Signature functions of knots
Charles Livingston
纽结的特征函数是复平面中单位圆上的整数值阶梯函数。给出了一个函数是纽结的特征函数的充要条件。
The signature function of a knot is an integer-valued step function on the unit circle in the complex plane. Necessary and sufficient conditions for a function to be the signature function of a knot are presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Turaev genus, knot signature, and the knot homology concordance invariants
我们给出了纽结签名、Ozsvath-Szabo τ不变量和Rasmussen不变量在纽结的Turaev亏格下的界。
Strongly invertible knots, invariant surfaces, and the Atiyah-Singer signature theorem
我们使用的G-签名定理定义一个不变量的强可逆结类似的结签名。
Nonabelian representations and signatures of double twist knots
Riley关于实抛物表示与双桥纽结特征之间关系的一个猜想在双扭纽结中得到了验证。
On the signatures of torus knots
研究了环面纽结$T_{p,q}$的特征函数的性质。首先，我们提供了一个非常基本的证明公式的积分的签名在圆。我们还得到了环面纽结的Tristram-Levine签名的一个关于Dedekind和的闭公式。
Signature and concordance of positive knots
我们得到一个线性估计的签名，积极的结，在他们的属。作为一个应用程序，我们表明，每一个结和谐类包含最多200多个积极的结。
The maximum Levine-Tristram signature of torus knots
我们证明了环面纽结的Levine-Tristram签名函数的最大值满足一个约化公式，该约化公式类似于Gordon-Litherland-Murasugi关于经典签名的结果。
Knot signature functions are independent
对每个具有正虚部的单位复数定义了一个Tristram-Levine纽结签名函数。所有这样的签名函数的集合作为在所有节点的集合上定义的函数的集合是线性无关的。平均签名函数的集合形成结和谐群上的同态的线性无关集合。然而，对于亚历山大多项式的每个单位根，在该根及其共轭处存在具有非零签名的切片结，而在其他地方则没有。这些结果适用于所有奇数维的纽结。
Alexander polynomials and signatures of some high-dimensional knots
给出了（4 q +1）-球面上的（4 q-1）-纽结在给定的无平方Alexander多项式下的签名为整数的充要条件.
An Elementary Proof of the Signature of Satellite Knots
我们提出了一个证明Litherland的公式的特里斯特拉姆-莱文签名的卫星结在其成分。Litherland的原始证明使用了更先进的代数技术，而我们只使用了线性代数和纽结理论的一些基本结果。
Derivatives of Knots and Second-order Signatures
我们为任何代数切片纽结定义了一组“二阶”L^（2）-签名不变量。这些阻碍了一个纽结是一个切片纽结和推广卡森戈登不变量，我们认为是“一阶签名”。作为一个应用程序，我们证明：若K是亏格一片纽结，则在任一亏格一的Seifert曲面上，存在一条自连零的同调本质简单闭曲线，该曲线具有零阶签名为零和一阶签名为零.这推广了Cooper和Gilmer的定理。我们介绍了一个几何概念，即一个结的衍生物相对于代谢。我们还介绍了一个新的等价关系，推广同调配边，称为零边。
On the Alexander polynomial and the signature invariant of two-bridge knots
Fox证明了交错纽结的Alexander多项式是梯形的，即系数先增加，然后稳定，最后以对称的方式减小。最近，Hirasawa和Murasugi进一步证明了Alexander多项式中稳定系数的个数与签名不变量之间的关系。本文证明了二桥纽结的Hirasawa-Murasugi猜想。
Linear Independence of Knots Arising from Iterated Infection Without the Use of Tristram Levine Signatures
利用ρ^1-不变量给出了在纽结和谐群的（n）-可解滤子中任意深的线性无关纽结族的显式构造.以前的和谐群中的无限秩子群的构造和我们的构造之间的区别是，我们提出的构造中最深的感染结允许具有消失的Tristram Levine签名。
Positive knots have negative signature
J.Birman、Williams和L.Rudolph提出了一个问题，即非平凡的洛伦兹结是否总是具有正的签名。洛伦兹结是正辫的例子（在我们的约定中，它们的交叉点都是负的，所以它们是负链）。鲁道夫（L.Rudolph）证明了正辫子具有正签名（如果它们代表非平凡链接）。K.Murasugi证明了非平凡的、交替的、正的链接有负的签名。在这里，我们证明了一般的老民间传说猜想，非平凡的积极联系有负签名。
Real rational knots in the quadric of signature~$(3,2)$
研究低次实有理曲线在三维二次曲面中的空间，分类实有理结与节点曲线，并探讨其与三维实射影空间中实有理结的关系，给出度数不超过5的实有理结代表构造。
Does the Jones polynomial determine the signature of a knot?
