Optimal Collocation Nodes for Fractional Derivative Operators
本文研究了分数导数算子的谱离散化方法，通过Jacobi多项式构建基函数，并探讨了非一致网格与插值网格的结合方式，以提高近似空间维度和计算效率。
2014-07-02 cs.NA math.NA
Adaptive hp-Polynomial Based Sparse Grid Collocation Algorithms for Piecewise Smooth Functions with Kinks
针对具有扭结的分片光滑函数，提出两种hp自适应稀疏网格配点算法，结合低阶局部基函数与变阶基函数，利用分层盈余自动检测非光滑区域并细化，数值实验验证了其高效性与准确性。
2025-05-23 cs.NA math.NA
On Expansions and Nodes for Sparse Grid Collocation of Lognormal Elliptic PDEs
这项工作是一个后续行动，我们以前的贡献（“收敛的稀疏配置函数可数许多高斯随机变量（与应用椭圆偏微分方程）"，SIAM J。肛门，2018），并包含使用稀疏网格求解对数正态扩散系数的椭圆偏微分方程的某些方面的进一步见解。具体地，我们首先关注单变量插值规则的选择，提倡使用由Narayan和Jakeman引入的高斯Leja点（“Adaptive Leja sparse grid constructions for stochastic collocation and high-dimensional approximation”，SIAM J. Sci.计算：2014），然后讨论用Lévy-Ciesielski展开代替扩散系数的标准Karhunen-Loève展开的可能的计算优势，其动机是Bachmayr、Cohen、DeVore和Migliorati的理论工作（“参数椭圆偏微分方程的稀疏多项式逼近.第二部分：对数正态系数”，ESAIM：M2 AN，2016）。我们的数值结果表明，对于所考虑的问题，高斯Leja配置点优于高斯-埃尔米特和Genz-Keister节点的稀疏网格近似和对数扩散系数的Karhunen-Loève展开比其Lévy-Ciesielski展开的稀疏网格配置的目的更合适。
2020-04-09 cs.NA math.NA math.PR
A Dynamical Sparse Grid Collocation Method for Differential Equations Driven by White Noise
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文提出一种动态稀疏网格列族方法，用于白噪声驱动微分方程的长时间模拟，通过预设稀疏求积规则和动态构建稀疏求积规则，实现长时间模拟的高精度计算。
2017-06-12 cs.NA math.NA
Multilevel sparse grids collocation for linear partial differential equations, with tensor product smooth basis functions
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出利用多级稀疏插值算法求解线性偏微分方程，采用张量积光滑基函数，实现高精度计算。
2017-10-19 cs.NA math.NA
A Recursive Sparse Grid Collocation Method for Differential Equations with White Noise
Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）；School of Mathematical Sciences, University of Nottingham（诺丁汉大学数学科学学院）
本文提出一种递归稀疏网格列联方法，用于计算受时间依赖白噪声扰动的微分方程解的函数泛函期望，通过结合时间离散化和递归过程提高长期积分精度。
2015-05-15 cs.NA math.NA math.PR
Well-posedness and time stepping adaptivity for a class of collocation discretisations of time-fractional subdiffusion equations
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）；University of Limerick（利默里克大学）
本文研究了时间分数亚扩散方程一类摄动离散化的well-posed性及时间步长自适应性，提出存在性和唯一性条件，并探讨其在误差估计与自适应算法中的应用。
2026-08-14 cs.NA math.NA
A $C^1$ Petrov-Galerkin method and Gauss collocation method for 1D general elliptic problems and superconvergence
