The Erdős-Ginzburg-Ziv constant and progression-free subsets
Ellenberg和Gijswijt最近给出了$({\mathbb Z_p})^n$（其中$p$是素数）中三项等差数列自由集大小的一个新的指数上界. Petrov总结了他们的方法，并将他们的结果推广到线性型。本文利用Petrov的结果给出了有限高秩阿贝尔群的Erdens-Ginzburg-Ziv常数的新的指数上界.我们的主要结果依赖于关于性质D的一个猜想。
2017-01-06 math.CO math.NT
Progression-free sets in Z_4^n are exponentially small
我们表明，对于整数$n>0$，任何子集$A \subset Z_4^n$免费的三项等差数列的大小$|A| < 4^{c n}$，与一个绝对常数$c \approx 0.926$。
2016-05-21 math.CO math.NT
Thick subsets that do not contain arithmetic progressions
City University of New York, College of Staten Island and The Graduate Center（纽约市立大学，史泰登岛学院和研究生中心）
该研究通过改进方法，构造了不含等差数列的厚子集，并给出了具体例子及随机集合中的应用。
2010-06-24 math.CO math.NT
Bounds for sets with no polynomial progressions
设$P_1,\dots,P_m\in\mathbb{Z}[y]$是具有不同次数的多项式，每个多项式具有零常数项。我们发现，任何子集$A$的$\{1,\dots,N\}$没有非平凡的进展形式$x,x+P_1(y),\dots,x+P_m(y)$有大小$|A|\ll N/(\log\log{N})^{c_{P_1,\dots,P_m}}$。一路上，我们证明了一个一般的结果控制加权计数的多项式级数的Gowers规范。
2020-10-24 math.CO math.NT
Covering shrinking polynomials by quasi progressions
本文将Erdős关于平方数无法被等差数列经济覆盖的猜想及Sárközy的下界证明，推广至收缩多项式与拟等差数列的情形。
2023-11-23 math.CO math.NT
Long Arithmetic Progressions in Critical Sets
在本文中，我们证明：如果0 < d < 1，且p是一个充分大的素数，则如果S是Z/pZ的一个子集，在Z/pZ的所有至少有dp个元素的子集中具有最少数量的三项等差数列，则S有一个长度至少为log^{1/4+o（1）} x的等差数列。
2004-03-05 math.CO math.NT
On sets of integers which contain no three terms in geometric progression
寻找不含三项等差数列的自然数子集的问题有着悠久的历史。罗斯定理著名地表明，任何这样的子集都不可能有正的上密度。与此相反，兰金在1960年建议研究没有三项等比数列的子集，并构建了这样一个密度约为0.719的子集。最近，一些作者已经找到了这样的集合的上密度的上界。我们显着改善这些界限，并展示了一种方法，构建一个更大的上密度比Rankin的集。这种结构是最佳的意义上说，我们的方法给出了一种有效地计算最大可能的上密度的几何级数自由集。我们还表明，等比数列在Z/nZ的行为更像罗斯定理中，不能采取任何固定的正比例的整数模足够大的值n，同时避免等比数列。
2013-10-08 math.CO math.NT
Quantitative bounds for sets lacking polynomial progressions with shifted prime difference
University of Bristol（布里斯托大学）；University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；University of Cambridge（剑桥大学）
该研究证明了移位参数限制在移位素数集合的多项式进展的定量Szemerédi型定理，改进了线性情形结果，不同次数非线性构型的定量界为首创，结合了整数多项式构型与素数Gowers一致性界等方法。
2026-08-21 math.CO math.NT
Note on partitions into polynomials with number of parts in an arithmetic progression
设$f: \mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$是一个多项式，其性质是对应于每个素数$p$，存在一个整数$\ell$使得$p\nmid f(\ell)$。本文建立了整数$n$的部分取自序列$\{f(\ell)\}_{\ell=1}^{\infty}$的分拆数与这些分拆在某个等差数列中的部分数之间的等分布结果。
2021-03-30 math.CO math.NT
The number of subsets of integers with no $k$-term arithmetic progression
