The critical group of the Kneser graph on $2$-subsets of an $n$-element set
Joshua E. Ducey, Ian Hill, Peter Sin
研究确定了Kneser图$KG(n,2)$的临界群，并将其归结为对应Laplacian矩阵Smith标准形的计算。
本文计算了Kneser图$KG(n,2)$的临界群。这等价于计算该图的Laplacian矩阵的Smith标准形。
In this paper we compute the critical group of the Kneser graph $KG(n,2)$. This is equivalent to computing the Smith normal form of a Laplacian matrix of this graph.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bipartite Kneser graphs are Hamiltonian
对于整数$k\geq 1$和$n\geq 2k+1$，Kneser图$K(n,k)$具有$[n]:=\{1,2,\ldots,n\}$的所有$k$ -元素子集作为顶点，以及不相交的任何两个顶点（=集合）之间的边。二分Kneser图$H(n,k)$的顶点是$[n]$的所有$k$ -元素子集和$(n-k)$ -元素子集，以及任意两个顶点之间的边，其中一个顶点是另一个顶点的子集。除Petersen图$K(5,2)$外，所有Kneser图和二部Kneser图都有Hamilton圈。本文的主要贡献是对二部Kneser图$H(n,k)$证明了这个猜想。我们还建立了当$n=2k+o(k)$时，Kneser图$K(n,k)$中几乎所有顶点都访问的圈的存在性，推广和改进了以前关于这个问题的结果。
Hadwiger's conjecture for the complements of Kneser graphs
Hadwiger猜想断言，每一个色数为$t$的图都包含一个$t$阶的完全子图.给定整数$n \ge 2k+1 \ge 5$，Kneser图$K(n, k)$是顶点为$n$ -集的$k$ -子集的图，使得两个顶点相邻当且仅当相应的$k$ -子集不相交.我们证明了Hadwiger猜想对Kneser图的补图成立。
The super-connectivity of Kneser graph KG(n,3)
连通图$G$的顶点割$S$是$G$的顶点子集，其删除使得$G$不连通。连通图$G$的超点割$S$是$G$的一个顶点子集，它的删除使得$G$不连通，并且$G-S$的每个分支中不存在孤立点.图$G$的超连通度是图$G$的最小超顶点割的大小。设$KG(n,k)$是Kneser图，其顶点集是$\{1,\cdots,n\}$的$k$ -子集，其中$k$是$G$中每个顶点的标号数.我们的目的是证明Boruzanli和Gauci \cite{EG19}关于Kneser图$KG(n,k)$的超连通性的猜想在$k=3$ .
The automorphism group of the $s$-stable Kneser graphs
对于$k,s\geq2$，$s$ -稳定Kneser图是顶点集为$\{1,\ldots,n\}$的$k$ -子集$S$的图，使得$S$中任意两个元素之间的圆距离至少为$s$，且两个顶点相邻当且仅当相应的$k$ -子集不相交. Braun证明了对于$n\geq 2k+1$，$2$稳定的Kneser图（Schrijver图）的自同构群同构于$2n$阶的二面体群.本文推广了这一结果，证明了对于$s\geq 2$和$n\geq sk+1$，$s$ -稳定Kneser图的自同构群也同构于$2n$阶二面体群.
Treewidth of the generalized Kneser graphs
令$n$、$k$和$t$为整数，其中$1\leq t< k \leq n$。\emph{generalized Kneser graph} $K(n,k,t)$是一个图，它的顶点是一个固定的$n$ -集的$k$ -子集，其中两个$k$ -子集$A$和$B$是相邻的，如果$|A\cap B|<t$ .图$K(n,k,1)$是众所周知的\emph{Kneser graph}。在2014年，Harvey和Wood确定了大$n$相对于$k$的Kneser图的精确树宽。本文给出了$t\geq2$和大$n$关于$k$和$t$的广义Kneser图的精确树宽.在$t=k-1$的特殊情况下，图$K(n,k,k-1)$通常用$\overline{J(n,k)}$表示，它是Johnson图$J(n,k)$的补图。对于任意的$n$和$k$，我们给出了$\overline{J(n,k)}$的树宽的精确值的更精确的结果.