本文提出并研究了一维椭圆型方程任意多项式次数的$C^1$ Petrov-Galerkin和Gauss配置方法$k$（$\ge 3$）.证明了解及其导数逼近在所有网格点上以速率$2k-2$收敛;并且解近似在每个元素中的$k+1$次的特殊Jacobi多项式的所有内根处是超收敛的，一阶导数近似在所有内$k-2$ Lobatto点处是超收敛的，并且二阶导数近似在$k-1$ Gauss点处是超收敛的，顺序分别为$k+2$、$k+1$和$k$。作为副产品，我们证明了彼得罗夫-伽辽金解决方案和高斯配置解决方案是超收敛到一个特定的Jacobi投影的精确解在$H^2$，$H^1$，$L^2$规范。所有的理论研究结果都得到了数值实验的证实。
2020-02-06 cs.NA math.NA
Uncertainty Quantification of Ship Resistance via Multi-Index Stochastic Collocation and Radial Basis Function Surrogates: A Comparison
本文介绍了两种方法的前向不确定度量化（UQ）的复杂工业问题的比较。具体而言，多指标随机配置（MISC）和自适应多保真度随机径向基函数（SRBF）代理人的性能进行评估的UQ的滚装/滚装乘客渡轮在平静的水推进，并受到两个操作的不确定性，即船速和吃水。提出并讨论了（模型尺度）阻力的期望值、标准差和概率密度函数的估计;通过内部非定常多网格雷诺平均纳维尔-斯托克斯（RANS）求解器$χ$ navis获得所需的模拟。MISC和SRBF都将RANS求解器用于多网格加速的不同网格级别的评估用作多保真度级别;这里使用四个网格级别，作为初始最细网格的各向同性粗化。结果表明，MISC可能是首选时，只有有限的数据集。对于较大的数据集，MISC和SRBF都是一个有效的选择，由于SRBF对噪声的鲁棒性，它略受青睐。
2020-11-04 cs.NA math.NA
A multilevel adaptive sparse grid stochastic collocation approach to the non-smooth forward propagation of uncertainty in discretized problems
Institute of Mechanics and Computational Mechanics (IBNM) Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学机械与计算力学研究所）
本文提出了一种结合自适应分层稀疏网格随机配方法与逐级更细的空间离散化方法，以显著降低离散问题中非光滑不确定性正向传播的计算复杂度。
2015-09-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A fractional spline collocation-Galerkin method for the time-fractional diffusion equation
本文提出了一种基于分数样条的collocation-Galerkin方法，用于求解具有分数阶时间导数的扩散微分问题，通过闭式表达式简化了分数阶导数的计算，提高了数值方法的准确性和效率。
2018-03-11 cs.NA math.NA
High Dimensional Uncertainty Quantification for an Electrothermal Field Problem using Stochastic Collocation on Sparse Grids and Tensor Train Decompositions
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文研究了集成电路键合线温度的不确定性量化问题，采用随机格子和张量分解方法提高计算效率。
2016-12-09 cs.CE cs.NA math.NA
A two-level stochastic collocation method for semilinear elliptic equations with random coefficients
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Purdue University（普渡大学）；Washington State University（华盛顿州立大学）
本文提出一种两级随机插值方法，用于求解具有随机系数的半线性椭圆方程，通过粗网格低阶插值与细网格高阶插值结合，实现计算效率提升，理论证明其精度与传统方法相当。
2016-11-29 cs.NA math.NA
A geometry aware arbitrary order collocation Boundary Element Method solver for the potential flow past three dimensional lifting surfaces
本文提出一种基于配点边界元法并结合非线性Kutta条件Galerkin变分公式的三维升力面势流求解器，通过几何感知技术支持任意阶Lagrange单元，在矩形翼和后掠翼上验证了其高精度及重现实验数据的能力。
2024-10-14 cs.NA math.NA
Stochastic collocation on unstructured multivariate meshes
