Gross-Zagier Type CM Value Formulas on $X_{0}^{*}(p)$
Dongxi Ye
在这篇工作中，我们得到了Hauptmoduls $j_{p}^{*}(τ)$在群$Γ_{0}^{*}(p)$上的Gross-Zagier型CM值公式。我们还说明了如何使用这些公式，以获得某些希尔伯特类多项式。
In this work, we derive Gross-Zagier type CM value formulas for Hauptmoduls $j_{p}^{*}(τ)$ on Fricke groups $Γ_{0}^{*}(p)$. We also illustrate how to employ these formulas to obtain certain Hilbert class polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Iwasawa-theoretic Gross-Zagier theorem
我们证明了Mazur和Rubin的岩泽理论的Gross-Zagier猜想（在一些限制性假设下），这涉及Heegner点塔数域的2-变量p-adic L-函数。该结果推广了Perrin-Riou的p-adic Gross-Zagier定理。
Explicit Gross-Zagier and Waldspurger Formulae
给出了志村曲线上Gross-Zagier公式的一种显式形式和Waldspurger公式的一种显式形式。
The $p$-adic variation of the Gross-Kohnen-Zagier theorem
我们将Jacobi型的$p$ -adic族与B.霍华德，根据格罗斯-科南-扎吉尔定理。我们将其视为$p$ -adic Kudla程序的GL（2）实例。
The Gross-Zagier-Zhang formula over function fields
证明了任意特征的整体函数域上的Gross-Zagier-Zhang公式。它是一个明确的公式，它涉及到交换簇上CM点的Neron-Tate高度和相关的二次基变$L$ -函数的中心导数。我们的证明是基于一个算术变种的相对迹身份的雅凯。这种方法是由W.张某
On the p-converse of the Kolyvagin-Gross-Zagier theorem
设$A/\mathbb{Q}$是在奇素数$p$处具有分裂乘性约化的椭圆曲线。在一些温和的技术假设下，我们证明了以下陈述：$$rank_{\mathbb{Z}}A(\mathbb{Q})=1 \ \ and\ \ \ \#\Big(\underline{III}(A/\mathbb{Q})[p^\infty]\Big)<\infty\ \ \implies\ \ \mathrm{ord}_{s=1}L(A/\mathbb{Q},s)=1,$$，从而提供了一个著名的Kolyvagin-Gross-Zagier定理的“$p$ -逆”。
A Gross-Kohnen-Zagier theorem for non-split Cartan curves
设$p$为素数，$E/\mathbb{Q}$为导体$p^2$的椭圆曲线，其解析秩为奇.我们证明了它的特殊点的位置所产生的非分裂Cartan曲线和虚二次域$p$是惰性的编码在Jacobi形式的权重$6$和格指数的秩$9$的傅里叶系数，得到类似的结果Gross，Kohnen和Zagier。
Twisted Gross-Zagier theorems
Gross-Zagier和Zhang的定理将模曲线X_0（N）（以及Shimura曲线类似物）上复乘点的Néron-Tate高度与自守L-函数的中心导数联系起来。我们将这些结果推广到包括某些CM点的Shimura曲线的更高的水平结构。这些结果的动机是应用于Hida理论，在姊妹篇“Hida家族中L-函数的中心导数”中描述。"
Deformations of Theta Integrals and A Conjecture of Gross-Zagier
本文通过构造实二次域上非相干艾森斯坦级数的类似物（双曲空间形变Theta积分的Doi-Naganuma Theta提升），完成了模曲线乘积单CM点高阶格林函数代数性的Gross-Zagier猜想证明。
On a conjecture of Gross and Zagier
Gross和Zagier证明了，如果有理椭圆曲线的解析秩为1，则椭圆曲线的有理挠子群的阶除以虚二次域上的Tamagawa数、Manin常数和Tate-Shafarevich群的阶的平方根的乘积。在本文中，我们证明了这个猜想是正确的。
Difference of a Hauptmodul for $Γ_{0}(N)$ and certain Gross-Zagier type CM value formulas
本文证明了亏格为零的群$Γ_{0}(N)$的Hauptmodul作为$Y_{0}(N)\times Y_{0}(N)$上的Hilbert模函数的差是$(2,2)$型的Borcherds提升.作为应用，我们导出了这些Hilbert模函数的类似于乘积展开式的Monster分母公式和某些Gross-Zagier型CM值公式.