On the chromatic number of almost stable general Kneser hypergraphs
令$n\ge 1$和$s\ge 1$为整数。$[n]=\{1,\dots,n\}$的几乎$s$稳定的子集$A$是这样的子集，使得对于任何两个不同的元素$i, j\in A$，一个具有$|i-j|\ge s$。对于$[n]$的非空子集族$\cal F$和整数$r\ge 2$，给出了$r$ -均匀Kneser超图$\mbox{KG}^r({\cal F})$的色数，其顶点集是$\cal F$，其边集是$\cal F$中两两不相交元素的$\{A_1,\dots, A_r\}$的集合，已经在文献中进行了广泛的研究，Abyazi Sani和Alishahi能够根据等价的$r$给出它的下限-着色性缺陷，$\mbox{ecd}^r({\cal F})$。本文改进了Chen关于$[n]$的所有$k$ -子集的特殊族的方法，给出了几乎稳定的一般Kneser超图$\mbox{KG}^r({\cal F}_s)$的色数关于$\mbox{ecd}^s({\cal F})$的下界.这里${\cal F}_s$是$\cal F$的几乎$s$稳定元素的集合。我们还提出了一个Meunier猜想的推广。
$s$-Stable Kneser Graph are Hamiltonian
本文研究 $s$-稳定 Kneser 图的结构性质，并证明所有连通的此类图都具有哈密顿回路。
The Genus of Bipartite Kneser Graphs
本文确定了二分Kneser图$H(h,2)$在特定素数条件下的可定向亏格，并通过构造顶点传递的四边形剖分，验证了Pisanski猜想的一个无限族。
Stability results on vertex Turán problems in Kneser graphs
Kneser图$K(n,k)$的顶点集是$V = \binom{[n]}{k}$，如果对应的集合不相交，则两个顶点相邻。对于任何图$F$，最近由Alishahi和Taherkhani确定了顶点集$U \subseteq V$的最大尺寸，使得$K(n,k)[U]$是$F$ -free，只要$n$与$k$和$F$相比足够大。本文在$F$是偶圈或完全多部图的情况下，确定了点集$W \subseteq V$的第二大尺寸，使得$K(n,k)[W]$是$F$ -free的.在后一种情况下，我们实际上给出了一个依赖于$F$的色数的更一般的定理。这些结果推广了著名的Erd \H os-Ko-Rado定理和Hilton-Milner定理.
On the generalized Erdős--Kneser conjecture: proofs and reductions
Alon、Frankl和Lovász证明了Erdés的一个猜想，即至少需要$\lceil \frac{n-r(k-1)}{r-1} \rceil$颜色来着色$\{1, \dots, n\}$的$k$ -子集，使得具有相同颜色的$k$ -子集的任何$r$都不成对不相交。Sarkaria考虑了这个问题的一个推广，其中需要$s$ -wise而不是成对相交。他声称证明了一个广义的Erdés-Kneser猜想建立了一个下界的颜色，减少到Erdés '原来的猜想${s = 2}$。兰格和齐格勒指出，只要$r$不是素数，他的证明就会失败。这里我们对每一个$r$建立了这个广义的Erdens-Kneser猜想，只要$s$不太接近$r$ .我们的结果包括早期的结果，但显着更一般。我们讨论了我们的结果的关系，Ziegler和Abyazi萨尼和Alishahi的代数，并证明了后者在几种情况下。
Multi-Colouring of Kneser Graphs: Notes on Stahl's Conjecture
本文研究图的多着色参数间蕴含关系，将其转化为 Kneser 图多着色问题，围绕 Stahl 1976 年猜想给出新结果、强化已有结论并简化若干已知情形的证明。
Independence Complexes of Stable Kneser Graphs
对于整数\geq 1，\geq 0，稳定Kneser图SG_{n,k}（也称为Schrijver图）具有[2n+k]的稳定n-子集作为顶点集，具有n-子集的不相交边对，其中稳定n-子集是不包含任何形式为{i，i+1}或{1，2n+k}的2-子集的子集。自20世纪70年代后期A. Schrijver确定了它们是一个点临界图类，其色数为色数k+2。本文研究了n和k较小时SG_{n,k}的独立复形。我们的贡献是双重的：首先，我们发现，同伦类型的独立复杂的SG_{2,k}是一个楔形领域的二维。其次，我们确定了某些与SG_{n,2}有关的图的独立复形的同伦类型。
Determining Number of Kneser Graphs: Exact Values and Improved Bounds
本文研究 Kneser 图的确定数，给出改进的上下界，并确定某些子族的精确值。
Lower bounds for the chromatic number of certain Kneser-type hypergraphs
令$n\ge 1$、$r\ge 2$和$s\ge 0$为整数，${\cal P}=\{P_1,\dots, P_l\}$为$[n]=\{1,\dots, n\}$的分区，其中$|P_i|\le r$用于$i=1,\dots, l$。另外，令$\cal F$是$[n]$的非空子集族。$r$ -均匀Kneser型超图$\mbox{KG}^r({\cal F}, {\cal P},s)$是具有所有$\cal P$ -容许元素$F\in {\cal F}$的顶点集的超图，即$i=1,\dots, l$的$|F\cap P_i|\le 1$和所有$1\le i<j\le r$的$|F_i\cap F_j|\le s$的顶点集的所有$r$ -子集$\{F_1,\dots, F_r\}$的边集。在这篇文章中，我们扩展了公平$r$ -着色缺陷$\mbox{ecd}^r({\cal F})$的Abyazi Sani和Alishahi的情况下，当一个允许交叉的顶点之间的边缘。将其表示为$\mbox{ecd}^r({\cal F},s)$。然后，我们给出（在一定的假设下）的色数的$\mbox{KG}^r({\cal F}, {\cal P},s)$和它的一些变种的$\mbox{ecd}^r({\cal F},\lfloor s/2\rfloor)$的下界。这一工作推广了Kneser超图的许多已有结果。它…
On the chromatic number of generalized Kneser hypergraphs
广义Kneser超图$KG^{r}(n,k,s)$是顶点是$\{1,\ldots ,n\}$的所有$k$ -子集，边是不同顶点的$r$ -元组，使得任意一对边的交集中至多有$s$元素的超图.本文证明了对于每个满足$n \geq r(k-1)+1$，$k > s\geq 0$，$r\geq 2$的非负整数$k, n, r, s$，我们有$$χ({KG}^{r}(n,k,s))\geq\left\lceil\frac{n-r(k-s-1)}{r-1}\right\rceil,$$，它改进了Alon-Frankl-Lovász的已知结果.