University of Massachusetts Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯分校）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, AMSS, the Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）
本文研究了无结构多变量网格的随机格点方法，探讨了其稳定性和精度特性，为多维随机格点网格的生成提供了指导。
2015-01-23 cs.NA math.NA
On the matrices in B-spline collocation methods for Riesz fractional equations and their spectral properties
在这项工作中，我们专注于分数阶微分方程的Riesz形式的多项式B样条配置方法离散。对于任意多项式次数的$p$，我们证明了所得到的系数矩阵具有Toeplitz结构。我们调查他们的频谱特性，通过他们的符号，我们证明，像二阶微分问题，也在这种情况下，给定的矩阵是病态的，在低和高频率的大$p$。更确切地说，在分数场景中，符号在$α$阶的$0$处具有单个零，其中$α$是范围从$1$到$2$的分数导数阶，并且它在$π$处呈现指数衰减到零，以增加随着$α$接近$1$而变得更快的$p$。与二阶问题相比，这转化为低频中的缓和调节和高频中的劣化。此外，符号的推导揭示了我们的问题与经典扩散问题的另一个相似之处。由于系数矩阵的元素被定义为B样条基的分数阶导数在配置点处的求值，因此我们可以将系数矩阵的中心元素表示为基数B样条的两个分数阶导数的内积。最后，我们对多项式B样条配置的逼近行为进行了数值研究。这项研究表明，在非分数扩散问题，在分数的情况下，光滑的解决方案的逼近阶为$p+2-α$为偶数$p$，和$p+1-α$为奇数$p$。
2021-06-28 cs.NA math.NA
Comparing Multi-Index Stochastic Collocation and Multi-Fidelity Stochastic Radial Basis Functions for Forward Uncertainty Quantification of Ship Resistance
本文提出了一种比较两种多保真度方法的前向不确定性量化的海军工程问题。具体来说，我们考虑的问题量化的不确定性的水动力阻力的滚动/滚下乘客渡轮在平静的水中前进，并受到两个操作的不确定性（船速和有效载荷）。前四个统计矩（平均值、方差、偏度、峰度）和这种感兴趣的量（QoI）的密度函数用两种多保真度方法计算，即，多指标随机配置（MISC）方法和自适应多保真度随机径向基函数（SRBF）算法。通过计算流体动力学模拟评价QoI，该模拟使用内部非定常雷诺平均纳维尔-斯托克斯（RANS）多重网格求解器$χ$ navis进行。通过在多重网格循环的不同网格级别停止RANS求解器，获得了两种方法所采用的不同精度。这两种方法的性能进行了介绍和讨论：简而言之，研究结果表明，至少对于目前的实现这两种算法，MISC可以是首选时，有限的计算预算是可用的，而对于一个较大的计算预算SRBFs似乎是优选的，由于其鲁棒性的数值噪声的评价的生活质量。
2021-11-26 cs.NA math.NA
Adaptive Wavelet Collocation Method for Simulation of Time Dependent Maxwell's Equations
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin（柏林康拉德·楚泽信息技术中心）
提出一种自适应小波配点时域方法，通过动态网格自适应和显式时间步进高效求解麦克斯韦方程组，显著降低计算成本，适用于导波光学器件模拟。
2012-04-05 cs.NA math-ph math.MP
Multivariate discrete least-squares approximations with a new type of collocation grid
Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, AMSS, the Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算数学与科学工程计算研究所）；Mathematics Department, University of Massachusetts Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯学院数学系）
本文研究了利用特殊设计的确定性点集对多变量函数进行离散最小二乘逼近的问题，证明了稳定性与最优收敛性，并展示了其在量化epistemic不确定性中的应用。
2014-01-05 cs.NA math.NA
Stochastic collocation methods via $L_1$ minimization using randomized quadratures
Shanghai Normal University（上海师范大学）；University of Utah（犹他大学）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, AMSS, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）