A generalisation of Zhang's local Gross-Zagier formula
本文以GL（2）的局部Gross-Zagier公式为背景，研究了一类p-adic问题。局部Gross-Zagier公式给出了Rankin L-函数的局部傅里叶系数与非常特殊的局部几何数据（局部环绕数）的恒等式。局部环绕数是几何（高度）配对的局部系数。傅里叶系数是GL（2）的两个自守表示的局部Whittaker函数的乘积。我们建立了局部环绕数空间与所有Whittaker乘积空间的匹配。进一步，我们在局部环绕数上构造了一个通用定义的算子，它反映了解析Hecke算子的行为。它的适用性表明，从它恢复一个相当于当地的Gross-Zagier公式。我们的方法始终是建设性的和计算性的。
Consequences of the Gross/Zagier formulae: Stability of average L-values, subconvexity, and non-vanishing mod p
本文研究Gross/Zagier型公式的一些结果，这些公式由Gross和Zagier引入，然后由Hatcher，Zhang，Kudla和其他几个人在不同的方向上推广。本文在素能级全纯形式的L-级数的中心值的经典背景下，导出了这类L-值的适当扭曲的精确平均公式，并与相应虚二次域的类数有关，从而加强了Duke的一个结果.人们还获得了稳定性结果，以及次凸性（在此设置中）和某些非零断言。这篇文章是为了纪念Serge Lang。
The Gross--Kohnen--Zagier theorem via $p$-adic uniformization
本文利用 Cerednik--Drinfeld 的 $p$-进一致化给出了 Shimura 曲线 Gross--Kohnen--Zagier 定理的新证明，将生成级数与三元 theta 级数 $p$-进族导数的普通投影相关联。
On the soft $p$-converse to a theorem of Gross-Zagier and Kolyvagin
我们给出了一个软版本的$p$ -逆Gross-Zagier和Kolyvagin的一个定理的证明非CM椭圆曲线具有良好的普通约化在$p >3$下的不可约假设的剩余表示。特别地，不对导体施加任何条件。结合已有的结果，得到了有理数上任意椭圆曲线的Mordell-Weil秩为1，Tate-Shafarevich群为有限群的充要条件是解析秩为1.
A Gross-Kohnen-Zagier type formula for moduli of shtukas with Iwahori level structures
本文研究了两个不同的非分裂环面上的Heegner-Drinfeld圈在具有Iwahori水平结构的$PGL_2$ Drinfeld Stukas的Yun-Zhang模叠加上的交.我们将看到，相交数与某个周期积分有关。它是Howard-Shinidman的结果到Iwahori情形的推广。
Cube Sum Problem and an Explicit Gross-Zagier Formula
一个非零有理数称为立方和，如果它是$a^3+b^3$与$a,b\in \mathbb{Q}^\times$的形式。本文证明了：对任意奇数$k\geq 1$，存在无穷多个无立方的奇数$n$，它们恰好具有$k$不同的素因子，使得$2n$是立方和（分别为.不是立方和）。给出了Heegner点的一般构造，得到了一个显式的Gross-Zagier公式，并利用该公式证明了与立方和问题有关的某些椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer猜想.
$p$-adic Gross-Zagier formula at critical slope and a conjecture of Perrin-Riou
设$p$为奇素数。给定一个虚二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-D_K})$，其中$p$与$D_K>3$分裂，和一个$p$ -普通的新形式$f \in S_k(Γ_0(N))$，使得$N$验证了相对于$K$的Heegner假设，我们证明了一个$p$ -adic Gross-Zagier公式的临界斜率$p$ -稳定的$f$（假设它是非$θ$ -临界）。在特定情况下，当$f=f_A$是与椭圆曲线$A$相关联的新形式的权重$2$时，该椭圆曲线在$p$处具有良好的普通约简，这允许我们验证Perrin-Riou的猜想。我们证明的$p$ -adic Gross-Zagier公式也适用于解析秩为1的椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer公式。
Triple product $p$-adic $L$-functions for finite slope families and a $p$-adic Gross-Zagier formula
本文将 Darmon 和 Rotger 关于 Hida 族的三重积 $p$-adic $L$-函数结果推广至有限斜率族，证明了 $p$-adic Gross-Zagier 公式并应用于超奇异椭圆曲线的等变 BSD 猜想特例。
Quadratic Chabauty and $p$-adic Gross-Zagier
令$X$为模曲线$X_0(N)$的商，其雅可比矩阵$J_X$为$J_0(N)^{new}$除以$\mathbb{Q}$的单因子。令$f$为$N$级的新形式，与$J_X$关联的权重为2;假设$f$的分析秩为1。通过计算$f$的两个$p$ -adic Gross-Zagier公式，给出了利用二次Chabauty确定$X$有理点的解析方法.二次Chabauty需要在曲线或其雅可比矩阵上提供有理点;这种新方法消除了这一要求。为了实现这一点，我们给出了一个算法来计算的特殊值的反分圆$p$ -adic $L$ -函数的$f$构造的Bertolini，Darmon，和Prasanna，它位于插值范围之外。
An explicit Gross-Zagier formula related to the Sylvester Conjecture
设$p\equiv 4,7\mod 9$是一个有理数素数，使得$3\mod p$不是三次剩余。本文利用显式Gross-Zagier公式证明了$E_p$和$E_{3p^3}$的完全BSD结构的乘积的3-部分为真，其中$E_p: x^3+y^3=p$和$E_{3p^2}: x^3+y^3=3p^2$是与Sylvester猜想和立方和问题有关的椭圆曲线.
