The Chromatic Number of Finite Group Cayley Tables
拉丁方$L$的色数，记作$χ(L)$，是覆盖其所有胞元所需的部分横截的最小数目。证明了每个拉丁方都满足$χ(L) \leq |L|+2$。如果是真的，这将解决一个长期存在的猜想-通常归因于Brualdi-每个拉丁方都有一个大小为$|L|-1$的部分断面。限制我们的注意力有限群的凯莱表，我们证明了两个主要结果。首先，我们解决了有限阿贝尔群的Cayley表的色数问题：阿贝尔群$G$的Cayley表具有色数$|G|$或$|G|+2$，后一种情况发生当且仅当$G$具有非平凡循环Sylow 2-子群。其次，我们给出了任意有限群的Cayley表的色数的一个上界。对于$|G|\geq 3$，这将最著名的一般上界从$2|G|$改进为$\frac{3}{2}|G|$，同时在无限多的情况下产生甚至更强的结果。
2018-05-17 math.CO
On p-ary Bent Functions and Strongly Regular Graphs
我们的主要结果是一个广义狄龙型定理，给出图论条件，保证$p$ -ary函数在偶数个变量是弯曲的，为$p$一个素数大于2。其关键条件是与函数值相关的Cayley分支图是强正则的，或者全部是拉丁方型，或者全部是负拉丁方型.这样的拉丁方或负拉丁方型bent函数分别是正则的或弱正则的。它的对偶函数具有与原函数相同参数的分量Cayley图。我们还给出了一个包含结构常数的bent函数的判据。我们证明了，如果一个$p$ -ary函数的组件凯莱图的可行度确定一个amorphic结合计划，那么它是弯曲的。由于无定形结合方案对应于拉丁型或负拉丁方型的强正则图分解，所以这个结果等价于我们的主要定理。我们展示了如何从正交表构造bent函数，并给出了一些例子。
2019-04-19 math.CO
Infinite Latin Squares: Neighbor Balance and Orthogonality
关于邻居平衡，我们认为自然的推广$D$ -完全拉丁方和梵蒂冈广场从有限到无限。我们表明，如果$G$是一个无限阿贝尔群与$|G|$ -许多平方元素，那么它是可能的置换的行和列的凯莱表，以创建一个无限梵蒂冈广场。我们还构建了一个梵蒂冈广场的任何给定的无限秩序，是无法通过排列的行和列的凯莱表。关于正交性，我们表明，每一个无限群$G$有一组$|G|$相互正交的正形，因此有一组$|G|$相互正交拉丁方的基础上$G$。证明了具有$|G|$ -多个平方元的无限群$G$具有强完备映射;并且，除了某些可能的例外，无限阿贝尔群具有强完备映射。
2018-07-23 math.CO
Latin squares with maximal partial transversals of many lengths
拉丁方$L$的部分横截$T$是$L$的一组条目，其中每行、列和符号最多表示一次。一个部分断面是极大的，如果它不包含在一个更大的部分断面中。任何$n$阶拉丁方的极大部分断面的大小至少为$\lceil\frac{n}{2}\rceil$且至多为$n$。我们说一个拉丁方是全方位的，如果它拥有所有可行尺寸的最大部分断面，如果它拥有除一个之外的所有可行尺寸的最大部分断面，则它是近全方位的。埃文斯证明了对于任何奇数的$n \neq 3$，都存在$n$阶的任意拉丁方。通过推广这个结果，我们证明了一个$n$阶的万能拉丁方存在当且仅当$n\notin\{3,4\}$和$n \not\equiv 2 \mod 4$ .此外，我们表明，几乎无所不在的拉丁方存在的所有订单$n \equiv 2 \mod 4$。最后，我们证明了没有一个非平凡群具有全方位Cayley表，只有15个群具有近全方位Cayley表。事实上，随着$n$的增长，$n$阶群的凯莱表会丢失最大部分横截的可行大小的常数部分。在证明这一点的过程中，我们考虑了组合群论中的以下有趣问题。假设我们有有限群$G$的两个子集$R,C\subseteq G$，使得$|\{rc:r\in R,c\in C\}|=m$。$|R|$和$|C|$需要多大（根据$m$）才能确定$G$和$x,y\in G$中$m$阶的某个子群$H$的$R\subseteq xH$和…
2021-01-09 math.CO
Latin squares, partial latin squares and its generalized quotients
（部分）拉丁方是（部分）拟群的乘法表。一个（部分）拟群的乘法可以被认为是一个三元组的集合。本文给出了三元组的集合是（部分）拉丁方的商的一个充要条件。
2003-03-27 math.CO
Latin bitrades derived from quasigroup autoparatopisms
本文推广了基于群的拉丁贸易构造方法，通过拟群自仿射同态群构造嵌入特定拉丁方的拉丁贸易，并在群运算表和二次正交态射拉丁方中识别出非平凡条目传递贸易。
2023-08-29 math.CO
Terwilliger $\mathbb{F}$-algebras of certain Cayley tables
本文确定了初等阿贝尔2-群凯莱表诱导的结合方案的Terwilliger $\mathbb{F}$-代数结构，提供了无穷多例子与反例。
2023-09-05 math.CO math.RT
Reconstruction of group multiplication tables by quadrangle criterion
对于$n>3$，每个至多含有$n-1$洞的$n\times n$部分Cayley矩阵都可以用四边形准则重构.此外，可以按给定顺序填充孔。在没有额外假设的情况下，这是最好的结果。讨论了其它类型乘法表的重构。
2007-01-24 math.CO math.GR
