The ternary Goldbach problem with prime numbers of a mixed type
S. I. Dimitrov
本文证明了每一个充分大的奇数$N$都可以表示为\begin{equation*} N=p_1+p_2+p_3\,, \end{equation*}的形式，其中$p_1,p_2,p_3$是素数，使得$p_1=x^2 + y^2 +1$，$p_2=[n^c]$ .
In the present paper we prove that every sufficiently large odd integer $N$ can be represented in the form \begin{equation*} N=p_1+p_2+p_3\,, \end{equation*} where $p_1,p_2,p_3$ are primes, such that $p_1=x^2 + y^2 +1$, $p_2=[n^c]$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The ternary Goldbach problem with primes from arithmetic progressions
利用等差数列建立了带素数的三元哥德巴赫问题的解的个数的Bschieri-Vinogradov型结果.
Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30
我们描述了一个计算，证实了三元哥德巴赫猜想高达8，875，694，145，621，773，516，800，000，000，000（>8.875e30）。
The ternary Goldbach problem with arithmetic weights attached to two of the variables
本文研究了形如$k^2+m^2+1$的含两个素变量的三元哥德巴赫问题，得到了其解的个数的一个渐近公式.
Ternary Goldbach's Problem Involving Primes of a Special Type
设$η$是二次无理性。本文解决了一个含有素数的三元Goldbach问题的变形，其中$a$和$b$是区间$(0,1)$中的任意数，且满足$a<\{ηp\}<b$.
The ternary Goldbach-Vinogradov theorem with almost equal Piatetski-Shapiro primes
本文证明了一个定理：每一个足够大的奇数都可以表示为三个几乎相等的Piatetski-Shapiro素数之和。
Almost all primes are not needed in Ternary Goldbach
该研究针对三元哥德巴赫猜想，通过可容许同余扩张系统构造素数集$\u2119$，证明即便剔除几乎所有素数，仅用$\u2119$中的素数仍可满足该猜想，深化了对素数加法性质的认识。
The ternary Goldbach problem with a prime and two isolated primes
本文证明了在GRH（广义黎曼假设）假设下，每个充分大的奇数都可以表示为一个素数与两个孤立素数之和。
The ternary Goldbach problem
三元哥德巴赫猜想（或三素数猜想）指出，每个大于大于5的奇数都可以写成三个素数的和。这本书的目的是给第一个证明的猜想，在充分。
The ternary Goldbach conjecture is true
三元哥德巴赫猜想，或三素数问题，断言每个大于$5$的奇数$n$是三个素数的和。本文证明了这一猜想。无论是三元哥德巴赫猜想和二元，或强，哥德巴赫猜想有其起源于交换信件之间的欧拉和哥德巴赫在1742年。我们将遵循基于圆方法、大筛和指数和的方法。本文从现代的角度对哈代、利特尔伍德和维诺格拉多夫的一些思想进行了重新阐释。虽然这里的所有工作都必须明确，但重点是质量上的收益。指数和的改进估计在作者关于哥德巴赫问题的长短弧的论文中得到了证明。本文的重点之一是素数的优化大筛子。它的思想被重新应用到圆方法中，给出了短弧积分的改进估计。
On an inverse ternary Goldbach problem
我们证明了一个逆三元哥德巴赫型结果。设$N$足够大，而$c>0$足够小。如果$A_1,A_2,A_3\subset [N]$是具有$|A_1|,|A_2|,|A_3|\geq N^{1/3-c}$的子集，则$A_1+A_2+A_3$包含合数。这改进了加拉格尔的大筛的结合$N^{1/3}$。在我们的论点的主要成分包括一种类型的逆筛结果在大筛制度，和一个变种的分析大筛不等式。
Chen's primes and ternary Goldbach problem
本文证明了存在一个k0>0，使得每一个具有3个\mid n的充分大的奇数n都可以表示为p1 + p2 + p3，其中p1，p2是陈氏素数，p3是素数，且p3 +2至多有k0个素因子.
