$E_{2}$ Structures and Derived Koszul Duality in String Topology
Andrew J. Blumberg, Michael A. Mandell
我们构造了一个等价的$E_{2}$代数之间的两个模型的自由闭路空间的Thom谱相关的导出Koszul对偶。为此，我们描述了拓扑Hochschild上同调的函子性和不变性。
We construct an equivalence of $E_{2}$ algebras between two models for the Thom spectrum of the free loop space that are related by derived Koszul duality. To do this, we describe the functoriality and invariance properties of topological Hochschild cohomology.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Poincaré/Koszul Duality for General Operads
我们记录了一个关于操作数上arity过滤的Koszul对偶的结果。这个结果然后被用来给条件下，对于一个一般的操作，庞加莱/Koszul对偶箭头阿亚拉弗朗西斯是一个等价的。我们讨论如何庞加莱/Koszul对偶箭头的小$n$ -磁盘操作$\mathcal{E}_n$涉及到他们的工作时，结合自Koszul对偶的$\mathcal{E}_n$。
Derived Koszul Duality and Topological Hochschild Homology
受弦拓扑的一个结果的启发，我们证明了拓扑霍赫希尔德同调（THH）中的一个对偶。在一定的紧性条件下，对偶关系将E_1-代数谱的THH与其导出的Koszul对偶代数的THH联系起来.结果依赖于关于模块类别的结果，这些模块类别本身可能是感兴趣的。最后，我们将这一结果与拓扑域论理论，并概述了一些未来的工作。
Protoperads II: Koszul duality
本文构造了原算子的bar-cobar附加算子和Koszul对偶理论，原算子是一个运算型概念，忠实地编码了双李代数（DLie）等一类对角对称双代数.我们给出了一个准则，表明一个二进制二次原胞是Koszul，我们成功地将其应用到原胞DLie。作为推论，我们推出了编码双Poisson代数的恰当DPois是Koszul.这使我们能够描述双泊松代数的同伦性质，在非交换几何中起着关键作用。
Curved Koszul duality of algebras over unital versions of binary operads
我们开发了一个弯曲的Koszul对偶理论的代数提出的二次线性常数的关系，单位版本的二元二次运算。作为应用，我们研究了标准移位辛空间上由多项式函数给出的Poisson $n$ -代数。我们计算这些代数的明确决议使用弯曲Koszul对偶。我们使用这些决议，计算衍生包络代数和因子分解的平行化单连通闭流形的系数在这些泊松$n$ -代数的同源性。
Koszul Duality in an Equivariant Context
本文通过轨道范畴上的dg（余）代数值函子，构建了此前未被考虑的Koszul对偶的等变版本，结合同伦论的传统与现代范畴方法开展研究。
Koszul duality in algebraic topology - an historical perspective
我们调查的拓扑结构，导致原来的酒吧和cobar建设，为结合代数和coalgebras和李代数和交换coalgebras。这些结构通常被视为更大的Koszul二重性理论的一部分，所以这个调查是为了提供一个历史的角度对该理论的最突出的情况。我们还解释了最近的工作表明，霍普夫/连接不变量同伦之间的对偶交换代数和李余代数的心脏。
Koszul duality and equivariant cohomology for tori
设T为环面。我们证明了Koszul对偶可以用来计算拓扑T-空间的等变上同调以及泛T-丛的拉回的上同调。新的特点是不再对空间作进一步的假设，而且系数环可以是任意的。这特别给出了一个任意系数的T-空间的等变上同调的Cartan型模型。我们的方法也适用于相交同调。
Relative nonhomogeneous Koszul duality for PROPs associated to nonaugmented operads
本文应用Positselski相对非齐次Koszul对偶理论于非增广operad的PROP，在约化部分为二元二次且Koszul时，建立相关DG范畴间的Koszul型等价，并以单位结合交换代数operad推广经典对偶。
Algebraic groups of homotopy classes of automorphisms and operadic Koszul duality