Transversals in completely reducible multiary quasigroups and in multiary quasigroups of order 4
一个$q$阶的$n$ -元拟群$f$是一个在一组基数$q$上的$n$ -元运算，使得该运算的凯莱表是一个$q$阶的$n$ -维拉丁超立方体。准群$f$（或相应的拉丁超立方体）中的截线是来自$f$的凯莱表的$q$ $(n+1)$ -元组的集合，每对元组在每个位置都不同。拉丁超立方体中的横截问题是由Wanless在2011年提出的。一个$n$元拟群$f$称为可约的，如果它可以由两个元数至少为2的拟群的合成得到;如果它可以分解为二元拟群，则它是完全可约的.本文研究了可约拟群和4阶拟群的断面。我们发现了一个下界的数量的横截的一个巨大的类完全可约拟群。其次证明了除偶数元的迭代群$\mathbb{Z}_4$外，每一个4阶$n$元拟群都有断面.同时得到了4阶奇元拟群的断面数的一个下界，以及奇元迭代群$\mathbb{Z}_4$和迭代群$\mathbb{Z}_2^2.$中的断面数。
2017-09-11 math.CO
Lattice path enumeration for semi-magic squares by Latin rectangles
类似于标准的Young表格如何表示Young格中的路径，拉丁矩形可以用于枚举具有条目0或1的半幻方的偏序集中的路径。与行列式相关的对称性保持了这个偏序集，我们完整地描述了大小为4，5和6的正方形的轨道，覆盖数据和最大链。最后一项给出了这些情况下拉丁方的数量。为了有效地计算大小为6，我们反过来确定轨道与某些等价类的超图。
2022-02-13 math.CO
A three-factor product construction for mutually orthogonal latin squares
众所周知，相互正交拉丁方，或MOLS，允许（克罗内克）产品的建设。我们表明，在温和的条件下，“三重产品”的MOLS可以导致一个平方的增益。在横截设计方面，该技术是使用罗尔夫里斯的构造两次：一次是获得一个产品后的块的粗略分辨率，然后重新组织类并解决第二个产品的块。作为结果，我们报告了一些改进的MOLS表，并获得了轻微的加强著名的MacNeish定理。
2014-01-07 math.CO
Group Invariant Quantum Latin Squares
本文引入群不变量子拉丁方，证明其与群代数间保持迹和共轭转置的同构存在自然双射，并给出存在条件及与量子同构凯莱图的联系。
2025-02-28 math.CO math.QA quant-ph
Defining sets which intersect each Latin trade at least twice
University of Queensland（昆士兰大学）；The University of Waikato（怀卡托大学）
本文引入k-强定义集的概念，研究整数模n加法表中k-强定义集的最小大小，并给出奇数n时最小2-强定义集的构造。
2026-05-27 math.CO
Orthogonal bases for transportation polytopes applied to Latin squares, magic squares and Sudoku boards
本文给出了行列和为零的m × n矩阵空间的一个正交基的简单构造。这个向量空间对应于自然地与Birkhoff多面体、列联表和拉丁方相关联的仿射空间。我们还提供了正交基的空间基础的幻方和数独板。我们的结构结合了外部（即，张量或并矢）与某些有根的向量标记的二叉树的乘积。我们的基自然地尊重向量空间分解成中心对称和反对称中心对称的部分;基可以很容易地修改，以尊重通常的矩阵对称和反对称。
2016-10-13 math.CO
Transversals in quasirandom latin squares
本文使用圆法的宽松变体，将几乎每个拉丁方横截数量的渐近估计改进为 $(e^{-1/2} + o(1)) n!^2 / n^n$，并证明该方法适用于所有满足特定拟随机性条件的拉丁方。
2023-04-21 math.CO
Transversals in Latin Squares
$n$阶拉丁方是$n$符号的$n\times n$阵列，其中每个符号在每行和每列中只出现一次。这样的正方形的横截是$n$条目的集合，使得没有两个条目共享相同的行、列或符号。断面与（拟）群中的完备映射和正形的概念密切相关，并且是相互正交拉丁方概念的基础。在这里，我们提供了一个简短的调查的文学横截。我们包括（1）存在性和计数结果，（2）断面的推广，包括部分断面和丛，（3）当拉丁方是群表时的特殊情况，（4）置换集的覆盖半径的联系。该调查包括一些问题和未决问题。
2009-03-30 math.CO
Latin squares with no transversals
$n$阶拉丁方中的$k$ -丛是对$kn$条目的选择，其包括来自每行和列的$k$代表以及每个符号的$k$出现。$1$ -plex也称为横切面.众所周知，如果$n$是偶数，则整数模$n$的加法表$B_n$不具有横截。我们发现，有大量的拉丁方是类似于$B_n$，没有横截。因此，横向自由拉丁方的物种的数量被证明是至少$n^{n^{3/2}(1/2-o(1))}$，甚至$n\rightarrow\infty$。我们还产生了各种建设拉丁方没有横截，但确实有一个$k$ -丛一些奇数$k>1$。证明了第二作者在2002年提出的一个猜想：对于所有偶数阶$n>4$，存在一个$n$阶的拉丁方，它包含一个$3$ -plex，但没有横截.我们还证明了对于奇数$k$和$m\geq 2$，存在一个$2km$阶拉丁方，它有一个$k$ -丛，但对于奇数$k'<k$没有$k'$ -丛.