Paths of homomorphisms from stable Kneser graphs
用SG_{n,k}表示基数为2n+k的集合的稳定n-子集的稳定Kneser图（Schrijver图）。对于k同余3（mod 4）和n \ge 2，证明了SG_{n,k}的χ-着色图中存在一个在SG_{n,k}的自同构群作用下不变的分支.证明了存在一个图G，使得χ（G）=χ（SG_{n,k}）使得复Hom（SG_{n,k}，G）是非空连通的.特别地，对于k同余3（mod 4）和n \ge 2，图SG_{n,k}不是测试图。
On the treewidth of generalized Kneser graphs
整数$k>t>0$和$n>2k-t$的广义Kneser图$K(n,k,t)$是其顶点是$\{1,\dots,n\}$的$k$ -子集且两个顶点相邻的图当且仅当它们共享少于$t$的元素。当$t\ge 2$和$n$与$k$相比足够大时，我们确定了广义Kneser图$K(n,k,t)$的树宽.对$n$施加的界限是对先前已知界限的显著改进。我们结果的一个推论如下。对于每个整数$c\ge 1$，存在一个常数$K(c)\ge 2c$，使得$k\ge K(c)$对于$t=k-c$意味着$$tw(K(n,k,t))=\binom{n}{k}-\binom{n-t}{k-t}-1$$当且仅当$n\ge (t+1)(k+1-t)$。
The general position problem on Kneser graphs and on some graph operations
图$G$的顶点子集$S$是$G$的一般位置集，如果$S$的顶点不位于$S$的两个顶点之间的测地线上. $G$的最大一般位置集的基数是$G$的一般位置数（gp-数）${\rm gp}(G)$。对某些Kneser图族，特别是对$K(n,2)$和$K(n,3)$，确定了gp数.证明了图的笛卡儿积的gp数的一个精确下界。还确定了图的联、图上的冠和完全图的线图的gp数。
Chromatic numbers of Kneser-type graphs
设$G(n, r, s)$是一个图，它的顶点都是$n$ -元素集的$r$ -元素子集，其中两个顶点如果恰好相交于$s$元素，则它们相邻.本文研究了当$r, s$为固定常数且$n$趋于无穷大时，$G(n, r, s)$的色数.利用Keevash最近关于设计存在性的一个结果，我们对具有$r, s$固定常数的$r > s$导出了一个不等式$χ(G(n, r, s)) \le (1+o(1))n^{r-s} \frac{(r-s-1)!}{(2r-2s-1)!}$.这个不等式给出了$r \le 2s+1$的精确上界。我们还发展了一个初等方法来解决这个问题，并证明了$χ(G(n, 4, 2)) \sim \frac{n^2}{6}$没有使用Keevash的结果。并给出了$G(n, r, s)$的列表色数的一些界.
Some locally Kneser graphs
本文研究局部图为 Kneser 图 $K(n,d)$ 的图，在临界情形 $n=3d$ 构造新例子并给出零星例子，证明 Hall 的界最佳可能。
A short proof of Kneser's addition theorem for abelian groups
Martin Kneser证明了以下的加法定理对每一个阿贝尔群$G$。如果$A,B \subseteq G$是有限且非空的，则$|A+B| \ge |A+K| + |B+K| - |K|$其中$K = \{g \in G \mid g+A+B = A+B \}$。在这里，我们给出了一个简短的证明，这是基于一个简单的交集联盟的论点。
Colouring signed analogues of Kneser, Schrijver, and Borsuk graphs
本文研究Kneser符号图的平衡着色，证明其平衡色数为n-k+1，引入Schrijver符号图作为顶点临界子图，并探讨与Borsuk符号图的拓扑联系。
Kneser graphs are Hamiltonian
本文证明了除Petersen图外所有Kneser图均为哈密顿图，并将结果推广到连通广义Johnson图，解决了Lovász顶点传递图哈密顿环猜想的一个特例，技术上采用了多滑翔机动力学系统结合组合与线性代数方法。
Mutual-visibility problems in Kneser and Johnson graphs
本文研究连通图中的互见性问题，确定了Kneser图、二部Kneser图和Johnson图的全互见数，并将其与横切临界均匀超图规模及超图Turán数建立联系，同时给出了这些图类互见数的精确值或估计。
On the general position problem on Kneser graphs
在图$G$中，两个顶点$x$和$y$之间的测地线是连接$x$和$y$的最短路径。如果$S$的顶点不位于$S$的两个其它顶点之间的任何测地线上，则$G$的顶点的子集$S$处于一般位置。一般位置上最大顶点集的大小是一般位置数，我们用$gp(G)$表示。最近，Ghorbani等人证明了对任何$k$，如果$n\ge k^3-k^2+2k-2$，则$gp(Kn_{n,k})=\binom{n-1}{k-1}$，其中$Kn_{n,k}$表示Kneser图.我们改进了他们的结果，并证明了同样的结论也适用于$n\ge 2.5k-0.5$，并且这个界是最好的可能界。我们的主要工具是交叉相交的家庭和Bollobás不等式相交集对系统的一个结果略有推广。
Sparse Kneser graphs are Hamiltonian