本文利用操作子Koszul对偶理论证明了单连通空间有理化同伦自同构类所对应的两个先验不同的代数群同构，并由此得到若干映射同伦类集合的Eckmann-Hilton对偶同构。
Generalized String Topology and Derived Koszul Duality
Gruher和Salvatore的广义弦拓扑构造给闭定向流形$M$上的任何$E_n$ -代数$A$的丛分配了全空间同调上的交型运算的集合。这些操作是在Thom同构下通过Thom谱$A^{-TM}$上的$H_n$ -环结构实现的.我们刚性化和扩展这一建设的一个函子连接同伦理论的空间和谱参数化的$M$的同伦理论的模谱的Atiyah-Milnor-Spanier-Whitehead双$M^{-TM} \simeq \bbD M$。然后，使用$\infty$ -范畴版本的森田理论，我们给出了另一种描述我们的建设在派生的Koszul对偶（别名棒-cobar对偶）之间的$Σ^\infty_+ ΩM$和$\bbD M$。
Koszul duality and equivariant cohomology
设G是一个拓扑群，使得它的系数在主理想整环R中的同调H（G）是一个奇度生成的外代数.我们证明了奇异上链函子将G-空间和BG上空间之间的对偶性带到H（G）和H^*（BG）上的同伦模之间的Koszul对偶性。这特别给出了G-空间的等变上同调的Cartan型模型。作为另一个推论，我们得到了一个乘法拟同构C^*（BG）-> H^*（BG）。证明中的一个关键步骤是证明一个微分霍普夫代数在A-无穷代数范畴中是形式的，只要它在R上是自由的，并且它的同调是外代数。
Categorified Koszul duality of algebras
本文提出了一种代数范畴化的科茨尔对偶理论，研究了单向量范畴中的对偶现象，并建立了与阿廷代数相关的稳定单向量无穷范畴的对偶结果。
Poincaré/Koszul duality
我们证明了因子分解同调的一个对偶，它推广了通常的流形的Poincaré对偶和$\mathcal{E}_n$ -代数的Koszul对偶.对偶性在结合代数的霍赫希尔德同调和李代数的包络代数中有应用。我们在拓扑量子场论的水平上解释了我们的结果。
Koszul duality of E_n-operads
本文的目的是证明环上微分分次模中E_n-算子的一个Koszul对偶结果。E_1-操作数与结合操作数是等价的，这是经典的。当n>1时，E_n-操作数与n-Gerstenhaber操作数的同源性被证明是另一个著名的Koszul操作数。我们的主要定理是：E_n-操作数的对偶余上的操作余构式定义了E_n的余模型。该凝聚模型给出了由Koszul对偶产生的n-Gerstenhaber运算的极小模型在链级的实现。微分分次模中的E_n-运算的大多数模型都是同伦等价于小立方体的链运算序列的嵌套运算序列。在我们的主要定理中，我们还定义了一个在cobar结构层次上的运算嵌入E_n-1 --> E_n的模型。
Koszul duality and Morita categories
该研究证明了谱上运算子与余运算子的Koszul对偶的(∞,2)-范畴版本，建立了Morita范畴间的等价关系，涵盖了多种运算子Koszul对偶形式。
Corrigendum for the article ''Curved Koszul duality theory''
本文勘误了曲率Koszul对偶理论中的错误，修正了半增广properad与曲率余properad之间态射的定义。
Koszul duality between $E_n$-algebras and coalgebras in a filtered category
研究了在适当意义下具有滤子的对称monoidal稳定无穷$1$ -范畴中增广$E_n$ -代数与增广$E_n$ -余代数之间的Koszul对偶.我们得到了Koszul对偶结构限制于增广代数和余代数之间的等价性，这些增广代数和余代数关于滤子具有一定的正性和完备性。我们还得到了Koszul对偶结构是函子之间精心构造的广义Morita范畴组成的代数/余代数在每个维度。
Koszul duality for topological E_n-operads
本文证明了谱中E_n-操作数的Koszul对偶与其n重去悬是O（n）-等变等价的。为此，我们引入了欧几里得空间R_n的一个新的O（n）-操作数，即重心操作数，它是单形上的一个单形，并以同胚为结构映射，我们还引入了它的限制小n-圆盘D_n的子操作数，即E_n-操作数。该对偶由一个不稳定的显式S-对偶对（F_n）_+ \smash BD_n \to S_n实现，其中B是棒-cooperad结构，F_n是Fulton-MacPherson E_n-操作数，对偶对象S_n是R_n中星形邻域的一点紧化球面操作数.我们还证明了算子包含映射E_n \to E_{n+m}的Koszul对偶是May定义的不稳定算子映射E_{n+m} \to的（n+m）重去悬.
