方程（NLS）的KAM环面的长时间稳定性与不稳定性问题，我们考虑了由KAM环面上的NLS线性化而产生的$\mathbb T^2$上的拟周期强迫NLS方程.我们证明了一个约化结果以及原点的长时间稳定性。主要的新颖性是获得精确的渐近展开的频率，使我们能够在任意阶Melnikov条件。
2022-08-03 math.AP
Multiplicity of solutions for a NLS equations with magnetic fields in $\mathbb{R}^{N}$}
研究了一类复方程非平凡弱解的多重性。这类问题与一类非线性Schödinger方程的孤波的存在性有关。利用极大极小方法和Lusternik-Schnirelman的临界点理论建立了主要结果。
2013-04-17 math.AP
Global regularity for the energy-critical NLS on $\mathbb{S}^3$
在$\mathbb{S}^3$上建立了能量临界非线性薛定谔方程解的整体存在性.这遵循类似的路线上的工作$\mathbb{T}^3$，但需要新的灭绝结果的线性解决方案和界限上的第一个非线性的Euclidean配置文件，适应新的几何形状。
2013-04-17 math.AP
Growth of Sobolev norms for the quintic NLS on $\mathbb T^2$
研究了二维环面上的五次非线性薛定谔方程，给出了其Sobolev范数随时间增长的轨道.主要的一点是减少到一个足够简单的玩具模型，类似于在许多方面的情况下使用的立方体NLS。这需要精确的组合分析。
2014-05-07 math.AP
Almost sure scattering for the energy-critical NLS with radial data below $H^1(\mathbb{R}^4)$
利用$\frac56<s<1$和$H^s(\mathbb{R}^4)$证明了具有随机球对称初值的能量临界非线性薛定谔方程解的几乎必然整体存在性和散射性.我们受到启发，考虑这个问题的最近工作的多德森-Lührmann-门德尔松，其中处理类似的问题的能量临界波动方程。
2017-07-27 math.AP
Normalized ground states and threshold scattering for focusing NLS on $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$ via semivirial-free geometry
研究了波导流形$\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$上的聚焦非线性光学系统\begin{align}\label{nls_abstract} i\partial_t u+Δ_{x,y} u=-|u|^αu\tag{NLS} \end{align}在临界区$α\in(\frac{4}{d},\frac{4}{d-1})$的特性。通过假设\eqref{nls_abstract}与$y$无关，它简化为$\mathbb{R}^d$上的聚焦临界NLS，已知其具有驻波和有限时间爆破解。自然，我们会问这些特殊的解决方案与非平凡$y$依赖是否存在。本文对此问题给予肯定的回答。为此，我们引入了\textit{semivirial}泛函的概念，并考虑了半维里消失流形上的一个极小化问题$m_c$。我们证明，对于任何$c\in(0,\infty)$的变分问题$m_c$有一个基态优化器$u_c$也解决了驻波方程$$-Δ_{x,y}u_c+β_c u_c=|u|^αu $$与一些$β_c>0$。此外，我们证明了存在一个临界数$c_*\in(0,\infty)$，使\begin{itemize} \item For $c\in(0,c_*)$, any optimizer $u_c$ of $m_c$ must satisfy $\pt_y u_c\neq 0$. \item For $c…
2023-01-30 math.AP
On the global well-posedness of the quadratic NLS on $L^2(\mathbb{R}) + H^1(\mathbb{T})$
研究了一维非线性薛定谔方程的幂非线性$|u|^{α- 1} u$，方程的初值为$u_0 \in L^2(\mathbb{R}) + H^1(\mathbb{T})$ .我们证明了Cauchy问题是局部适定的。在二次非线性（$α= 2$）情形下，利用Gronwall不等式得到了空间$C(\mathbb{R}, L^2(\mathbb R) + H^1(\mathbb T))$的整体适定性.
2019-10-10 math.AP
Stability of multi-solitons in the cubic NLS equation
研究了三次非线性薛定谔方程中多孤子的稳定性。利用Dressing变换和逆散射变换方法，得到了当初始数据在加权$L^2(\mathbb{R})$空间时，多孤子在$L^2(\mathbb{R})$空间的轨道稳定性.
