The Existence of Diagonal Quantum Latin Squares with Maximum Cardinality
Department of Mathematics, Soochow University（苏州大学数学系）
本文研究最大基数对角量子拉丁方的存在性，通过直接构造和递归方法几乎完全确定了其存在条件。
2026-06-29 math.CO
Upper Bounds on Sets of Orthogonal Colorings of Graphs
我们将正交拉丁方的概念推广到单图的染色。一个图的两个$n$ -着色称为\emph{orthogonal}，如果当两个顶点在一个着色中共享一种颜色时，它们在另一个着色中具有不同的颜色。我们表明，通常的界限上的最大尺寸的一组特定的正交拉丁结构，如拉丁广场，行拉丁广场，等- $n$广场，单对角拉丁方，双对角拉丁方，或数独广场是一个特殊情况下的界限上的正交染色的图。
2012-11-29 math.CO
On the Number of Maximum Inner Distance Latin Squares
拉丁方的内部距离是由我和其他六个人在2020年夏天在摩拉维亚学院的REU期间定义的。从那时起，我一直好奇它与其他组合数学的可能联系。矩阵的内部距离是相邻单元中的元素之间的距离的最小值，其中我们的距离度量是距离模$n$。直觉上，人们认为大多数拉丁方的内部距离为1，例如，可能存在一对相邻的单元格，它们具有连续的整数。只有极少数应该有\textit{maximum}内部距离;通过构造，所有$n\geq 3$的最大内部距离都恰好是$\left \lfloor\frac{n-1}{2}\right \rfloor$。在本文中，我们还建立了所有较小的内部距离的存在性。\cite{inner distance}中展示了我们的大部分介绍性工作，主要关注于确定拉丁方和数独拉丁方的最大内部距离。本文研究了最大内距离平方的计数问题，并计算了任意$n$的最大内距离平方的精确个数。
2021-12-27 math.CO
A Quantum Latin Square of Order Six with Cardinality 29
Dirac Labs（狄拉克实验室）
本文构造了六阶基数为29的实量子拉丁方，完善了六阶量子拉丁方的基数谱。
2026-08-14 math.CO
Completing Partial Latin Squares - Alternative Proof
完成一个部分指定的n乘n拉丁方的问题是解决了另一种证明，基于填充行（或对角线）从1到n，使用霍尔的婚姻定理的扩展形式。
2016-12-26 math.CO
On the transversals of Latin squares generated by nonlinear bipermutive cellular automata
University of Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）；Durham University（杜伦大学）；University of Twente（特文特大学）
本文研究了在无边界条件的情况下，双置换细胞自动机生成的拉丁方是否具有正交配对的条件，证明了主对角线存在transversal的双置换细胞自动机的生成函数特性，并通过穷举搜索实验确定了最小直径d=6时存在非线性双置换CA生成具有主对角线transversal的拉丁方。
2026-05-15 cs.FL math.CO
Recent results on Choi's orthogonal Latin squares
崔锡贞研究拉丁方至少60年前欧拉虽然这是鲜为人知的。他介绍了一对正交拉丁方的9阶在他的书。有趣的是，他的两个正交的非双对角拉丁方产生一个9阶的幻方，其理论原因没有研究。有一些研究崔的拉丁方的9阶。最近的一个是柯伟Lih的建设崔的拉丁广场的9阶的基础上，两个$3 \times 3$正交拉丁方。本文利用包含Lih构造的Kronecker积，将Choi的9阶正交拉丁方推广到大小为$n^2$的正交拉丁方.我们发现一个几何描述崔的正交拉丁方的9阶使用二面体群$D_8$。我们还给出了一种新的方法来构造幻方从两个正交的非双对角拉丁方，这就解释了为什么崔的拉丁方产生一个幻方的顺序为9。
2021-09-28 math.CO
On completing three cyclic transversals to a latin square