解决问题的卡梅隆和Erd \Ho s，我们表明，对于无限多的值的$n$，$\{1,2,\ldots, n\}$的子集，不包含一个$k$ -长期等差数列的数量是最多$2^{O(r_k(n))}$，其中$r_k(n)$是最大的基数的一个子集的$\{1,2,\ldots, n\}$没有$k$ -长期等差数列。这个界限是最优的，直到指数中的常数因子。对于$n$的所有值，我们证明了一个较弱的边界，这仍然是足以转移到稀疏随机设置的当前最佳上限$r_k(n)$。为了达到这些界限，我们建立了一个新的过饱和结果，它大致说明，集的大小$Θ(r_k(n))$包含超线性许多$k$ -长期算术级数。对于整数$r$和$k$，Erd \Ho询问是否存在一组没有$(k+1)$ -项等差数列的整数$S$，但是使得$S$的任何$r$ -着色产生单色的$k$ -项等差数列。奈舍特基尔和罗德尔，以及独立的斯宾塞，肯定地回答了这个问题。我们证明了以下密度版本：对于每一个$k\ge 3$和$δ>0$，存在一个合理密集的素数子集$S$没有$(k+1)$ -项等差数列，但每一个$U\subseteq S$的大小$|U|\geδ|S|$包含一个$k$ -项等差数列。我们的证明使用超图容器方法，这已被证明是一个非常强大的工具，在极值组合。容器方法背后的想法是用一个小证书集来描述一个大的独立集。我们在附录中给出了使用这个思想的两个进一…
2016-05-10 math.CO math.NT
Geometric-progression-free sets over quadratic number fields
一个最近感兴趣的问题一直是研究如何大的子集的自然数可以同时避免3项等比数列。在此基础上，我们考虑了二次数域上的类似问题。我们首先构造一个虚二次数域的代数整数的高密度子集，避免3项等比数列。当唯一因子分解失败或在实二次数域上时，我们转而研究整数环的理想子集。这里我们的方法是构造集合“greetings”，这是Rankin所考虑的贪婪有理整数集合的推广。然后，我们描述这些集的密度值的戴德金ζ函数。接下来，我们考虑具有大上密度的等比数列自由集。我们推广了Riddell的一个论点，得到了无几何级数子集的上密度的上界，并构造了避免等比数列的具有高上密度的集合，得到了所有这样的子集的上密度的上确界的下界.这两个论点都严格依赖于整数环中具有小范数的元素。
2015-11-14 math.CO math.NT
On sums of coefficients of Borwein type polynomials over arithmetic progressions
得到了$$\prod_{j=1}^n\prod_{k=1}^{p-1}(1-q^{pj-k})^s,$$型多项式系数在等差数列上求和的渐近公式，其中$p$是奇素数，$n, s$是正整数.让我们用$a_i$表示上述多项式中的$q^i$的系数，并假设$b$是整数。我们证明了$$\Big|\sum_{i\equiv b\ \text{mod}\ 2pn}a_i-\frac{v(b)p^{sn}}{2pn}\Big|\leq p^{sn/2},$$，其中$v(b)=p-1$，如果$b$可被$p$整除，否则$v(b)=-1$。这改进了Goswami和Pantangi最近的结果。
2021-04-06 math.CO math.NT
True complexity of polynomial progressions in finite fields
有限域上多项式级数的真实复杂度对应于最小度Gowers范数，该范数控制大特征的有限域上级数的计数算子。我们给出了一个猜想，涉及到真正的复杂性之间的代数关系的进展，我们证明了一些进展，包括$x,\; x+y,\; x+y^2,\; x+y+y^2$和$x,\; x+y,\; x+2y,\; x+y^2$。作为推论，我们证明了在有限域的子集中复杂度为1的某些级数的计数的渐近性。在这个过程中，我们得到了一个等分布的结果，某些多项式级数，类似的计数引理系统的线性型证明的绿色和陶。
2021-04-11 math.CO math.DS math.NT
Large Subsets of $\mathbb{Z}_m^n$ without Arithmetic Progressions
对于整数$m$和$n$，我们研究了在$(\mathbb{Z}_{m}^{n},+)$中寻找无进展集大小的好下界的问题。令$r_{k}(\mathbb{Z}_{m}^{n})$表示没有长度为$k$的等差数列的$\mathbb{Z}_{m}^{n}$的子集的最大大小，并且令$P^{-}(m)$表示$m$的最小素因子。我们构造了显式的无进展集，得到了$r_{k}(\mathbb{Z}_{m}^{n})$的如下改进的下界：如果$k\geq 5$是奇数，$P^{-}(m)\geq (k+2)/2$，则\[r_k(\mathbb{Z}_m^n) \gg_{m,k} \frac{\bigl\lfloor \frac{k-1}{k+1}m +1\bigr\rfloor^{n}}{n^{\lfloor \frac{k-1}{k+1}m \rfloor/2}}. \]如果$k\geq 4$是偶数，$P^{-}(m) \geq k$和$m \equiv -1 \bmod k$，则\[r_{k}(\mathbb{Z}_{m}^{n}) \gg_{m,k} \frac{\bigl\lfloor \frac{k-2}{k}m + 2\bigr\rfloor^{n}}{n^{\lfloor \frac{k-2}{k}m + 1\rfloor/2}}.\]此外，我们还对素数$p \leq 31$和进展长度$4 \…
2022-11-04 math.CO math.NT
Upper tails for arithmetic progressions in random subsets
我们研究了在{1，…，n}，建立指数边界，该指数边界最好是指数中的常数因子。证明也延伸到舒尔三倍，更一般地说，随机诱导子超图的“几乎线性”k-均匀超图的边缘数。
