Modular representations of exceptional supergroups
Shun-Jen Cheng, Bin Shu, Weiqiang Wang
对素特征的代数闭域上例外代数超群的单模进行了分类。
We classify the simple modules of the exceptional algebraic supergroups over an algebraically closed field of prime characteristic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A superunitary Fock model of the exceptional Lie supergroup $\mathbb{D}(2,1;α)$
构造了例外李群$\mathbb{D}(2,1, α)$的极小表示的Fock模型.通过将作者早先构造的李超代数$D(2,1, α)$的Fock模型积分到群水平，给出了作用的显式表达式。它还表明，表示是超酉意义下的de Goursac-Michel。
Modular representations of the ortho-symplectic supergroups
构造了正交辛李超代数的Chevalley型整基.对素特征不等于2的代数闭域上的正交辛超群的单模进行了分类，其中一个关键的组合成分来自关于对称群的模表示的Mullineux猜想.还得到了正交辛超群的一个Steinberg张量积定理。
A Schrödinger model, Fock model and intertwining Segal-Bargmann transform for the exceptional Lie superalgebra $D(2,1;α)$
我们构造了$D(2,1;α)$的两个无限维不可约表示：一个薛定谔模型和一个Fock模型.此外，我们还引入了一个交织同构。这些表示类似于为正交辛李群和管型埃尔米特李群构造的极小表示。缠绕同构是正交辛李群和管型厄米特李群的Segal-Bargmann变换的类似物。
A general approach to constructing minimal representations of Lie supergroups
在本文中，我们描述了一种方法来推广的最小表示的超设置李超代数从约旦超代数使用TKK建设。这种方法被成功地用于构造正交辛李群$\mathop{OSp}(p,q|2n)$和例外李群$\mathbb{D}(2,1;α)$的Fock模型、薛定谔模型和交织Segal-Bargmann变换.我们还描述了一些障碍，使用这种方法的periplectic和奇怪的李超代数。
Linkage principle for ortho-symplectic supergroups
本文的目的是导出正交辛超群的模表示的联系原理。我们遵循Doty的方法，详细研究了正交辛群$OSP(2|1)$的表示论及其Frobenius增厚。利用标志和相邻Borel超子群的描述，我们首先导出了$SpO(2m|2n+1)$和$SpO(2m|2n)$型正交辛超群$G$的Frobenius增厚$G_rT$的强联系.在此基础上，我们导出了正交辛超群$SpO(2m|2n+1)$和$SpO(2m|2n)$的联系原理。
Modular branching rules for projective representations of symmetric groups and lowering operators for the supergroup Q(n)
对称群和交错群的射影表示论有两种方法，它们足够强大，可以用于模表示。一种是基于Sergeev对偶，它通过适当的Schur（超）代数和Schur函子将对称群的射影表示论和代数超群$Q(n)$的表示论联系起来。第二种方法遵循Grojnowski对经典仿射和分圆Hecke代数的工作，并将特征$p$中的对称群的射影表示论与类型为$A_{p-1}^{(2)}$的扭曲仿射Kac-Moody代数的基本模的晶体图联系起来。本文的目标是将上述两种方法结合起来，得到对称群的射影表示的分支结果。这是通过发展理论降低运营商的超群$Q(n)$这是平行的（虽然更复杂）类似的理论$GL(n)$开发的第一作者。$GL(n)$的降阶算子理论是Carter关于特征零点的工作的非平凡推广，受到了广泛的关注。所以我们的这部分工作可能是独立的。降算子的一个应用是不可约$Q(n)$ -模与自然模和对偶自然模的张量积，由此得到重要的特殊平移函子.我们描述的socles和原始向量在这样的张量积。
Chevalley Supergroups
在代数超几何的框架下，我们构造了Chevalley群的概型超几何类似物，即与经典型单李超代数相关联的仿射代数超群.特别是包括基本（甚至例外）和奇怪的情况。这提供了一个统一的方法来考虑到目前为止在文献中的大多数代数超群，和一个有效的方法来构造新的。作为中间步骤，我们证明了简单经典李超代数的Chevalley基的存在性定理和它们的相关Kostant超代数的PBW-样定理。
Orthosymplectic Satake equivalence, II
本文证明了退化正交辛超群表示与幻仿射Grassmannian上扭曲等变D-模范畴间的Satake等价，并探讨了向量子超群和例外超群的猜想性推广。
Modular generalized Springer correspondence III: exceptional groups