纽结的特征函数是定义域为单位圆的局部常整数值函数。跳跃（即，签名函数的不连续性）可以仅出现在单位圆上的亚历山大多项式的根处。后者在将纽结群的U（1）表示变形为不可约SU（2）表示的过程中起着重要作用。假设这些根是简单的，我们制定了一个猜想，明确计算的跳跃的签名函数的琼斯多项式的一个结和它的平行。作为证据，我们证明了我们的猜想环面结，也（使用计算机计算）的结最多8交叉。我们还根据Alexander多项式的相对符号给出了在单根处的跳跃函数的一个公式。
Signature and concordance of virtual knots
我们引入了虚拟节点的Tristram-Levine签名，并使用它们来研究虚拟节点的一致性。首先定义的签名几乎经典的结，这是虚拟的结承认同调平凡的表示。的签名和$ω$ -签名给出了几乎经典的结的拓扑片属上的界限，他们被应用到解决最近的问题染料，Kaestner和考夫曼的虚拟片属的经典结。一个猜想的拓扑切片属制定和确认所有经典的结与多达11个交叉和2150的2175的12个交叉结。塞弗特配对是用来定义有向亚历山大多项式，我们满足福克斯米尔诺准则时，几乎经典的结切片。我们引入虚拟盘带表面，并使用它们来建立几乎经典结的塞弗特矩阵的实现定理。作为结果，我们推断，任何整数多项式$Δ(t)$满足$Δ(1)=1$出现的亚历山大多项式的几乎经典的结。在最后一节中，我们利用宇称投影和Turaev的纽结覆盖将Tristram-Levine签名推广到所有的虚拟纽结。一个关键步骤是一个定理，说奇偶投影保持协调的虚拟节点。这个定理意味着签名、$ω$ -签名和Fox-Milnor准则可以被提升以给出所有虚拟节点的切片障碍。有76个几乎经典的结，最多有6个交叉点，我们使用我们的不变量来确定所有这些的切片状态和除了4个之外的所有切片属。最后的表2总结了我们的发现。
Almost positive links have negative signature
我们分析了具有少量负交叉的图的链接的属性。我们表明，如果一个非平凡的链接有一个图，所有的交叉点，除了可能是一个积极的，那么签名的链接是负的。如果一个链接图有两个负的交叉点，我们表明，该链接的签名是非正的左手Hopf链接（可能平凡的组件）除外。我们还刻画了具有签名零的链路和具有两个负交叉的图。特别是，我们表明，如果一个非平凡的结有一个图有两个负交叉，然后签名的结是负的，除非结是一个扭曲结负扣。我们完全确定所有平凡的链接图有两个或更少的负交叉。对于一个有三个负交叉的纽结图，除了左手三叶结之外，纽结的签名都是非正的。这些结果推广了L. Rudolph，T. Cochran，E. Gompf，P. Traczyk，and J. H. Przytycki，解决了[P-2]的猜想5，并部分回答了[Co-G]的问题2.8关于纽结支配三叶结或平凡纽结的问题。我们还描述了所有解开的一号正结。
A central limit theorem for the signatures of 2-bridge knots
研究2-桥结的签名分布，推导出闭合公式并证明其随交叉数趋于无穷时趋于正态分布。
Computing the rho-invariants of links via the signature of colored links with applications to the linear independence of twist knots
我们使用Cimasoni-Florens定义的链接不变量来计算ρ-不变量。这将Cochran-Teichner和Friedl关于结的结果推广到了链接的设置。作为应用，我们证明了只有12个可能的例外，代数阶为2的扭结是线性无关的拓扑协调组。
