Modular graph forms from equivariant iterated Eisenstein integrals
闭弦散射振幅在亏格1处的低能展开引入了称为模图形式的非全纯模形式的无限族。他们的微分和数论性质动机布朗的替代建设的非全纯模块化形式在最近的数学文献从所谓的等变迭代爱森斯坦积分。在这项工作中，我们提供了第一个验证超越深度布朗的猜想之一，等变迭代爱森斯坦积分包含模块图的形式。除了在深度二和深度三的各种例子，我们阐明了字典的系统分类，并使布朗的建设的某些元素完全明确的所有订单。
2022-12-21 hep-th math.NT
Equivariant primitives of Eisenstein series for congruence subgroups
本文证明主同余子群的爱森斯坦级数的等变原函数恰为非全纯爱森斯坦级数，给出推广全模群结果的闭公式，并研究亏格零模曲线上权为2的情形，将其表示为以Hauptmodul有理函数为自变量的单值对数。
2025-02-07 hep-th math-ph math.MP
Generating series of all modular graph forms from iterated Eisenstein integrals
我们研究生成一系列的环面积分，其中包含所有所谓的模块化图形的形式相关的无质量的单圈闭弦振幅。通过分析生成级数的微分方程，我们构造了它在逆弦张力$α'$中低能展开到所有阶的解。我们的解决方案表示通过初始数据涉及多个zeta值和某些真正的解析函数的模参数的环面。这些功能是建立从实部和虚部的全纯迭代爱森斯坦积分，并应密切相关的布朗最近建设的实际分析模块化形式。我们详细研究了实分析对象的性质，并给出了$α'$展开中固定顺序的显式示例。特别是，我们的解决方案允许在给定的权重下对线性独立的模块图形式进行计数，确认先前的部分结果，并给出更高的预测，迄今为止尚未探索的权重。它也揭示了新的主题一致的超越性的$α'$ -扩展。
2020-05-13 hep-th math.NT
Through the lens of the Eisenstein ideal
本文通过Eisenstein理想建立模曲线几何与分圆域算术的联系，定义两个猜想互逆的映射，并给出其等变构造及Euler系统的应用。
2026-10-06 math.NT
Poincaré series for modular graph forms at depth two. II. Iterated integrals of cusp forms
我们继续分析模块不变函数，受到非齐次拉普拉斯本征值方程，这是确定在庞加莱系列的配套文件。拉普拉斯方程的源项是两个非全纯爱森斯坦级数（的导数）的乘积，其中模不变量被分配深度为2。这些模不变函数有时可以用全纯爱森斯坦级数的单值迭代积分来表示，因为它们出现在模图形式的生成序列中。我们表明，一套迭代积分的爱森斯坦系列必须扩展到包括也迭代积分的全纯尖点形式找到所有模块化的深度不变函数的表达式。这些尖点形式的系数被确定为它们的L值的内部和外部的临界带的比率。
2022-01-28 hep-th math.NT
Laplace-eigenvalue equations for length three modular iterated integrals
模迭代积分空间位于实解析模形式空间内。我们提出了一个定理，生产长度为三个模块的迭代积分，这不是简单的组合，真正的分析爱森斯坦级数，每个功能有一个相关的拉普拉斯特征值方程。这可以看作是F.布朗，其中的审查包括在本文中。我们讨论如何模块迭代积分可以帮助理解的模块图函数出现在弦扰动理论。
2021-11-17 math.NT
On the algebraic structure of iterated integrals of quasimodular forms
本文研究了拟模形式的迭代积分代数$\mathcal{I}^{QM}$，其中$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$是拟模形式的代数$QM_{\ast}$的最小扩张，它在积分下是闭的.我们证明了$\mathcal{I}^{QM}$是无穷多个变量的多项式代数，由林登词对爱森斯坦级数中的某些单项给出。我们还证明了模形式的迭代积分的$\mathcal{I}^{QM}$的$M_{\ast}$ -子代数$\mathcal{I}^{M}$的一个类似结果。
2017-10-26 math.NT
Poincaré series for modular graph forms at depth two. I. Seeds and Laplace systems
我们得到新的庞加莱级数表示的无限家庭的非全纯模块不变的功能，包括模块图的形式，因为它们出现在低能量展开的闭弦散射振幅亏格1。庞加莱级数是由单个全纯爱森斯坦级数及其复共轭上的迭代积分构造而成的，并由zeta值的适当组合进行装饰。我们评估庞加莱和这些迭代爱森斯坦积分的深度1，并推导出新的表示所有的模块化图形形式建立在深度2迭代爱森斯坦积分。在另一篇文章中，一些超越模图形式的深度一积分的庞加莱和将用全纯尖点形式的迭代积分及其L值来描述。
2022-01-28 hep-th math.NT
On the common zeros of quasi-modular forms for $Γ_0^+(N)$ of level $N=1,2,3$
本文研究了准模形式的$N=1,2$和$3$的$Γ_0^+(N)$的Eisenstein级数的重导数的公共零点。更精确地说，我们研究了拟模形式的公共零点，并通过推广Meher \cite{MEH}和Gun和Oesterlé \cite{SJ20}对SL $_2(\mathbb{Z})$的结果，证明了权$k=2,4,6$对水平$N=2,3$的$Γ_0^+(N)$的Eisenstein级数$\frac{d^m E_k^{(N)}(τ)}{dτ^m}$的迭代导数的所有零点都是单的.