2017-04-13 math.CO
Loops with exponent three in all isotopes
van Rees \cite{vR}证明了一个$n$阶的拉丁方最多有$n^2(n-1)/18$ $3$阶的拉丁子方。他解释说，只有当$n$是$3$的幂时，才能达到这个界限。我们表明，它只能实现，如果$n\equiv3\bmod6$。我们还指出了几个条件，相当于实现范里斯界。其中之一是当且仅当每个环同位素都有指数$3$时，环的Cayley表达到van Rees界。我们呼吁这样的循环\emph{van Rees loops}，并表明，他们形成一个方程定义的品种。我们还证明了：（1）在van Rees环中，任何指数为3的子环都是正规的;（2）恰好有6个$27$阶的非结合van Rees环具有非平凡核，至少有1个非结合van Rees环具有平凡核;（3）每个交换van Rees环都具有弱逆性质;（4）对于每个van Rees环都有一个相关联的Steiner拟群族.
2014-11-02 math.CO math.GR
Discrepancy of High-Dimensional Permutations
令$L$为一阶- $n$拉丁方。对于$X, Y, Z \subseteq \{1, ... ,n\}$，令$L(X, Y. Z)$为三元组$i\in X, j\in Y, k\in Z$的数量，使得$L(i,j) = k$。我们猜想几乎每个拉丁方对每个$X, Y$和$Z$都渐近地满足$|L(X, Y, Z) - \frac 1n |X||Y||Z||\le O(\sqrt{|X||Y||Z|})$.当$L(X, Y, Z)=0$时，让$\varepsilon(L):= \max |X||Y||Z|$。上述猜想意味着$\varepsilon(L) \le O(n^2)$几乎必然渐近成立（这个界显然是紧的）。我们表明，存在拉丁广场与$\varepsilon(L) \le O(n^2)$，并$\varepsilon(L) \le O(n^2 \log^2 n)$几乎每一个订单- $n$拉丁广场。另一方面，如果$L$是一个阶$n$群的乘法表，则我们还记得$\varepsilon(L)\geq Ω(n^{33/14})$.其中一些结果扩展到更高的维度。许多悬而未决的问题仍然存在。
2016-07-25 math.CO
Transversals, near transversals, and diagonals in iterated groups and quasigroups
给定一个$n$阶的二元拟群$G$，一个$d$ -迭代拟群$G[d]$是等于$G$与自身的$d$ -乘合成的$(d+1)$ -元拟群.每一个$d$元拟群的Cayley表都是一个$d$维拉丁超立方体.定义了多元拟群中的横截和对角，使之与相应的拉丁超立方体中的横截和对角一致。证明了若$n$阶群$G$满足Hall-Paige条件，则对于大的$d$，$G[d]$中的断面数等于$ \frac{n!}{ |G'| n^{n-1}} \cdot n!^{d} (1 + o(1))$，其中$G'$是$G$的换位子群.对于一般拟群$G$，我们得到了类似的关于$G[d]$中断面和近断面个数的估计，并发展了一种计算迭代拟群中其它类型对角线的方法.
2021-08-19 math.CO
Powers of doubly-affine integer square matrices with one non-zero eigenvalue
当双仿射矩阵，如拉丁和幻方与一个单一的非零特征值通电后，他们成为常数矩阵后，几个步骤。然后，可以使用复合m阶和n阶的平方的过程来生成这样的mn阶平方的无穷级数。Cayley-Hamilton定理用于理解这种性质，其中它们的特征多项式只有两项。
2017-12-09 math.CO math.HO
Orthogonal trades in complete sets of MOLS
设$B_p$是由整数模奇素数$p$的加法表给出的拉丁方。在这里，我们考虑$B_p$中拉丁交易的属性，这些属性与有限域构造给出的其中一个$p-1$ MOLS保持正交性。我们表明，对于某些选择的正交伴侣，有一个下限对数$p$的次数，每个符号出现在这样的贸易，与整体下限的$(\log{p})^2/\log\log{p}$的大小，这样的贸易。这种交换意味着循环群的正形的存在，它与线性正形有很小的不同。我们还表明，在$B_p$中的任何横向击中主对角线要么$p$或最多$p-\log_2{p}-1$倍。最后，如果$p\equiv 1\mod{6}$，我们证明了拉丁方的存在性，它包含一个与$B_p$正交的$2\times 2$子方。
2016-07-18 math.CO