2013-07-11 math.AP
Non-existence of solutions for the periodic cubic NLS below $L^2$
本文证明了圆上三次非线性薛定谔方程（NLS）解的不存在性，如果初始数据属于$H^s(\mathbb{T}) \setminus L^2(\mathbb{T})$，对于某些$s \in (-\frac18, 0)$ .证明的基础是建立在负索伯列夫空间中的重整化三次非线性最小二乘解的先验界通过短时傅立叶限制范数方法。
2016-11-26 math.AP
On well-posedness results for the cubic-quintic NLS on $\mathbb{T}^3$
考虑三维环面$\mathbb{T}^3$上周期三次五次非线性薛定谔方程\begin{align}\label{cqnls_abstract} (i\partial_t +Δ)u=μ_1 |u|^2 u+μ_2 |u|^4 u\tag{CQNLS} \end{align}，方程的解具有$μ_1,μ_2\in \mathbb{R} \setminus\{0\}$ .作为第一个结果，我们建立了小数据适定性的\eqref{cqnls_abstract}任意给定的$μ_1$和$μ_2$。通过调整\cite{zhang2006cauchy}中的关键扰动参数，我们还证明了在$μ_2>0$情形下，\eqref{cqnls_abstract}在$H^1(\mathbb{T}^3)$中总是全局适定的.
2023-01-31 math.AP
Discontinuous Ground States for NLSE on $\mathbb{R}$ with a Fülöp-Tsutsui $δ$ interaction
研究了具有聚焦非线性项和原点缺陷的一维非线性薛定谔方程基态解的存在性和稳定性。本文定义了Nehari流形上作用泛函的全局极小值为基态，所考虑的缺陷是Fülöp-Tsutsui $δ$型，即允许不连续的$δ$条件.用变分方法证明了基态的存在性，用Grillakis-Shatah-Strauss理论证明了基态的稳定性。
2020-10-02 math.AP
Global Well-Posedness of 2D Non-Focusing Schrödinger Equations via Rigorous Modulation Approximation
研究了一类非线性薛定谔方程（NLS）在$\mathbb{R}^2$上具有任意奇次幂非线性项的Cauchy问题的长时间适定性.具体地说，本文的方法适用于那些NLS方程具有椭圆签名与散焦非线性，否则具有不定签名。通过严格证明，这些方程管理的调制波包样的解决方案的人工构造的方程具有有利的结构，我们表明，先验的解决方案的每个亚临界非齐次Sobolev范数增加在最多多项式的时间。全球适定性其次是一个标准的应用程序的亚临界局部理论。
2016-05-11 math.AP
Threshold scattering for the focusing NLS with a repulsive Dirac delta potential
建立了具有排斥狄拉克δ势\[ i\partial_{t}u+\partial^{2}_{x}u+γδ(x)u+|u|^{p-1}u=0, \quad (t,x)\in {\mathbb R}\times{\mathbb R}, \]的聚焦质量超临界非线性薛定谔方程在质能阈值下解的散射，即当$E_γ(u_{0})[M(u_{0})]^σ=E_{0}(Q)[M(Q)]^σ$，其中$u_{0}\in H^{1}({\mathbb R})$为初始数据，$Q$为实数线上自由非线性系统的基态，${\mathbb R}$为能量，$M$为质量，$σ=(p+3)/(p-5)$ .我们还证明了失败的统一时空界限的质能阈值。
2021-07-31 math.AP
Singularity formation for the 1-D cubic NLS and the Schrödinger map on $\mathbb S^2$
本文考虑一维三次薛定谔方程，其数据为Dirac- $δ$函数的小扰动以及其它一些相关方程。我们首先回顾一下，虽然这类数据的问题是不适定的，但可以使用薛定谔映射的几何框架来定义奇点时间之外的解。然后，我们找到一些自然的和定义良好的几何量，在零时刻不规则。最后，我们将这些结果与激发本说明的流体力学中的一些已知现象联系起来。
2017-02-07 math.AP
The global Cauchy problem for the NLS with higher order anisotropic dispersion
本文利用Strauss提出的方法在调制空间$M_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$中得到了小数据Cauchy问题的全局适定性结果，其中$q=1$和$s\geq0$或$q\in(1,\infty]$和$s>\frac{d}{q'}$是一类具有高阶各向异性色散和代数非线性的非线性薛定谔方程.