Constructible sheaves on simplicial complexes and Koszul duality
我们得到了有限单纯复形上关于逆三角剖分层的可构造范畴的线性代数数据表示。我们还建立了上述范畴与关于三角剖分可构造的反常层范畴之间的Koszul对偶
Koszul self duality of manifolds
本文通过广义Thom复形表达operads的Koszul对偶性，证明小盘模的自对偶性，并应用于分解同调、嵌入演算，确认Ching猜想。
Koszul duality for PROPs
PROP的概念模拟了具有多个输入和多个输出的操作，作用于一些代数结构，如双代数或李双代数。我们证明了PROP的Koszul对偶理论，推广了结合代数和运算的对偶理论。
Coloured Koszul duality and strongly homotopy operads
本文证明了有色算子的Koszul对偶性，并利用它引入了强同伦算子作为算子的一个合适的同伦不变量形式。证明了平面上点的位形空间上的有理链与小圆盘算子上的有理链构成一个强同伦算子。
A Koszul duality for props
prop的概念模拟了具有多个输入和多个输出的操作，作用于一些代数结构，如双代数或李双代数。本文将结合代数和运算的Koszul对偶理论推广到了道具上。
Koszul duality of operads and homology of partition posets
我们考虑一个集合的划分与$r$元素有序的细化。我们考虑单纯复形$\bar{K}(r)$形成的链的分区开始在最小的元素和最大的元素的分区偏序集结束。一个经典定理断言$\bar{K}(r)$等价于$r-1$维球体的楔形。此外，分区的偏序集配备有对称群的自然作用，以$r$字母表示。因此，相关的同调模是对称群的表示。观察到$\bar{K}(r)$的$r-1$ th同调模，其中$r = 1,2,...$与对称群的Lie表示对偶.在这篇文章中，我们想指出，这个定理发生的副产品理论的\emph{Koszul operads}。为此，我们改进了V.Ginzburg和M.卡普拉诺夫在几个方向。更具体地说，我们扩展的Koszul对偶的操作定义在一个领域的积极特征（或环）的操作。此外，我们还得到了V.Ginzburg和M.卡普拉诺夫
Koszul duality and a classification of stable Weiss towers
本文通过引入范畴的Koszul对偶性，证明Weiss演算中的导数构成相应Koszul对偶范畴上的右模，解决Arone--Ching与Espic猜想，并利用范畴Fourier变换对稳定Weiss塔进行分类。
Enriched Koszul Duality
本文为非余单位余幂零dg-余代数与非单位dg-代数建立相容的模型结构，并将二者间的Quillen等价推广到非单位模范畴层面，从而给出Koszul对偶的丰富化形式。
Koszul duality for locally constant factorization algebras
推广Jacob Lurie关于Verdier对偶与迭代闭路空间理论之间关系的思想，研究了局部常数分解代数的Koszul对偶.我们制定了一个类似的Lurie的“nonabelian庞加莱对偶”定理（这是密切相关的早期结果格雷姆西格尔，杜萨McDuff，和保罗萨尔瓦多）在一个对称monoidal稳定的无穷大范畴仔细，使用约翰弗朗西斯的概念切除。它的证明依赖于我们以前对E_n-代数的Koszul对偶的研究。作为结果，我们得到了一个Verdier型等价的分解代数的Koszul对偶结构。
Cocommutative coalgebras: homotopy theory and Koszul duality
本文推广Hinich构造，在特征零代数闭域上为微分分次余交换余代数建立闭模型范畴结构，并证明Koszul对偶可推广为余交换余代数与弯曲Lie代数形式余积间的Quillen等价。
The Koszul complex is the cotangent complex
将结合代数的Koszul对偶理论推广到算子上的代数。回想一下，在经典情况下，这个科苏尔对偶理论依赖于一个重要的链复形：科苏尔复形。我们表明，余切复形，涉及上同调代数论在一个操作，推广Koszul复形。
Koszul spaces
证明了幂零空间是形式空间和共形式空间的充要条件是它与分次交换Koszul代数的导出空间实现是有理同伦等价的。我们称这样的空间Koszul空间，我们表明，合理的同伦群和合理的同源性的迭代闭路空间的Koszul空间可以计算通过应用某些Koszul对偶结构的上同调代数。