On the ternary Goldbach problem with primes in arithmetic progressions of a common module
对A，n>0和任何足够大的奇数n，我们证明了：对于几乎所有的k直到n^{1/5-n}，存在一个表示n=p1+p2+p3，其中素数在mod k的剩余类b1，b2，b3中，对于几乎所有的mod k约化剩余的容许三元组b1，b2，b3。
The ternary Goldbach problem with primes in positive density sets
令$\mathcal{P}$表示所有素数的集合。$P_{1},P_{2},P_{3}$是$\mathcal{P}$的三个子集。令$\underlineδ(P_{i})$ $(i=1,2,3)$分别表示$\mathcal{P}$中$P_{i}$的较低密度。证明了如果$\underlineδ(P_{1})>5/8$，$\underlineδ(P_{2})\geq5/8$，和$\underlineδ(P_{3})\geq5/8$，则对任意大的奇整数n，存在$p_{i} \in P_{i}$使得$n=p_{1}+p_{2}+p_{3}$ .条件是最好的。
Density ternary Goldbach for primes in a fixed residue class
本文证明，在同余 1 mod 3 的素数中，相对密度超过 1/2 的子集可表示所有充分大且同余 0 mod 3 的奇数为三元素数和，并证明该密度阈值最优。
The ternary Goldbach problem with two Piatetski-Shapiro primes and a prime with a missing digit
令$$γ^*=\frac{8}{9}+\frac{2}{3}\:\frac{\log(10/9)}{\log 10}\:(\approx 0.919\ldots)\:.$$令$γ^*<γ_0\leq 1$、$c_0=1/γ_0$固定。也设为$a_0\in\{0,1,\ldots, 9\}$。\\在广义黎曼猜想的假设下，我们证明了每一个足够大的奇数$N_0$都可以表示为$$N_0=p_1+p_2+p_3\:,$$的形式，其中$p_i$的形式为$p_i=[n_i^{c_0}]$，$n_i\in\mathbb{N}$，对于$i=1,2$，$p_3$的十进制展开式不包含数字$a_0$ .这个证明融合了J. Maynard关于素数的无限性的论文中的方法和A.关于Piatetski-Shapiro素数和Hardy-Littlewood圆方法的二元方法。这是第一个结果的三元哥德巴赫问题与混合类型的素数，其中涉及总理与失踪数字。
On the ternary Goldbach problem with primes in independent arithmetic progressions
我们证明了对于每一个固定的$A>0$和$θ>0$，都有一个具有以下性质的$\vartheta=\vartheta(A,θ)>0$。令$n$为奇数且足够大，令$Q_{1}=Q_{2}:=n^{\h}(\log n)^{-\vartheta}$和$Q_{3}:=(\log n)^θ$。则对于所有$q_{3}\leq Q_{3}$、所有约化剩余$a_{3}$ mod $q_{3}$、几乎所有$q_{2}\leq Q_{2}$、所有容许剩余$a_{2}$ mod $q_{2}$、几乎所有$q_{1}\leq Q_{1}$和所有容许剩余$a_{1}$ mod $q_{1}$，存在具有素数$p_{i}\equiv a_{i} (q_{i})$的表示$n=p_{1}+p_{2}+p_{3}$，$i=1,2,3$。
The ternary Goldbach problem
三元哥德巴赫猜想，或三素数问题，指出每个大于$5$的奇数$n$都可以写成三个素数的和。这个猜想于1742年提出，尽管在20世纪取得了巨大的进展，但直到现在仍然没有得到解决。在2013年-遵循由Hardy，Littlewood和Vinogradov等人开创和发展的一系列研究-作者证明了这个猜想。在这个问题上，就像在许多其他的加法问题上一样，真正的问题是如何正确地使用我们所拥有的关于素数分布的有限信息。这个问题是对分析和数论技术的考验和磨刀石，也是对更清晰地思考现有技术之间关系的激励。我们将复习一下证明的主要思想。其基本方法是基于圆法、大筛法和指数和法。在本概述中，我们不需要使用显式常量;但是，我们将讨论是什么使某些策略和程序不仅有效，而且高效，在导致好常量的意义上。不过，我们的重点将放在质量改进上。
Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem
本文对陈双筛作了更全面的处理，并改进了哥德巴赫猜想和孪生素数问题中的有关常数。
Waring-Goldbach Problem with Piatetski-Shapiro Primes
在本文中，我们给出了一个关于大整数表示为Piatetski-Shapiro素数的固定幂和的渐近公式，从而建立了一个关于稀疏序列中素数的Waring-哥德巴赫问题的变形.