2022-06-14 math.NT
Non-holomorphic modular forms from zeta generators
本文利用 zeta 生成元分析等变迭代 Eisenstein 积分，从奇 Riemann zeta 值推导出多重 zeta 值与模图形式的出现，并构造三重 Eisenstein 积分的模补全，在 Brown 框架下显式实现模图形式。
2024-10-03 hep-th math.AG math.NT
Equivariant solutions to modular Schwarzian equations
对于任意正整数$r$，利用上半平面上的等变函数，求解了模Schwarzian微分方程$\{h,τ\}=2π^2r^2E_4$，其中$E_4$是权为4的Eisenstein级数.本文补充了以前的作品\cite{forum, ramanujan}，其中相同的方程已经解决了$r$的有理值的无限家庭。这也导致解决方案的模微分方程$y''+r^2π^2E_4\,y=0$的每一个正整数$r$。如果$r$是偶数，则这些解是$\mbox{SL}_2(\mathbb Z)$的拟模形式;如果$r$是奇数，则这些解是指数为2的子群$\mbox{SL}_2(\mathbb Z)^2$的拟模形式.
2021-06-13 math.NT
Elliptic modular graph forms, equivariant iterated integrals and single-valued elliptic polylogarithms
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Tsinghua University（清华大学）；KTH Royal Institute of Technology and Stockholm University（皇家理工学院和斯德哥尔摩大学）
通过等变迭代积分和单值椭圆多项式对数构造单值椭圆模形式
2025-12-17 hep-th math.AG math.NT
Elliptic Double Zeta Values
我们研究了一个椭圆模拟的多重zeta值，椭圆多重zeta值的恩里克斯，这是椭圆KZB结合子的系数。最初由一次穿孔复椭圆曲线上的迭代积分定义，事实证明，它们也可以表示为爱森斯坦级数和多个zeta值的不定迭代积分的某些线性组合。本文证明了这些椭圆重zeta值的$\mathbb{Q}$ -跨距构成一个$\mathbb{Q}$ -代数，该代数是按长度自然滤除的，并按权分次.我们的主要结果是证明了一个公式的数量的$\mathbb{Q}$ -线性无关椭圆多重zeta值的长度为1和2的任意重量。
2015-09-29 math.NT
The Hodge-de~Rham Theory of Modular Groups
本文讨论了模群在SL_2（Q）中的完备化及其与模形式理论和模曲线上混合Hodge结构的变式的关系。本文的目的之一是给一个上下文Manin的迭代志村积分（迭代积分的模形式）和研究的关系，在“最大爱森斯坦商”的SL_2（Z）的完成。特别地，我们利用Terasoma的计算证明了秩为2的自由李代数的导子李代数中的Pollack二次关系提升到这个Eisenstein商，因而是motivic的.我们还构造了与Hecke本征尖点形式相关的正规函数。
2015-07-11 math.AG math.NT
Real-analytic modular forms for $Γ_0(N)$ and their $L$-series
本研究引入与$Γ_0(N)$下权为$(r,s)$的实解析模形式相关的$L$-级数，证明其满足函数方程与逆定理，讨论了相关实例并重点研究了含Francis Brown长度1的模迭代积分$\mathcal{MI}^!_1$的一类形式的$L$-级数。
2023-12-18 math.NT
Eisenstein-Kronecker classes, integrality of critical values of Hecke $L$-functions and $p$-adic interpolation
本文证明任意全虚数域上代数Hecke特征标的临界$L$-值除以周期为代数整数，并构造$p$-进测度插值普通情形下的临界值，推广了Damerell、Shimura和Katz的结果。
2024-09-14 math.AG math.NT
Generalized Analytic Automorphic Forms for some Arithmetic Congruence subgroups of the Vahlen group on the n-Dimensional Hyperbolic Space
