Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem, 2
Jie Wu
对于每一个偶数N，用D_{1,2}（N）表示N作为一个素数和一个至多有两个素数因子的整数之和的表示数。本文给出了D_{1,2}（N）的一个新的下界.
For every even integer N, denote by D_{1,2}(N) the number of representations of N as a sum of a prime and an integer having at most two prime factors. In this paper, we give a new lower bound for D_{1,2}(N).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem
本文对陈双筛作了更全面的处理，并改进了哥德巴赫猜想和孪生素数问题中的有关常数。
Expansion and Improvement of Sieve and application in Goldbach's problem
本文对一般筛法进行了扩展和改进。并将这种扩展和改进的筛法应用于哥德巴赫问题。给出了Goldbach数E（X）中异常集的一个新的估计，以及改进的下界D_{1,2}（N）和上界D（N）.建议值为：|E（X）|<= X^{0.702+e}，D_{1,2}（N）>= 2.27 C（N）/ln^{2}（N），D（N）<= 6.916 C（N）/ln^{2}（N）。
On an inverse ternary Goldbach problem
我们证明了一个逆三元哥德巴赫型结果。设$N$足够大，而$c>0$足够小。如果$A_1,A_2,A_3\subset [N]$是具有$|A_1|,|A_2|,|A_3|\geq N^{1/3-c}$的子集，则$A_1+A_2+A_3$包含合数。这改进了加拉格尔的大筛的结合$N^{1/3}$。在我们的论点的主要成分包括一种类型的逆筛结果在大筛制度，和一个变种的分析大筛不等式。
Chen's primes and ternary Goldbach problem
本文证明了存在一个k0>0，使得每一个具有3个\mid n的充分大的奇数n都可以表示为p1 + p2 + p3，其中p1，p2是陈氏素数，p3是素数，且p3 +2至多有k0个素因子.
On Chen's theorem, Goldbach's conjecture and almost prime twins II
本文证明了关于Goldbach猜想和孪生素数问题的筛法结果，将素数表示的下界渐近常数提升至1.9728，接近Hardy-Littlewood猜想的渐近常数2，结合了加权筛法、Chen转换原理等多种筛法技术。
The ternary Goldbach conjecture is true
三元哥德巴赫猜想，或三素数问题，断言每个大于$5$的奇数$n$是三个素数的和。本文证明了这一猜想。无论是三元哥德巴赫猜想和二元，或强，哥德巴赫猜想有其起源于交换信件之间的欧拉和哥德巴赫在1742年。我们将遵循基于圆方法、大筛和指数和的方法。本文从现代的角度对哈代、利特尔伍德和维诺格拉多夫的一些思想进行了重新阐释。虽然这里的所有工作都必须明确，但重点是质量上的收益。指数和的改进估计在作者关于哥德巴赫问题的长短弧的论文中得到了证明。本文的重点之一是素数的优化大筛子。它的思想被重新应用到圆方法中，给出了短弧积分的改进估计。
The Exceptional Set in Goldbach's Problem with Almost Twin Primes
我们考虑二元哥德巴赫问题中两个几乎孪生素数之和的例外集。我们的主要结果是一个省电界的特殊集的问题表示$m=p_1+p_2$，其中$p_1+2$有至多$2$素因子和$p_2+2$有至多$3$素除子。有三个主要成分的证明：一个新的转移原则，如方法筛，结合水平的分布估计Bjueri-Friedlander-Iwaniec和梅纳德的想法Drappeau产生节能，并概括的圆方法参数蒙哥马利和沃恩，采用筛的重量。
The Exceptional Set in Goldbach's Problem with two Chen Primes
该研究针对满足$n\equiv4\pmod{6}$的自然数，通过结合Bombieri–Vinogradov定理的幂节省变体的高效筛策略，改进了哥德巴赫问题中两个陈素数和的相关结论，确定了其例外集的幂节省性质。
Goldbach Numbers in Short Intervals -- A Nonnegative Model Approach
我们减小了几乎所有偶数都是两个素数之和的最短区间的长度。这是通过应用圆方法的一个版本来实现的，该方法使用两个次要变量以及其中一个的非负模型。与Harman以前的最强结果相比，我们不需要任何向量筛型不等式，因此既不需要额外的优变量，也不需要弱变量的强密度要求。
An explicit version of Chen's theorem and the linear sieve
受Nathanson和Yamada工作启发，利用线性筛法证明大于$\exp(\exp(32.7))$的偶数均可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，给出了Chen定理的显式版本。