The ternary Goldbach problem with a prime with a missing digit and primes of special types
令$$γ^*:=\frac{8}{9}+\frac{2}{3}\:\frac{\log(10/9)}{\log 10}\:(\approx 0.919\ldots)\:,\ γ^*<\frac{1}{c_0}\leq 1\:.$$令$γ^*<γ_0\leq 1$、$c_0=1/γ_0$固定。也设为$a_0\in\{0,1,\ldots, 9\}$。在[23]中，我们在广义黎曼假设（GRH）的假设下证明了每个足够大的奇数$N_0$可以表示为$$N_0=p_1+p_2+p_3\:,$$的形式，其中对于$i=2, 3$，素数$p_i$是Piatetski-Shapiro素数-形式为$p_i=[n_i^{c_0}]$，$n_i\in\mathbb{N}$的素数-而$p_1$的十进制扩展不包含数字$a_0$。本文用$$p=x^2+y^2+1\:.$$型素数代替Piatetski-Shapiro素数$p_2$和$p_3$中的一个
The Tail of the Singular Series for the Prime Pair and Goldbach Problems
对于Goldbach问题和素数对问题，我们得到了奇异级数尾部平方加权和的一个渐近公式。
A new explicit formula in the additive theory of primes with applications I. The explicit formula for the Goldbach and Generalized Twin Prime Problems
证明了Goldbach和广义孪生素数问题中主弧贡献的一个新的显式公式，其中主弧的水平可以选择得很高。这在上述问题的近似中有许多应用。
Prime numbers as a uniqueness set of the parallelogram equation via the Goldbach's conjecture
研究了满足素数上的乘积型算术函数.利用哥德巴赫猜想，得到了唯一解是一个二次函数。
Goldbach's problem with primes in arithmetic progressions and in short intervals
本文讨论了几个类似于Bézieri-Vinogradov定理的中值定理。它们涉及在等差数列和短时间间隔内素数的二元和三元加法问题。其中一些平均值的非平凡估计。作为应用，我们证明了对于大奇数n \not \equiv 1（6），Goldbach三元问题n=p_1+p_2+p_3是可解的，其中素数p_1，p_2在短区间p_PDMATHABMO [X_i，X_i+Y]，且X_{i} ^{θ_i}=Y，i= 1，2，且θ_1，θ_2 \geq 0.933使得（p_1+2）（p_2+2）至多有9个素因子.
Goldbach's Problem in Primes with Binary Expansions of a Special Form
设$\mathbb{N}_0$是一类自然数，其二进制展开式包含1的偶数。解决了$\mathbb{N}_0$类的Goldbach数问题.
Dealing with prime numbers I.: On the Goldbach conjecture
在本文中，我们提出了一些意见，著名的哥德巴赫猜想。特别是我们列出和解释一些数值结果，使我们能够制定素数和偶数之间的关系。我们也可以确定非常薄和低的发散范围，其中找到素数的概率为1。
Minor arcs for Goldbach's problem
三元哥德巴赫猜想指出，每个奇数n>=7是三个素数的和。形式为\sum_{p\leq x} e（αp），α= a/q + O（1/q^2）的和的估计，自（Vinogradov，1937）以来一直是猜想的主要方法的核心部分。以前的工作需要q或x太大，使证明的猜想为所有n可行。本文给出了次弧和长弧尾部的新的界。这是作者证明三元哥德巴赫猜想的一部分。新的界限是由于几个定性的改进。特别是，本文提出了一种通用的方法，以减少成本的沃恩的身份，以及一种方式来利用小弧的尾巴的上下文中的大筛子。
A pair of Goldbach-Linnik equations in unlike powers of primes and powers of two
本文证明满足特定必要条件的大偶数对均可表示为一个素数、一个素数平方、两个素数立方及56个2的幂，解决了一对Goldbach-Linnik方程的表示问题。
Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem, 2
对于每一个偶数N，用D_{1,2}（N）表示N作为一个素数和一个至多有两个素数因子的整数之和的表示数。本文给出了D_{1,2}（N）的一个新的下界.