Exceptional zeros for Heegner points and $p$-converse to the theorem of Gross-Zagier and Kolyvagin
本文证明了在素数p>3处具有乘性约化的椭圆曲线的Gross-Zagier和Kolyvagin定理的p-逆定理，关键工具是Bertolini-Darmon-Prasanna的p-进公式的推广和Heegner点的例外零点公式。
A Gross--Kohnen--Zagier Type Theorem for Higher-Codimensional Heegner Cycles
本文证明了在维数为2 m +1的Kuga-Sato型簇中余维数为m+1的Heegner圈是权为3/2+m的模形式在适当的商群中的系数.用于生成必要关系的主要技术工具是具有多项式的Borcherds风格的theta提升。我们还展示了如何提升定义一个新的奇异志村型对应弱全纯模形式的重量1/2-m的亚纯模形式的重量2 m +2。
The Gross-Zagier formula on singular moduli for Shimura curves
研究志村曲线上关于奇异模的格罗斯 - 扎吉尔公式，通过证明将其在模曲线积分模型上的相关结果推广到志村曲线，得到了该公式的一种推广情形。
The $p$-adic Gross-Zagier formula on Shimura curves, II: nonsplit primes
本文将p进Gross-Zagier公式推广到Hilbert模阿贝尔簇，并去除了Perrin-Riou原有证明中要求p在相关二次扩张中分裂的限制条件。
The p-adic Gross-Zagier formula on Shimura curves
我们证明了一个通用公式的$p$ -adic高度的Heegner点的模阿贝尔簇与潜在的普通（良好或半稳定）减少在素数以上$p$。该公式是根据我们构造的Rankin-Selberg $p$ -adic $L$ -函数的分圆导数而得到的。它概括了以前的工作Perrin-Riou，霍华德，和作者的背景下，工作的袁章章的阿基米德Gross-Zagier公式和Waldspurger的复曲面时期。我们进一步构造了反分圆变量中Heegner点插值的解析函数，并得到了它们的一个形式的公式.当相关的根号是$+1$而不是$-1$时，它被Waldspurger公式的反分圆形式所补充。当与Fouquet的工作相结合时，反分圆Gross-Zagier公式在反分圆族中的$p$ -adic Birch和Swinnerton-Dyer猜想中蕴含一个整除性。文中描述的其他应用程序将单独出现。
A proof of $p$-adic Gross--Zagier theorem via BDP formula
本文通过BDP公式和Beilinson-Flach元素理论，给出了p-进Gross-Zagier公式的新证明，涵盖经典p-ordinary情况和非ordinary情形，包括k>2及ord_p(a_p(f))>0的新情况。
Gross-Zagier formula for the $4, 7$ cases of Sylvester's conjecture
本文为 Sylvester 猜想中 $4,7$ 情形建立显式 Gross-Zagier 公式，将 CM 点高度与椭圆曲线 $E_{p^i}$ 的 $L$-函数导数联系起来。
A higher Gross-Zagier formula and the structure of Selmer groups
本文通过比较Heegner点Kolyvagin系统与Kurihara数，给出Gross-Zagier公式的精细化，并建立任意秩椭圆曲线p∞-Selmer群的结构定理及其与主猜想的等价性应用。