Knots, von Neumann signatures, and grope cobordism
本文解释了经典纽结理论在三维和四维中的新发展，即我们研究了三维空间中的纽结，直到合痕和和谐。在3维中，我们给出了几何解释的Kontsevich积分（联合吉姆科南特），并在4维中，我们引入了新的一致性不变量使用冯诺依曼签名（联合蒂姆科克伦和肯特奥尔）。我们的结果的共同的几何特征是一个摸索cobordism的概念。
The Goeritz matrix and signature of a two bridge knot
根据Gordon和Litherland的公式，一个节点K的签名可以计算为K的Goeritz矩阵的签名减去一个适当的校正项，从K的图中读出。本文考虑两个桥结点族K（p/q），并根据p/q的连分数展开式的系数计算其Goeritz矩阵的特征.在许多情况下，我们还计算校正项的值。我们表明，对于每两个桥结K（p/q），有“甚至连分数扩展”的p/q，其中的校正项为零，从而充分计算的签名K（p/q）。我们提供了一个算法，寻找偶连分数的扩展。本文是第一作者在第二作者的指导下进行的REU研究的结果。
Signature invariants related to the unknotting number
从经典的纽结签名函数出发，构造了纽结解结数的新的下界。这些界限可以是以前已知的签名界限的两倍。它们也可以比Heegaard Floer和Khovanov同调所产生的已知界限更强。结果包括新的边界上的戈尔迪距离结和四维结不变量的信息。通过考虑一个相关的非平衡签名函数，构造了解结数的界，这些界与双sliceness的性质有关。
Twisted signatures of fibered knots
本文研究纽结和三维流形的扭签名不变量。在纤维的情况下，我们减少了这些不变量的计算，研究的交叉形式和单值的扭曲的纤维表面上的同调。一路上，我们使用环的幂级数，以获得新的解释扭曲米尔诺配对介绍柯克和利文斯顿。这使我们能够将这些配对与扭曲Blanchfield配对联系起来。最后，我们研究了由此产生的签名不变量，所有这些都是扭曲的推广Levine-Tristram签名。
Signatures of TQFTs and trace fields of two-bridge knots
本文证明了支配SO$_3$ TQFT符号的Frobenius代数包含双桥结的迹域，揭示了低维拓扑中两个先验无关对象间的有趣关系。
Knot concordance, Whitney towers and L^2 signatures
我们构建了许多非切片结的例子，在3-空间，不能区分切片结以前已知的不变量。使用惠特尼塔嵌入磁盘的地方，我们定义了一个几何过滤的3维拓扑结和谐组。过滤的底部部分展示了所有经典的和谐不变量，包括卡森-戈登不变量。作为第一步，我们构建了一个无穷序列的新的障碍，消失切片结。这些取与某些{ \em universal}群相关的除环的L-理论中的值。最后，我们使用冯·诺依曼代数的维数论来定义一个L^2签名，并用它来检测我们的障碍理论中的第一个未知步骤。
Unknotting and Ascending Numbers of Knots and their Families
上升数是为64节确定的，最多n=10个交叉点。在证明了交错纽结族的签名定理后，区分了由至多10个交叉的交错纽结生成的所有纽结族，并利用签名的一般公式确定了其解纽结数.对11个纽结族，得到了它们的升数的一般公式.