本文探讨通过随机选择的子网格近似多元函数，利用L1最小化方法，提出非侵入式构建广义正交多项式展开的框架，用于不确定性量化。
2016-07-13 cs.NA math.NA
Uncertainty quantification in timber-like beams using sparse grids: theory and examples with off-the-shelf software utilization
在处理木结构时，由于不可避免但难以预测的节和其他缺陷的存在，材料的特征强度和刚度变得高度可变和不确定。在这项工作中，我们应用稀疏网格随机配置法进行不确定性量化的结构工程在上述情况下。稀疏网格是近几十年来数学界发展起来的一种网格模型，其理论背景得到了广泛而深入的研究。该文件提出了一个简短的面向实践的介绍与最小的理论背景，提供了详细的说明，使用已经实现的稀疏网格Matlab工具包（免费提供在线），并讨论了两个数值例子的启发木材工程问题，突出稀疏网格如何表现出优越的性能相比，平原蒙特卡罗方法。稀疏网格Matlab工具包只需要几行代码就可以与任何力学问题的数值求解器连接（在这项工作中，我们使用了等几何配置法），并提供了可以很容易地解释和在工程实践中使用的输出。
2022-11-09 cs.NA math.NA
A stochastic collocation approach for parabolic PDEs with random domain deformations
Boston University（波士顿大学）
本文研究了如何通过随机置信法近似依赖于线性抛物型偏微分方程解的量的统计矩，其中几何形状被随机参数化，并通过等价的确定性域和随机系数进行重新映射，推导了随机矩的收敛率并与数值实验进行比较。
2019-05-28 cs.NA math.NA
Legendre wavelet collocation method combined with the Gauss--Jacobi quadrature for solving fractional delay-type integro-differential equations
University of Mazandaran（马赞德兰大学）；Universidade de Lisboa（里斯本大学）；Buein Zahra Technical University（布因扎赫拉理工大学）
本文提出了一种基于Legendre小波和Gauss-Jacobi求积的置留法，用于求解一类分数延迟型积分-微分方程，该方法考虑了初始或边界条件，并采用Caputo意义下的分数导数。首先，将未知解近似表示为Legendre小波基函数，然后将该近似及其导数代入方程中，利用Gauss-Jacobi求积近似Caputo导数，通过在已知的移位Chebyshev点上置留得到非线性代数方程组，并加入一些条件以获得连续解。给出了Legendre小波近似任意函数的误差界，并通过实例展示该方法的效率和精度。
2019-05-31 cs.NA math.NA
A wavelet integral collocation method for nonlinear boundary value problems in Physics
Key Laboratory of Mechanics on Disaster and Environment in Western China, the Ministry of Education, College of Civil Engineering and Mechanics, Lanzhou University（西部灾害与环境力学教育部重点实验室，兰州大学土木工程与力学学院）
本文提出了一种高阶小波积分置信法，用于解决物理中的非线性边值问题，通过改进的Coiflet近似和边界扩展技术，证明了方法的收敛阶为N，且在多个物理非线性微分方程中表现出更高的精度和效率。
2017-01-21 cs.NA math.NA
Stochastic collocation method for computing eigenspaces of parameter-dependent operators
我们考虑用仿射方法计算依赖于可数参数的椭圆自伴算子的本征空间。感兴趣的本征空间被假定为是孤立的，在这个意义上，相应的本征值是从其余的频谱分离的所有参数的值。我们表明，这样的特征空间实际上可以扩展到复杂的解析函数的参数和量化的方式，导致收敛的稀疏多项式逼近这种解析依赖。提出了一种在参数域各向异性稀疏网格上的随机配置法，用于计算特征空间的基。基于随机扩散算子的本征值问题的一系列数值算例验证了该方法的收敛性。
2021-03-14 cs.NA math.NA
Extended B-Spline Collocation Method For KdV-Burgers Equation
Eskisehir Osmangazi University（埃斯基谢希尔奥士曼加齐大学）；Çankırı Karatekin University（昌克勒卡雷特金大学）
本文提出一种扩展的B-样条插值法，用于求解KdV-伯格斯方程的初始边界值问题，通过降低三阶导数项并结合Crank-Nicolson方法进行时间离散化，验证了该方法在解析和非解析初始条件下的有效性。
2017-01-11 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