$p$-adic Gross-Zagier Formula for Heegner Points on Shimura Curves over Totally Real Fields
本文的主要结果是将Perrin-Riou的p-adic Gross-Zagier公式推广到全实数域上的Shimura曲线的情况。设$F$是一个全实数域。设$f$是$F$上的Hilbert模形式，它具有平行权$2$，是一种新的模形式，在$p$上是普通的.设$E$是判别素数的$F$到$p$和$f$的导子的全虚二次扩张.我们可以构造$p$ -adic $L$函数，其内插与$f$、$E$和$E$的有穷级Hecke特征标相关联的复$L$函数的特殊值。$p$ -adic Gross-Zagier公式将该$p$ -adic $L$函数的中心导数与特定Shimura曲线上Heegner因子的$p$ -adic高度相关联。证明的策略接近于Perrin-Riou的原始工作。在解析部分，我们通过代数计算构造解析核;在几何部分，我们将几何核分解为两部分：$p$外的位置和划分$p$的位置。对于$p$之外的地方，$p$ -adic高度本质上是相交数，并在S.这一部分与分析的核心密切相关。对于划分$p$的地方，我们使用J. Nekovásniness工作中的方法来证明这部分的贡献为零。
High dimensional Gross--Zagier formula: a survey
本文综述 Gross–Zagier 公式向高维 Shimura 簇推广的研究进展，重点梳理 Arithmetic Gan–Gross–Prasad 猜想与相对迹公式方法。
A higher Gross-Zagier type formula for moduli of shtukas at deeper level
研究将Gross-Zagier与Waldspurger公式函数域类似物推广到不一定无平方因子层次，通过研究更深层次shtukas模空间“积分模型”的几何和上同调，实现相关推广。
p-adic Abel-Jacobi map and p-adic Gross-Zagier formula for Hilbert modular forms
我们计算Hilbert模曲面和模曲线的乘积在模曲线在该乘积中的零同调（修改）嵌入处的p进Abel-Jacobi映射，在与权值（2，2）的Hilbert尖形f和权值2的尖形f相关联的微分上进行评估。我们将这种计算推广到合适的零同调周期的纤维产品的普遍家庭的表面和曲线，评估在微分相关联的f和g的更高的权重。我们表示的p-adic阿贝尔-雅可比映射在这些权重的p-adic L函数相关的Hida家庭的希尔伯特模形式和Hida家庭的尖形形式。我们的功能是一个希尔伯特模模拟的p-进L-函数定义的达蒙和罗特尔。
A converse to a theorem of Gross, Zagier, and Kolyvagin
设$E$是$\mathbb{Q}$上的半稳定椭圆曲线.证明了：若$E$在至少一个奇素数处有非分裂乘法约化或在至少两个奇素数处有分裂乘法约化，且$E(\mathbb{Q})$的秩为1，且$E$的Tate-Shafarevich群有有限阶，则$\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s)=1$ .我们还证明了与平凡特征标的权为2的新形式$f$相关联的交换簇的相应结果。这些和其他相关结果是我们的主要定理的结果，该定理建立了$f$和$H^1_f(\mathbb{Q},V)$的标准，其中$V$是与$f$相关的$p$ -adic Galois表示，确保了$\mathrm{ord}_{s=1}L(f,s)=1$。利用虚二次域上$V$的Iwasawa理论证明了主要定理，证明了适当Heegner点的$p$ -adic对数是非零的.