A note on the topological sliceness of some 2-bridge knots
我们使用扭曲的亚历山大多项式表明，某些代数切片2桥结拓扑切片，即使所有的素数权力卡森-戈登签名消失。我们还提供了一些计算表明卡森-戈登签名在阻碍2桥结的光滑sliceness的功效。
A note on band surgery and the signature of a knot
带状手术是一种手术，涉及对结或链接在三个领域。我们证明，如果两个准交替结$K$和$K'$的相同的平方自由行列式是相关的带手术，然后在他们的签名之差的绝对值是0或8。这种障碍源于一个更一般的定理，该定理关于Heegaard Floer $d$ -L空间对的不变量的差异，这些L空间对通过距离1 Dehn填充相关并满足第一同调中的某些条件。这些结果表明，$T(2, 5)$是唯一一种环形结$T(2, m)$，其$m$无方形，允许手性美容条带，即对其镜像进行条带手术。最后，我们讨论了手性化妆品带的稀缺性。
Reidemeister torsion of two-bridge knots and signatures of TQFT
本文建立两桥结伴随Reidemeister挠率与SU₂-TQFT符号差对应Frobenius代数的显式关系，证明挠率逆和为常数，且特定单位根序列下符号差与Verlinde公式渐近行为一致。
A Generalization of the Tristram-Levine Knot Signatures as a Singular Furuta-Ohta Invariant for Tori
给定在整数同调球面$Y$内的纽结$K$，Casson-Lin-Herald不变量可以被解释为纽结补到$SU(2)$的不可约表示的共轭类的有符号计数，其将纽结的子午线映射到固定的共轭类。它有一个有趣的特点，它确定了与所选共轭类相关联的纽结的Tristram-Levine签名。反过来说，给定一个4流形$X$与$S^{1}\times S^{3}$的积分同调，和一个嵌入的环面$T$内$X$，使$H_{1}(T;\mathbb{Z})$ surrounding到$H_{1}(X;\mathbb{Z})$，我们定义了一个有符号的计数共轭类的不可约表示的环面补充到$SU(2)$满足一个类似的固定共轭类条件，上面提到的结的情况。我们的计数恢复了乘积情况下纽结的Casson-Lin-Herald不变量，因此它可以被视为隐式定义了环面的Tristram-Levine签名。这个计数也可以被认为是一个奇异的古田太田不变量，它是一个更大的家庭唐纳森不变量，我们也定义的特殊情况。特别是，当$(X,T)$是从一个自和谐的结$(Y,K)$满足一个容许条件，这些唐纳森不变量是相关的莱夫谢茨数的Instanton Floer同源结，我们建设。此外，从这些Floer群中，我们获得了结的Frøyshov不变量，这使得我们能够在嵌入环面产生自和谐时将Frøyshov不变量分配给嵌入环面。
Average signature and 4-genus of 2-bridge knots
本文证明交叉数为c的双桥纽结签名绝对值的平均值趋近于√(2c/π)，并给出平均4-亏格的上界9.75c/log c。
State invariants of two-bridge knots
在本文中，我们考虑的推广的亚历山大多项式和签名的2-桥结考虑戈登-Litherland双线性型的本质状态表面的2-桥结。我们表明，由此产生的不变量是定义良好的，并探讨这些不变量的属性。最后，我们实现的本质曲面的边界斜率作为一个不同的签名的结。
A lower bound for the doubly slice genus from signatures
3-球面中纽结的双切片亏格是4-球面中纽结以横截面形式出现的无纽结可定向曲面中的最小亏格。利用纽结的经典签名函数给出了双片亏格的一个新的下界。我们结合这与一个上界，由于C。McDonald证明了对每一个非负整数$N$，存在一个纽结，其中切片亏格与双切片亏格之差正好是$N$，改进了W.他说这个差别可以是任意大的。
Amenable signatures, algebraic solutions, and filtrations of the knot concordance group
已知纽结和谐群的可解滤子和可解滤子的每一个连续商群都有一个无限秩子群。这些子群的生成结构造使用迭代加倍算子。本文对滤子的每一个后继子，给出了一个新的无穷秩子群，它平凡地与已知的无穷秩子群相交。代替迭代加倍算子，这些新的子群的生成结构造使用代数$n$-解的概念，这是由Cochran和Teichner。此外，对于每个切片结$K$的亚历山大多项式的程度大于2，我们构造的生成结，使它们具有相同的派生的一致性和高阶亚历山大不变量到一定的顺序。在证明中，我们使用了一个$L^2$理论的障碍，一个结是$n.5$-可解的Cha，这是基于$L^2$理论的技术开发的Cha和Orr。我们还将代数$n$-解的概念推广到$R$-代数$n$-解的概念，其中$R$是有理数或素$p$的$p$元素的域。
The Jones Polynomial and Khovanov Homology of Weaving Knots $W(3,n)$
在本文中，我们计算的签名一族的结$W(k,n)$，编织结类型$(k,n)$。通过E.~的工作S.~李的签名计算意味着一个消灭定理的Khovanov同调编织结。专门结$W(3,n)$，我们开发的递归关系，使我们能够计算的琼斯多项式的$W(3,n)$。利用李的其他结果，我们计算这些结的Khovanov同调的秩。最后，我们证明了我们的猜想：$W(3,n)$的Khovanov同调的秩是{ \it正态分布}的.
