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Gross--Zagier、Kolyvagin和Rubin定理的秩零$p$-逆

A rank zero $p$-converse to a theorem of Gross--Zagier, Kolyvagin and Rubin

Ashay A. Burungale, Ye Tian

备注：
Annals of Math., to appear
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AI总结：

本文证明了对于CM椭圆曲线，其$p^{\infty}$-Selmer群的余秩为零蕴含复$L$-函数在$s=1$处阶数为零，并结合Smith的工作首次给出了偶数性Goldfeld猜想的实例。

摘要：

设$E$为定义在$\mathbb{Q}$上的CM椭圆曲线，$p$为素数。我们证明了对$p^{\infty}$-Selmer群${\mathrm Sel}_{p^{\infty}}(E_{/\mathbb{Q}})$和复$L$-函数$L(s,E_{/\mathbb{Q}})$，有${\mathrm corank}_{\mathbb{Z}_{p}} {\mathrm Sel}_{p^{\infty}}(E_{/\mathbb{Q}})=0 \implies {\mathrm ord}_{s=1}L(s,E_{/\mathbb{Q}})=0$。结合Smith关于$2^\infty$-Selmer群分布的工作，这导出了偶数性Goldfeld猜想的第一个实例：对于$50\\%$的正无平方因子整数$n$，有${\mathrm ord}_{s=1}L(s,E^{(n)}_{/\mathbb{Q}})=0$，其中$E^{(n)}: ny^{2}=x^{3}-x$是同余数椭圆曲线$E: y^{2}=x^{3}-x$的二次扭曲。

英文摘要：

Let $E$ be a CM elliptic curve defined over $\mathbb{Q}$ and $p$ a prime. We show that $${\mathrm corank}_{\mathbb{Z}_{p}} {\mathrm Sel}_{p^{\infty}}(E_{/\mathbb{Q}})=0 \implies {\mathrm ord}_{s=1}L(s,E_{/\mathbb{Q}})=0 $$ for the $p^{\infty}$-Selmer group ${\mathrm Sel}_{p^{\infty}}(E_{/\mathbb{Q}})$ and the complex $L$-function $L(s,E_{/\mathbb{Q}})$. Along with Smith's work on the distribution of $2^\infty$-Selmer groups, this leads to the first instance of the even parity Goldfeld conjecture: For $50\%$ of the positive square-free integers $n$, we have $ {\mathrm ord}_{s=1}L(s,E^{(n)}_{/\mathbb{Q}})=0, $ where $E^{(n)}: ny^{2}=x^{3}-x $ is a quadratic twist of the congruent number elliptic curve $E: y^{2}=x^{3}-x$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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