A $p$-adic Gross-Zagier formula for twisted triple product $p$-adic $L$-functions attached to finite slope families
本文推广了关于扭曲三重积 $p$-进 $L$-函数的 $p$-进 Gross-Zagier 公式，将其扩展至 Hilbert 模形式的有限斜率族，并允许素数 $p$ 在实二次域中为惰性。
Singular Units and Isogenies Between CM Elliptic Curves
本文应用Gross-Zagier，Gross-Kohnen-Zagier及其推广的结果给出奇异模差不是单位的一个简短证明.由此得到CM椭圆曲线约化之间的同构性结果。
$p$-adic Waldspurger Formula for Non-split Primes and Converse of Gross--Zagier and Kolyvagin Theorem
本文推广了Andreatta-Iovita方法，针对非分裂素数构造$p$-adic $L$-函数和Waldspurger公式，并证明自对偶CM特征的Gross-Zagier-Kolyvagin定理逆定理，推导出Sylvester猜想和Goldfeld猜想。
A Gross-Kohnen-Zagier formula for Heegner-Drinfeld cycles
设$F$是有限域上光滑射影曲线上的有理函数域，$π$是$F$上$\mathrm{PGL}_2$的非分歧尖点自守表示.我们证明了Yun和Zhang公式的一个变体，它将$π$的$L$ -函数的导数与Shtukas的模空间上Heegner-Drinfeld圈的自相交联系起来.在我们的变体中，而不是一个自相交，我们计算的相交配对Heegner-Drinfeld循环来自两个不同的二次扩张的$F$，并与相交的$r$ -th导数的产品的两个环面周期积分。
A Gross-Zagier formula for quaternion algebras over totally real fields
我们证明了Gross和Zagier关于奇异模差因式分解定理的高维推广。给出了椭圆曲线与两个不同的虚二次域$K$和$K^\prime$的复乘的同构数的计数公式，证明了这一结果.等价地，Gross-Zagier公式计算虚二次域的整数环在$B_{p, \infty}$中的最优嵌入，$B_{p, \infty}$是$\QQ$上的定四元数代数，仅在$p$和无穷远处分支。本文给出了严格类数为1的全实数域上的定四元数代数中本原CM域的整数环同时嵌入超特殊阶的个数的一个类似的计数公式。我们的结果也可以看作是不同域上具有CM的阿贝尔簇之间模$\frak{p} | p$同构个数的一个计数公式。我们的计数公式也可以用来确定哪些超特殊素数出现在与两个不同CM域相关联的CM点上的Siegel模函数的值的差的因式分解中，并给出这些超奇异素数可能出现的界。在亏格2曲线的雅可比行列式的特殊情况下，这提供了关于Igusa不变量的分子的因子分解的信息，因此也与构造用于密码学的亏格2曲线的问题有关。
A rank zero $p$-converse to a theorem of Gross--Zagier, Kolyvagin and Rubin
本文证明了对于CM椭圆曲线，其$p^{\infty}$-Selmer群的余秩为零蕴含复$L$-函数在$s=1$处阶数为零，并结合Smith的工作首次给出了偶数性Goldfeld猜想的实例。
Arithmetic Gan-Gross-Prasad conjecture for RSZ unitary Shimura curves
Xue通过四元数志村曲线的Gross-Zagier公式证明了算术Gan-Gross-Prasad猜想的酉志村曲线情况的方程精化。另一方面，Rapoport，Smithling和Zhang提出了一个猜想的变体，使用修改的PEL类型Shimura品种，我们称之为RSZ Shimura品种。我们用修正的Shimura曲线重新解释了Xue的结果。然后，我们使用的重新解释证明的情况下的变体的猜想。我们的结果与薛的工作相结合，建立了一个变量和Gross-Zagier公式之间的联系。
Nonvanishing of Central Derivatives of Modular $L$-series in Level $p^2$
已知与模形式相关联的L函数的二次扭曲满足函数方程，该函数方程可以是偶数或奇数。Gross和Zagier的一个结果显式地计算了L函数或其导数的中心值。当函数方程为偶数时，Michel和Ramakrishnan利用平均方法证明了Gross-Zagier公式的几个结果，包括一个非零结果.本文研究了素数平方水平上的新形式所产生的L-函数，它必然具有奇函数方程。这样一个L-函数的中心值为零; Gross-Zagier公式计算其导数的中心值。使用Michel-Ramakrishnan平均方法，我们计算了这些导数在不同L-函数上的平均值。特别地，我们证明了在适当的条件下，存在一个L-函数只有一个单零点在对称中心。这个证明要求我们从$p$层约束旧形式的贡献。
Twisted triple product p-adic L-functions and Hirzebruch-Zagier cycles
设$L/F$是全实数域的二次扩张.对$p$在$L$中非分歧的素数，构造了一个$p$ -adic $L$ -函数，它内插$\text{Res}_{L\times F/F}(\text{GL}_{2})$的酉尖点自守表示的$p$ -近普通族上的扭曲三重积$L$ -函数的中心值.当$L/\mathbb{Q}$是实二次数域，$p$是分裂素数时，证明了一个$p$ -adic Gross-Zagier公式，该公式将插值范围外的$p$ -adic $L$ -函数的值与广义Hirzebruch-Zagier圈的同分Abel-Jacobi象联系起来.