Homotopy invariants for $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ via Koszul duality
证明了稳定有理标记曲线的模空间的整上同调环是Koszul的.这回答了马宁的一个悬而未决的问题。利用Berglund发展的Koszul空间的构造方法，计算了这类空间的有理同伦李代数，并在挠系数的情形下，得到了它们的自由闭路空间的贝蒂数的估计.我们还证明和猜想我们的主要结果的一些概括。
Koszul duality for categories with a fixed object set
我们定义了一个概念的Koszul对偶的monoid对象在monoidal双闭模型范畴。我们的构造推广了经典的Yoneda代数$Ext_A(k,k)$。我们应用这个一般的建设，以定义Koszul对偶的一个范畴丰富的频谱或链复形。这个例子依赖于经典的观察，丰富的类别是丰富的图的类别中的幺半群对象。我们观察到丰富图的范畴是双闭的，这意味着它带有左和右内部hom对象。给定一个范畴$R$（在经典代数中起着基域$k$的作用）和一个扩充的$R$ -代数$C$，我们定义$C$的Koszul对偶，记为$K(C)$，作为右$C$ -模范畴中$R$的导出自同态的$R$ -代数.我们建立了$C$上的模块范畴与$K(C)$上的模块范畴之间的期望关系。本文研究了从$C$到它的双对偶$K(K(C))$的映射何时是等价的问题。我们还表明，Koszul对偶的操作可以理解为一个特殊的情况下，Koszul对偶的范畴。通过这种方式，我们将Koszul二重性的歌剧在更广泛的背景下，并可能澄清它的某些方面。
Derived Koszul Duality and Involutions in the Algebraic K-Theory of Spaces
我们解释不同的建设的代数$K$ -理论的空间作为一个实例派生Koszul（或酒吧）的对偶性，也作为一个实例森田等价。我们将这两种描述之间的相互作用与同伦对合联系起来。我们根据$Σ^{\infty}_{+} ΩX$定义了Swan理论$G^{\bZ}(\bZ[π])$的几何模拟，并证明它是$E_{\infty}$环谱$DX=S^{X_{+}}$的代数$K$理论。
Sheaves on Triangulated Spaces and Koszul Duality
令$X$是有限连通单纯复形，并且令$δ$是反常（即，一些函数从整数到整数）。我们可以考虑两个范畴：（1）关于三角剖分上同调可构造的反常层范畴，以及（2）沿着反常单形的层常数范畴（PDMATHAMN-层）。我们将范畴（1）和（2）分别解释为某些二次（甚至是Koszul）代数$A(X,δ)$和$B(X,δ)$上的模范畴，并证明了$A(X,δ)$和$B(X,δ)$是Koszul对偶的.定义了$X$上的$δ$-反常拓扑，证明了反常拓扑上的层范畴与$δ$层范畴等价。最后，我们研究了单纯层和余层的Koszul对偶函子和Verdier对偶函子之间的关系。
Batalin-Vilkovisky algebras and the noncommutative Poincare duality of Koszul Calabi-Yau algebras
设$A$是一个Koszul Calabi-Yau代数.证明了$A$的Hochschild上同调环与其Koszul对偶代数$A^!$的Hochschild上同调环之间存在Batalin-Vilkovisky代数的同构.这证实了R.鲁基耶
Koszul duality for operadic categories
本文为一大类操作范畴上的operads建立Koszul对偶与Koszul性理论，研究二元二次operads实例并证明其Koszul性，涵盖经典operads、cyclic、modular、wheeled operads及多种PROPs变体等结构。
Koszul, Ringel, and Serre duality for strict polynomial functors
这是一份关于Chalupnik和Touze最近工作的报告。我们解释的Koszul对偶严格多项式函子的范畴，并明确的基础monoidal结构，这似乎是独立的利益。然后，我们连接到林格尔对偶Schur代数和描述Serre对偶严格多项式函子。
Koszul duality theory for operads over Hopf algebras