Goldbach-Linnik type problems involving one prime, four prime cubes and powers of 2
研究Goldbach-Linnik型问题，证明任意一对充分大奇数均可由一个素数、四个素数立方及48个2的幂表示。
Divisibility in paired progressions, Goldbach's conjecture, and the infinitude of prime pairs
我们调查的一组对整数$\mathbb{Z}^2$的进展，并定义了一个推广的Jacobsthal函数。对于这个函数，我们猜想一个特定上界并证明这一界将是一个充分条件的真理哥德巴赫猜想，无限的孪生素数，更一般的素数对固定的偶数差。
Goldbach Representations with several primes
研究整数表示为k个素数之和的Goldbach表示的平均阶渐近公式，推广k=2的结果至一般k并获得更优误差项，同时证明黎曼猜想与该平均阶的等价性。
Refined Goldbach conjectures with primes in progressions
我们基于启发式论据和数值数据对哥德巴赫猜想进行了一些改进。例如，任何大于大于4的偶数都被证明是两个素数之和，其中一个素数是3 mod 4。一般来说，对于固定的$m$和与$m$互质的$a, b$，在有限例外集之外的任何正偶数$n \equiv a + b \bmod m$都被期望是两个素数$p$和$q$的和，其中$p \equiv a \bmod m$，$q \equiv b \bmod m$。我们对这些例外集的生长进行了讨论。
On Waring-Goldbach problem for one square and seventeen fifth powers of primes
本文证明每个充分大的偶数可表示为一个素数平方与十七个素数五次幂之和，改进了Brüdern和Kawada的先前结果。
Siegel zeros, twin primes, Goldbach's conjecture, and primes in short intervals
我们研究的分布素数下不太可能的假设，西格尔零存在。特别是，我们证明了\[ \sum_{n \leq X} Λ(n) Λ(\pm n+h) \]的渐近公式，它保持一致的$h = O(X)$。这样一个渐近公式以前只对固定的$h$得到过，在这种情况下，我们的结果定量地改进了Heath-Brown（1983）和Tao and Teräväinen（2021）的结果。由于我们的主要定理也适用于大的$h$，我们可以得出新的结果之间的联系西格尔零和哥德巴赫猜想和西格尔零和素数之间的几乎所有非常短的时间间隔。
Primes of the Form $m^2+1$ and Goldbach's `Other Other' Conjecture
本文计算了 $6.25\ imes 10^{28}$ 以内所有形如 $m^2+1$ 的素数，并据此验证了哥德巴赫的一个较少人知的猜想，同时引入“哥德巴赫冠军”概念并证明其条件性结果。
Waring-Goldbach problem for unlike powers
本文研究了不同幂的Waring-哥德巴赫问题中的例外集.例如，对于低于参数的足够大的整数获得估计，所述参数服从不具有表示为素数的平方、素数的立方和素数的六次幂与素数的$k$次幂的和的必要局部条件。这些结果在数量级上改进了Brüdern最近的结果。此外，该方法也可用于不同幂的Waring-哥德巴赫问题例外集的类似估计.
Major arcs for Goldbach's problem
三进制哥德巴赫猜想指出，每个奇数$n\geq 7$是三个素数的和。自Hardy和Littlewood（1923）以来，傅里叶级数$\sum_{p\leq x} e(αp)$和相关和的估计一直是研究这个问题的核心。在这里，我们展示了如何在所谓的主弧中估计$α$的这种傅里叶级数，即，对于$α$，接近于小分母的有理数。这是作者证明三元哥德巴赫猜想的一部分。与以前的大多数工作的主题，我们将依赖于一个有限的验证广义黎曼假设的有界导体和有界高度，而不是零自由区域。由于D.普拉特;我们获得的结果既严格又无条件。本文的主要观点将是抛物柱面函数的估计的发展，使得有可能使用平滑函数的基础上的高斯。我们的显式公式的一般性将允许我们处理各种各样的这样的函数。
The Exceptional Set in Goldbach's Problem with Almost Twin Primes
我们考虑二元哥德巴赫问题中两个几乎孪生素数之和的例外集。我们的主要结果是一个省电界的特殊集的问题表示$m=p_1+p_2$，其中$p_1+2$有至多$2$素因子和$p_2+2$有至多$3$素除子。有三个主要成分的证明：一个新的转移原则，如方法筛，结合水平的分布估计Bjueri-Friedlander-Iwaniec和梅纳德的想法Drappeau产生节能，并概括的圆方法参数蒙哥马利和沃恩，采用筛的重量。