The Complexity of Shake Slice Knots
我们定义了一个概念的复杂性的shake-slice结，这是类似的定义复杂性的h-cobordisms研究的摩根-绍博。我们证明了对于每个框架$n \ne 0$和复杂度$c \ge 0$，存在一个复杂度至少为$c$的$n$ -shake-slice结。我们的构造使用了可对偶模式，并且在它们的属性中包含了一个速成课程。我们通过研究经典的纽结签名和纽结的Levine-Tristram签名在代数一股扭曲操作下的行为来限制复杂性。
The space writhes and signatures of polymer knots
本文通过半柔性聚合物纽结的Langevin动力学模拟，发现平均空间环绕数近似等于最紧致构型的空间环绕数，并据此证明在多达38个交叉的复杂纽结中空间环绕数与符号差强相关。
Twisted cohomology pairings of knots II; to classical invariants
我们证明了闭三维流形的具有局部系数的双线性上积恢复了无限覆盖的一些扭曲对和Casson-Gordon局部签名。作为结果，我们进一步给出了图形计算的配对和签名。
The L^2 signature of torus knots
我们发现了一个公式的L2签名的（p，q）环面结，这是积分的ω签名的单位圆。然后，我们将其应用到Cochran-Orr-Teichner定理中，以证明解结的n-扭曲双倍，对于n不是0或2，不是切片。这是Casson和Gordon首先证明的结果的一个新证明。
The Dihedral Genus of a Knot
设$K\subset S^3$是Fox $p$着色的纽结，并假定$K$限定了给定的$p$着色在其上延伸的局部平坦曲面$S\subset B^4$. $S$的这种着色导致二面角分支覆盖$X\to S^4$。它的分支集是嵌入在$S^4$中的封闭曲面，局部平坦地远离一个奇点，该奇点的链接是$K$。当$S$是同伦带，$X$是确定的四流形时，通过$X$的签名与$K$的Murasugi签名之间的一个条件，保证了$S$实际上实现了$K$的四亏格.我们展示了一个无限的家庭结$K_m$与此属性，每个{Fox 3-}着色表面的最小亏格$m$。因此，我们分类的签名流形$X$出现的二面角覆盖的$S^4$在上述意义上。
Doubly slice knots and metabelian obstructions
对于$\ell >1$，我们发展了$(4\ell-3)$ -维纽结的$L^{(2)}$ -签名障碍，其中元阿贝尔纽结群是双切片的。对于每一个$\ell>1$，我们构建了一个无限的家庭的结上，我们的障碍是非零的，但其中双重sliceness是不妨碍任何先前已知的不变量。
Twisted Blanchfield pairings and twisted signatures III: Applications
本文提出用 twisted Blanchfield 形式算法计算纽结的 twisted 签名不变量，并在环面纽结上实现，同时利用卫星公式阻碍迭代环面纽结的切片性。
Grope metrics on the knot concordance set
对于嵌入在四维空间中的一种特殊类型的探索，我们称之为可容许探索，我们为每个至少为1的实数q关联一个长度函数。这产生了一族伪度量d^q，在节点的协调类的集合上细化切片亏格度量，作为在两个节点之间的所有可能的探索协调上取的长度函数的下确界。我们调查这些指标的属性。主要定理是，这个度量在纽结和谐集上诱导的拓扑对所有q>1都不是离散的。对于链环的类似陈述在q=1时也成立。此外，我们翻译以前的工作结和谐到距离报表。特别是，我们表明，卷绕数零卫星运营商在许多情况下是收缩，我们给我们的度量产生的结签名和高阶签名的下界。这进一步证明了纽结和谐群具有分形结构的猜想。