Goldbach versus de Polignac numbers
在本说明中，我们使用最近的发展，筛理论，以突出哥德巴赫和德波利尼亚克数之间的相互作用。假设素数的分布水平大于$1/2$，我们表明，至少有一个良好的性质举行。要么是连续的哥德巴赫数位于彼此之间的有限距离内，要么是德波利尼亚克数的集合在$2 \mathbb{N}$中具有全密度。使用非常相似的技术，我们给出了一个条件证明，一组极限点的序列规范化的总理差距$(p_{n+1}-p_n)/ \log p_n$的密度至少$2/3$在正实数。
Minor arcs for Goldbach's problem
三元哥德巴赫猜想指出，每个奇数n>=7是三个素数的和。形式为\sum_{p\leq x} e（αp），α= a/q + O（1/q^2）的和的估计，自（Vinogradov，1937）以来一直是猜想的主要方法的核心部分。以前的工作需要q或x太大，使证明的猜想为所有n可行。本文给出了次弧和长弧尾部的新的界。这是作者证明三元哥德巴赫猜想的一部分。新的界限是由于几个定性的改进。特别是，本文提出了一种通用的方法，以减少成本的沃恩的身份，以及一种方式来利用小弧的尾巴的上下文中的大筛子。
On the inverse Goldbach problem
该研究针对逆哥德巴赫问题，建立素数集加法分解的两个定量结果，涉及二元、三元及多元和集与素数集的偏差估计，证明采用蒙哥马利大筛法等工具，为相关数论问题提供了定量支撑。
The ternary Goldbach problem
三元哥德巴赫猜想，或三素数问题，指出每个大于$5$的奇数$n$都可以写成三个素数的和。这个猜想于1742年提出，尽管在20世纪取得了巨大的进展，但直到现在仍然没有得到解决。在2013年-遵循由Hardy，Littlewood和Vinogradov等人开创和发展的一系列研究-作者证明了这个猜想。在这个问题上，就像在许多其他的加法问题上一样，真正的问题是如何正确地使用我们所拥有的关于素数分布的有限信息。这个问题是对分析和数论技术的考验和磨刀石，也是对更清晰地思考现有技术之间关系的激励。我们将复习一下证明的主要思想。其基本方法是基于圆法、大筛法和指数和法。在本概述中，我们不需要使用显式常量;但是，我们将讨论是什么使某些策略和程序不仅有效，而且高效，在导致好常量的意义上。不过，我们的重点将放在质量改进上。
Primes in arithmetic progressions to large moduli, and Goldbach beyond the square-root barrier
本文利用三重可良好分解权重将素数分布水平提升至0.617，并在假设Selberg猜想下达到0.625，由此为孪生素数和Goldbach问题取得新上界，实现了Goldbach问题自1966年以来的最大改进。
On a numerical upper bound for the extended Goldbach conjecture
哥德巴赫猜想指出，每个偶数都可以分解为两个素数之和。令$D(N)$表示偶数$N$的这种素分解的数目。已知$D(N)$可以由$$ D(N) \leq C^* Θ(N), \quad Θ(N):= \frac{N}{\log^2 N}\prod_{\substack{p|N p>2}} \left( 1 + \frac{1}{p-2}\right)\prod_{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) $$上界，其中$C^*$表示Chen常数。证实了$C^*=2$ . 2004年，吴向人们展示了$C^* \leq 7.8209$。我们试图复制他的工作在计算陈的常数，并在这样做，我们提供了一个改进的近似的Buchstab函数$ω(u)$，\begin{align*} ω(u)=1/u, & \quad (1\leq u\leq 2), (u ω(u))'=ω(u-1), & \quad (u\geq 2). \end{align*}的基础上所做的工作欢呼和Goldston。对于每个间隔$[j,j+1]$，他们将$ω(u)$表示为关于$u=j+1$的泰勒展开。我们在点$u=j+0.5$附近展开，因此计算$ω(u)$的距离不会比计算$0.5$时远离泰勒展开中心的距离更远，这给出了更强的误差界。在使用该泰勒展开式计算Chen常数所需的积分时出现了问题，因此我们继…
An intermediate conjecture between Goldbach and Dubner: every even number is the sum of a prime and a twin prime
该研究提出介于哥德巴赫与杜布纳猜想间的中间猜想，用罗曼诺夫方法结合塞尔伯格筛法给出条件性结果，验证了10^14以内偶数均满足该猜想。
A Lock-Free, Fully GPU-Resident Architecture for the Verification of Goldbach's Conjecture
本文提出一种无锁、完全驻留于GPU的架构，通过优化内存管理和异步工作窃取池，实现高效验证哥德巴赫猜想，达到高并行效率和算法加速。
Theorem $(1+1.9)$ on the Goldbach Conjecture