将代数的生成运算转移到同伦等价的链复形上会产生更高级的运算。本文的第一个目标是精确地描述当一元运算与收缩同伦交换时所得到的高级结构。为了解决这个问题，我们发展了余交换霍普夫代数上模范畴中运算的Koszul对偶理论.这就产生了一个更简单的同伦代数和无穷态射范畴，这使得我们能够得到一个新的描述同伦代数范畴的操作。这个理论的主要例子是Batalin-Vilkovisky代数。
Koszul duality and a conjecture of Francis-Gaitsgory
本文研究Koszul对偶，证明其在零完备代数与余零完备余代数的最大可能子范畴间等价，否定Francis-Gaitsgory猜想，且可推导诸多已知部分结果。
OCHA and Leibniz Pairs, towards a Koszul duality
在本文中，我们研究的同源性的两个版本的瑞士奶酪操作。我们证明了这两个版本的第零同源Koszul操作，并与强同伦Lebiniz对和OCHA，定义的Kajiura和Stasheff。
Koszul duality for Lie algebroids
本文研究了dg-Lie代数胚在导出形变理论中的作用。更确切地说，我们提供了一个等价的同伦理论的形式模问题和dg-李代数胚的交换dg-代数的特征零。在线性对象的水平上，我们证明了一类的dg-李代数胚的表示是一个扩展的拟凝聚层的范畴上相应的形式模问题。我们描述了这个扩展几何亲相干层。
Derived Koszul duality and TQ-homology completion of structured ring spectra
在对称谱的背景下工作，我们考虑可以描述为运算数O上的代数的任何高级代数结构。我们证明了，通过拓扑Quillen同调（或TQ-同调），将O-代数的谱与余代数的谱进行比较的基本连接，可以通过用O-连通O-代数的满子范畴代替O-代数而转化为同伦理论的等价.这解决了肯定的0-连通的情况下，一个猜想的弗朗西斯Gaitsgory。这个导出的Koszul对偶结果可以被认为是Quillen和Sullivan关于空间的有理同伦理论的基本工作的谱代数模拟，以及Goerss和Mandell关于上链和同伦类型的后续p-adic和积分工作-以下是我们主要结果的推论：（i）0-连通O-代数谱是弱等价的当且仅当它们的TQ-同调谱弱等价于导出K-余代数，（ii）如果K-余代数谱是0-连通和同调的，则它来自O-代数的TQ-同调谱。构造了从O-代数X的TQ-同调群TQ_*（X）出发的不稳定Adams谱序列的谱代数模拟，并证明了当X是0-连通的时，它强收敛于pi_*（X）.
Derived deformation functors, Koszul duality, and Maurer-Cartan spaces
本文总结了Hinich的导出Maurer-Cartan函子如何建立微分分次李代数与Artinian微分分次交换代数上的导出Schlessinger函子间的等价关系，并探讨了形变问题及更一般Koszul对偶operad对的类似物。
Descent and the Koszul duality for locally constant factorization algebras
推广Jacob Lurie关于Verdier对偶与迭代闭路空间理论之间关系的思想，研究了局部常数分解代数的Koszul对偶.我们制定了一个类似的Lurie的“nonabelian庞加莱对偶”定理（这是密切相关的早期结果格雷姆西格尔，杜萨McDuff，和保罗萨尔瓦多）在一个对称monoidal稳定的无穷大范畴仔细，使用约翰弗朗西斯的概念切除。本文首先详细研究了E_n-代数的Koszul对偶，并给出了它的证明。作为结果，我们得到了一个Verdier型等价的因子分解代数的Koszul对偶结构。在基础上，我们研究了Lurie拓扑手征同调的下降性质。我们证明了这同调论满足下降的因式分解覆盖，定义的凯文Costello和欧文Gwilliam。我们还得到了一个推广的Lurie的方法，这同调论，从而导致一个产品公式的无限范畴的分解代数，其扭曲的推广。
Matroids, Feynman categories, and Koszul duality
该研究引入并研究特定费曼范畴，将拟阵的Chow环、Orlik–Solomon代数等组合不变量组装为该范畴上的操作子结构，建立二者的Koszul型对偶以推广Getzler的结果，并给出Orlik–Solomon代数组合Leray模型的新解释。
Koszul duality for algebras over infinity-operads
本文提出了一种新的∞-操作符代数与余代数的科兹尔对偶理论，并基于树的范畴对偶定义了同调，扩展了经典操作符的对偶结果。
Graph homology: Koszul and Verdier duality