Convergence analysis of the adaptive stochastic collocation finite element method
本文针对含参数系数的稳态扩散方程，分析结合参数域稀疏网格配点与空间域有限元、由参数及空间后验误差指标驱动的自适应随机配点算法的收敛性，证明其对有限维参数化的一般扩散系数可使误差估计趋于零，涵盖仿射与非仿射参数依赖问题。
2025-01-20 cs.NA math.AP math.NA
Hybrid collocation perturbation for PDEs with random domains
本文提出了一种混合摄动法，用于求解随机域中线性椭圆PDE的统计量，通过稀疏网格随机摄动法处理大变化，通过随机摄动-摄动法处理小变化，并推导了QoI方差的收敛率，显著降低了随机问题的维度。
2017-03-29 cs.NA math.NA
Asymptotically compatible reproducing kernel collocation and meshfree integration for nonlocal diffusion
再生核（RK）近似是无网格方法，从分散的数据集构造形状函数。对Dirichlet边界条件下的非局部扩散模型提出了一种渐近相容的RK配置法.当非局部相互作用消失时，该格式收敛于非局部扩散及其相应的局部极限。在一类特殊的直角坐标网格上对线性RK方法进行了分析。RK配置格式稳定性的关键思想是将其与稳定的标准Galerkin格式进行比较。另外，由于通常需要高阶高斯求积来计算非局部问题的刚度矩阵，因此计算量很大。因此，我们提供了一个补救的问题，通过引入一个准离散的非局部扩散算子，没有数值求积是进一步应用RK配置方案后需要。通过同时考虑非局部相互作用的极限和空间分辨率，证明了拟离散非局部扩散算子与RK配点的结合是收敛于正确的局部扩散问题的.最后通过数值实验对理论结果进行了验证。我们还说明了所提出的技术和现有的基于广义移动最小二乘（GMLS）的优化方法之间的连接。
2020-08-25 cs.NA math.NA
Analytic regularity and stochastic collocation of high dimensional Newton iterates
Boston University（波士顿大学）
本文引入不确定性量化和数值分析的概念，高效评估随机高维牛顿迭代。通过开发关于随机变量的复分析正则性理论，证明了稀疏网格在计算随机矩时的有效性，并推导出收敛速率，显示其相对于随机扰动实现次数为亚指数或代数收敛。该方法的精度使其适合计算低概率事件的高置信度计算。本文将方法应用于电力潮流问题，并在具有大随机负载的39节点新英格兰电力系统模型上进行了数值实验，结果与理论收敛速率一致。
2019-05-22 cs.NA math.NA stat.CO
Analytic regularity and collocation approximation for elliptic PDEs with random domain deformations
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Ecole Politechnique Federale Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文研究了随机域变形下椭圆型PDE解的统计量近似问题，通过解析延拓和稀疏网格列点法计算均值和标准差，并分析收敛率。
2016-03-28 cs.NA math.NA
Deflation-accelerated preconditioning of the Poisson-Neumann Schur problem on long domains with a high-order discontinuous element-based collocation method
Cornell University（康奈尔大学）；Applied Research Laboratories（应用研究实验室）
本文提出结合块Jacobi与消去预处理方法，用于解决长域高阶不连续配点法离散的Poisson-Neumann系统Schur补问题，通过消去向量缓解长域病态影响，实现GMRES收敛与网格大小无关。
2015-12-06 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Sparse Stochastic Collocation Technique for High-Frequency Wave Propagation with Uncertainty
KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）；The University of New Mexico（新墨西哥大学）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出结合高频率方法与稀疏随机(collocation)技术，用于处理具有不确定性的高频率波传播问题，通过局部平均的|u^ε|^2量来提高计算效率。
2015-09-10 cs.NA math.NA