2019-04-01 math.AP
Three bound states with prescribed angular momentum to the cubic-quintic NLS equations in $\mathbb{R}^{3}$
本文研究三维三次-五次NLS方程具有给定角动量和质量的束缚态，证明了双约束问题存在局部极小值、山隘型和全局极小值三个解，并构造新山隘路径揭示其几何联系与能级比较。
2025-07-09 math.AP
Knocking out teeth in one-dimensional periodic NLS
我们证明了一维三次非线性薛定谔方程的Cauchy问题在扩展意义下的弱解的存在性，初始数据为$u_{0}$在$H^{s_{1}}(\mathbb R)+H^{s_{2}}(\mathbb T), 0\leq s_{1}\leq s_{2}.$此外，我们还证明了如果$u_{0}\in H^{s}(\mathbb R)+H^{\frac12+ε}(\mathbb T)$，其中$ε>0$和$\frac16\leq s\leq\frac12$，则解在$H^{s}(\mathbb R)+H^{\frac12+ε}(\mathbb T).$中是唯一的。我们的主要工具是通过使用分部微分技术进行规范型约化。
2019-03-21 math.AP
Global $H^2$-solutions for the generalized derivative NLS on $\mathbb{T}$
本文通过提取问题项并构造合适能量，结合分部积分与方程本身消去困难项，证明了一维环面上广义导数非线性薛定谔方程柯西问题的全局 $H^2$ 解存在性，回答了 Ambrose 和 Simpson 提出的公开问题。
2024-06-10 math.AP
Global well-posedness of defocusing cubic NLS in $M^{\infty,1}(\mathbb{R})$
本文证明了散焦三次NLS方程在调制空间中的全局适定性，通过构造满足局部守恒律的非负密度并协调局部化尺度与NLS缩放来控制范数，适用于任意数据包括准周期轮廓。
2026-10-20 math.AP
Global existence for the derivative NLS equation in the presence of solitons
我们证明了DNLS方程在包含所有孤子的邻域的$H^2(\mathbb R)\cap H^{1,1}(\mathbb R)$的一个大子集中的整体解的存在性。我们使用了最近由D. Pelinovsky和Y. Shimabukuro，和一个自动Bäcklund变换，以包括孤子。
2017-08-05 math.AP
$H^s_x\times H^s_x$ scattering theory for a weighted gradient system of 3D radial defocusing NLS
本文利用$I$方法，建立了如下柯西问题的$H^s_x\times H^s_x$散射理论：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lll} iu_t+Δu=λ|v|^2u,\quad iv_t+Δv=μ|u|^2v,\quad x\in \mathbb{R}^3,\ t>0,\\ u(x,0)=u_0(x),\quad v(x,0)=v_0(x),\quad x\in \mathbb{R}^3. \end{array}\right. \end{equation*}这里是$λ>0$，$μ>0$，$(u_0,v_0)\in H^s_x(\mathbb{R}^3)\times H^s_x(\mathbb{R}^3)$和$\frac{1}{2}<s<1$ .
2021-05-24 math.AP
Normalized solutions for the fractional NLS with mass supercritical nonlinearity
在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{R}^N)$中研究了具有给定$L^2$ -范数$\int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 \, dx =m$的分数阶非线性薛定谔方程$(-Δ)^s u = f(u)$解的存在性.在相当一般的假设下，非线性$f$，我们证明了基态解的存在性和多重性的结果在径向对称的情况下。
2020-11-06 math.AP
Blow-up of non-radial solutions for the $L^2$ critical inhomogeneous NLS equation
我们考虑$L^2$中的$L^2$临界非齐次非线性薛定谔（INLS）方程$$ i \partial_t u +Δu +|x|^{-b} |u|^{\frac{4-2b}{N}}u = 0, $$，其中$N\geq 1$和$0<b<2$。证明了如果$u_0\in H^1(\mathbb{R}^N)$满足$E[u_0]<0$，则相应的解在有限时间爆破.这与经典的$L^2$临界NLS方程形成鲜明对比，其中这种类型的结果仅在$N\geq 2$的径向情况下是已知的。
2021-08-25 math.AP
Multiple solutions for a NLS equation with critical growth and magnetic field
本文研究了一类复问题$$ (-i\nabla - A(μx))^{2}u= μ|u|^{q-2}u + |u|^{2^{*}-2}u \ \mbox{in} \ Ω, \ \ \ \ u \in H^{1}_{0}(Ω,\mathbb{C}), $$的非平凡解的多重性，其中$Ω\subset \mathbb{R}^{N} (N \geq 4)$是具有光滑边界的有界区域.利用Lusternik-Schnirelman理论，我们将解的个数与$Ω$的拓扑联系起来.
