The Toughness of Kneser Graphs
图$G$的\textit{toughness} $t(G)$是其连通性的度量，其与哈密尔顿性密切相关。Brouwer证明了连通$\ell$ -正则图韧性的下界$t(G) > \ell / λ- 2$，其中$ λ$是邻接矩阵的最大非平凡特征值。他解释说，这个下界可以改进为$\ell / λ-1$，这个猜想仍然是开放的。布劳威尔还观察到，许多图族（特别是那些在独立数的霍夫曼比范围内达到相等的图族）恰好具有$\ell / λ$韧性。Cioabeland和Wong证实了Brouwer对几个图族的观察，包括Kneser图$K(n,2)$及其补图，但Petersen图$K(5,2)$除外。在本文中，我们推广了这些结果，并确定了Kneser图$K(n,k)$的韧性时，$k\in \{3,4\}$和$n\geq 2k+1$以及$k\geq 5$和足够大的$n$（在$k$方面）。在所有这些情况下，韧性是由一个最大的独立集的补充，我们推测，这是任何$k\geq 5$和$n\geq 2k+1$的情况。
2021-06-28 math.CO
Extremal $G$-free induced subgraphs of Kneser graphs
Kneser图${\rm KG}_{n,k}$是一个图，其顶点集是$[n]$的所有$k$ -子集的族，并且如果两个顶点的对应子集不相交，则两个顶点相邻。经典的Erdens-Ko-Rado定理决定了${\rm KG}_{n,k}$中最大导出无$K_2$子图的基数和结构。作为Erdens-Ko-Rado定理的推广，Erdenses提出了一个关于${\rm KG}_{n,k}$的导出$K_{s+1}$ -free子图的最大阶的猜想.作为关于这个猜想的最著名的结果，Frankl [Journal of Combinatorial Theory，Series A，2013]，当$n\geq(2s+1)k-s$，给了这个猜想一个肯定的答案，也确定了这样一个子图的结构。本文推广了Erdens-Ko-Rado定理和Erd{ \H o}s匹配猜想，研究了当${\rm KG}_{n,k}[\mathcal{A}]$没有子图同构于给定图$G$时，极大族$\mathcal{A}$的结构问题.在这方面，我们确定这样一个家庭的大小和结构，提供$n$是足够大的$G$和$k$。此外，对于$G=K_{1,t}$的情况下，我们提出了一个Hilton-Milner型定理关于上述问题，专门改进了Gerbner等人的结果[SIAM Journal on Discrete Mathematics，2012]。
2018-03-17 math.CO
Random Kneser graphs and hypergraphs
Kneser图$KG_{n,k}$是其顶点是$[n],$的$k$ -元素子集且两个顶点相邻的图当且仅当对应的集合不相交。一个著名的结果，由于Lovász指出，色数的$KG_{n,k}$是等于$n-2k+2$。本文讨论了随机Kneser图和超图的色数。它在最近的两篇论文中进行了研究，一篇是由Kupavskii提出的，他提出了这个问题并研究了图的情况，另一篇是由Alishahi和Hajiabolhassan提出的。后一篇论文的作者将Kupavskii的结果推广到了一般Kneser超图的情形。此外，他们改进了Kupavskii的边界在图的情况下，许多值的参数。在本文中，我们提出了一个纯组合的方法来解决这个问题的基础上爆破的图，它给出了更好的界的色数的随机Kneser和Schrijver图和Kneser超图。这使我们能够改进该主题的所有已知结果。最有趣的改进是在$r$ -均匀Kneser超图与$r\ge 3$的情况下，我们设法取代某些多项式依赖的参数的对数。
2018-12-06 cs.DM math.CO
On the neighborhood complex of $\vec{s}$-stable Kneser graphs
2002年，A. Björner和M. de Longueville证明了$2$ -稳定Kneser图${KG(n, k)}_{2-\textit{stab}}$的邻域复形与$(n-2k)$ -球面具有相同的同伦类型.不久前，J. Osztényi发表了关于几乎$s$ -稳定Kneser图的邻域复形的同伦类型的一个类似结果。将这一结果与著名的Lovász关于图的色数的拓扑下界相结合，给出了一种确定这类图的色数的新方法。在本文中，我们提出了一个共同的推广上述结果。我们将$\vec{s}$ -稳定Kneser图${KG(n, k)}_{\vec{s}-\textit{stab}}$定义为Kneser图$KG(n, k)$在$\vec{s}$ -稳定顶点上的导出子图.证明了对于给定的整数向量$\vec{s}=(s_1,\ldots, s_k)$和$n\geq\sum_{i=1}^{k-1}s_i+2$，其中$s_i\geq2$为$i\neq k$和$s_k\in\{1,2\}$，${KG(n, k)}_{\vec{s}-\textit{stab}}$的邻域复形同伦等价于$\left(n-\sum_{i=1}^{k-1}s_i-2\right)$ -球面.特别地，这意味着对于所提及的参数的$χ\left({KG(n, k)}_{\vec{s}-\textit{stab}}\right)= …
2019-04-17 math.AT math.CO
Monochromatic triangles with empty intersection and Kneser Ramsey numbers
University of Memphis（孟菲斯大学）
本研究证明当$n\ge 2k+1$且$k\ge 2$时，完全图的任何红蓝着色必含空交单色三角形，推进了Holmsen等人的问题，并改进了Kneser Ramsey数的下界。