$p$-adic heights of Heegner points and Beilinson-Flach elements
本文给出了Howard的$Λ$ -adic Gross-Zagier公式的一个新的证明，并将其推广到非分裂四元数代数上的$\mathbf{Q}$上的不定Shimura曲线.该公式将限制在反分圆线上的二元$p$ -adic $L$函数的分圆导数与反分圆塔上Heegner点的分圆$p$ -adic高度相关联，并且我们的证明不是受到Gross-Zagier和Perrin-Riou的原始方法的启发，而是通过Iwasawa理论，基于Heegner点，Beilinson-Flach元素，以及它们明确的互反定律。
The universal $p$-adic Gross-Zagier formula
本文在全实域上的 Hida 族中构造了普适 Heegner 类，证明其 p 进高度由 p 进 L-函数的割圆导数给出，从而统一了 Gross-Zagier 公式，并应用于 Beilinson-Bloch-Kato 猜想和非交换 Iwasawa 主猜想。
The Kohnen-Zagier formula for Maass forms for $Γ_0(4)$
我们推广了Duke，Imamoglu和Tóth的一个公式（它本身是Katok-Sarnak公式的推广）来证明$Γ_0(4)$的Maass形式的Kohnen-Zagier公式.
Another proof of Zagier's evaluation formula of the multiple zeta values $ζ(2,...,2,3,2,...,2)$
利用广义超几何级数$\,_3F_2$的一些变换公式，给出了D. Zagier的多重zeta值评估公式$ζ(2,...,2,3,2,...,2)$。
Single-valued periods of meromorphic modular forms and a motivic interpretation of the Gross-Zagier conjecture
本文通过动机理论为 Gross-Zagier 猜想提供几何解释，证明其可由动机理论中的标准猜想推出，并构造矩阵值高阶 Green 函数作为椭圆曲线模叠动机的单值周期，从而提出该猜想的广泛推广。
An archimedean approach to singular moduli on Shimura curves
本文通过评估Shimura曲线上的Green函数在CM点上的值，提供了Gross-Zagier工作在Shimura曲线上的新证明，强调了与p-进方法的异同。
Arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors and central derivative values of Rankin-Selberg $L$-functions
将椭圆曲线$E$的$\chi$-扭曲$L$-函数的中心导数与$X_0(N)\times X_0(N)$上Hirzebruch-Zagier除子的算术高度或Green函数和联系起来，推广了高维情形下的Gross-Zagier公式。
Singular moduli refined
我们证明了Gross和Zagier关于奇异模的素因子分解的结果的一个改进。
Elementary proofs of Zagier's formula for multiple zeta values and its odd variant
本文给出了涉及Hoffman元的多重zeta值的Zagier公式及其由Murakami提出的奇变式的初等证明。扎吉尔公式是证明霍夫曼猜想的关键要素。此外，使用相同的方法，我们证明了村上公式的多个$t$ -值。这个公式在证明布朗型结果时是必不可少的，该布朗型结果断言每个多重ζ值是涉及$2$和$3$的相同权重的多个$t$值的$\mathbb{Q}$线性组合。
Heegner divisors in generalized Jacobians and traces of singular moduli
我们证明了与尖点模相关的模曲线的广义雅可比矩阵中Heegner因子类的抽象模性结果。推广Gross-Kohnen-Zagier定理，证明了这类的生成列是权为3/2的弱全纯模形式.此外，我们还证明了任何权为0的调和Maass形式都定义了广义雅可比矩阵上的泛函。结合这些结果，我们得到了一个统一的框架和新的证明Gross-Kohnen-Zagier定理和Zagier的模的迹奇异模，以及新的几何解释的痕迹与非正指数。
Another look at Zagier's formula for multiple zeta values involving Hoffman elements
本文对含Hoffman元素的多重zeta值的Zagier公式作了初步的解释。我们的方法使我们能够获得直接的证明，在一个特殊的情况下，通过合理的zeta系列涉及系数$ζ(2n)$。该公式在证明Hoffman猜想中起着重要的作用，Hoffman猜想断言每个多重zeta值的权重$k$可以表示为$\mathbb{Q}$ -包含$2$和$3$的多重zeta值的相同权重的线性组合。此外，通过有理zeta级数使用类似的超几何参数，我们产生了一个新的Zagier型公式的多个特殊的赫维茨zeta值。
Heights of Heegner points on Shimura curves
本文的目的是将Gross-Zagier [20]和Kolvyvagin [28]的一些结果推广到全实域。
An explicit trace formula of Jacquet-Zagier type for Hilbert modular forms
本文给出了具有固定权和无平方级的全纯Hilbert尖点形式的伴随$L$ -函数的平均值的精确公式，它是已知用于${\rm SL}_2(\mathbb{Z})$上椭圆尖点形式的Zagier公式的推广.作为应用，我们证明了在由伴随$L$ -函数的值构成的系综中，具有固定权和不断增长的无平方级的Hilbert尖点形式的Satake参数是等分布的.