Convergence of Sparse Collocation for Functions of Countably Many Gaussian Random Variables (with Application to Elliptic PDEs)
TU Chemnitz（Chemnitz工业大学）；Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes” del CNR（CNR应用数学与信息技术研究所“E. Magenes”）
本文证明了稀疏插值对依赖于可数多个高斯随机变量的Hilbert空间值函数的收敛性，并针对椭圆偏微分方程的对数正态扩散系数解进行了应用，建立了L²收敛理论并推导了代数收敛速率。
2017-03-28 cs.NA math.NA
Surrogate Approximation of the Grad-Shafranov Free Boundary Problem via Stochastic Collocation on Sparse Grids
在磁约束聚变装置中，等离子体的平衡构型由流体中的流体静压与由外部线圈阵列和等离子体本身产生的磁力之间的平衡决定。等离子体的位置不是先验已知的，必须作为自由边界问题的解来获得。确定组合磁场行为的偏微分方程取决于一组物理参数（线圈的位置、通过线圈的电流强度、磁导率等）。这些都是不确定和可变的。限制区域又是这些随机参数的函数。在这项工作中，我们认为通过外部线圈的电流强度的变化作为不确定性的主要来源。这导致尺寸等于电抗器中线圈数量的参数空间。借助于建立在参数空间的稀疏网格上的代理函数，使用蒙特卡罗策略来探索参数中的随机性对等离子体边界的重要特征（如x点的位置、打击点和形状属性（如三角形和伸长））的影响。替代函数的使用减少了蒙特卡罗模拟所需的时间，减少的因子范围在7到30之间。
2021-09-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Convergence rate for a Gauss collocation method applied to constrained optimal control
University of Florida（佛罗里达大学）；Southern Illinois University Edwardsville（爱德华兹维尔南伊利诺伊大学）；University of Louisiana at Lafayette（拉斐特路易斯安那大学）
研究Gauss点插值法在带约束最优控制问题中的局部收敛性，基于强凸性条件，分析最优状态和共轭状态的平方可积导数收敛性，并通过数值例子验证理论严谨性。
2017-12-19 cs.NA math.NA
Goal-Oriented Error Estimation and Adaptivity for Stochastic Collocation FEM
本文针对含随机输入的椭圆型偏微分方程，提出一种基于稀疏网格随机配置有限元方法的目标导向自适应策略，通过引入修正项补偿 Galerkin 正交性缺失，并给出可靠的后验误差估计，数值实验验证了其在仿射与非仿射参数问题及线性和非线性目标泛函上的有效性。
2025-02-10 cs.NA math.NA
Efficient least squares approximation and collocation methods using radial basis functions
本文提出基于RBF的高效最小二乘配置求解器，利用FFT加速规则部分并直接处理低秩扰动，以解决不规则区域边值问题。
2024-03-03 cs.NA math.NA
Boundary-Layer-Induced Failure of Standard Physics-Informed Neural Networks: A Legendre Wavelet Collocation Benchmark for Singularly Perturbed Transport Problems
Department of Mathematics and Applied Statistics, School of Applied Sciences, KIIT Deemed to be University, Bhubaneswar, Odisha, India（KIIT认定大学应用科学学院数学与应用统计系）
针对奇异摄动输运问题，对比局部Legendre小波配点法与标准软边界物理信息神经网络，发现后者在高Peclet数下无法解析边界层，而小波方法误差低于5e-3。
2026-06-08 cs.NA math.NA
An asymptotically compatible probabilistic collocation method for randomly heterogeneous nonlocal problems
本文提出了一种求解非均匀介质中随机系数非局部扩散方程的渐近相容无网格方法。特别地，将随机扩散系数用有限维随机变量或随机变量的截断组合描述，通过Karhunen-Loève分解，采用稀疏网格下的概率配置法（PCM）对随机过程进行采样.在每个样本上，确定性非局部扩散问题离散与优化为基础的无网格求积规则。我们提出了严格的分析所提出的计划，并证明收敛的一些基准问题，表明它维持空间上的渐近相容性，并实现了代数或次指数收敛速度的随机系数空间的配置点的数量的增长。最后，为了验证这种方法的适用性，我们考虑了一个随机异构非局部问题与给定的空间相关结构，表明所提出的PCM方法实现了显着的速度相比，传统的Monte Carlo模拟。