The four-genus of connected sums of torus knots
本文研究了环面纽结的线性组合的四个亏格：aT（p，q）# -bT（p '，q'）.固定正的p、q、p '和q'，我们的重点是四个亏格作为正的a和b的函数的行为。三种类型的例子：在第一，对于所有的a和b的四个属是完全确定的Tristram-莱文签名功能;第二，最近定义的厄普函数的Ozsvath-Stipsicz-Szabo确定所有的a和b的四个属;第三，一个令人惊讶的签名和厄普之间的相互作用出现。
Signatures of links and finite type invariants of cyclic branched covers
最近，Mullins利用琼斯多项式及其签名计算了S^3中定向链环的2重循环分支覆盖的Casson-Walker不变量，假设2重分支覆盖是有理同调3-球面。利用基本原理，我们提供了一个类似的计算一般情况下。此外，我们还利用纽结的Kontsevich积分计算了S^3中扭纽结的p重分支覆盖的LMO不变量。
Signature and crossing number of links
本文研究纽结与链环的符号差和交叉数关系，分类了符号差与交叉数之和为2的链环（正3辫子闭包），并探讨其在带手术、涡旋纽结和DNA拓扑中的应用。
Concordance invariants of null-homologous knots in thickened surfaces
使用Gordon-Litherland配对，可以定义加厚表面中${\mathbb Z}/2$空同源连接的不变量（签名、无效性、行列式）。在本文中，我们研究这些不变量的协调性质。例如，如果$K \subset Σ\times I$是${\mathbb Z}/2$空同源和切片，我们表明，它的签名消失，其行列式是完满平方。这些陈述来自于某些四维流形中闭无向曲面的配边结果。布朗不变量是为加厚曲面中的${\mathbb Z}/2$空同源链接定义的。它们采用${\mathbb Z}/8 \cup \{\infty\}$中的值，并取决于生成曲面的选择。我们提出了两个等价的方法来定义和计算它们，我们证明了色对偶结果与两者。我们研究了它们的一致性属性，我们将展示如何解释它们为空同源链接的Arf不变量。布朗不变量和结签名被证明是不变的和谐下的跨越表面。
Genus generators and the positivity of the signature
这是一个猜想，一个积极的链接的签名是有界以下的增函数，其否定的欧拉示性数。关于这一猜想，我们应用典型的generator描述，以表明具有给定的签名的正结的generator的有界性可以部分算法决定。我们与此有关的结果，规范属大于或等于n的节集是由一个有限的子集本身的意义上谷山的偏序。
Knot Floer homology and the four-ball genus
我们使用Heegaard Floer复形上的结过滤来定义结的整数不变量τ（K）。像经典签名一样，这个不变量给出了从纽结和谐群到Z的同态。因此，它给出了一个纽结的切片亏格的下界（因此也给出了解结数）;但与签名不同的是，τ给出了环面纽结的四球亏格的精确界。作为另一个例子，我们计算了几个十交叉结的不变量。
The signature and cusp geometry of hyperbolic knots
本文基于尖点几何定义双曲纽结的自然斜率，并用机器学习发现其与纽结符号差之间的不等式关系，进而应用于 Dehn 手术和 4-球亏格研究。
Untwisting 3-strand torus knots
利用McCoy的扭曲方法证明了3-strand torus knots的拓扑4-亏格的签名界是尖锐的。我们还证明了4-strand和6-strand环面纽结的上界最多偏离1，并将环面纽结的拓扑4-亏格与Seifert亏格之间的渐近比的上界从2/3提高到14/27.