设$P$是由三个循环生成的断面组成的素数阶部分拉丁方$p>7$.具体地说，令$P$为以下形式的部分拉丁方：对于某些不同的$c,c',c''$和某些不同的$s,s',s''$，为\[ P=\{(i,c+i,s+i),(i,c'+i,s'+i),(i,c''+i,s''+i)\mid 0 \leq i< p\} \]。在本文中，我们证明了任何这样的$P$完成一个拉丁方，这是对角循环。
2007-12-03 math.CO
Enumerating separable derangements
Dartmouth College（达特茅斯学院）
本研究提出多项式时间算法计算集合[n]的可分错位排列数bₙ，基于生成函数技术，证明bₙ与大Schröder数指数增长常数相同，利用前3000项推测渐近行为，部分回答Vatter的相关问题。
2026-08-31 math.CO
Small Partial Latin Squares that Cannot be Embedded in a Cayley Table
我们回答了一个问题提出的Dénes和Keedwell这是相当于以下内容。对于每一阶$n$，不能嵌入任何阶$n$组的凯莱表的部分拉丁方的最小尺寸是多少？我们还解决了这个问题的一些变体，并在每种情况下分类不能嵌入的最小的例子。我们关闭一个问题，嵌入对角部分拉丁方在凯莱表。
2015-04-30 math.CO math.GR
Enumeration of Latin squares with conjugate symmetry
一个拉丁方有六个共轭的拉丁方，它们是通过对它的（行、列、符号）三元组进行均匀排列而得到的。我们说一个拉丁方具有共轭对称性，如果它的六个共轭中至少有两个相等。我们列举了具有共轭对称性的拉丁方，并根据几种常见的等价概念对其进行了分类。我们还在其他假设下进行类似的枚举，例如假设拉丁方是简化的、对角的、幂等的或幂单的。我们的数据纠正了早期文献中的一个错误，并提出了几种模式，我们随后找到了证明，包括（1）$n$阶半对称幂等拉丁方的同构类的数量等于$n+1$阶半对称幂单拉丁方的同构类的数量，以及（2）假设$A$和$B$是$n\not\equiv0\bmod3$阶全对称拉丁方。如果$A$和$B$是对位的，则$A$和$B$是同构的。
2021-04-16 math.CO
The geometry of diagonal groups
对角群是在O 'Nan-Scott定理的结论中出现的有限本原置换群的一类。其他几个类已经被描述为几何或组合结构的自同构群，如仿射空间或笛卡尔分解，但对角群的这种结构还没有被研究。本文的主要目的是描述和描述这样的结构，我们称之为对角半格。与O 'Nan-Scott定理中定义在有限特征单群上的对角群不同，我们的构造适用于任何群，有限或无限。对角半格取决于维度m和群T。当m=2时，它是一个拉丁方，即T的凯莱表，尽管事实上任何拉丁方都满足我们的公理。然而，当m>=3时，群T从公理中自然且唯一地出现。(The这种情况有点类似于射影几何，其中射影平面大量存在，但高维结构由代数对象（除环）协调。）一个对角半格包含在集合上的分划格中，我们提供了一个介绍分划演算。许多概念和结构来自统计学中的试验设计。我们还确定对角群何时可以是本原的或准本原的（这些条件对于对角群是等效的）。与对角半格相关联的是一个图，对角图，它具有相同的自同构群，除了在四个小的情况下，m<=3。对角图类包括一些著名的图族，拉丁方图和折叠立方体。我们得到了对角图的色数的部分结果，并提到了同步的应用。
2021-05-06 math.CO math.GR
Transversals, near transversals, and diagonals in iterated groups and quasigroups
给定一个$n$阶的二元拟群$G$，一个$d$ -迭代拟群$G[d]$是等于$G$与自身的$d$ -乘合成的$(d+1)$ -元拟群.每一个$d$元拟群的Cayley表都是一个$d$维拉丁超立方体.定义了多元拟群中的横截和对角，使之与相应的拉丁超立方体中的横截和对角一致。证明了若$n$阶群$G$满足Hall-Paige条件，则对于大的$d$，$G[d]$中的断面数等于$ \frac{n!}{ |G'| n^{n-1}} \cdot n!^{d} (1 + o(1))$，其中$G'$是$G$的换位子群.对于一般拟群$G$，我们得到了类似的关于$G[d]$中断面和近断面个数的估计，并发展了一种计算迭代拟群中其它类型对角线的方法.