Explicit formulas of the relation between multiple zeta functions of Arakawa-Kaneko and Euler-Zagier types
本文给出Arakawa-Kaneko型多重zeta函数表示为Euler-Zagier型多重zeta函数与多重zeta值乘积的Q-线性组合的显式公式，并作为证明关键显式建立multi-polylogarithm函数间的函数方程。
On the non-vanishing of $p$-adic heights on CM abelian varieties, and the arithmetic of Katz $p$-adic $L$-functions
设$B$是CM域$E$上的单CM阿贝尔簇，$p$是有理素数.假设$B$在$p$之上有潜在的普通约化，并且是根数为$-1$的自对偶。在进一步的条件下，证明了$B$上的（分圆）$p$ -adic高度沿$E$的反分圆$\Z_{p}$ -扩张的通有非零性.这为Schneider关于$p$ -adic高度不为零的猜想提供了证据。对于$\Q$上的CM椭圆曲线，该结果以前是Bertrand，Gross-Zagier和Rohrlich在20世纪80年代工作的结果。我们的证明是基于非零的结果卡茨$p$ -进$L$ -功能和格罗斯-Zagier公式有关后者的家庭合理的点$B$。
Asymptotics and exact formulas for Zagier polynomials
1998年，Don Zagier引入了修正的Bernoulli数$B_{n}^{*}$，并证明了它们满足Bernoulli数的一些性质的有趣变体。特别是，他研究了渐近行为的$B_{2n}^{*}$，并获得了一个确切的公式，他们的动机来自代表$B_{2n}$方面的黎曼zeta函数$ζ(2n)$。修正的Bernoulli数最近被推广到Zagier多项式$B_{n}^{*}(x)$。对于$0<x<1$，本文建立了包含第二类Bessel函数和Chebyshev多项式的无穷级数的$B_{2n}^{*}(x)$的一个精确公式，在极限情况下得到了Zagier公式.这种级数是衍射理论中出现的。还提出了一个类似的公式为$B_{2n+1}^{*}(x)$。作为它的一个极限情形，导出了$B_{2n+1}^{*}$的$6$ -周期性，这些公式类似于Bernoulli多项式的Fourier展开式.在证明这些精确公式的过程中，得到了一些新的结果，如第一类Bessel函数关于阶的导数是包含Chebyshev多项式的函数的Fourier系数的结果。并由此导出了Zagier多项式的渐近性质。最后得到了$B_{2n}^{*}\left(-\frac{3}{2}\right)+B_{2n}^{*}$的Zagier型精确公式.
CM values of higher automorphic Green functions for orthogonal groups
Gross和Zagier证明了椭圆模群的自守格林函数$G_s(z_1,z_2)$在正整数谱参数$s$处的CM值（某些Hecke平移）由合适类域中的代数数的矩阵给出。我们证明了这个猜想的部分平均版本，其中我们在第一个变量$z_1$的总和超过所有CM点的一个固定的判别式$d_1$（扭曲的属字符），并允许在第二个变量的评价在个别CM点的判别式$d_2$。这一结果是从与$\mathrm{GSpin}(n,2)$群相关的志村变种上的自守格林函数的更一般的陈述推导出来的。我们还使用我们的方法来证明一个Gross-Kohnen-Zagier定理的高Heegner因子Kuga-Sato品种的模曲线。
Algebraic Cycles and values of Green's functions
本文在基的数域或函数域上的阿贝尔曲面上构造了基的上同调群$H^3_{\mathcal M}(A,{\mathbb Q}(2))$中的不可分解圈，其中$A$是基的数域或函数域上的阿贝尔曲面.当$A$是通用椭圆曲线在模曲线上的自积时，这些循环可以用来证明高阶格林函数值的代数性结果，类似于Gross，Kohnen和Zagier的猜想。我们制定了一个猜想，涉及我们的工作与最近的工作Bruinier-Ehlen-Yang的猜想Gross-Kohnen-Zagier。
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