我们表明，Verdier对偶的某些层的模空间的图与Koszul操作对应的Koszul对偶的操作。这特别给出了一个概念性的解释外观的交换和李型图上同调的计算外自同构群的自由群的上同调。另一个结果是明确计算的对偶层空间的度量图，从而表征在何种程度上这些空间是不同的定向orbifolds。我们还提供了一个度量带状图空间的上同调之间的关系，已知同伦等价于黎曼曲面的模空间，和通常的度量图空间上的某个层的上同调。
Koszul duality and homotopy theory of curved Lie algebras
引入了具有曲态射的标记曲李代数范畴，赋予它一个闭模型范畴结构。这个模型结构是-当工作在一个代数闭域的特征零-Quillen相当于一个模型范畴的伪紧的单位交换微分分次代数，这扩展了已知的结果关于Koszul对偶的单位交换微分分次代数和微分分次李代数。作为本文理论的应用，代数变形理论被扩展到伪紧的、不一定是局部的、可交换的微分分次代数上的函子。
Manin products, Koszul duality, Loday algebras and Deligne conjecture
在这篇文章中，我们给出了一个概念性的定义Manin产品在任何范畴赋予两个连贯的monoidal产品。这种构造可以应用于由生成元和关系表示的结合代数、非对称运算、运算、着色运算和固有运算。这两个乘积，称为黑和白，在Koszul对偶函子下彼此对偶。我们研究了它们的性质，并计算了几个例子的黑色和白色的产品的操作。这些产品使我们能够定义自然操作的链复形定义上同调理论。通过这些运算，我们能够证明Deligne猜想对一般的运算类成立，而不是特定于结合代数的情况。最后，我们证明了M.阿吉亚尔和J. - L. Loday与由黑积定义的运算的Koszul性质有关。这些操作提供了无限多的例子，这个广义德利涅猜想。
Koszul duality for compactly generated derived categories of second kind
对于任意dg代数$A$，我们在dg $A$ -模上构造了一个闭模型范畴结构，使得相应的同伦范畴是由dg $A$ -模紧生成的，这些模是在$A$上自由生成的（不考虑微分）.我们证明了这个封闭的模型范畴是Quillen等价于一类余模在一定的，可能是非幂零的dg余代数，一个所谓的扩展酒吧建设的$A$。这推广和补充某些方面的dg Koszul对偶的结合代数。
Chiral Koszul duality
我们扩展的理论手征和分解代数，开发曲线贝林森和德林费尔德在\cite{bd}，高维品种。这种扩展需要发展同伦理论的手征和因式分解结构，在某种意义上类似于奎伦的同伦理论的微分分次李代数。我们证明了等价的高维手征和分解代数嵌入分解代数到一个更大的类别的手征交换余代数，然后实现这种相互关系的手征形式的Koszul对偶。我们应用这些技巧重新导出了\cite{bd}关于$\star$ -李代数的手征包络代数的一些基本结果.
Koszul duality complexes for the cohomology of iterated loop spaces of spheres
本文的目标是明确一个结构复形，其同调计算维数为d=n-m<n的球面的n重闭路空间的p-profinite完备化的上同调。这个复形是根据E_n-操作数的特征结构纯代数地定义的。我们的建设涉及：与任意E_n操作数相关联的单变量自由完全代数，以及这个自由完全代数中的一个元素，它与从L-无穷代数的操作数到我们的E_n操作数的操作悬置的一个态射相关联。我们的主要定理是由以下几点导出的：E_n-算子上的迭代闭路空间的上同调与代数的上同调之间的联系; E_n-算子的Koszul对偶结果。
Operadic categories as a natural environment for Koszul duality
本文为操作范畴上的operads建立Koszul对偶理论框架，提炼出支持二次operads及其Koszul性发展的附加性质，并利用离散操作（op）纤维化构造新操作范畴，重点证明了图的操作范畴满足全部附加性质。
Koszul Duality in Higher Topoi
我们表明，有一个等价的任何$n$ -拓扑$\mathcal{X}$之间的点和$k$ -连接对象的$\mathcal{X}$和$\mathbb{E}_k$ -组对象的$(n-k-1)$ -截断的$\mathcal{X}$。这恢复，直到等价的$\infty$ -范畴，一些经典的结果，关于代数模型的$k$ -连接，$(n-1)$ -余连接同伦类型。此外，它将这些结果推广到这种同伦类型的层的情况。我们还证明了对于$\mathcal{X}$的任何指向的和$k$ -连接对象$X$，结合代数$Ω^k X$上的$\mathcal{X}$中的模的$\infty$ -范畴与余交换余代数$Ω^{k-1}X$上的$\mathcal{X}$中的余模的$\infty$ -范畴是等价的.所有这些等价都是由Lurie的$\infty$ -范畴bar和cobar构造的截断给出的，因此被称为“Koszul对偶”。