The Goldbach Problem for Primes That Are Sums of Two Squares Plus One
研究了多项式$x^2+y^2+1$表示的素数的哥德巴赫问题.这类素数的集合在所有素数的集合中是稀疏的，但这类素数的无穷大是由Linnik建立的。我们证明了几乎所有满足某些必要局部条件的偶数$n$都可表示为$x^2+y^2+1$形式的两个素数之和。这改进了Matomäki的一个结果，它告诉我们几乎所有满足局部条件的偶数$n$都是$x^2+y^2+1$形式的一个素数和一个类属素数的和。我们还解决了类似的三元哥德巴赫问题，说明每一个大的奇数$n$是我们的多项式表示的三个素数的总和。作为一个副产品的证明，我们表明，素数的形式$x^2+y^2+1$包含无穷多个三项等差数列，和数字$αp \pmod 1$与$α$无理和$p$运行通过素数的形式$x^2+y^2+1$，分布相当均匀。
A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem
改进了几位作者早先的估计，我们证明了在X之下的Goldbach例外偶数（即不能写成两个素数之和的偶数）的个数E（X）满足对足够大的X的界E（X）< X^0.72.在证明至关重要的作用是发挥了明确的公式的贡献主要弧证明第一部分本系列（arXiv：1804.05561）。在这个新版本中，一些印刷错误被纠正，并增加了一个解释性的句子定理C和D的共同证明。
Goldbach's like conjectures arising from arithmetic progressions whose first two terms are primes
对于两个奇素数$p$和$q$，使得$p<q$，令$A(p,q):=(a_k)_{k=1}^{\infty}$是其$k$第h项由$a_k=(k-1)(q-p)+p$给出的算术级数（即，用$a_1=p$和$a_2=q$）。这里我们猜想，对于每一个正整数$a>1$，存在一个正整数$n$和两个奇素数$p$和$q$，使得$a$可以表示为等差数列$A(p,q)$的第一个$2n$项之和.请注意，即使是$a$，这个猜想也可以直接从哥德巴赫猜想推导出来。我们还提出了奇正整数$a>1$的类似猜想以及由前面提到的等差数列产生的一些相关的Goldbach类猜想。
A Simple Explanation for the Goldbach Conjecture
本文给出了哥德巴赫猜想的一个简单解释。我们证明了不仅对素数，而且对分布与素数相似的任何自然数子集，违反猜想的概率都是可以忽略的。这一结果使得将猜想推广到分布与素数相似的任何自然数子集成为可能。另外，通过对素数随机加+1和-1的方法，选取了几个在自然数中分布与素数相似的新子集，并对每个小于$2 \times 10^8$的偶数，用计算机检验了哥德巴赫猜想.正如预期的那样，哥德巴赫猜想也适用于这些新的重建集。因此，该猜想可以推广到分布类似于素数的任何自然数子集。也就是说，“是素数”并不是猜想在这些例子中成立的必要条件。这一事实使人想到这样一个想法，即也许是“概率”而不是数论事实使这个猜想对这些实例成立。
Small gaps between Goldbach primes
本文通过Bombieri-Davenport方法和Maynard-Tao方法研究Goldbach素数间的极小间隙，改进了Tsuda的结果并证明了Goldbach素数间存在有界间隙。
On quantitative analogues of the Goldbach and twin prime conjectures over F_q[t]
本文研究了将F_q [t]中一个n次首一多项式分解为F_q [t]中两个一元不可约多项式之和的方法。我们的主要结果是一个渐近公式的数量表示的情况下，当q是大的相比，n。在其有效性范围内，这个公式与理性背景下的启发式论证所建议的一致。我们也提出了类似的结果对一个类似的孪生素数猜想。
Exponential sums over primes in short intervals and an application to the Waring--Goldbach problem
设$Λ(n)$为von Mangoldt函数，$x$为实数，$2\leq y \leq x$为实数。本文改进了小弧上$α$为$k\geq 3$时短区间上素数指数和的估计式\[ S_k(x,y;α) = \sum_{x< n \leq x+y} Λ(n) e\left( n^k α\right) \].然后结合Hardy-Littlewood圆方法，研究了将正整数$n$表示为几乎相等素数的$s$ $k$次幂之和的Waring-哥德巴赫问题，改进了Wei和Wooley [12]中的结果.