2021-07-15 cs.NA math.AP math.NA
Domain Overlapping Algorithm with Nonlinear Mapping for Collocation-Based Solutions of Eigenvalue Problems
针对含尖锐界面或陡峭梯度的特征值问题配点法求解，提出四种结合非线性映射的区域分解算法，单点/两点重叠法减少网格点并保持谱收敛，两点法还实现指数级误差减少，且保持高阶导数连续性，验证鲁棒性。
2025-02-13 cs.NA math-ph math.MP
A multi-fidelity stochastic collocation method using locally improved reduced-order models
George Mason University（乔治梅森大学）
本文提出一种改进的随机置信法，通过局部改进的降阶模型处理复杂方程，如Burgers方程和纳维-斯托克斯方程，展现高效可靠的特点。
2013-06-01 cs.NA math.NA
Spectral approximation of $ψ$-fractional differential equation based on mapped Jacobi functions
本文针对$\psi$-分数阶微分方程，提出基于映射Jacobi函数的Petrov-Galerkin谱方法和谱配点方法，建立逼近理论与误差估计，并通过数值算例验证其有效性。
2023-12-27 cs.NA math.NA
Accelerating stochastic collocation methods for partial differential equations with random input data
University of Tennessee（田纳西大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文提出并分析了一种通用加速技术，用于降低使用随机置信方法求解具有随机输入数据的偏微分方程的计算复杂度，通过利用SC插值的构造加速确定性解集，提升迭代求解器的初始近似。
2015-05-04 cs.NA math.NA
Radial basis function collocation method for decoupled fractional Laplacian wave equations
解耦的分数阶拉普拉斯波动方程可以描述地震波在衰减介质中的传播。傅立叶伪谱实现在空间频域中求解该方程，是求解该方程的唯一现有方法。对于具有曲线边界的地球介质，伪谱方法在处理不规则计算区域时可能不那么有吸引力。本文提出了一种径向基函数配置法，可以很容易地处理不规则区域问题。与伪谱方法不同，该方法在物理变量域求解方程。方向分数拉普拉斯算子是从分数拉普拉斯算子的各种定义中选取的。特别地，采用向量Grünwald-Letnikov公式来逼近径向基函数的分数阶方向导数.通过合成解和长时间数值模拟，分别研究了该方法的收敛性和稳定性。考虑均匀和多层介质具有规则和不规则的几何边界的方法的灵活性进行了研究。
2018-01-03 cs.CE cs.NA math.NA
A development of Lagrange interpolation, Part I: Theory
本文介绍了一类新的函数，它可以用来求解非线性/线性多维微分方程。在此基础上，提出了一种新的数值方法--扩展拉格朗日插值法（DLI）。为此，我们首先定义了一类新的函数，称为展开拉格朗日函数（DLF），它满足在配置点处的克罗内克符号。然后，对DLF，得到了$\textbf{D}^{(1)}$的一阶导数运算矩阵，并给出了计算$\textbf{D}^{(m)}$，$m\in \mathbb{N}$的高阶导数运算矩阵的递推关系，即发展了DLF的经典Lagrange多项式的导数运算矩阵定理，证明了DLF的$\textbf{D}^{(m)}=(\textbf{D}^{(1)})^{m}$关系不成立，是可发展的.最后，我们发展了经典Lagrange插值的误差分析。最后，为了证明DLI的收敛性和有效性，我们研究了一些著名的微分方程，这是适用于应用科学，基于不同的选择插值/配置点。
2019-04-27 cs.NA math.NA
Compressive Fourier collocation methods for high-dimensional diffusion equations with periodic boundary conditions
Concordia University（康考迪亚大学）
针对高维周期边界扩散方程的维数灾难问题，提出压缩傅里叶配置方法，结合压缩感知与谱配置，利用蒙特卡洛采样和稀疏恢复技术逼近解，理论分析与实验均表明其误差可控且有效缓解维数灾难。
2023-11-21 cs.LG cs.NA math.NA
Adaptive Collocation Point Strategies For Physics Informed Neural Networks via the QR Discrete Empirical Interpolation Method