2016-12-27 math.CO math.NT math.PR
Long Arithmetic Progressions in Sets with Small Sumset
设$A, B\subseteq \mathbb{Z}$是有限的非空子集，且具有$\min A=\min B=0$，令$ $δ(A,B)={\begin{array}{ll} 1 & \hbox{if} A\subseteq B, 0 & \hbox{otherwise.} If $ \max B \leq \max A \leq |A| + |B|-3 $ and \label{one}|A+B|\leq |A|+2|B|-3-δ(A,B), then we show $ A+B $ contains an arithmetic progression with difference 1 and length $ |A| + |B|-1 $. As a corollary, if \eqref{one} holds, $ \max（B）\leq \max（A）$ and either $ \gcd（A）= 1 $ or else $ \gcd（A+B）=1 $ and $| A+B| \leq 2 |A| + |B| -3 $, then $ A+B $ contains an arithmetic progression with difference 1 and length $ |A| + |B|-1 $.
2009-04-22 math.CO math.NT
Subsets of F_p^n without three term arithmetic progressions have several large Fourier coefficients
假设f：F_p^n -> [0，1]在[p^（-n/9），1]中有期望值t（因此，密度t可以相当低！）。此外，假设支撑（f）没有三项等差数列。然后，我们发展了f_j的非平凡下界，f_j是f的第j大傅里叶系数。该结果在精神上与作者早期论文[1]中出现的结果相似;然而，在那篇论文中，重点是“小”的傅里叶系数，而这里的重点是“大”的傅里叶系数。此外，本文中的证明需要比其他论文更复杂的论证。
2007-07-10 math.CO math.NT
Avoiding a star of three-term arthmetic progressions
我们给出了F_p^n的子集A的大小的一个上界，该子集A不允许3-AP（三项等差数列）的k星。即，假设子集A不包含共享中间项的k个3-AP的配置，使得所有2k+1项是不同的。在证明中，我们采用了Sauermann最近工作中的一种新方法。
2019-09-23 math.CO math.NT
Arithmetic progressions in dense subsets of primitive elements of finite fields
School of Science, Nanjing University of Posts and Telecommunications（南京邮电大学理学院）
本文证明有限域本原元稠密子集必含非平凡k项算术级数，并构造无此类级数的大子集，结合特征和估计与相对Szemerédi定理。
2026-09-25 math.CO math.NT
Arithmetic progressions in Salem-type subsets of the integers
给定零密度的整数子集，我们定义了这样的集合的分数密度的较弱的概念。它示出了这个概念是如何对应的实的一个紧凑的子集的豪斯多夫维数。然后，我们表明，一个版本的定理的Zuebaba和Pramanik的3项等差数列的单位区间的子集也持有的整数的子集与分数密度，并满足一定的傅立叶衰减条件。
2010-07-13 math.NT
New lower bounds for three-term progression free sets in $\mathbb{F}_p^n$
本文通过构造具有可归约性质的二维子集并将其提升到高维，改进了 $\mathbb{Z}_m^n$ 中无三项等差数列集合的经典下界，使常数由 $1/2$ 提升至 $0.54$。
2024-01-23 math.CO math.NT
On the number of three-term arithmetic progressions in a dense subset of $F_q^n$
设$q$是奇素数幂。结合Varnavides的讨论和Ellenberg和Gijswijt最近的一个定理，我们证明了一个子集$A\subset{\mathbb F}_q^n$将包含许多非平凡的三项等差数列，每当$|A|\geq (c_q q)^n$为一些常数$c_q>0$。在我们的初稿上传到arXiv后，我们从Jacob Fox和Terence Tao教授那里得知，我们的结果是Fox和Lovasz [1，定理3]结果的一个特例。事实上，[1，定理3]给出了一个比我们更好的界。例如，当$q=3$时，Fox和Lovasz给出的下界是$|A|^{2}\cdot (|A|q^{-n})^{11.901}$，而我们的下限是$|A|^{2}\cdot (|A|q^{-n})^{25.803}$。我们感谢Jacob Fox教授和Terence Tao教授对我们的手稿提出的有益意见。[1]Jacob Fox，László Miklós Lovász，A tight bound for Green's arithmetic triangle removal lemma in vector spaces，preprint，arXiv：1606.01230.