2026-09-24 math.CO
Colouring Lines in Projective Space
设$V$是阶为$q$的域上的维数为$v$的向量空间。$q$-Kneser图以$V$的$k$维子空间为顶点，其中两个子空间$α$和$β$相邻当且仅当$α\capβ$是零子空间.这篇论文的目的就是研究这类图的色数的确定问题。当$k=1$（并且图是完整的）或当$v<2k$（并且图是空的）时，这个问题是微不足道的。我们在一般情况下建立了一些基本的理论。然后，专门的情况下$k=2$，我们表明，色数是$q^2+q$时，$v=4$和$(q^{v-1}-1)/(q-1)$时，$v > 4$。在这两种情况下，我们都证明了极小着色。
2005-07-15 math.CO
Optimal Point Sets Determining Few Distinct Angles
我们的特点是最大的点集在平面上定义在最多1，2，和3个角度。对于$P(k)$是允许最多$k$角的点集的最大尺寸，我们证明了$P(2)=5$和$P(3)=5$ .我们还提供了一般的$k+2 \leq P(k) \leq 6k$的界限，虽然上界可能会改善，等待进展的弱狄拉克猜想。值得注意的是，令人惊讶的是，$P(k)=Θ(k)$，因为在距离设置中，类似量的最佳已知上界是二次的，并且没有下界是很好理解的。
2022-10-15 math.CO
Determining the minimum size of maximal 1-plane graphs
本文研究极大1-平面图的最小边数，在已有下界基础上，证明对所有$n\ge 5$其精确值为$\lceil 7n/3\rceil-3$。
2025-02-17 math.CO
Improved lower bound for hypercube edge slicing
针对用超平面切割 $n$ 维超立方体全部边所需最少数量的经典问题，本文证明充分大 $n$ 时的新下界，改进 Klein 的既有结果。
2025-10-18 math.CO
The spanning tree spectrum: improved bounds and simple proofs
本文研究 n 顶点图中生成树数目 τ(G) 的可能取值个数，给出简洁组合证明将下界从 1.1103^n 改进到 1.55^n，并证明正则图可实现指数增长，同时建立了生成树数目的模对偶结果。
2025-08-23 math.CO
Improved Bounds for Codes over Trees
本文改进树上码的上下界，利用图论与代数工具给出A(n,d)更紧的渐近估计，并构造出达到多项式大小的显式码。
2025-04-09 math.CO
Improved Bounds for $(b,k)$-hashing
对于固定整数$b\geq k$，计算机科学和组合学中的一个相关兴趣问题是，用$n$确定最大集合的渐近增长，对于该最大集合，存在$n$函数的$(b, k)$ -散列族。等价地，确定$\{1,2,\ldots,b\}^n$的最大子集的渐近增长，使得对于集合中的任何$k$不同元素，存在它们都不同的坐标。一般$b, k$的一个重要的渐近上界是由Fredman和Komlós在80年代推导出来的，并由Körner和Marton以及Arikan对某些$b\neq k$进行了改进。只是最近更好的界限推导出一般$b,k$的情况下，由Guruswami和Riazanov，而更强的结果，小值的$b=k$，由Arikan，达赖，Guruswami和Radhakrishnan和科斯塔和达赖。在本文中，我们都显示了一些后者的结果扩展到$b\neq k$，并进一步加强了一些特定的小值的$b$和$k$的界限。我们使用的方法，这取决于减少的优化问题的有限数量的情况下，表明，进一步的结果可能会得到细化的参数，以牺牲更高的复杂性，可以通过使用更复杂和优化的算法方法来减少。
2022-03-22 cs.IT math.CO math.IT
Improved Upper Bound on Independent Domination Number for Hypercubes
我们重新讨论了超立方体中独立控制数的确定问题，对于一般的维数，已知的上界仍然不是紧的。本文给出了一种构造性的方法来构造$n$维超立方体$Q_n$的独立控制集$S_n$，其中$n=2p+1$，$p$是正整数$\ge 1$，只要已知$p$维超立方体$Q_p$的独立控制集$S_p$.该过程还计算所有$n=2^k-1$、$k>1$的最小独立支配集。最后，我们建立了$7\times 2^{k-2}-1\leq n<2^{k+1}-1$，$k>1$的独立控制数$α_n\leq 3 \times 2^{n-k-2}$.与早期的工作相比，这是一个改进的上限。
2022-05-13 cs.DM math.CO
Extremal properties of flood-filling games
本文系统研究 Flood-It 游戏中使图单色所需的最大洪水操作次数，给出任意图的上下界并证明对树紧，同时探讨高边密度图的上界改进。
2019-07-24 cs.DM math.CO
Flip Distance of Non-Crossing Spanning Trees: NP-Hardness and Improved Bounds
University at Albany（奥尔巴尼大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究非交叉生成树翻转距离的NP难性及改进翻转图直径的界限，通过冲突图工具证明计算翻转距离为NP难问题，并改进翻转图直径下界。
2026-03-23 cs.CG math.CO