2013-04-17 math.AP
Polynomial growth of Sobolev norms of solutions of the fractional NLS equation on $\mathbb{T}^d$
本文证明了分数非线性Schrödinger方程在\T^d上解的Sobolev范数的多项式增长界，通过建立分数Schrödinger方程在\T^d上的Strichartz估计来克服高维中的非均匀性问题。
2026-10-08 math.AP
$\text{L}^2$ solutions for cubic NLS equation with fractional elliptic/hyperbolic operators on $\mathbb{R}\times\mathbb{T}$ and $\mathbb{R}^2$
本文针对圆柱和平面上的三次薛定谔方程，利用 Strichartz 不等式证明分数阶导数参数大于1时的 L² 全局适定性，并指出椭圆和双曲情形下参数范围的限制。
2025-02-25 math.AP
Global Cauchy problems for the nonlocal (derivative) NLS in $E^s_σ$
本文考虑超临界函数空间$E^s_σ$中（导）非局部NLS的Cauchy问题，其范数由$$ \|f\|_{E^s_σ} = \|\langleξ\rangle^σ2^{s|ξ|}\hat{f}(ξ)\|_{L^2}, \ s<0, \ σ\in \mathbb{R}. $$定义。任何Sobolev空间$H^{r}$都是$E^s_σ$的子空间，即，任何$ r,σ\in \mathbb{R}$和$s<0$的$H^r \subset E^s_σ$。设非局部NLS（非局部导数NLS）的$s<0$和$σ>-1/2$（$σ>0$）。当初始数据属于$E^s_σ$且其Fourier变换在$(0, \infty)$中得到支持时，我们证明了解的整体存在唯一性，对于整体解，不需要$E^s_σ$中初始数据的小性条件.
2022-07-10 math.AP
Ill-posedness of the cubic nonlinear half-wave equation and other fractional NLS on the real line
本文研究了三次分数阶非线性薛定谔方程的不适定性。首先，我们考虑$\mathbb R$上的三次非线性半波方程。特别是，我们证明了以下不适定性的结果：（一）失败的局部一致连续性的解决方案映射在$H^s(\mathbb R)$的$s\in (0,\frac 12)$，并为$s=0$在聚焦的情况下;（二）失败的$C^3$ -光滑的解决方案映射在$L^2(\mathbb R)$ ;（三）规范膨胀，特别是失败的连续性的解决方案映射在$H^s(\mathbb R)$，$s<0$。通过类似的论证，我们还证明了三次分式NLS在负Sobolev空间中的范数膨胀。令人惊讶的是，我们得到规范的膨胀以上的缩放临界规律的情况下，分散$|D|^β$与$β>2$。
2016-01-29 math.AP
Long time behaviors for the inhomogeneous NLS with a potential in $\mathbb{R}^3$
本文研究了带势能的聚焦非齐次非线性 Schrödinger 方程在能量空间中的解的散射问题，通过证明散射准则并结合 Morawetz 估计，将已有散射理论推广至非径向对称情形。
2024-01-04 math.AP
On Lattice Points, Short-Time Estimates, and Global Well-posedness of the Quintic NLS on $\mathbb{T}$
本文通过将短时估计与薄圆环内的格点数相联系，改进了 $\mathbb{T}$ 上的短时估计，将周期五次 NLS 的适定性水平提升至 $s > \frac{131}{624}$，并给出了依赖格点计数改进的条件性结果。
2025-08-10 math.AP
Wiener randomization on unbounded domains and an application to almost sure well-posedness of NLS
我们考虑一个随机化的功能$\mathbb R^d$，自然与维纳分解，本质上，调制空间。这样的随机化函数享有更好的可积性，从而使我们能够改善薛定谔方程的薛定谔估计。作为一个例子，我们还证明了$\mathbb R^4$上的能量临界立方非线性薛定谔方程对于能量空间以下的随机初始数据几乎必然是局部适定的。
2014-06-07 math.AP
Solitons, scattering and blow-up for the nonlinear Schrödinger equation with combined power-type nonlinearities on $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$
University of Pisa（比萨大学）；Shenzhen MSU-BIT University（深圳北理莫斯科大学）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
本文研究波导流形上组合幂次非线性NLS的长时间动力学，通过构造两个重标度变分问题族，建立了孤立子、散射与爆破解的定性定量性质及周期性依赖结果。
2026-09-25 math.AP