The Exceptional Set in Goldbach's Problem with two Chen Primes
该研究针对满足$n\equiv4\pmod{6}$的自然数，通过结合Bombieri–Vinogradov定理的幂节省变体的高效筛策略，改进了哥德巴赫问题中两个陈素数和的相关结论，确定了其例外集的幂节省性质。
Cubic Waring-Goldbach problem with Piatetski-Shapiro primes
本文研究Piatetski-Shapiro素数的三次Waring-Goldbach问题，证明了当γ∈(317/320,1)时，每个充分大的奇数可表示为九个形如[n^{1/γ}]的素数立方之和，改进了Akbal和Güloğlu的已有结果。
On the level of distribution of Goldbach primes and its applications
证明几乎所有偶数N的哥德巴赫素数集具有分布水平1/6，并应用于表示几乎全部偶数为两素数之和且满足特定条件。
A density version of Waring-Goldbach problem
该研究探讨华林-哥德巴赫问题的密度版本，证明当下密度大于1-1/2k的素数子集满足条件时，充分大的同余自然数可表为该子集素数k次幂的s项和，推进了加性数论相关问题研究。
Divisor Goldbach Conjecture and its Partition Number
在哥德巴赫猜想和算术基本定理的基础上，将哥德巴赫猜想推广到更一般的情形，即，任何正整数都可以写成某些特定素数的和，这取决于这个整数的整除因子，即：对于任何正整数$n~(n>2)$，如果存在整数$m$，使得$m|n~( 1 < m < n )$，那么$n=\sum_{i=1}^m p_i $，其中$ p_i~(i=1,2 ,3...m)$是素数。此外，还讨论了多个素被加数的组合计数问题。对于某些特殊情况，给出了简单的证明.利用计算机进行了初步的数值验证，没有发现反例。
On the Goldbach problem with restricted primes
本文研究了受限素数下奇数N作为三个素数之和的表示数，并给出了渐近公式，通过使用当前最佳的狄利克雷L函数零密度估计，无条件地得到U的上限为N^{4/49}exp(log^{2/3+ε}N)，若假设广义黎曼假设，则可取U为log^{4+ε}N。
An intermediate conjecture between Goldbach and Dubner: every even number is the sum of a prime and a twin prime
该研究提出介于哥德巴赫与杜布纳猜想间的中间猜想，用罗曼诺夫方法结合塞尔伯格筛法给出条件性结果，验证了10^14以内偶数均满足该猜想。
Waring-Goldbach problems for one square and higher powers
本文研究了用一个平方和更高次幂表示足够大的整数的问题，证明了奇数和偶数均可表示为素数的平方、四次幂和五次幂的组合。
On the Waring-Goldbach Problem for One Square and Five Cubes
令$\mathcal{P}_r$表示一个几乎素数，至多有$r$素因子，根据重数计数。本文证明了对任意充分大的偶数$N$，方程\begin{equation*} N=x^2+p_1^3+p_2^3+p_3^3+p_4^3+p_5^3 \end{equation*}是可解的，其中$x$是几乎素数$\mathcal{P}_6$，其它变量是素数.这一结果比Cai的结果有所改进，Cai得到了相同的结论，但用$\mathcal{P}_{36}$代替了$\mathcal{P}_6$。
Waring-Goldbach Problem: One Square, Four Cubes and Higher Powers
令$\mathcal{P}_r$表示一个几乎素数，至多有$r$素因子，根据重数计数。本文证明了对$12\leqslant b\leqslant 35$和对任何充分大的奇数$N$，方程\begin{equation*} N=x^2+p_1^3+p_2^3+p_3^3+p_4^3+p_5^4+p_6^b \end{equation*}是可解的，其中$x$是一个几乎素数$\mathcal{P}_{r(b)}$，其它变量是素数，其中$r(b)$在定理中定义.这一结果比吕、穆的结果有所改进。
On Chen's theorem, Goldbach's conjecture and almost prime twins II
本文证明了关于Goldbach猜想和孪生素数问题的筛法结果，将素数表示的下界渐近常数提升至1.9728，接近Hardy-Littlewood猜想的渐近常数2，结合了加权筛法、Chen转换原理等多种筛法技术。
A density version of quaternary Goldbach problem
研究四元Goldbach问题的密度条件，证明在适当大的偶数n可表示为四个素数之和，条件最优。
Primes in arithmetic progressions to large moduli, and Goldbach beyond the square-root barrier
本文利用三重可良好分解权重将素数分布水平提升至0.617，并在假设Selberg猜想下达到0.625，由此为孪生素数和Goldbach问题取得新上界，实现了Goldbach问题自1966年以来的最大改进。
A remark on a theorem of the Goldbach Waring type
证明了除了O（x^{23207/23240}）偶数N<x以外的所有偶数都可以写为素数的平方、立方、四次方和五次方之和。
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