我们完成了任意连通约化群的模广义Springer对应的构造，并给出了归纳级数不相交性的统一证明，避免了本系列以前的论文中所使用的典型群的逐案论证.证明了正则幂零轨道上包含平凡局部系统的诱导级数由外尔群的Sylow子群决定。在一定的假设条件下，给出了一个确定具有给定中心特征标的最小尖点数据的归纳级数的算法。我们还提供了例外型拟单群的模广义Springer对应的表和其他信息，包括在特征良好的情况下尖点对的完全分类，以及$G_2$型对应的完全判定。
Crystal structures arising from representations of $GL(m|n)$
本文给出了超群$GL(m|n).$的模表示论的结果。在任意特征的域上，我们证明了某些晶图的显式组合学描述了Bernstein-Gelfand-Gelfand范畴$\mathcal{O}$的模模拟的表示论。特别地，我们得到了一个链接原则，并描述了某些平移函子对不可约超模的影响。此外，我们的方法占的事实，即$GL(m|n)$有非共轭博雷尔子群，我们展示了如何Serganova的奇反射引起典型的晶体同构。
Modular forms of half-integral weight on exceptional groups
在四元例外群上定义了半整权的模形式。我们证明，他们有一个良好的行为的傅里叶系数，这是复数定义的乘法由$\pm 1$的概念。继Loke-Savin和Ginzburg之后，我们分析了$F_4$的双覆盖上的极小模形式$Θ_{F_4}$.利用$Θ_{F_4}$，我们定义了权$\frac{1}{2}$在$G_2$（的双覆盖）上的模形式.证明了这种模形式在$G_2$上的傅里叶系数在全实三次域的窄类群中具有$2$ -挠率.
The Fourier expansion of modular forms on quaternionic exceptional groups
设$G$是$\mathbf{Q}$上的一个单伴随约化群，具有例外Dynkin型，并且具有$G(\mathbf{R})$四元数（在Gross-Wallach意义下）。然后有一个概念的模形式的$G$，锚定在所谓的四元数离散级数表示的$G(\mathbf{R})$。本文给出了$G$上模形式沿$G$的Heisenberg抛物型$P = MN$的幂幺根$N$的Fourier展开的一个显式.
The roots of exceptional modular Lie superalgebras with Cartan matrix
本研究针对带不可分解Cartan矩阵的例外李超代数，给出对应最多两两正交迷向奇单根的不等价Cartan矩阵的根列表与Chevalley基，工具为SuperLie代码与Python。
Exceptional theta functions and arithmeticity of modular forms on $G_2$
本文研究分裂例外群 $G_2$ 上四元数尖点模形式 Fourier 系数的算术性，通过构造“例外 theta 函数”证明偶数权 $\ell\geq 6$ 时存在系数全在 $\mathbf{Q}$ 的分圆扩张中的基。
Exceptional representations of simple algebraic groups in prime characteristic
设G是特征p>0的代数闭域K上的单连通单代数群，其根系为R，${\mathfrak g}={\cal L}(G)$是它的限制李代数.设V是K上的有限维${\mathfrak g}$ -模.对于任何点$v\inV$，$\mathfrak g$中$v$的{ \it各向同性子代数}是${\mathfrak g}_v=\{x\in{\mathfrak g}/x\cdot v=0\}$。一个限制的${\mathfrak g}$ -模V称为例外的，如果对于每个$v\in V$，各向同性子代数${\mathfrak g}_v$包含一个非中心元（即${\mathfrak g}_v\not\subseteq {\mathfrak z(\mathfrak g)}$）。本文研究不可约例外$\mathfrak g$ -模的分类问题。找到了$\mathfrak g$ -模例外的一个必要条件，并给出了例外型群上模的一个完全分类.对于经典类型群上的模，一般问题被简化为一个未分类模的短列表。例外模的分类在模不变量理论和模单李超代数的分类中有着广泛的应用。
Icosahedron, exceptional singularities and modular forms
我们发现$E_8$ -奇异性方程具有两个不同的对称群和模参数化。一种是经典的二十面体方程，具有二十面体对称性，相关的模形式是五阶θ常数。另一个由群$\text{PSL}(2, 13)$给出，相关的模形式是$13$阶的θ常数。因此，我们表明，$E_8$不是唯一确定的二十面体。这解决了Brieskorn在他的ICM 1970年关于奇异球体、二十面体和$E_8$之间的神秘关系的演讲中提出的一个问题。同时，给出了Arnold的$A, D, E$问题的一个反例，从而解决了另一个相关的简单李代数与柏拉图体的关系问题.此外，我们还利用$13$阶θ常数对例外奇点$Q_{18}$、$E_{20}$和$x^7+x^2 y^3+z^2=0$进行了模参数化，第二奇点为Fermat-Catalan猜想的解提供了一种新的解析构造，并回答了Klein的一个问题.