Rice University（里士大学）；The University of Texas MD Anderson Cancer Center（德克萨斯大学MD安德森癌症中心）
针对固定配置点采样难以捕捉高梯度区域的问题，提出基于QR-DEIM的两种自适应配置点选择策略，在基准PDE上提升PINN精度。
2025-08-07 cs.CE cs.LG cs.NA
On the Fractional Derivatives of Radial Basis Functions
本文计算了五种径向基函数的分数阶积分和导数，为求解分数微分方程提供高阶数值方法，并通过两个分数微分方程验证了结果。
2016-12-22 cs.NA math.NA
A Direct Integral Pseudospectral Method for Solving a Class of Infinite-Horizon Optimal Control Problems Using Gegenbauer Polynomials and Certain Parametric Maps
提出了一种新的直接积分伪谱（PS）方法（一种直接IPS方法）来求解一类连续时间无限时域最优控制问题（IHOCs）。该方法通过一定的参数映射将IHOC转化为积分形式的有限时域最优控制问题（FHOC），然后通过基于Gegenbauer多项式和Gegenbauer-Gauss-Radau（GGR）点的有理配置将其近似为有限维非线性规划问题（NLP）.本文还分析了参数映射、基于Gegenbauer多项式的重心有理配置和GGR点之间的相互作用，以及IHOC配置解的收敛性。推导了构造重心三角形式的有理插值权和基于GGR的积分微分矩阵的新公式。对该方法的误差和收敛性进行了严格的研究。基于勒贝格常数对基于GGR的有理插值进行了稳定性分析。两个易于实现的伪代码的计算算法计算重心三角有理权重的描述。两个说明性的测试例子来支持理论结果。我们表明，建议的配置法与一个快速，准确的NLP求解器的杠杆指数收敛到近最优逼近的近似粗配置网格的大小。本文还表明，典型的直接谱/PS-和IPS-方法的基础上经典的雅可比多项式和某些参数映射通常发散的配置点的数量增长大，如果计算进行使用浮点运算和离散化使用一个单一的网格，无论他们是高斯/高斯-Radau（GR）型或等距。
2022-07-12 cs.NA math.NA math.OC
Local piecewise polynomial curve of variable order and its appliance for calculating of nodal derivatives
本文提出了一种新的非均匀网格上C1连续的Hermite型曲线分段多项式。根据网格节点的位置（均匀和非均匀），曲线是二次或三次的。研究了近似误差。对于非均匀网格，提出了一种计算节点一阶导数和二阶导数的方法。我们还进行了几个数值实验，验证了所提出的曲线的性质。给出了图形示例。
2020-11-25 cs.NA math.NA
Multilevel Double Loop Monte Carlo and Stochastic Collocation Methods with Importance Sampling for Bayesian Optimal Experimental Design
一个最佳的实验设置最大限度地提高数据的价值，统计推断和预测。寻找最佳实验设置的策略的效率对于耗时或昂贵的实验尤为重要。例如，在实验由偏微分方程（PDE）建模的情况下，多层方法已被证明在估计期望值时显著降低其单级对应物的计算复杂性。对于偏微分方程可以模拟实验的设置，我们提出了两个多层方法来估计一个流行的设计标准，称为预期的信息增益在基于模拟的贝叶斯最优试验设计。期望信息增益准则是一种嵌套的期望形式，只有少数多层方法已被提出用于这种形式的问题。我们提出了一个多级双环蒙特卡罗（MLDLMC），这是一个多层次的策略与双环蒙特卡罗（DLMC），和一个多级双环随机配置（MLDLSC），它执行一个高维的积分稀疏网格上的确定性求积。对于这两种方法，拉普拉斯近似用于重要性抽样，大大减少了估计内部期望的计算工作。方法参数的最优值通过最小化平均计算工作来确定，服从于满足期望的误差容限。的计算效率的方法证明，通过估计预期的信息增益贝叶斯推断的纤维取向的复合材料层压材料从电阻抗断层扫描实验。MLDLSC表现优于MLDLMC时，感兴趣的量的规律性，相对于加性噪声和未知参数，可以利用。
2020-02-03 cs.NA math.NA
Sparse-grids-like surrogate models enhanced with gradient information
Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes”, Consiglio Nazionale delle Ricerche（应用数学与信息技术研究所“E.马格内斯”，意大利国家研究委员会）；Institute for Complex Molecular Systems, Department of Biomedical Engineering, Eindhoven University of Technology（复杂分子系统研究所，生物医学工程系，埃因霍温理工大学）
本研究提出结合梯度信息的类稀疏网格替代模型，采用混合方法构建，经数值测试验证，其性能关键取决于QoI导数与QoI评估的相对成本和精度。
2026-08-10 cs.NA math.NA