Koszul duality via suspending Lefschetz fibrations
设$M$是一个Liouville 6-流形，它是$\mathbb{C}^4$上一个Lefschetz纤维化的光滑纤维，它是通过在$\mathbb{C}^3$上悬挂一个Lefschetz纤维化构造的.我们证明了，对于许多例子，包括超曲面尖点奇点的Milnor纤维的稳定化，紧凑的Crackaya范畴$\mathcal{F}(M)$和包裹的Crackaya范畴$\mathcal{W}(M)$是相关的通过$A_\infty$ -Koszul对偶，通过确定它们与循环和Calabi-Yau完成相同的Crackaya代数。这意味着紧类范畴$\mathcal{F}(M)$通过消失圈的分裂生成。此外，还得到了允许Seidel-Solomon意义下的拟伸缩的Liouville流形的新例子。
Categorical Koszul duality
本文建立 dg 范畴与曲余代数间的 Koszul 对偶，并用标准化链复形函子解释 dg 神经，进而刻画拟范畴表示与分层空间可构造 dg 层范畴。
Fibrations and Koszul duality in locally Cartesian localisations
我表明，任何局部笛卡尔左本地化的可呈现的无穷大范畴承认一个正确的适当的模型结构，其中所有态射是上纤维化，并获得Koszul对偶分类的纤维化。通过一个简单的标准，在生成元方面的一个本地化是局部笛卡尔，这适用于任何无效函子。特别地，它包括具有非平凡“同伦内容”的例子。“我进一步描述，并提供了例子，在三个上下文中的纤维化的集合：Mazel-Gee的更高的范畴化的Cuparason模型结构，其中纤维化是局部系统; Morel-Voevodsky A1-局部化，其中它们是A1-覆盖空间的更高的模拟;和Quillen加结构，其中它们与闭路空间模块相关，这些模块在通用的非循环扩展上被平凡化。
Noncommutative Koszul Algebras from Combinatorial Topology
与任何均匀有限分层图Gamma相关联，存在由Gelfand，Retakh，Serconek和Wilson的构造给出的非交换分次二次代数A（Gamma）。很自然地要问这些代数何时是Koszul。不幸的是，在文献中的一个错误指出，所有这样的代数是Koszul。事实并非如此，该定理最近被收回。我们分析了两大类与有限正则CW复形X相关联的图的这些代数的Koszul性质。我们的方法主要是拓扑的。通过引入新的上同调群HX（n，k），推广了通常的上同调群H^n（X），解决了Koszul问题.随着其他几个结果，我们的方法给出了一个新的和主要的拓扑证明Serconek和威尔逊和Piontkovski的结果。
Derived Commutator Complete Algebras and Relative Koszul Duality for Operads
我们证明了一个连通交换子（或NC）完备结合代数可以从它的阿贝尔化和它的自然诱导结构在导出的设置中恢复。具体地说，我们证明了连通导出交换子完备结合代数与连通交换代数之间的等价性，连通交换代数具有由结合代数与交换代数之间的连接所产生的余作用.这提供了一个Koszul对偶描述的连接导出交换子（或NC）完全结合代数，并进一步可以解释为理论的相对Koszul对偶的结合运算相对于交换运算。我们也证明了类似的结果在EN-代数的设置。也就是说，我们开发了交换子完全En-代数的理论和交换操作相对于En操作的相对Koszul对偶理论。我们将导出的交换子过滤的结合和EN-代数上的过滤的结合和EN操作，其相关的分次是泊松和移位泊松操作Pn。我们证明了结合代数（和En-代数）上的导出交换子滤子是结合代数（和En-代数）的模型范畴上的单位函子相对于交换代数的模型范畴的Goodwillie塔的一个相对类似物.
Relative tensor products and Koszul duality in monoidal oo-categories
本文研究了单向oo-范畴中相对张量积与Koszul对偶的理论，提出了新的双模作用结构并推广了Koszul对偶的应用。
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