对于整数$k\geq 1$和$n\geq 2k+1$，Kneser图$K(n,k)$是其顶点是$\{1,\ldots,n\}$的$k$元素子集并且其边连接不相交的子集对的图。形式为$K(2k+1,k)$的Kneser图也称为奇图。我们解决了Meredith，Lloyd和Biggs在20世纪70年代提出的一个老问题，证明了对于每个$k\geq 3$，奇图$K(2k+1,k)$都有一个Hamilton圈.这和一个已知的条件结果，由于约翰逊意味着，所有的Kneser图的形式$K(2k+2^a,k)$与$k\geq 3$和$a\geq 0$有一个哈密尔顿圈。我们还证明了对于$k\geq 6$，$K(2k+1,k)$至少有$2^{2^{k-6}}$不同的Hamilton圈.我们的证明是基于减少的Hamilton性问题的奇数图的问题，找到一个生成树在一个适当定义的超图的戴克字。
On the Bandwidth of the Kneser Graph
设$G = (V,E)$是$n$顶点上的图，而$f: V\rightarrow [1,n]$是$V$到整数$1$到$n$的一对一映射。令$dilation(f) =$最大值为$\{ |f(v) - f(w)|: vw\in E \}$。将$G$的{ \it带宽} $B(G)$定义为在所有这样的一对一映射$f$上的$dilation(f)$的最小可能值。接下来，将{ \it Kneser Graph} $K(n,r)$定义为具有顶点集$\binom{[n]}{r}$、$n$元素集的$r$子集的集合和边集$E = \{ vw: v,w\in \binom{[n]}{r}, v\cap w = \emptyset \}$的图。对于固定的$r\geq 4$和$n\rightarrow \infty$，我们表明，$$B(K(n,r)) = \binom{n}{r} - \frac{1}{2}\binom{n-1}{r-1} - 2\frac{n^{r-2}}{(r-2)!} + (r + 2)\frac{n^{r-3}}{(r-3)!} + O(n^{r-4}).$$
On the circular chromatic number of a subgraph of the Kneser graph
令$n,k,r$是正整数，其中有$n \geq rk$和$r \geq 2$。考虑一个圆$C$，其中~ $n$点~ $1,\ldots,n$按顺时针顺序排列。$r$ -稳定的\emph{interlacing graph} $\text{IG}_{n,k}^{(r)}$是这样的图，其顶点对应于$\{1,...,n\}$的$k$ -子集$S$，使得~ $S$中的任何两个不同的点围绕圆具有至少~ $r$的距离，并且如果它们\emph{interlace}：从$C$中移除~ $P$中的点之后，~ $Q$中的点在不同的连通分量中，则~ $k$ -子集$P$和$Q$之间的边。本文证明了$\text{IG}_{n,k}^{(r)}$的循环色数等于$ n/k $（因此其色数为$\lceil n/k \rceil$），其循环团数也为$ n/k $ .进一步证明了它的独立数为$\binom{n-(r-1)k-1}{k-1}$，从而加强了Talbot的一个结果.
Extremal $G$-free induced subgraphs of Kneser graphs
Kneser图${\rm KG}_{n,k}$是一个图，其顶点集是$[n]$的所有$k$ -子集的族，并且如果两个顶点的对应子集不相交，则两个顶点相邻。经典的Erdens-Ko-Rado定理决定了${\rm KG}_{n,k}$中最大导出无$K_2$子图的基数和结构。作为Erdens-Ko-Rado定理的推广，Erdenses提出了一个关于${\rm KG}_{n,k}$的导出$K_{s+1}$ -free子图的最大阶的猜想.作为关于这个猜想的最著名的结果，Frankl [Journal of Combinatorial Theory，Series A，2013]，当$n\geq(2s+1)k-s$，给了这个猜想一个肯定的答案，也确定了这样一个子图的结构。本文推广了Erdens-Ko-Rado定理和Erd{ \H o}s匹配猜想，研究了当${\rm KG}_{n,k}[\mathcal{A}]$没有子图同构于给定图$G$时，极大族$\mathcal{A}$的结构问题.在这方面，我们确定这样一个家庭的大小和结构，提供$n$是足够大的$G$和$k$。此外，对于$G=K_{1,t}$的情况下，我们提出了一个Hilton-Milner型定理关于上述问题，专门改进了Gerbner等人的结果[SIAM Journal on Discrete Mathematics，2012]。
A note on the chromatic number of Kneser graphs on chambers of projective planes and incidence-free sets
本文通过简单证明展示了在投影平面的 incidence 图中，X 和 Y 的补集之间存在完美匹配，从而将投影平面室的克罗内克图着色数问题与 incidence 图的 incidence-free 数问题联系起来。
Haggkvist-Hell Graphs: A class of Kneser-colorable graphs
对于正整数n和r，我们定义Haggkvist-Hell图H_{n:r}为顶点为有序对（h，T）的图，其中T是[n]的r-子集，h是[n]中不在T中的元素。顶点（h_x，T_x）和（h_y，T_y）相邻当且仅当h_x \in T_y，h_y \in T_x，且T_x和T_y不相交.这些无三角形弧传递图是Kneser图思想的推广，并且从Haggkvist-Hell图H_{n:r}到相应的Kneser图K_{n:r}存在一个自然同态. Haggkvist和Hell介绍了这些图的r=3的情况，证明了一个三次图允许同态到H_{22:3}当且仅当它是无三角形的。Gallucio、Hell和Nesetril也考虑了r=3的情况，证明了H_{n:3}可以有任意大的色数。本文给出了所有Haggkvist-Hell图的直径、围长和奇围长的精确值，并给出了独立性、色数和分数色数的界.进一步，我们将Gallucio等人的结果推广到任意固定的r-\ge 2，并确定了H_{n:r}的全自同构群，它同构于n元上的对称群.