Duflo-Serganova homology for exceptional modular Lie superalgebras with Cartan matrix
对于特殊的有限维模李超代数$A$及其单子代数，计算了由零平方奇元构成同调的非同构李超代数.这些同调是Duflo-Serganova的表示论方法中的关键成分。李超代数的亏度在文献中有两种定义，其应用范围各不相同。我们提出了第三种定义和一种易于使用的方法来找到它的价值。在正特征中，我们发现了另一个考虑实数上的根空间的原因，而不是权空间，权空间应该在基域上考虑。我们证明了同调元的秩（在计算给定李超代数的亏数时起决定性作用）应该在伴随模中考虑，而不是在最小维的不可约模中考虑（尽管有时可以考虑后者，例如，用于$p=0$）。我们还计算了唯一的情况下，单李超代数的对称根系没有考虑到目前为止，在复数领域的上述同调，其模块版本：$\mathfrak{psl}(a|a+pk)$的$a$和$k$小，和$p=2, 3, 5$。
Mock Modular Index of M2-M5 Brane System
我们提出了生活在相交的M2-M5膜系统上的超群WZW模型的BPS指数。它们可以对伸展的M2-膜在M5-膜之间的数据进行编码，并对BPS态进行计数。它们通常通过仿射李超代数的Kac-Wakimoto特征标公式用模拟θ函数表示。我们给出了$PSL(2|2)_{k=1}$ WZW模型的指数的一个显式表达式。这表明，由于M5-膜上的$C$ -场的存在，在BPS态计数中出现了穿壁现象。
New simple modular Lie superalgebras as generalized prolongs
在特征p>2的代数闭域上，研究了有限维单李代数和具有Cartan矩阵的李超代数在某些最简分次下的交换.发现了几个新的单李超代数，包括超Brown超代数和超Melikyan超代数。对Cartan矩阵秩为2的单李超代数进行了分类.
New Constructions of Exceptional Simple Lie Superalgebras with Integer Cartan Matrix in Characteristics 3 and 5 via Tensor Categories
在Bouarroudj，Grozman，and Leites于2009年对代数闭域上具有不可分解Cartan矩阵的模李超代数及其单子代数的完全分类的基础上，利用张量范畴给出了几个特殊单李超代数的新构造，它们的特征为$p = 3$和$p = 5$.具体地说，令$\mathbfα_p$表示特征为$p$的代数闭域上的加法群概型$\mathbb{G}_a$上的Frobenius自同态的核。Verlinde范畴$\mathrm{Ver}_p$是表示范畴$\mathrm{Rep} \ \mathbfα_p$的半简化，而$\mathrm{Ver}_p$包含超向量空间范畴作为满子范畴。我们构造的每一个例外李超代数都被实现为一个例外李代数的像，该例外李代数在从$\mathrm{Rep} \ \mathbfα_p$到$\mathrm{Ver}_p$的半化简函子下具有至多为$p$阶的幂零导子.