2016-11-26 math.CO math.NT
The Maximum Number of Three Term Arithmetic Progressions, and Triangles in Cayley Graphs
设$G$是有限阿贝尔群。对于子集$S \subseteq G$，令$T_3(S)$表示$S$和Prob[ $S$ ] $= \frac{1}{|S|^2}\sum_{x,y \in S} 1_S(x+y)$中长度为3的算术级数的数目。对于任何$q \ge 1$和$α\in [0,1]$，以及任何具有$|S| = \frac{|G|}{q+α}$的$S \subseteq G$，我们证明了$\frac{T_3(S)}{|S|^2}$和Prob[ $S$ ]上界为$\max\left(\frac{q^2-αq+α^2}{q^2},\frac{q^2+2αq+4α^2-6α+3}{(q+1)^2},γ_0\right)$，其中$γ_0 < 1$是绝对常数。因此，我们验证了一个图论猜想GAN，洛，Sudakov凯莱图。
2018-09-11 math.CO math.NT
The sum of digits of polynomial values in arithmetic progressions
令$q, m\geq 2$是整数，其中$(m,q-1)=1$。用$s_q(n)$表示$q$进制数字展开式中$n$的位数之和。进一步令$p(x)\in mathbb{Z}[x]$是具有$p(\mathbb{N})\subset \mathbb{N}$的次数$h\geq 3$的多项式。我们证明了存在$C=C(q,m,p)>0$和$N_0=N_0(q,m,p)\geq 1$，使得对于所有$g\in\mathbb{Z}$和所有$N\geq N_0$，$$#\{0\leq n< N: \quad s_q(p(n))\equiv g \bmod m\}\geq C N^{4/(3h+1)}.$$这是对Dartyge和Tenenbaum（2006）给出的一般下界的改进，该下界是$C N^{2/h!}$。
2011-10-21 math.CO math.NT
On sets of integers not containing long arithmetic progressions
我们构造{1，...，N}的基数至少为Nexp（-C（log N）^{1/（k+1）}），不包含长度为2^k+1的等差数列。这推广了Behrend（1946）关于不包含长度为3的伪数列的集合的一个结果。
2001-08-22 math.CO math.NT
On polynomial progressions via transference
本文利用迁移原理，在素数模群和整数情形下建立多项式 Szemerédi 定理的新合理界，并给出避免固定多项式公差模式集合的定量上界。
2025-06-16 math.CO math.NT
Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions
证明了如果$A\subset \{1,\ldots,N\}$不含非平凡的三项等差数列，则对于某个绝对常数$c>0$，有$\lvert A\rvert \ll N/(\log N)^{1+c}$.特别是，这证明了第一个非平凡的情况下，猜想的Erdans对等差数列。
2021-09-01 math.CO math.NT
Quantitative concatenation for polynomial box norms
Princeton University（普林斯顿大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）
该研究通过定量拼接技术，建立了多项式盒范数的控制，为研究缺乏特定多项式进展的集合提供了关键方法。
2026-01-21 math.CO math.NT
Square-full polynomials in short intervals and in arithmetic progressions
本文研究了平方满多项式的指示函数和在等差数列和短区间上的方差。我们的工作是在环$F_{q}[T]$的多项式在一个有限域$F_{q}$的$q$元素，在限制$q\rightarrow\infty$。我们使用最近的一个等分布结果，由于N。Katz用酉群上的三重矩阵积分来表示这些方差，并对它们进行评价。
2016-05-09 math.NT
Further bounds in the polynomial Szemerédi theorem over finite fields
我们提供了上界的大小的子集的有限域缺乏多项式级数$$ x, x+y, ..., x+(m-1)y, x+y^m, ..., x+y^{m+k-1}.$$这些是第一个已知的上界在多项式Szemerédi定理的情况下，多项式既不是线性无关，也不是齐次的相同程度。此外，我们改进了已知的界限子集的有限域缺乏等差数列的差异来自一组的$k$ -th幂剩余，即配置的形式$$ x, x+y^k, ..., x+(m-1)y^k.$$这两个结果遵循从估计的数量这样的级数在任意子集的一个有限域。