Twisted Blanchfield pairings and twisted signatures II: Relation to Casson-Gordon invariants
本文提出扭曲签名函数及其与Casson-Gordon不变量的关系，通过卫星公式扩展了结同调的研究。
A natural framing of knots
给定三维球面中的一个纽结K，考虑一个以K为界的奇异圆盘以及K与圆盘内部的交点。在给定交叉点的代数数的情况下，在所有奇异圆盘的选择上最小化的交叉点的绝对数量定义了结的框架函数。我们表明，框架功能是对称的，除了在有限数量的点。对称轴是一个新的纽结不变量，称为纽结的自然框架。我们计算了环面纽结和其他一些纽结的自然框架，并讨论了它的一些性质及其与签名和其他著名的纽结不变量的关系。
Two-solvable and two-bipolar knots with large four-genera
对任意整数g，我们构造了一个2-可解2-双极纽结，其拓扑4-亏格大于g。注意，2-可解结是代数切片的，并且有消失的卡森-戈登障碍。同样，所有已知的光滑4-亏格边界规范理论和弗洛尔同调消失的2-双极结。此外，我们的结绑定光滑嵌入高度4在$D^4$，先验更强的条件比2-可解。我们使用新的下界产生的$L^{(2)}$ -签名缺陷的4-属与元亚阿贝尔表示的基本群。
Finite type invariants of cyclic branched covers
更新了参考文献和介绍。给定一个整数同调球面上的纽结，可以构造一族闭3-流形（用正整数参数化），即纽结的循环分支覆盖。在本文中，我们给出了一个公式的Casson-Walker不变量的这些3-流形的剩余的有理函数（它的措施的2-循环部分的Kontsevich积分的纽结）和签名功能。我们的主要结果实际上计算LMO不变量的循环分支覆盖的有理不变式的结和它的签名函数。修订版。
Nonorientable four-ball genus can be arbitrarily large
纽结K的不可定向四球亏格是B^4边界K中任何光滑嵌入的、不可定向曲面F的最小第一贝蒂数。与可定向的四球亏格不同，它的下界是Murasugi签名、Ozsvath-Szabo τ-不变量、Rasmussen s-不变量，文献中关于不可定向的四球亏格的最佳下界是3。我们找到了一个关于K的签名的下界和由K上的-1手术给出的整数同调球面的Heegaard-Floer d-不变量。特别地，我们证明了环面纽结T（2k，2k-1）的不可定向四球亏格是k-1。
Generating functions, Fibonacci numbers and rational knots
我们描述的理性结的任何可能的组合的性质（a）手征性，（非）积极性，（非）纤维性，unknotting号码1（或更高），并确定确切的数量为一个给定的交叉在其生成函数。我们特别展示了如何斐波那契数发生在枚举纤维非手性和unknotting号码一个合理的结。然后，我们展示了如何枚举有理数结的交叉数和属和/或签名。这允许确定这些不变量在有理结中的分布。我们还给出了它在透镜空间计数中的一个应用。
Generating function on epimorphisms between $2$-bridge knot groups
我们有生成函数，它决定了$2$桥纽结群的数量，允许满射到给定的$2$桥纽结的纽结群上，用交叉数表示。在本文中，我们将改进这一公式，考虑到亏格以及交叉数。其次，我们确定了纤维$2$ -桥纽结群之间满态的个数.此外，我们还讨论了一次映射和$2$ -桥纽结.
A Casson-Lin type invariant for links
通过计算具有非平凡第二Stiefel-Whitney类的链群的投影SU（2）表示，我们定义了S^3中两分量链的整数值不变量。我们表明，我们的不变量是，直到签署，链接的环绕数。我们的构造推广了X的构造。S.林在S^3中为纽结定义了一个类似的不变量;他的不变量等于纽结签名的一半。
A transcendental function invariant of virtual knots
在这项工作中，我们描述了一个新的不变量的虚拟结。证明了这种超越函数不变量推广了虚结点的几种多项式不变量，如扭多项式、仿射指数多项式和零多项式。
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