The chromatic number of 3-stable Kneser graphs
研究3 - 稳定克内泽尔图的色数，证明了梅尼耶猜想在\(s = 3\)且\(n\)足够大或\(k = s = 3\)时成立，通过证明\(s\) - 稳定集的希尔顿 - 米尔纳定理版本及采用拓扑方法实现。
Fixed-Parameter Algorithms for the Kneser and Schrijver Problems
研究了Kneser和Schrijver图的计算问题，证明了寻找单色边存在运行时间为n^{O(1)}·k^{O(k)}的固定参数随机算法，并将其应用于Agreeable-Set问题获得多项式时间算法。
Improved bounds on the chromatic numbers of the square of Kneser graphs
Kneser图$K(n,k)$是其顶点是$n$ -元素集合的$k$ -元素子集的图，如果集合不相交，则两个顶点相邻。图$G$的正方形$G^2$是定义在$V(G)$上的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。确定Kneser图$K(2k+1, k)$的平方的色数是一个有趣的问题，但没有太大的进展。Kim和Nakprasit \cite{2004KN}显示了$χ(K^2(2k+1,k)) \leq 4k+2$，Chen、Lih和Wu \cite{2009CLW}显示了$k \geq 3$的$χ(K^2(2k+1,k)) \leq 3k+2$。本文给出了改进的$χ(K^2(2k+1,k))$上界.我们证明了$χ(K^2(2k+1,k)) \leq 2k+2$，如果$ 2k +1 = 2^n -1$对于某个正整数$n$。我们还证明了对每一个整数$k\ge 2$都有$χ(K^2(2k+1,k)) \leq \frac{8}{3}k+\frac{20}{3}$.除了给出改进的上界外，我们的证明是简洁的，可以容易地被读者理解，而\cite{2009CLW}中的证明是非常复杂的。此外，我们证明了$χ(K^2(2k+r,k))=Θ(k^r)$对每个整数$2 \leq r \leq k-2$。
Trivial colors in colorings of Kneser graphs
我们证明了Kneser图$KG_{n,k}$的任何具有$n-2k+2$颜色的真染色都包含平凡颜色（即，一种颜色，由全部包含固定元素的集合组成），提供$n>(2+\varepsilon)k^2$，其中$\varepsilon\to 0$为$k\to \infty$。这个界限基本上是紧的。这是对正确着色$KG_{n,k}$所需的非平凡颜色的最小数量的更一般结果的结果。
On random subgraphs of Kneser and Schrijver graphs
Kneser图$KG_{n,k}$是一个图，它的顶点与$[n],$的$k$ -元素子集一一对应，且两个顶点连通当且仅当对应的集合不相交。Lovász的一个著名结果表明Kneser图$KG_{n,k}$的色数等于$n-2k+2$。本文研究了Kneser图$KG_{n,k}$的随机子图随$n$增长的色数.通过以概率$p$包含$KG_{n,k}$的每条边来获得随机子图$KG_{n,k}(p)$。对于宽范围的参数$k = k(n), p = p(n)$，我们表明$χ(KG_{n,k}(p))$非常接近$χ(KG_{n,k}),$ a.a. s。在许多情况下最多相差4。此外，我们还得到了所谓的Schrijver图，这是已知的Kneser图的顶点临界诱导子图的色数的相同的界。
$k$-tuple domination on Kneser graphs
本文研究 Kneser 图的多重支配，计算特定图的 $2$-packing 数与最小 $k$-元组支配集，并刻画支配数为 $k+r$ 及 $K(n,2)$ 的情形。
Geodetic convexity and Kneser graphs
{ \em Kneser图} $K(2n+k,n)$，对于正整数$n$和$k$，是图$G=(V,E)$，使得$V=\{S\subseteq\{1,\ldots,2n+k\} : |S|=n\}$，并且当$u\cap v=\emptyset$时存在边$uv\in E$。Kneser图有一个很好的组合结构，许多参数已经确定，如直径，色数，独立数，最近，壳数（在$P_3$ -凸的上下文中）。然而，Kneser图的测地凸性参数的确定仍然是开放的。本文研究了Kneser图的测地数和测地壳数。我们给出了上界，并确定这些参数的确切值为Kneser图直径2（形成一个非平凡的子族）。证明了直径为2的Kneser图的测地壳数为2，但$K(5,2)$、$K(6,2)$和$K(8,2)$的测地壳数为3.我们还有助于Kneser图的知识，提出了一个表征的端点的直径路径$K(2n+k,n)$，作为一种工具，用于获得一些主要成果，在这项工作中。
Kneser's theorem for codes and $\ell$-divisible set families
本文利用加性组合中 Kneser 定理的编码理论类比，将 $k=\ell=2$ 时的集族基数上界推广至任意素数 $p$ 及一般 $\ell$ 值，并改进了此前关于 $k$-元 $\ell$-可分集族上界及其极值结构的研究结果。
Random Kneser graphs and hypergraphs