2021-08-19 math.CO
Latin Squares with Few Transversals
本文改进拉丁方横截线最小数量的上界，通过构造3×3分块拉丁方，证明对n≡3 (mod 6)的奇数阶n，t(n)不超过((1+o(1))2n/(3e^2))^n。
2026-09-09 math.CO
Association schemes for diagonal groups
对任意有限群$G$和任意正整数$n$，我们构造了一个允许对角群$D_n(G)$为自同构群的结合概型。关联方案的秩是将$n$划分为至多$|G|$部分的数量，如果是$|G|\ge n$，则$p(n)$也是如此;其参数仅取决于$n$和$|G|$。对于$n=2$，关联方案是平凡的，而对于$n=3$，其关系是与$G$及其补的凯莱表关联的拉丁方图。传递置换群$G$称为\emph{AS-free}，如果不存在允许$G$作为自同构群的非平凡结合方案。我们构造的一个结果是，一个无AS的群必须是$2$ -齐性的或几乎单的.我们构造了另一个关联方案，如果$n>3$，比上述方案更好，从拉丁超立方体组成的$n$ -元组的$G$与产品的单位元。
2020-09-24 math.CO math.GR
Decomposition of bi-colored square arrays into balanced diagonals
给定一个$n\times n$数组$M$（$n\ge 7$），其中每个单元都被着色为两种颜色中的一种，我们给出了$M$划分为$n$对角线的一个充要条件，每个对角线至少包含每种颜色的一个单元.因此，如果每种颜色出现在至少$2n-1$单元中，则存在这样的分区。证明使用的结果完成部分拉丁方。
2015-08-15 math.CO
Ryser's Theorem for Symmetric $ρ$-latin Squares
本文研究对称 $ρ$-拉丁方的填充问题，建立了充要条件以确保部分填充的数组在对称约束下能扩展为符号出现次数符合规定的拉丁方，并推广了 Andersen-Hoffman 定理。
2025-09-14 cs.DM math.CO
Balanced diagonals in frequency squares
我们说数组中的对角线是{ \em $λ$ -balanced}，如果每个条目出现$λ$次。令$L$为$F(n;λ^m)$类型的频率平方，即$n\times n$数组，其中来自$\{1,2,\dots ,m\}$的每个条目每行出现$λ$次，每列出现$λ$次。我们表明，如果$m\leq 3$，$L$包含一个$λ$平衡的对角线，只有一个例外，当$m=2$等价。我们给出了$m\geq 4$的部分结果，并提出了Ryser猜想的推广，即每一个奇数阶的拉丁方都有一个断面.我们的方法依赖于首先确定一个小的子结构的频率平方，便于在整个阵列中定位一个平衡的对角线的任务。
2018-02-04 math.CO
A generalization of product construction of multimagic squares
本文研究了多重幻方的构造。利用对角拉丁方和Kronecker积构造了多重幻方。从而得到了一些新的复合多重幻方族。
2015-12-22 math.CO
Sweet division problems: from chocolate bars to honeycomb strips and back
本文研究方形与六边形晶格窄条的分割问题，利用生成函数与转移矩阵方法分析计数序列、渐近行为及 Fibonacci 组合恒等式。
2023-04-24 math.CO
Parity of transversals of Latin squares
我们引入了断面奇偶性的概念，并用它来证明在$2 \bmod 4$阶的拉丁方中，断面数是4的倍数。我们还展示了一些关系（主要是同余模4）涉及$E_1,\dots, E_n$，其中$E_i$是一个给定的拉丁广场，正好包含$i$不同的符号对角线的数量。令$A(i\mid j)$表示通过从父矩阵$A$中删除行$i$和列$j$而获得的矩阵。定义$t_{ij}$为$L(i\mid j)$中的横截数，对于某个固定的拉丁方$L$。我们表明，$t_{ab}\equiv t_{cd}\bmod2$的所有$a,b,c,d$和$L$。此外，如果$L$具有奇数阶，则$L$的横截数等于$t_{ab}$ mod 2。我们猜想，$t_{ac} + t_{bc} + t_{ad} + t_{bd} \equiv 0 \bmod 4$对所有的$a,b,c,d$。在我们的调查过程中，我们证明了几个结果，可能是在其他情况下的利益。例如，当$n$为奇数且$k\equiv0\bmod 4$为奇数时，证明了$k$正则二部图中$2n$顶点上的完美匹配数可被$4$整除.当$A$是奇数阶整数矩阵且所有行和列和等于$k\equiv2\bmod4$时，我们还证明了对所有的$a,b,c,d$都有$${\rm per}\, A(a \mid c)+{\rm per}\, A(b \mid c)+{\rm per}\, A(a \mid d)…