The minimal modular form on quaternionic $E_8$
设$G$是$\mathbf{Q}$上的一个单约化群，具有例外Dynkin型和$G(\mathbf{R})$四元数（在Gross-Wallach意义下）。在前一篇文章中，我们给出了$G$上模形式沿Heisenberg抛物的幂幺根的Fourier展开的一个显式形式。本文给出了四元数$E_8$上的极小模形式$θ_{Gan}$的Fourier展开式及其应用. $Sym^{8}(V_2)$值自守函数$θ_{Gan}$是$E_8$上的一个权4级1模形式，GAN已经研究过.我们给出的应用是四元数$E_7, E_6$和$G_2$上特殊模形式的构造。我们还讨论了$G$群上的一类退化Heisenberg Eisenstein级数，它可以被认为是$\mathrm{GSp}_{2n}$群上的全纯Siegel Eisenstein级数的四元例外群的一个类似物.
Some new simple modular Lie superalgebras
在特征3和特征5中得到了两个新的单模李超代数，它们的偶数部分是正交李代数，奇数部分是自旋模.特征5的情况下，示出相关的，通过建设的山雀，例外的十维约旦超代数卡茨。
Rationality and Fusion Rules of Exceptional W-Algebras
首先证明了关于例外仿射W-代数特征标模不变性的Kac-Wakimoto猜想。事实上，更一般地，我们证明了模不变性的特征的所有lisse W-代数通过哈密尔顿约化的容许仿射顶点代数。其次，我们证明了这些W-代数的一个大子类的合理性，它包括所有例外的A型W-代数和lisse次正则W-代数在简单的花边类型。第三，对于后一种情况，我们计算S-矩阵和融合规则。我们的结果提供了第一个与非主可分辨幂零元元关联的有理W-代数的例子，相应的融合规则是相当神秘的。
Classification of Finite Dimensional Modular Lie Superalgebras with Indecomposable Cartan Matrix
在一些技术性的，但很可能是不必要的假设下，对代数闭域上具有不可分解Cartan矩阵的有限维模李超代数进行了分类。如果Cartan矩阵可逆，则相应的李超代数是单的，否则导出的李超代数模中心的商是单的（如果它的秩大于1）。发现了11个新的例外单模李超代数。经典概念或概念本身的几个特征被澄清或介绍，例如，Cartan矩阵，特征2的限制性的几个版本，Dynkin图，Chevalley生成元，甚至当特征等于2时的李超代数的概念。特征2中的有趣现象是：（1）所有具有Cartan矩阵的单李超代数都是由具有Cartan矩阵的单李代数通过将它的几个（任何）Chevalley生成元设为奇数而得到的;（2）存在偶数部分可解的单李超代数。列出了对应于Dynkin图对称性的自同构的不动点的李超代数，并描述了它们的简单子代数。
Simple Vectorial Lie Algebras in Characteristic 2 and their Superizations
该研究综述特征2下单李代数分类，通过分析多类Weisfeiler分次得到新的特征2单李代数，发现无散场李代数特征2版的新形变体，并给出由单李代数构造单李超代数的方法，得到多个新的单李超代数。
Parabolic induction for modular finite $W$-algebras
利用模有限$W$-代数理论，研究约化代数群李代数约化包络代数的极小维模，证明在经典和大多数例外情形中，极小模由Levi子代数和刚性$p$-特征抛物诱导得到。
On Exceptional Vertex Operator (Super) Algebras
我们考虑特殊的顶点算子代数和顶点算子超代数的性质，特别是Casimir向量构造的最低共形权的主要向量Virasoro后裔的真空。证明了简单模的亏格1分拆函数和特征标必须满足模线性微分方程。证明了中心荷和模最低权的合理性，解的模性，分次空间的维数是中心荷的有理函数，最低权的初等代数生成代数.我们还讨论了最低权准素向量作为自同构群的模约化的条件。最后，我们分析了特殊的顶点算子代数的解决方案的最低重量的主要向量的9和顶点算子超代数的最低重量的主要向量的17/2。已知代数的大多数解可以用简单的普通模来确定，但也有四个由权为2的初等代数生成的限制代数和三个分别由权为3、4和6的初等代数生成的限制极值顶点算子代数。
Decomposition matrices for the generic Hecke algebras on 3 strands in characteristic 0