Kneser图$KG_{n,k}$是其顶点是$[n],$的$k$ -元素子集且两个顶点相邻的图当且仅当对应的集合不相交。一个著名的结果，由于Lovász指出，色数的$KG_{n,k}$是等于$n-2k+2$。本文讨论了随机Kneser图和超图的色数。它在最近的两篇论文中进行了研究，一篇是由Kupavskii提出的，他提出了这个问题并研究了图的情况，另一篇是由Alishahi和Hajiabolhassan提出的。后一篇论文的作者将Kupavskii的结果推广到了一般Kneser超图的情形。此外，他们改进了Kupavskii的边界在图的情况下，许多值的参数。在本文中，我们提出了一个纯组合的方法来解决这个问题的基础上爆破的图，它给出了更好的界的色数的随机Kneser和Schrijver图和Kneser超图。这使我们能够改进该主题的所有已知结果。最有趣的改进是在$r$ -均匀Kneser超图与$r\ge 3$的情况下，我们设法取代某些多项式依赖的参数的对数。
The chromatic number of a two families of generalized Kneser graphs related to finite generalized quadrangles and finite projective 3-spaces
设$Γ$是以有限射影空间$PG(3,q)$中的腔室为顶点的图，当相应的腔室处于一般位置时，两个顶点相邻.已知该图的独立数为$(q^2+q+1)(q+1)^2$。对于$q\ge 43$，我们确定的最大独立集的$Γ$，并表明，每一个极大独立集，不是最大的有最多常数倍$q^3$元素。对于$q\ge 47$，该信息然后用于显示$Γ$具有色数$q^2+q$。此外，对于许多家庭的广义四边形，我们证明了类似的结果，以同样的方式建立在房间的广义四边形的图。
On the Boxicity of Kneser Graphs and Complements of Line Graphs
轴平行$d$维盒是笛卡尔积$I_1\times I_2\times \dots \times I_b$，其中$I_i$是实直线的封闭子区间。对于图$G = (V,E)$，$boxicity \ of \ G$，记作$\text{box}(G)$，是最小维数$d$，使得$G$是$\mathbb R^d$中$d$维盒族$(B_v)_{v\in V}$的交图.令$k$和$n$是两个正整数，使得$n\geq 2k+1$。$Kneser \ graph$ $Kn(k,n)$是顶点集由大小为$k$的$\{1,2,\dots,n\}$的所有子集给出的图，其中两个顶点相邻，如果它们对应的$k$ -集不相交。在本文中，我们导出了$\text{box}(Kn(k,n))$的一般上界，以及在$n\ge 2k^3-2k^2+1$情况下的下界，该下界与$Θ(k^2)$的加性因子的上界相匹配。我们的第二个贡献是提供上界和下界的boxicity的补充线图的任何图$G$，并作为一个推论，我们得出，$\text{box}(Kn(2,n))\in \{n-3, n-2\}$的每一个$n\ge 5$。
Transference for the Erdős-Ko-Rado theorem
对于自然数$n,r \in \mathbb{N}$具有$n\ge r$，Kneser图$K(n,r)$是$\{1,\dots,n\}$的$r$ -元素子集族上的图，其中两个集合相邻当且仅当它们不相交。以一定的概率删除$K(n,r)$的边，这些边彼此独立：这个随机图的独立数是否等于Kneser图本身的独立数？我们肯定地回答这个问题，只要$r/n$是有界远离$1/2$，即使当保留的Kneser图的边缘的概率是相当小的。这给了我们一个随机模拟的Erdens-Ko-Rado定理，因为一个独立集在Kneser图是相同的一致相交的家庭。为了证明我们的主要结果，我们给出了一个族中不相交对个数的一些新的估计，这些估计是独立的。
Secure Frameproof Code Through Biclique Cover
对于长度为$v$的二进制码$Γ$，如果对于所有$i=1,...,v$，我们有$w_i\in \{w_i^1, ..., w_i^r\}$，则$v$字$w$由码字$\{w^1,...,w^r\} \subseteq Γ$的集合产生。如果$|Γ|=t$和对于任何$v$-由大小至多为$r$的两个集合$C_1$和$C_2$产生的字，则这些集合的交集非空，则我们将代码称为$r$-大小为$t$的安全防帧。一个图$G$的$d$ -biclique cover（英语：$d$ -biclique cover）是$G$的$v$ -完全二部子图的集合，使得$G$的每条边至少属于这些完全二部子图中的$d$。本文证明了对于$t\geq 2r$，存在大小为$t$，长度为$v$的$r$ -安全防帧码当且仅当Kneser图${\rm KG}(t,r)$存在大小为$v$的1-biclique覆盖，该图的顶点都是$t$ -元集的$r$ -子集，且两个$r$ -子集相邻且它们的交集为空.然后我们研究了Kneser图的$d$ -biclique覆盖的最小尺寸与无覆盖族之间的关系，其中$(r,w; d)$无覆盖族是有限集的子集族，使得该族的任何$r$成员的交集至少包含不属于任何其他$w$成员的并集的$d$元素.同时，我们给出了Kneser图的1-偶团覆盖数的一个上界。
A Fixed-Parameter Algorithm for the Kneser Problem