2019-12-24 math.CO
Orthogonal trades in complete sets of MOLS
设$B_p$是由整数模奇素数$p$的加法表给出的拉丁方。在这里，我们考虑$B_p$中拉丁交易的属性，这些属性与有限域构造给出的其中一个$p-1$ MOLS保持正交性。我们表明，对于某些选择的正交伴侣，有一个下限对数$p$的次数，每个符号出现在这样的贸易，与整体下限的$(\log{p})^2/\log\log{p}$的大小，这样的贸易。这种交换意味着循环群的正形的存在，它与线性正形有很小的不同。我们还表明，在$B_p$中的任何横向击中主对角线要么$p$或最多$p-\log_2{p}-1$倍。最后，如果$p\equiv 1\mod{6}$，我们证明了拉丁方的存在性，它包含一个与$B_p$正交的$2\times 2$子方。
2016-07-18 math.CO
Diagonal groups and arcs over groups
在三位作者和Csaba Schneider的早期论文中，证明了对于$m\ge2$，一个集合$Ω$的一组$m+1$划分，其中任何$m$都是笛卡尔格的最小非平凡元素，或者形成拉丁方（如果$m=2$），或者生成一个与基本群$G$上的对角群相关联的维数为$m$的并半格。在本文中，我们研究会发生什么，如果我们有$m+r$分区与$r\geq 2$，其中任何$m$是最小元素的笛卡尔格。如果是$m=2$，这只是一组相互正交的拉丁方。我们考虑的情况下，所有这些广场是同位素的凯莱表的群体，并给出一个例子，以显示集团不需要所有同构。对于$m>2$来说，事情受到更多的限制。任何$m+1$的分区生成一个联合半格，允许一个对角群在一个群$G$上。可能所有的群都是同构的，尽管我们不能证明这一点。在额外的假设下，我们证明了$G$必须是阿贝尔的，并且必须有三个无不动点的自同构，其积是单位元。在这种假设下，这样的结构给出了正交表，并且在某些情况下相反。若群是素数阶$p$循环群，则其结构恰好对应于具有$p$元素的域上的$(m-1)$维射影空间中的基数弧$m+r$，因此关于弧的所有已知结果都是适用的。更一般地，$q$阶有限域上的弧给出了例子，其中$G$是$q$阶的初等阿贝尔群。这些例子可以使用$p$-adic技术提升到非初等阿贝尔群。
2021-04-01 math.CO math.GR math.ST
Extending Symmetric Layer-Rainbow Latin Cubes
Illinois State University（伊利诺伊州立大学）
本文确定了对称层彩虹拉丁立方体嵌入的充要条件，给出三维Cruse定理类比，并通过公平分离和整数分配证明，构造了八阶具有PSL(2,7)对称性的例子。
2026-09-10 math.CO
Enumeration of associative magic squares of order 7
关联幻方是这样的幻方，使得相对于中心对称位置处的任何2个单元的和是恒定的。7阶关联幻方的总数是巨大的，因此，通过简单的回溯来获得该数目是不现实的。作为最近的结果，Artem Ripatti在2018年报告了6阶半幻方（没有对角和条件的6 × 6的幻方）的数量。本文参考Ripatti的半幻方计数法，计算了7阶结合幻方的总数。不包括对称模式，总共有1，125，154，039，419，854，784个7阶关联幻方。
2019-06-18 math.CO
The Ehrhart series of magic squares of orders seven and eight
Nankai University（南开大学）；Capital Normal University（首都师范大学）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
研究七阶幻方的埃尔哈特级数，通过SimpCone分解等方法确定其为既约有理函数，利用多种技术计算相关多面体在有限域上的生成函数等，最终确定了级数的分母、分子等特性并证明相关结论。
2026-08-18 math.CO