Nonlinear PDEs with modulated dispersion I: Nonlinear Schrödinger equations
我们开始研究各种非线性偏微分方程的色散项的时间调制的影响下。特别是在本文中，我们考虑调制的非线性薛定谔方程（NLS）在1和2维和导数NLS在1维。我们引入了一个确定性的概念，“不规则”的调制，并获得本地和全球的结果类似于那些有效的调制。在某些情况下，我们展示了如何调制的不规则性提高了方程的适定性理论。我们开发了两种不同的方法来分析调制的影响。第一种方法是基于新的估计的调节效果的调制色散的非线性项，使用控制路径的理论。第二种方法是一个扩展的Debussche和Tsutsumi的布朗调制的五次NLS的情况下，第一次获得的Eschhartz估计。
2015-01-29 math.AP math.PR
Existence of global solutions to the derivative NLS equation with the inverse scattering transform method
在没有小范数假设的情况下，我们讨论了微分非线性薛定谔（DNLS）方程整体解的存在性。利用无本征值和共振的逆散射变换方法，构造了$H^2(\mathbb{R}) \cap H^{1,1}(\mathbb{R})$中关于初始数据也是Lipschitz连续的唯一整体解.与已有文献中DNLS方程的谱问题相比，相应的黎曼-希尔伯特问题被定义在复平面上，并在实直线上进行跳跃.
2016-02-05 math.AP
Blow-up solutions on a sphere for the 3d quintic NLS in the energy space
证明了在$d=1, 2$情形下，若$u(t)$是具有初始数据$u_0\in H^1(\mathbb{R}^d)$的$L^2$临界聚焦NLS方程$i\partial_t u +Δu + |u|^{4/d} u=0$的Merle-Raphaël（2001-2005）研究的那种类型的双对数爆破解，则$u(t)$在$H^1$中远离爆破点保持有界.这是在不假设初始数据$u_0$具有任何超过$H^1(\mathbb{R}^d)$的规律性的情况下获得的。作为$d=1$结果的一个应用，我们在径向能量空间$H^1_{rad}(\mathbb{R}^3)$中构造了初始数据的一个开子集，并给出了三维五次（$\dot H^1$ -临界）聚焦NLS方程$i\partial_tu + Δu + |u|^4u=0$在正半径球面上爆破的相应解.这改进了Raphaël-Szeftel（2009），其中获得了$H^3_{rad}(\mathbb{R}^3)$中的开子集。证明的方法可以概括为：在整个空间上，爆破尺度以上的高频由双线性Eschhartz估计控制。另一方面，在爆炸核心之外，低频由有限的传播速度控制。
2010-07-07 math.AP
On existence and stability results for normalized ground states of mass-subcritical biharmonic NLS on $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}^n$
在乘积空间$\mathbb{R}_x^d\times\mathbb{T}_y^n$上研究了聚焦质量亚临界双调和非线性薛定谔方程。在\cite{TTVproduct2014}中引入的关键标度参数之后，我们建立了BNLS归一化基态的存在性和稳定性结果。此外，在低阶色散是缺席的情况下，我们证明了存在一个临界质量数$c_0\in(0,\infty)$，急剧决定了$y$依赖的推导基态。在混合色散的情况下，我们遇到了一个主要的挑战，因为BNLS不再是标度不变的，并且\cite{TTVproduct2014}用于确定基态的急剧$y$依赖性的参数失败。本论文的主要新颖之处是解决这个困难和有趣的问题：使用不同的缩放参数，我们表明，$y$ -独立的基态小质量仍然持有的情况下$β>0$和$α\in(0,4/(d+n))$。此外，我们还证明了具有足够大的质量的基态必须具有非平凡的$y$依赖性，呼吁一些新的检验函数的建设。后者特别适用于所有参数躺在全质量亚临界制度。
2022-12-01 math.AP
Construction of two-bubble solutions for the energy-critical NLS in dimension 6
Sorbonne Université（索邦大学）；Beijing Normal University（北京师范大学）
该研究针对6维能量临界聚焦非线性薛定谔方程，引入修正调制参数克服基态不属于$\dot H^{-1}$导致的标准方法失效问题，构造了双泡解并建立线性化能量的强制性估计。
2026-09-28 math.AP
Global well-posedness of the one-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation in almost critical spaces