本文提出一个运行时间为$n^{O(1)} \cdot k^{O(k)}$的随机化算法，证明Kneser问题关于参数$k$是固定参数可解的，并将其应用于Agreeable-Set问题，得到随机化多项式时间算法。
Hamiltonicity of Schrijver graphs and stable Kneser graphs
本文证明了所有 $s$-稳定 Kneser 图（包括 Schrijver 图）均存在哈密顿圈，并给出了每个生成顶点计算时间为 $\mathcal{O}(n)$ 的算法。
Cutoff Phenomenon for Random Walks on Kneser Graphs
遍历马尔可夫链的截断现象描述了在一个可忽略的时间段内（称为截断窗口）收敛到其平稳分布的急剧转变。研究了Kneser图上简单随机游动的截断现象，Kneser图是一类遍历马氏链。给定两个整数$n$和$k$，Kneser图$K(2n+k,n)$定义为顶点集为$n$大小的$\{1,\ldots,2n+k\}$的所有子集，且如果$A\cap B =\emptyset$，则两个顶点$A$和$B$由一条边连接的图.我们表明，对于任何$k=O(n)$，$K(2n+k,n)$上的随机游走表现出一个截止在$\frac{1}{2}\log_{1+k/n}{(2n+k)}$与大小为$O(\frac{n}{k})$的窗口。
An inverse theorem: when the measure of the sumset is the sum of the measures in a locally compact abelian group
对满足m（A+B）=m（A）+m（B）的局部紧阿贝尔群的子集对（A，B）进行分类，其中m是Haar测度.这推广了M. Kneser在G是紧连通的附加假设下对这类对进行了分类。我们的证明结合了Kneser的证明和D. Grynkiewicz，他对满足以下条件的阿贝尔群的子集对（A，B）进行了分类|A+B| = |A| + |B|，其中|A|是A的基数。
The chromatic number of $G$-stable Kneser graphs
本文定义G-稳定Kneser图，研究k-紧图的判定问题，证明k≥3时k-紧图的必要条件并猜想其充分，还利用G为不交圈并时的色数下界证明了特定4-正则图存在大小为k的独立集。
Invariants of Bipartite Kneser B type-\MakeLowercase{k} graphs
本文定义二部 Kneser B 型-k 图 $H_B(n,k)$，并基于带符号有序正实数集合上的包含邻接关系，计算该图的多种不变量。
On semi-transitive orientability of Kneser graphs and their complements
一个图的方向是半传递的，如果它是无圈的，并且对于任何有向路$v_0\rightarrow v_1\rightarrow \cdots\rightarrow v_k$，要么$v_0$和$v_k$之间没有边，要么$v_i\rightarrow v_j$是所有$0\leq i<j\leq k$的边。一个无向图是半传递的，如果它允许一个半传递方向。半传递图包括几个重要的图类，如3-可着色图，可比图和圆图，它们正是文献中广泛研究的一类词表示图。本文研究了著名的Kneser图$K(n,k)$的半传递定向性，该图的顶点对应于$n$元素集合的$k$ -元素子集，且其中两个顶点相邻当且仅当两个对应的集合不相交.我们证明了对于$n\geq 15k-24$，$K(n,k)$不是半传递的，而对于$k\leq n\leq 2k+1$，$K(n,k)$是半传递的。此外，我们计算表明，一个子图$S$上的16个顶点和36条边的$K(8,3)$，从而$K(8,3)$本身的56个顶点和280条边，是非半传递的。$S$和$K(8,3)$是无三角形的非半传递图的第一个显式例子，其存在性是由Halldórsson等人在2011年通过Erdans定理建立的。此外，我们还证明了$K(n,k)$的补图$\overline{K(n,k)}$是半传递的当且仅当$n\geq 2k$。
Coloring of the square of Kneser graph $K(2k+r,k)$
Kneser图$K(n,k)$是其顶点是$n$元素集的$k$ -元素子集的图，如果它们不相交，则两个顶点相邻。图$G$的正方形$G^2$是定义在$V(G)$上的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。确定Kneser图$K(n, k)$的平方色数是一个有趣的图着色问题，也与相交族问题有关。当$n \geq 3k-1$时，$K(2k, k)$的平方是完美匹配，$K(n, k)$的平方是完全图。因此，$K(2k +1, k)$的平方着色作为第一个非平凡的情况进行了研究。在本文中，我们专注于确定$r \geq 2$的$χ(K^2(2k+r,k))$的问题。最近，Kim和Park \cite{KP2014}证明了$χ(K^2(2k+1,k)) \leq 2k+2$如果$ 2k +1 = 2^t -1$对于某个正整数$t$。本文推广了这一结果，证明了对任何具有$1 \leq r \leq k -2$的整数$r$，（a）$χ(K^2 (2k+r, k)) \leq (2k+r)^r$，如果$2k + r = 2^t$对某个整数$t$，和（b）$χ(K^2 (2k+r, k)) \leq (2k+r+1)^r$，如果$2k + r = 2^t-1$对某个整数$t$ .另一方面，在\cite{KP2014}中显示$χ(K^2 (2k+r,…