2020-01-15 math.CO math.NT
On sequences of positive integers having no $p$ terms in arithmetic progression
本文利用拓扑思想证明，假设Erd“（o）s关于等差数列中不含$p$项的正整数子集的猜想（A. P.），必须存在A中没有$p$项的正整数的子集$M_p$。P.具有这样的性质，即在所有这样的子集中，$M_p$使其元素的倒数之和最大化。
2007-03-15 math.NT
The divisor function along arithmetic progressions and binary cubic polynomials
该研究提出带两个小因子模的算术级数中除数函数的新等分布估计，给出两项应用：指数2/3的几乎所有模的算术级数上除数函数的渐近公式，以及沿非齐次二元三次多项式XY²+1的除数函数渐近公式。
2025-09-04 math.NT
On Arithmetic Progressions of Powers in Cyclotomic Polynomials
我们确定的必要条件时，对应于$Φ_{n}$的正/负系数的权力是在等差数列。当$n = pq$对任何素数$q>p>2$，我们的条件也是充分的.最后，我们将$n = pq$的结果推广到Bachman首次提出的包含-排除多项式。
2021-06-04 math.NT
A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions
本文改进了三项等差数列的Roth定理的定量估计，证明了若$A\subset\{1,\ldots,N\}$不含非平凡三项等差数列，则$\lvert A\rvert\ll N(\log\log N)^4/\log N$ .用同样的方法，我们也改进了$\mathbb{F}_q[t]$上类似问题的界，以及在和集中求长等差数列的界。
2014-06-18 math.CO math.NT
A Quantitative Bound For Szemerédi's Theorem for a Complexity One Polynomial Progression over $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$
本文针对 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上一类复杂度一的四项多项式级数，改造 Peluse 的次数降低方法并结合二次 Fourier 分析，给出缺失该级数集合大小的迭代对数定量界。
2024-05-20 math.CA math.CO math.NT
A note on arithmetic progressions with restricted differences
California Institute of Technology（加州理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
本文通过调整陶的切片排名方法，将Ellenberg-Gijswijt定理扩展到禁止具有受限差值的等差数列问题，证明了当q为奇素数幂时，若集合S包含0且大小超过(q+1)/2，且A中不含三元等差数列的公差在S^n中，则A的大小上限为q^{(1-ε_q)n}。
2026-05-13 math.CO math.NT
Polynomial progressions in the generalized twin primes
本文基于Maynard定理及Polymath项目改进，利用Tao和Ziegler的转移论证，证明在广义双子素数中存在多项式结构，扩展了Pintz在等差数列中的研究成果。
2026-03-22 math.CO math.NT
The Minimal Number of Three-Term Arithmetic Progressions Modulo a Prime Converges to a Limit
给定（0，1]中的密度t和素数p，设S是F_p中至少含有tp个元素的任意子集，并且在F_p中至少含有tp个元素的所有子集中具有最少的mod p的三项等差数列。定义N（t，p）为S模p中三项等差数列的1/p^2倍。注意N（t，p）不依赖于S --它只依赖于t和p。Varnavides的一个旧结果表明，对于固定的t，N（t，p）> c（t）> 0，对于所有p足够大的素数。但是，当p ->无穷大时，N（t，p）收敛到极限吗？我们证明它是。
2006-07-07 math.CO math.NT
Polynomial progressions in topological fields
针对一般局部紧拓扑域$K$中系数在$K$、无常数项且次数不同的多项式，给出正密度集$S\subseteq K$中多项式序列的定量计数，其证明依赖独立有趣的$L^{\infty}$逆定理及相关Sobolev改进估计。