本文首先引入了一个新的函数空间$MH^{θ, p}$，它的范数由给定函数的调制$H^θ$-范数的$\ell^p$-和给出。特别地，当$θ< -\frac 12$，我们表明，空间$MH^{θ, p}$符合调制空间$M^{2, p}(\mathbb R)$的实数线和Fourier-Lebesgue空间$\mathcal F L^{p}(\mathbb T)$的圆。我们使用这种等价的规范和伽利略对称性，以适应由Killip-Vivian-Zhang构造的调制空间设置的守恒量。利用标度对称性，我们证明了一维立方非线性薛定谔方程（NLS）在几乎临界空间中的整体适定性。更准确地说，我们表明，$\mathbb R$上的三次NLS是全球适定的$M^{2, p}(\mathbb R)$的任何$p < \infty$，而重整化的三次NLS的$\mathbb T$是全球适定的$\mathcal FL^p(\mathbb T)$的任何$p < \infty$。在附录中，我们还建立了修正KdV方程（mKdV）在实直线上的调制空间和圆上的Fourier-Lebesgue空间中的类似的全局时间界。在这种情况下，证明的另一个关键成分是伽利略变换，它将mKdV转换为mKdV-NLS方程。
2020-01-25 math.AP
Small data global well-posedness for the inhomogeneous biharmonic NLS in Sobolev spaces
本文研究非齐次双调和非线性薛定谔方程（IBNLS）\[iu_{t} +Δ^{2} u=λ|x|^{-b}|u|^σu,u(0)=u_{0} \in H^{s} (\mathbb R^{d}),\]的Cauchy问题，其中$λ\in \mathbb R$，$d\in \mathbb N$，$0<s<\min \{2+\frac{d}{2},\frac{3}{2}d\}$和$0<b<\min\{4,d,\frac{3}{2}d-s,\frac{d}{2}+2-s\}$ .在非线性项的正则性假设下，我们证明了当初始数据足够小且$\frac{8-2b}{d}<σ< σ_{c}(s)$满足条件时，IBNLS方程在$H^{s}(\mathbb R^{d})$中是整体适定的，其中当$s<\frac{d}{2}$满足条件时为$σ_{c}(s)=\frac{8-2b}{d-2s}$，当$s\ge \frac{d}{2}$满足条件时为$σ_{c}(s)=\infty$.
2022-07-12 math.AP
Global well-posedness for the higher order non-linear Schrödinger equation on modulations spaces
针对调制空间中高阶非线性薛定谔方程的初值问题，利用Killip等学者的思想，证明当$s\geq\frac14$且$p\geq2$时该问题在调制空间$M^{s,p}$中整体适定。
2024-11-29 math.AP
On the inhomogeneous NLS with inverse-square potential
本文考虑$\mathbb{R}^N$ $$ i u_t + \mathcal{L}_a u+λ|x|^{-b}|u|^αu = 0,\;\;\mathcal{L}_a=Δ-\frac{a}{|x|^2}, $$中具有平方反比势的非齐次非线性薛定谔方程，其中$λ=\pm1$，$α,b>0$和$a>-\frac{(N-2)^2}{4}$ .我们首先建立了$λ=1$在$H^1_a(\mathbb{R}^N)$中整体存在和爆破的充分条件，使用Gagliardo-Nirenberg型估计。在续集中，我们研究了局部和全球的适定性在$H^1_a(\mathbb{R}^N)$在$H^1$ -亚临界的情况下，应用标准的Eschenhartz估计结合不动点参数。做到这一点的关键是建立良好的非线性估计。利用这些估计，我们还显示了一个散射准则，并在$H^1_a(\mathbb{R}^N)$中构建了一个波算子，质量超临界和能量亚临界的情况下。
2021-01-21 math.AP
Growth of Sobolev norms for the analytic NLS on $\mathbb T^2$
本文考虑二维环面上具有任意解析规范不变非线性项的完全共振散焦非线性薛定谔方程。修复$s>1$。我们证明了这个方程的解的存在性，实现任意大的增长$H^s$ Sobolev规范。我们还估计了实现这一增长所需的时间。
2017-06-15 math.AP math.DS
Scattering for the quadratic NLS system in $\mathbb{R}^{5}$ without mass resonance or radial symmetry
The University of Osaka（大阪大学）；ARISE Analytics Inc.（ARISE Analytics公司）
本文证明二次NLS系统在$\mathbb{R}^{5}$中，当$\kappa\neq1/2$且无径向对称时，基态以下存在散射，方法基于Kenig--Merle的集中紧性与刚性及局部virial论证。
2026-09-29 math.AP
Scattering below the ground state for the intercritical non-radial inhomogeneous NLS
本文考虑具有$N\geq 2$，$0<b<\min\{\tfrac{N}{2},2\}$和$\tfrac{4-2b}{N}<α<\tfrac{4-2b}{N-2}$的聚焦非齐次非线性薛定谔方程\[ i\partial_t u + Δu + |x|^{-b}|u|^αu = 0\quad\text{on}\quad\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N, \].这些约束使方程的质量-超临界和能量-亚临界。推广了Farah-Guzmán和Miao-Murphy-Zheng的结果，证明了在一般初始条件下基态以下的散射.
