发表机构
Georgia Institute of Technology; Emory University; Hong Kong University of Science and Technology（佐治亚理工学院; 埃默里大学; 香港科技大学）
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研究二次逆大筛法问题，通过结合加权熵论证与筛法估计，改进相关下界，并证明依赖密度的变体，还结合其他定理表明素数分解中被加数与二次像有大交集。
AI 中文摘要
二次逆大筛法问题预测在平方根阈值处尖锐的例子本质上是二次的。汉森证明了这个方向上的第一个无条件结果：若\(A\subseteq[N]\)，\(|A|\gg\sqrt N\)，且对每个素数\(p\)有\(|A_p|\le p/2+O(1)\)，则\(A\)在单个二次函数的像中包含\(\gg\log N\)个元素。我们将此下界显著改进为\(\exp\left(c\frac{\sqrt{\log N}}{\log\log N}\right)\)。还证明了依赖密度的变体，包括受格林 - 哈珀的稳健逆大筛法猜想及其与逆哥德巴赫问题的联系所启发的双集版本。结合埃尔绍尔茨 - 哈珀关于素数假设分解的定理，我们的结果表明任何这样的分解都会迫使两个被加数与二次像有大的交集。我们的证明结合了加权熵论证和筛法估计，灵感来自克鲁特 - 毛 - 波霍阿塔 - 谢弗 - 叶普的近期工作。
英文摘要
We prove that if $A\subseteq[N]$, $|A|\gg\sqrt N$, and $|A_p|\le p/2+O(1)$ for every prime $p\ll \log N$, then $A$ contains at least $\exp\left(c\sqrt{\log N}/\log\log N\right)$ elements in the image of a single integral quadratic $m\pm x^2$. This significantly improves Hanson's logarithmic lower bound, while requiring the residue restriction only for primes $p\ll\log N$. Our proof uses a new weighted entropy argument inspired by our previous work \href{https://arxiv.org/abs/2606.17487}{arXiv:2606.17487} with Sheffer. A matching construction shows that this exponential scale is optimal even when the quadratic may be chosen arbitrarily in $\mathbb{Z}[x]$. We also show extending the residue restrictions to primes up to $(\log N)^3$ yields the stronger bound $\exp(c\sqrt{\log N/\log\log N})$ via a Selberg-sieve-type argument, and discuss an application to the inverse Goldbach problem.
Comments22 pages, title updated, authors added. This version contains stronger results