2024-09-13 math.CA math.CO math.NT
Density bounds for permutations avoiding monotone arithmetic progressions
该研究针对自然数集与整数集上避免单调算术级数的排列，强化了三项上密度参数的下界，还构造子集证明整数集的四项下密度为1，完善了相关密度界结论。
2026-08-14 math.CO math.NT
Polynomial formulations of Multivariable Arithmetic Progressions of Alternating Powers
本文受 Lanphier 工作启发，建立交替幂和的广义多变量多项式公式，并借助 Euler-Maclaurin 求和公式的类比给出多变量型 Lerch-Hurwitz zeta 函数的渐近公式。
2023-12-01 math.NT
Szemerédi's theorem in the primes
格林和陶在2005年证明了一个著名的定理：任何固定正密度的素数子集都包含任意长的等差数列。格林以前曾证明，事实上任何子集的素数的相对密度趋于零足够缓慢地包含一个3长期长期进展。随后是Helfgott和de Roton以及Naslund的工作，他们改进了3项级数情况下相对密度的界限。本文的目的是通过将Conlon、Fox和Zhao给出的相对Szemerédi定理的量化版本与Henriot对包络筛重的估计相结合，为更长的级数给出一个类似的结果。
2017-09-14 math.CO math.NT
Arithmetic progressions in multiplicative groups of finite fields
设$G$是素数域$\mathbb F_p$的一个乘法子群，其大小为$|G|> p^{1-κ}$，$r$是一个任意固定的正整数.假设$κ=κ(r)>0$和$p$足够大，它表明，任何比例子集$A\subset G$包含长度为$r$的非平凡等差数列。主要成分是Szemerédi-Green-Tao定理。
2016-11-17 math.NT
Arithmetic and Geometric Progressions in Productsets over Finite Fields
给定$q$元素的有限域$\F_q$的两个元素集$\cA, \cB \subseteq \F_q$，证明了乘积集$$ \cA\cB = \{ab | a \in \cA, b \in\cB\} $$包含长度为$k \ge 3$的等差数列，条件是$k<p$，其中$p$是$\F_q$的特征，且$# \cA # \cB \ge 3q^{2d-2/k}$ .我们还考虑了移位乘积集$\cA\cB +h$中的等比数列，对于$f \in \F_q$，得到了类似的结果。
2007-11-13 math.CO math.NT
A Structure Theorem for Positive Density Sets Having the Minimal Number of 3-term Arithmetic Progressions
假设著名的猜想，[x，x+x^t]包含一个素数，t > 0和x足够大，我们证明：对于0 < r < 1，存在0 < s < r < 1，0 < d < 1，以及无穷多个素数q，使得如果S是Z/qZ的子集，其密度至少为s，且在所有密度集中至少有s个三项算术级数，则S在很强的意义下几乎是平移不变的.即，存在0 <= b <= q-1，使得|S intersect（S + bj）|=（1-g（s））|S|，对于每个0 < j < q^d，其中g（s）-> 0 as s -> 0。证明的一个奇怪的特点是，Behrend在{1，2，.}的大子集上的构造，x}不含3项a. p.，是一个关键因素。
2003-05-22 math.CO math.NT
Polynomials and Primes in Generalized Arithmetic Progressions (Revised Version)
我们提供了一个对称的广义等差数列的密度上界缺乏非零元素的形式h（n）的自然数n，或h（p）与p素数，适当的多项式h与整数系数。这个素数变体可以解释为林尼克定理的多维多项式扩展。此版本是已发布版本的修订版。最值得注意的是，适当性假设已从定理2和3中删除，并且定理2中的数字学已得到改进。
2015-07-09 math.CA math.NT
Improving Behrend's construction: Sets without arithmetic progressions in integers and over finite fields
本文改进 Behrend 构造，分别为整数区间和有限域向量空间中不含三项等差数列的集合建立更大的最大尺寸下界。
2024-06-18 math.CO math.NT