本文研究了一类新的解析型向量值和Clifford代数值的一元和二元向量值自守形式。对于经典模群及其算术同余子群的超复推广，讨论了在$R^n$的上半空间上被Dirac算子零化的Eisenstein型和Poincaré型级数，以及更一般地被迭代Dirac算子零化的Eisenstein型和Poincaré型级数.特别是，我们介绍（多）单演模形式超复杂的推广的经典θ组。
2004-01-16 math.CV math.NT
Automorphic Schwarzian equations and integrals of weight 2 forms
本文研究了Schwarz微分方程$\{f,τ\}=sE_4(τ)$的非模解，其中$E_4(τ)$是权为4的Eisenstein级数，$s$是复参数.特别是，我们提供了明确的解决方案，每个$s=2π^2(n/6)^2$与$n\equiv 1\mod 12$。这些解决方案是作为亚纯重量2模形式的积分。因此，我们发现明确的解决方案的微分方程$\displaystyle y''+\frac{π^2n^2}{36}\,E_4\,y=0$为每个$n\equiv 1\mod 12$推广的工作Hurwitz和克莱因的情况下$n=1$。我们的研究依赖于复上半平面上的等变函数理论。本文补充了以前的工作，我们确定所有的参数$s$，上述Schwarzian方程有一个模块化的解决方案。
2020-05-05 math.NT
Scalar-valued depth two Eichler-Shimura Integrals of Cusp Forms
本文定义了深度二全纯迭代 Eichler-Shimura 积分 $I_{f,g}$，构造了以其为顶部分量的向量值模形式，导出可有效计算的标量值深度二积分 $\mathcal{E}_{f,g}$，并解释了周期多项式的正交关系。
2023-11-25 math.NT
A class of non-holomorphic modular forms I
本文研究了上半平面上一类满足一定模变换性质的实解析函数。它们不是拉普拉斯算子的本征函数，与马斯形式截然不同。这些函数是全纯模形式的迭代积分的实部和虚部的模等变版本，并且是单值多项式的模类似物。这些函数在适当的幂级数展开式中的系数是周期。它们既与混合动机（经典模形式的纯动机的迭代扩展）有关，也与亏格一弦扰动理论中的模图函数有关。在附录中，我们利用弱全纯模形式写出了尖点形式的模基元。它们的系数涉及尖点形式的全周期矩阵（周期和准周期）。
2017-10-26 hep-th math.NT
Hypergeometric solutions to Schwarzian equations
本文通过求解 Schwarzian 方程并利用等变函数与二维向量值模形式理论，给出了 $m\geq 7$ 时模微分方程 $y''+sE_4y=0$ 的 Gauss 超几何级数解，补全了该方程的研究。
2024-10-17 math.CA math.NT
An Enhanced Higher Green's Function on the Modular Curve
National Research University Higher School of Economics（国立研究高等经济学院）
针对模曲线上的高阶格林函数，本文在证明Gross-Zagier猜想的基础上，构造了其复值推广，研究了该推广在复乘点处的归一化值，证明其指数的代数性及二次形式等价类的相关性质。
2026-10-14 math.NT
Modular Graph Forms and Scattering Amplitudes in String Theory
在这篇论文中，我们研究了十维Minkowski背景下闭弦的散射振幅在单圈水平（即亏格1）上的低能展开。这些允许一个系统的评估的低能量的膨胀，并满足许多非平凡的代数和微分关系。我们详细研究这些关系，导致大量的模块化图形形式的基础分解，大大降低了复杂性的扩展的积分出现在振幅。本论文的成果之一是一个Mathematica软件包，自动化这些简化。我们利用这些方法计算了单圈水平上杂化弦中四个胶子的散射振幅的主要低能阶。此外，我们还研究了一个生成函数，它在理论上包含了所有微扰闭弦论的环面积分。我们写这个生成函数的全纯爱森斯坦系列的迭代积分，并使用这种方法来达到一个更严格的表征空间的模块化图形形式比以前可能的。对于树级弦振幅，多个zeta值的单值映射将开弦振幅映射到闭弦振幅。一个合适的单圈推广的定义，一个所谓的椭圆单值映射，是一个活跃的研究领域，我们提供了一个新的视角，这个话题使用我们的生成函数的环面积分。这篇论文的原始版本于2020年6月提交给柏林洪堡大学，可在DOI 10.18452/21829下获得。本文本包含与此版本相比的微小更新，反映了文献中的进一步发展，特别是关于椭圆单值映射的构造。
2020-11-17 hep-th math.NT