我们对特征为0的3链上的一般Hecke代数的所有分解矩阵进行了分类。这些是与特殊复反射群$G_4$、$G_8$和$G_{16}$相关的一般赫克代数。我们证明了，对于每一个选择的参数，定义这些代数，所有的常表示得到的模块减少不可约表示。
Characters and fusion rules of boundary W-algebras
本文研究例外W-代数的q-特征标与模数据，建立边界W-代数间的相等性，从而确定A型例外W-代数的融合规则。
Sheaves on affine Schubert varieties, modular representations and Lusztig's conjecture
我们将复仿射Schubert簇上的k-向量空间的某类层与k-李代数上的模（当ch k>0时）或与Langlands对偶根数据相关的小量子群上的模（当ch k=0时）联系起来。作为应用，我们给出了Lusztig猜想关于量子特征标和模特征标的一个新证明。此外，我们涉及的几何和表示理论方面的层的基本时刻图，这使我们能够扩展已知的Lusztig的模块化猜想的情况下，在两个方向：我们给出了一个上界的例外特征，并验证其多重性的情况下，所有相关的素数。
On 1-dimensional representations of finite W-algebras associated to simple Lie algebras of exceptional type
考虑例外型单复李代数$\g$中与幂零元$e \in \g$相关联的有限$W$ -代数$U(\g,e)$.使用通过基于PBW定理的算法获得的演示文稿，我们验证了一个猜想，即$U(\g,e)$总是有一个1维表示，当$\g$是类型$G_2$，$F_4$，$E_6$或$E_7$。由于一个定理的普雷梅特，这使得人们能够推导出存在的最小维表示减少包络代数的模块李代数的上述类型。此外，Losev的一个定理使我们能够推导出在$U(\g)$中存在一个完全素本原理想，它的伴随簇是对应于$e$的余伴随轨道.
Derivations and Central Extensions of Symmetric Modular Lie Algebras and Superalgebras
本文在正特征代数闭域下，研究了秩≤8的对称根系单（近单）李（超）代数、periplectic李超代数及其去超化李代数、沈光宇秩2例外李代数类似物的外导子与非平凡中心扩张，给出了相关结果，部分正特征特有结果与特征0情形不同甚至反直觉。
Exceptional Siegel-Weil theorems for compact $\mathrm{Spin}_8$
本文研究四元数 $E_8$ 中 $G_E\times S_E$ 对偶对，利用极小表示计算平凡表示的提升，证明其对应退化 Eisenstein 级数，并用于 $G_2$ 模形式算术性。
An Atlas of Modular Representation Theory, Version 1: Information on $\mathrm{Ext}^1$ for simple modules for groups of Lie type in defining characteristic over small fields
这份文件是第一次迭代的尝试整理信息的小秩群的李型在小领域，其表示论的定义领域。这一信息是重要的作者的工作子群结构的例外群体的李型。这项工作中最重要的信息是关于简单模块之间的$\mathrm{Ext}^1$的信息，因此在本文档的版本1中，该数据几乎是所有可用数据。此外，还包括了大量关于简单和Weyl模的维数的信息。更一般地，人们可能期望包括关于投射模的柱脚结构，幂幺元作用的Jordan块结构，简单模的对称和外幂的分解，以及模的张量积，半单元的迹等的细节。这些信息的理想场所是专门的网站，连接到一个数据库，可以查询产生所需的信息。这份文件虽然不完美，但目前已经足够了。
The global exceptional theta correspondence for the dual pair $\mathbf{F}_{4}\times \mathbf{PGL}_{2}$
本文研究F₄×PGL₂的例外θ对应，建立了F₄上一类一级自守表示族的存在性，证明PGL₂上权k≥12的尖点本征形式的θ提升非零，还定义了PGL₂上的例外θ级数并证明其张成一级尖点形式空间。
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