Hurwitzian continued fractions containing a repeated constant and an arithmetic progression
我们证明了一个明确的公式，无穷多个收敛的Hurwitzian连分数，重复几个副本相同的常数和元素的一个等差数列，在一个准周期的方式。证明涉及组合数学和形式洛朗级数。使用很少的分析，我们可以表达他们的限制（修改）贝塞尔函数和斐波那契多项式。极限公式是Lehmer定理的推广，它包含$e$和$\tan(1)$的连续分数展开，并且它也可以从Lehmer的工作中使用Fibonacci多项式恒等式导出。我们完全描述了我们的极限公式的实现，其中每个贝塞尔函数的参数是一个奇数的一半，允许它们被替换为初等函数。
2013-05-25 math.CO math.NT
Narrow arithmetic progressions in the primes
我们研究公差尽可能小的素数中的等差数列。Tao和Ziegler证明了，对于任意大的$k \geq 3$和$N$，对于一个未指定的常数$L_k$，在直到$N$的素数（的任意正密度子集）中存在非平凡的$k$ -项等差数列，具有公差$O((\log N)^{L_k})$。在这项工作中，我们获得了具有精确值$L_k = (k-1) 2^{k-2}$的该陈述。这是通过证明Szemerédi定理的一个相对版本的狭窄的进展需要更简单的伪随机性假设的精神，最近的工作康伦，福克斯和赵。
2015-09-16 math.CO math.NT
Arithmetic progressions in polynomial orbits
该研究针对次数≥2的整系数多项式轨道的等差数列覆盖问题，证明k个含初始点的等差数列无法覆盖轨道（除非轨道含于其中一个），其覆盖相对密度有仅依赖k的一致上界，且k足够大时可使该密度任意接近1。
2024-03-07 math.NT
On Sums of Powers of Arithmetic Progressions, and Generalized Stirling, Eulerian and Bernoulli numbers
对于等差数列的非负幂的有限和，计算了给定幂的母函数（普通母函数和指数母函数）。这导致两个参数的推广斯特林和欧拉数。伯努利数及其多项式的直接推广如下。在用广义伯努利多项式求这些幂和的Faulhaber公式的过程中，得到了伯努利数及其多项式的单参数推广。广义Lah数也被考虑。
2017-07-14 math.NT
Families of modular arithmetic progressions with an interval of distance multiplicities
给定$\mathbb{Z}_n$的子集的族$\mathcal{F}=\{A_1,\dots,A_s\}$，定义$Δ\mathcal{F}$为所有（循环）距离dist $(x,y)$的多集，其中对于某些$i=1,\dots,s$，$\{x,y\} \subset A_i$，$x \neq y$。从一个Euclidean距离问题的Erdibs，我们说，$\mathcal{F}$是Erdibs深的，如果在$Δ\mathcal{F}$中出现的距离的多重性是精确的$1,2,\dots,k-1$为某个整数$k$。在$s=1$的情况下，已知$\mathbb{Z}_n$中的模算术级数实现了此属性（在温和条件下）;相反，AP是唯一的此类集合，除了$n=6$时的一个零星情况。在这里，我们详细考虑$s=2$的情况。特别是，我们分类Erdens-deep对$\{A_1,A_2\}$时，每个$A_i$是一个算术级数在$\mathbb{Z}_n$。当$s$是平方整数时，我们还构造了一类更广的Erdens-deep族$\{A_1,\dots,A_s\}$.
2022-08-10 math.CO math.NT
The large $k$-term progression-free sets in $\mathbb{Z}_q^n$
设$k$和$n$为固定正整数。对于每一个素数幂$q\geqslant k\geqslant 3$，我们表明，任何子集$A\subseteq \mathbb{Z}_q^n$的$k$ -长期算术级数自由的大小$|A|\leqslant c_k(q)^n$与常数$c_k(q)$，可以明确地表示在$k$和$q$。因此，我们可以将$c_k(q)=0.8415q$用于足够大的$q$和任意固定的$k\geq 3$。
2016-12-08 math.NT
Arithmetic progressions in sets of small doubling
我们证明了如果任意阿贝尔群的有限的、足够大的子集A满足小加倍条件|A + A| <（log |A|）^{1 -n} |A|，则A必须包含其项不全相等的三项等差数列，并且A + A必须包含等差数列或子群的陪集，其大小至少为exp^[ c（log |A|）^{delta} ]。这扩展了类似的结果获得桑德斯和，分别由Croot，Laba和Sisask的情况下，该组是整数或有限域。
2013-10-09 math.CO math.NT