Monophonic number of Kneser graphs and strongly 2-monophonic graphs
本文确定了所有Kneser图的单音数，提出强2-单音图概念并给出若干充要条件，证明笛卡尔积保持该性质，且Johnson图为强2-单音图而弦图一般不是。
The rational homology of independence complexes of Kneser graphs on triples
该研究针对三元组上的Kneser图独立复形，在有理数域上肯定回答了Feng和Wang提出的同调非平凡维度问题，确定了其非零Betti数，通过多种同调工具完成了证明。
Minimum-rank parameters of complements of threshold Kneser graphs
该研究确定克内泽尔图$\operatorname{KG}(n,k)$在无限域上补图的对称最小秩，给出公式$\operatorname{mr}^{\mathbb F}(I(n,k)) = n - 2k + 2$，解决了AIM研讨会关于图描述矩阵族谱的一个开放问题。
On the intersection density of the Kneser Graph $K(n,3)$
本文研究了 $n\geq 7$ 时 Kneser 图 $K(n,3)$ 的交集密度，确定了其自同构群包含 $\operatorname{PSL}_{2}(q)$ 时的交集密度，并简要探讨了 $K(n,2)$ 的相关情况。
On some topological and combinatorial lower bounds on chromatic number of Kneser type hyper graphs
本文证明了Erdös关于某些Kneser型超图的色数的一个猜想的推广。对于具有$n\ge rk$和$2\le s\le r$的整数$n,k,r,s$，$r$ -一致广义Kneser超图$\mbox{KG}^r_s(n,k)$以$\{1,\dots,n\}$的所有$k$ -子集为顶点集，以$s$-空交的$k$ -子集的所有多集$\{A_1,\dots, A_r\}$为边集. Kneser \cite{K}在1955年考虑了$r=s=2$的情况，在那里他证明了它的色数是$n-2(k-1)$。1978年，Lovász \cite{L}最终证明了这一点。在1973年，Erdös考虑了$r>2$和$s=2$的情况，他证明了它的色数是$\left\lceil\frac{n-r(k-1)}{r-1}\right\rceil$。这个猜想是由Alon，Frankl和Lovász \cite{AFL}在1986年证明的。的情况下，$s>2$，被认为是由Sarkaria \cite{S}在1990年，他声称证明了一个下界，其色数推广所有以前的结果。不幸的是，Lange和Ziegler \cite{Z'}在2006年发现了Sarkaria关于$r$的素因子个数的归纳方法中的一个错误，并且Sarkaria的证明仅在$s$小于$r$或$s=2$的最小素因子时才有效。本文利用Ziegler \cite{Z}和M…
Sharp bounds for the chromatic number of random Kneser graphs
给定正整数$n\ge 2k$，{ \it Kneser graph} $KG_{n,k}$是一个图，其顶点集是集合$\{1,\ldots, n\}$的所有$k$ -元素子集的集合，其边连接不相交的集合对。组合数学中的一个经典结果，由Kneser提出，并由Lovász证明，陈述了$KG_{n,k}$的色数等于$n-2k+2$。本文研究了{ \it随机Kneser图} $KG_{n,k}(p)$的色数，即由$KG_{n,k}$独立包含$KG_{n,k}$的每条边并以概率$p$得到的图.我们证明，对于任何固定的$k\ge 3$，$χ(KG_{n,k}(1/2)) = n-Θ(\sqrt[2k-2]{\log_2 n})$，以及$χ(KG_{n,2}(1/2)) = n-Θ(\sqrt[2]{\log_2 n \cdot \log_2\log_2 n})$。我们还证明，对于$k\ge (1+\varepsilon) \log\log n$，我们有$χ(KG_{n,k}(1/2))\ge n-2k-10$。这大大改进了Kupavskii和Alishahi和Hajiabolhassan以前关于这个问题的结果。在第二个结果中，$k$上的界也紧到一个常数。我们还讨论了一个有趣的连接到极值问题的嵌入复杂。
Maximal cocliques and the chromatic number of the Kneser graph on chambers of PG$(3,q)$
本文研究有限射影三维空间 chambers 的 Kneser 图，刻画其极大独立集大小与结构，并证明色数为 $q^2+q$。
Exploring Homological Properties of Independent Complexes of Kneser Graphs
本文研究Kneser图独立复形的同调性质，通过射影平面和交叉多胞形构造同调生成元并给出同调秩下界，同时利用与Vietoris-Rips复形的等价性建立同调传播结果。
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