2020-07-13 math.AP
Long-time asymptotics for the focusing nonlinear Schrödinger equation with nonzero boundary conditions at infinity and asymptotic stage of modulational instability
利用最近发展起来的非零对称边界条件下的逆散射变换（IST），以及Deift和Zhou的非线性最速下降法，对振荡黎曼-希尔伯特问题，刻画了无穷远点上聚焦非线性薛定谔（NLS）方程的长时间渐近行为.首先，IST是制定在一个单一的片的复平面，而不引入一个均匀化变量。因此，具有非零边界条件的聚焦NLS方程的解与合适的矩阵黎曼-希尔伯特问题相关联，该问题的跳跃对于连续谱的某些部分随时间呈指数增长。这种增长是IST背景下众所周知的调制不稳定性的标志。然后通过在复谱平面中对黎曼-希尔伯特问题进行适当的变形来消除这种增长。渐近时间，$xt$ -平面被发现分解成两种类型的区域：一个左远场区域和一个右远场区域，其中的解决方案等于在无穷远的条件，以领先的顺序到相移，和一个中心区域，其中的渐近行为是由缓慢调制的周期振荡。在后者的区域中，它也表明，模的领导阶的解决方案，这是最初获得的形式的雅可比θ函数的比率，最终减少到众所周知的椭圆形解决方案的聚焦NLS方程。这些结果提供了调制不稳定介质中恒定背景的一般扰动的长时间行为的第一个表征。
2015-12-18 math.AP
Optimal mass normalizability for Gibbs measure associated with NLS on the 2D disc
本文证明了二维圆盘$\mathbb{D}$上径向聚焦非线性薛定谔方程（NLS）的Gibbs测度在临界质量阈值下的归一化性。该结果完成了Oh-Sosoe-Tolomeo（2021）对$\mathbb{D}$的最佳质量归一化研究。
2022-04-20 math.AP math.PR
On the probabilistic well-posedness of the nonlinear Schrödinger equations with non-algebraic nonlinearities
考虑欧几里得空间上具有非代数非线性项的非线性薛定谔方程（NLS）的Cauchy问题.特别地，我们研究了$\mathbb{R}^d$，$d=5,6$上的能量临界NLS，以及没有规范不变性的能量临界NLS，并证明了它们对于能量空间以下的随机初始数据几乎必然是局部适定的。我们还研究了这些方程解的长时间行为：（i）我们证明了（标准）能量临界NLS在离焦情形下在$\mathbb{R}^d$，$d = 5, 6$上的几乎必然的整体适定性;（ii）我们给出了能量空间以下无规范不变性的能量临界NLS有限时间爆破解的概率构造。
2017-08-04 math.AP
Sharp bilinear eigenfunction estimate, $L^\infty_{x_2}L^p_{t,x_1}$-type Strichartz estimate, and energy-critical NLS
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；University of Cincinnati（辛辛那提大学）
本文通过利用球面的表示论，建立了三维球面上的精确双线性特征函数估计，并改进了各向异性Strichartz估计，从而获得了能量临界NLS在能量空间中的小数据全局适定性。
2025-12-31 math.AP