本文通过构造新的加权筛法和采用新的分析工具，无条件证明了命题 $(1+1.9)$ 成立，即在哥德巴赫猜想中，每个充分大的偶数可表示为 $p+rq$ 且 $r \leq q^{0.9}$，其中 $r$ 为1或素数，$p,q$ 为素数；在埃利奥特-哈尔伯斯坦猜想下指数可改进至1.4，同时类似结果应用于孪生素数猜想。
Binary Additive Problems: Recursions for Numbers of Representations
证明了正整数表示为和x+y，x在X中，y在Y中的个数的一般递推式，其中X，Y是递增序列.特别是，我们得到的哥德巴赫，Lemoine-Levy，陈和其他二进制分区的数量的递归。
A sharp inverse theorem for the quadratic large sieve
研究二次逆大筛法问题，通过结合加权熵论证与筛法估计，改进相关下界，并证明依赖密度的变体，还结合其他定理表明素数分解中被加数与二次像有大交集。
Weighted sieves with switching
本文研究带切换原理的加权筛法，重点检测一个素数与至多三素因子乘积的组合，并改进Yang和Harman的丢番图逼近结果，证明在分布水平至少0.267时可找到(p, P_3)。
GoldbachGPU: An Open Source GPU-Accelerated Framework for Verification of Goldbach's Conjecture
GoldbachGPU通过GPU加速和分段双筛设计，实现对哥德巴赫猜想的高效验证，支持高达10^12的计算，并具备任意精度扩展能力。
Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes
证明了所有大于1的奇数$N$都可以表示为至多5个素数之和，改进了Ramaré关于所有偶数自然数都可以表示为至多6个素数之和的结果.我们遵循Hardy-Littlewood和Vinogradov的圆方法，结合Vaughan的恒等式;我们的附加技术可能对其他哥德巴赫型问题感兴趣，包括使用平滑指数和和优化沃恩恒等式参数以节省或减少一些对数损失，使用遵循布尔甘的一些思想的多尺度，利用Montgomery的测不准原理和大筛子来改进主弧上的$L^2$估计。我们的论点依赖于一些以前的数值工作，即验证Richstein的甚至哥德巴赫猜想高达$4 \times 10^{14}$，并验证范德吕恩和（独立）的Wedeniwski的黎曼假设高达高度$3.29 \times 10^9$。
A note on $θ_2$
本文针对素数模数用光滑权无条件重证 Selberg 的除数函数分布水平 $\theta_2=2/3$，并提出借助次凸性提升至 $4/5$ 的假设，以期改进孪生素数逼近和素数间隔下界。
The number of solutions of phi(x)=m
谢尔宾斯基的一个旧猜想断言，对于每一个整数k \ge 2，存在一个数m，对于该数m，方程m（x）=m恰好有k个解。这里的函数是欧拉函数。1961年，Schinzel从他的假说H推导出了这个猜想。本文的目的是给出谢尔宾斯基猜想的一个无条件证明。证明使用了许多结果从筛理论，特别是著名的定理陈。
Restriction theory of the Selberg sieve, with applications
塞尔伯格筛为某些等差数列提供了优数，例如素数和孪生素数。我们证明了一个L^2-L^p限制定理。一个直接的应用是估计指数和素数k元组。令a_1，.，a_k和b_1，...，b_k是正整数。对于单位圆上的t，写作h（t）：= \sum_{n \in X} e（nt）$，其中X是所有n <= N的集合，使得数字a_1 n + b_1，.，a_kn + b_k都是素数。我们得到了h，p > 2的L^p范数的上界，这些上界（在素元组猜想的条件下）具有正确的数量级。作为第二个应用，我们从Chen定理、Roth定理和一个转移原理推出：存在无穷多个素数的等差数列p_1 < p_2 < p_3，使得对于每个i= 1，2，3，p_i + 2要么是素数，要么是两个素数的乘积。
Divisibility Estimates for Gaussian Norms and Almost-Prime Orders of a CM Elliptic Curve
该研究针对椭圆曲线E:y²=x³-x，结合高斯CM筛框架与交叉项，证明了特定素数p下#E(F_p)/8的无平方因子性及素因子个数限制，为相关数论问题提供了可除性估计与分布结果。
Primes $p$ such that $p-b$ Has a Large Power Factor and Few Other Prime Divisors
本文研究素数 $p$ 使 $p-b$ 含高次 $2$ 幂且奇素因子很少的计数问题，结合 Chen 方法变体、加权筛法与 Elliott 的等差数列结果证明了下界。
A Matrix-Theoretic Exact Formula for Counting Primes in Intervals Between Consecutive Odd Squares
本文提出一个基于矩阵理论的精确公式，用于计算连续奇数平方区间内的素数个数，通过矩阵乘法的性质，推导出素数计数的等价条件，并验证了该条件在特定范围内的有效性。
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